求函数解析式的方法

求函数的解析式的方法

求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.

一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。

例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.

令t=3x+1， x=

31-t 3

54)(3314)(-=⇒+-⨯=⇒t t f t t f 练习1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式。

例题2．已知221)1(x

x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .

三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数

例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,

求)(x f 与)(x g .

解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c)

练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.

四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式

例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

x x

f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，x

x f x f 14)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 练习4．若x x

x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . 五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)

例题5设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表

达式.

由x>0时，x e x e x f +⋅=2)(，则x x e ex e x e x f --+=+-⋅=-22)()(

由f(x)为偶函数，得f(x)=f(-x). 当x<0时，x e ex x f -+=2)(

故： f(x)=⎪⎩

⎪⎨⎧<+>+-0,0,22x e ex x e ex x x

练习6．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时,

x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.

六．归纳递推法：利用已知的递推公式，写出若干几项，利用数列的思想从中找出规律，得到f(x)的解析式。（通项公式）

例题6．设)(x f 是定义在*N 上的函数,且2)1(=f ,2

1)()1(+=

+x f x f ，求)(x f 的解析式. 解：1

121221)1()(```````````16

1721)4()5(8

921)3()4(4

521)2()3(2

321)1()2(2)1(--+=+-==+==+==+==+==x x x f x f f f f f f f f f f 显然，

有时证明需要用数学归纳发去证明结论。

练习5．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ， 求值)

2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++Λ. 题7．设1

1)(+-=x x x f ,记{})]([)(x f f f x f n Λ=,求)(2004x f . 七．相关点法：一般的，设出两个点，一点已知，一点未知，根据已知找到两点之间的联系，把已知点用未知点表示，最后代入已知点的解析式整理出即可。（轨迹法）

例题7：已知函数y=f(x)的图像与y=x 2+x 的图像关于点（-2，3）对称，求f(x)的解析式。

解：设（x,y ）为f(x)上与y=x 2+x 关于（-2，3）的对称点，（a,b ）为y=x 2+x 上的点

故，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+32

22b y a x ，⎩⎨⎧-=--=⇒y b x a 64，代入y=x 2+x ，得 练习8．已知函数12)(+=x x f ,当点P(x,y)在y=)(x f 的图象上运动时,点Q(3

,2x y -)在y=g(x)的图象上,求函数g(x).

八．特殊值法：一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得 出关于x 的解析式。 例题8：函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。

解;令x=1,y=0代入得，

f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1,整理得f(0)=-2

故，令y=0,得

f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x

所以： 2)(2-+=x x x f

九．图像法：观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。注意定义域的变化。

例题9（安徽07）．

图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ） Ａ．312

y x =- (02)x ≤≤

Ｂ．33122

y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．312

y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤ 总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域，这是容易遗漏和疏忽的地方。

第7题图