六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)

第一讲:分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．

知识点拨一、裂项综合

（一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b

⨯a b <1111(a b b a a b

=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1） （2）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3

n n n =

-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：

纯循环小数混循环小数

分子循环节中的数字所组成的数

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字

所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧

； ； ； ，……·0.9a a =··0.99ab ab =··10.09910990

ab ab ab =⨯=··0.990abc a abc -=2、单位分数的拆分：

例：=====110112020+()()11+()()11+()()11+()()

11+分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

=11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++11A B

+本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：

11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015

+==+=++++本题具体的解有：

1111111111011110126014351530

=+=+=+=+例题精讲

模块一、分数裂项

【例 1】 11111123423453456678978910

+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】333 (1234234517181920)

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】计算： ．57191232348910

+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差

数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2n n 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以

23n +，再将每一项的与()()()()()()

2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+()()

212n n +⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．()()

312n n n ⨯+⨯+

【巩固】计算： 5717191155234345891091011

⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【巩固】计算： 3451212452356346710111314

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 3】12349223234234523410

+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 111111212312100

++++++++++ 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，

通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，112(11)11122

==+⨯⨯，……， 112(12)21223

2

==+⨯+⨯【例 5】 . 22222211111131517191111131

+++++=------