概率统计公式大全汇总
考研概率论与数理统计公式大全
考研概率论与数理统计公式大全一、概率论部分：1.概率公式：-事件的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的可能性，n(S)表示样本空间S中的样本个数。
-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
-非互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.条件概率公式：-事件A在事件B发生的条件下发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.乘法公式：-事件A、B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)=P(B)*P(A，B)。
4.全概率公式：-事件A可以由一系列互斥且构成样本空间的事件B1、B2、..、Bn发生的概率：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)=ΣP(A∩Bi)。
5.贝叶斯公式：-已知事件A发生的条件下事件B发生的概率：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)=P(A，B)*P(B)/P(A)。
6.重要的离散概率分布：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次成功的概率。
-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ为单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。
7.重要的连续概率分布：-均匀分布：f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。
-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
二、数理统计部分：1.基本概念：-总体：研究对象的全体。
-样本：从总体中抽取的一部分个体。
-参数：总体的特征数值。
-统计量：样本的特征数值。
2.基本统计量：- 样本均值：x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n，其中x1、x2、..、xn为样本数据，n为样本容量。
- 样本方差：s^2 = ((x1-x̄)^2 + (x2-x̄)^2 + ... + (xn-x̄)^2) / (n-1)。
概率统计公式大全(复习重点)汇总【范本模板】
第一章随机事件和概率(1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事)：m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成.（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件(至少有一个）顺序问题（4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A,B,C，…表示事件,它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B.A、B中至少有一个发生的事件:A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差，记为A—B，也可表示为A—AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BB⊃，则称事件A与A⊂，A事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。
概率统计公式(大全)
.
资料
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
均匀分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
。
（2） 连续型随 机变量的 分布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ,
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（5） 八大分布
二项分布 即 B(n,p)
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一 些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列
顺序问题
（4） 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
随 机 试 验 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
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概率统计公式大全第1章随机事件及其概率P(A) =P(B 1)P(A| B 1) P(B 2)P(A| B 2)P(B n )P(A|B n )。
我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发 生或A 不发生；n次试验是重复进行的，即A 发生的 概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否公式2°则有nA二B ii -4(16 设事件B 1, 1。
B 1， P(Bi)>0，—, B 2，…， B 2 •… 2 •…B n及A 满足Bn两两互不相贝叶斯 nA B i，且 P(A)公式 (用于 求后验P(B i /A)nP(B i )P (A/Bi),i=1 , 2, •…n o、P(B j)P(A/B j)此公式即为贝叶斯公式。
驴i), (“1, 率 o P( B i/ A), 后验概率 o 的概率规律，并作出了由果溯因”的 推断。
2,…，ni =1 2(17)伯努利第二章随机变量及其分布P k二 1 (1) P k_o ,kT2, (2) k.（ 1） 离散型随机变量的 分布X对于连续型随机变量 , F(x) = f(x)dxa4)分布 函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函 数F(x) =P(X沁)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a XEb) =F(b)—F(a)可以得到X 落入区 间(a,b ］的概率。
分布函数F(x)表示随机变量 落入区间(-X, x ］的概率。
分布函数具有如下性质:1° 2°岂 F (x)乞 1, -二：：x ：：二; F(x)是单调不减的函数，即-X2时, 有34° 5°F(X 1)二 F (X 2)；F(-：：)二 Jim F(x) = 0 , F(二)二 JimF(x)二 1 ； 即F(x)是右连续的；F(x 0HF(x), P(X = x) = F(x) _ F(x _0)。
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第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=k kk p x g X g E )())((∑∑=i j ij i px X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i jijj i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=)(1)(b x a ab x f ≤≤-=)()('x f x F =当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立第四章 正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x ex f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X n i i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni i χμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2nN X σμ)1,0(~/N nX σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t ns X μ)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi n i x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t n Y X正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率统计公式大全复习重点
概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。
这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。
本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。
一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。
概率统计公式大全(复习重点)汇总情况
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
最新概率统计公式大全
（1）
排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）
加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
试验的可能结果称为随机事件。
（5）
基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）
全概率公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）
贝叶斯公式
（用于求后验概率）
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ，且 ，
则
，i=1，2，…n。
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）
古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
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第1章随机事件及其概率
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验
A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
概率统计公式大全(复习重点)汇总
概率统计公式大全(复习重点)汇总第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但和随机事件在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事①关系：件的关系与运算如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
概率统计公式大全
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D1
O1x
图3.1
y
1
O2x
图3.2
y
d
c
Oa b x
图3.3
（9）二维正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）
离散型与连
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
1°0≤P(A)≤1，
2°P(Ω) =1
3°对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）
古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)=P =
（9）
几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
概率统计公式大全汇总
概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。
2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。
6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。
8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。
10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
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概率和统计公式大全－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。
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概率和统计公式大全1.基本概率公式-事件发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)是事件A发生的可能结果数，n(S)是总的可能结果数。
-互斥事件的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B是互斥事件。
-对立事件的概率：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的补集。
2.条件概率公式-两个事件A和B同时发生的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)，其中P(B，A)表示已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
-两个事件A和B互斥的概率：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
-两个事件A和B互相独立的概率：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
3.随机变量和概率分布- 随机变量的期望：E(X) = ∑(xi * P(X=xi))，其中xi是随机变量X的可能取值，P(X=xi)是随机变量X取值为xi的概率。
- 随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) -(E(X))^2-二项分布的概率：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，p是单次实验成功的概率。
-正态分布的概率：P(a≤X≤b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)，其中Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数，μ是正态分布的均值，σ是标准差。
4.抽样与统计推断-样本均值的期望：E(x̄)=μ，其中μ是总体均值。
- 样本方差的无偏估计：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)，其中xi是样本中的观察值，x̄是样本均值，n是样本容量。
-正态总体均值的置信区间：x̄±t*(s/√n)，其中x̄是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t是自由度为n-1的t分布的临界值。
-正态总体比例的置信区间：p±z*√(p(1-p)/n)，其中p是样本比例，n是样本容量，z是标准正态分布的临界值。
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（6）
条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
（7）
独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
如果二维随机向量 =（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机向量。
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。
（5）
八大分布
0-1分布
即B(1,p)
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
即B(n,p)
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）
全概率公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
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第一章n Pm 随机事件和概率（1）排列 组合公式n Cm m! (m n)!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n!(m n)!（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。
通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件（5）基本 事件、样本 空间和事 件（6）事件 的关系与 运算A B如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1 / 33A、B 同时发生：A B，或者 AB。
A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。
它表示 A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： i 1A Ai i 1iA B A B ， A B A B（7）概率 的公理化 定义设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足 下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A 2 ，…有 P Ai P( Ai ) i 1 i 1常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
1° 1 , 2 n ， 2° P( 1 ) P( 2 ) P( n ) 1 。
n（8）古典 概型设任一事件 A ，它是由 1 , 2 m 组成的，则有P(A)= (1 ) ( 2 ) ( m ) = P(1 ) P( 2 ) P( m )m A所包含的基本事件数 n 基本事件总数（9）几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概 型。
对任一事件 A，P( A) （10）加法 公式 （11）减法 公式L( A) 。
其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。
L ()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)2 / 33定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 （12）条件 概率 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) P ( AB) 为事件 A 发生条件下，事件 P ( A)P ( AB) 。
P ( A)（13）乘法 公式条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A) P( B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有P( A1 A2 … An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有P( B | A) （14）独立 性P( AB) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A)若事件 A 、B 相互独立， 则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B 2,, Bn 满足 1° B1, B 2,, Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2,, n) ，（15）全概 公式2° 则有A Bii 1n，P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2) P( Bn) P( A | Bn) 。
设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，…， Bn 两两互不相容， P( Bi) >0， i 1，2，…， n ， 2° 则 （16）贝叶 斯公式nA Bii 1， P( A) 0 ，P( Bi / A) P( Bi ) P( A / Bi ) P( B ) P( A / B )j 1 j jn，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
（ i 1 ， 2 ，…， n ） ，通常叫先验概率。
P( Bi / A) ， （ i 1 ， 2 ，…， P( Bi ) ， n） ，通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由 果朔因”的推断。
3 / 33（17）伯努 利概型我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否 是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率， 则 A 发生的概率为 1 p q ， 用 Pn(k ) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 k n) 次的概率，Pn (k ) C n p k q n kk， k 0,1,2,, n 。
第二章（1）离散 型随机变 量的分布 律随机变量及其分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率， 即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形 式给出：X x1, x 2,, xk , | P( X xk ) p1, p 2,, pk , 。
显然分布律应满足下列条件： （1） pk 0 ， k 1,2, ， （2） k 1 （2）连续 型随机变 量的分布 密度pk1。
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f ( x) ，对任意实数 x ，有F ( x) f ( x)dxx，则称 X 为连续型随机变量。
f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。
密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°f ( x) 0 。
f ( x)dx 1。
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系P( X x) P( x X x dx) f ( x)dx积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 33（4）分布 函数设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数F ( x ) P( X x )称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F (b) F (a)可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。
分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°0 F ( x) 1, x ；F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x2) ；F ( ) lim F ( x) 0 ，x F ( ) lim F ( x) 1 ；x F ( x 0) F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P( X x) F ( x) F ( x 0) 。