工科数学分析课件 Chap4第1节导数的定义
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导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
第一节 导数的概念及其几何意义PPT课件
解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
《数学导数概念》课件
《数学导数概念》PPT课 件
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、 计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和 最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数 的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的 应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、 计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和 最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数 的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的 应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
导数的概念及其几何意义课件
经济决策
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用
弹性分析：通 过导数计算需 求弹性、供给 弹性等，分析 市场供需关系
动态分析：通 过导数计算动 态均衡、动态 优化等，分析 经济动态变化
经济增长模型： 通过导数建立 经济增长模型， 分析经济增长
规理论：导数在控制系统 中用于计算控制参数，实现 精确控制
优化设计：通过导数计算， 找到最优解，提高工程效率
导数的几何意义
导数与切线斜率的关系
导数是函数在某一点的切线斜率 导数等于函数在该点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率的极限
导数与函数图像的变化趋势
导数是函数在某一点的斜率 导数的正负决定了函数图像的变化趋势 导数为正，函数图像上升 导数为负，函数图像下降 导数为零，函数图像在该点处可能存在拐点
导数与极值点的关系
导数是函数在某一点的斜率
导数为0的点可能是极值点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值点是函数在某一点处的最大 值或最小值
导数为正或负的点可能是极值点
导数与函数增减性的关系
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数大于0，函数在该点递增
导数小于0，函数在该点递减
导数等于0，函数在该点可能存 在极值
导数的概念及其几何意义
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 导数的概念 3 导数的几何意义 4 导数的应用
单击此处添加章节标题
导数的概念
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的应用
导数的概念ppt课件
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( x0 x) f ( x0 );比值 Fra bibliotek 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的
,即
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处
, 记 为y x x0
由定义求导数（三步法）
步骤:
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
即
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数 在x 2处的切线方程.
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
导数的概念 课件
A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s钟运动42 m C．物体开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过一秒， 物体运动的路程为42 m
由导数的定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格 按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
解析：
f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝
lim
Δx→0
1＋ΔΔxx2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
同理可得f′(3)＝6.
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移
为Δs，那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义：
一般地，lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
，我们称它为函数y＝
f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
C．当时间为Δt 时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导，则
lim
Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝(
C
)
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42(m/s)， 其实际意义是( D )
由导数的定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格 按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
解析：
f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝
lim
Δx→0
1＋ΔΔxx2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
同理可得f′(3)＝6.
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移
为Δs，那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义：
一般地，lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
，我们称它为函数y＝
f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
C．当时间为Δt 时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导，则
lim
Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝(
C
)
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42(m/s)， 其实际意义是( D )
工科数学分析课件
1
,
－1/π
0
1/π
x
在x = 0处不可导. 处不可导
4. 若f ′( x0 ) = ∞ , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x ≠ 0 例8 讨论函数 f ( x ) = , x 0, x=0 在x = 0处的连续性与可导性 .
设函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y lim = f ′( x 0 ) ∆x → 0 ∆ x ∆y = f ′( x 0 ) + α ∆x
∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + α ∆ x
α → 0 ( ∆x → 0 )
∆x → 0 ∆x → 0
lim ∆y = lim [ f ′( x 0 )∆x + α∆x ] = 0
MN → 0, ∠NMT → 0.
y = f (x)
N T
C M
o
α
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ϕ = 割线 , = x − x0 x − x0 N 沿曲线C → M , x → x 0 , f ( x ) − f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
例1 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 .
f ( x + h) − f ( x ) C −C 解 f ′( x ) = lim = 0. = lim h→ 0 h→ 0 h h
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-4.1 导数
工科数学分析教程（上）
§4定义 导数的几何意义 单侧导数与无穷大导数 本节小结
§4.1 导数
引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v s(t) s(t0) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v(t0
)
lim
t t0
s(t
) t
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即 y xx0 f (x0 )
说明：（1）定义式变形 f (x0 )
§4.1 导数 导数的定义
说明：（2）瞬时速度 切线斜率
故： 表示曲线y=f(x)在点
切线的斜率！
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
问f(x)在x=0点是否可导？
§4.1 导数 导数的定义
授课内容
两个引例 导数的定义 导数的几何意义 单侧导数与无穷大导数 本节小结
§4.1 导数 导数的几何意义
由引例2可知：f (x0 ) 表示曲线 y f (x)在点(x0, f (x0 ))
本节小结
y f (x)
N
CM
T
割线 M N 的斜率 kMN
o
f (x) f (x0 ) x x0
切线 MT 的斜率
kMT
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
x0 x x
M x0, f (x0) N x, f (x)
§4.1 导数
引例 瞬时速度
切线斜率
s(t0 )
§4定义 导数的几何意义 单侧导数与无穷大导数 本节小结
§4.1 导数
引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v s(t) s(t0) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v(t0
)
lim
t t0
s(t
) t
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即 y xx0 f (x0 )
说明：（1）定义式变形 f (x0 )
§4.1 导数 导数的定义
说明：（2）瞬时速度 切线斜率
故： 表示曲线y=f(x)在点
切线的斜率！
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
§4.1 导数 导数的定义
问f(x)在x=0点是否可导？
§4.1 导数 导数的定义
授课内容
两个引例 导数的定义 导数的几何意义 单侧导数与无穷大导数 本节小结
§4.1 导数 导数的几何意义
由引例2可知：f (x0 ) 表示曲线 y f (x)在点(x0, f (x0 ))
本节小结
y f (x)
N
CM
T
割线 M N 的斜率 kMN
o
f (x) f (x0 ) x x0
切线 MT 的斜率
kMT
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
x0 x x
M x0, f (x0) N x, f (x)
§4.1 导数
引例 瞬时速度
切线斜率
s(t0 )
导数的概念ppt课件
并把A
叫做函数 y f (x)在点x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
即
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x) xx0 ．．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数 在x 2处的切线方程.
几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数． (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f(x) ＝x2；
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
解: y x x x,
导数的概念PPT教学课件
坦因两次掠走遗书、文
物一万多件。
•1908年法国人伯希和从
藏经洞中拣选文书中的
精品，掠走约5000件。
•1910年藏经洞中的劫余
写经，大部分运至北京， 交京师图书馆收藏。
斯坦因和王圆箓像
•1911年日本人橘瑞超和吉川小一郎从王道士处，弄走
约600件经卷。
•1914年俄国人奥尔登堡又从敦煌拿走一批经卷写本，
作业布置
• 一、作业：想一想 议一议 • 二、预学指导：第10课 辽、西
夏和北宋并立
检查预习
• 1、宋辽，宋夏和议共同点是（ ） A辽夏向宋称臣 B北宋割地求和 C北宋送给 辽夏“岁币”D互相禁止边境贸易 2、辽夏吸取南下劫掠遭抵抗的教训，进而 推行（ ） A扩军备战 B用严酷刑罚镇压 C破坏被占领 地区经济 D“以汉制待汉人”
x在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量: y= x+x x
算比值, y x x x
1
x
x
x x x
取极限,
y
1
1
lim lim
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
学生展示，教师明确
学习指导（二）
“观者如山”的乐舞 请同学们自由朗读本目内容，先自主
思考以下问题，再与同位之间交流一下。 3分钟后看谁完成的最好。
《秦王破阵乐》的作者是唐朝皇帝 A.唐太宗 B.武则天 C.唐玄宗 D.唐中宗
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x
lim x sin 1 0
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
但在x 0处有
y
(0
x)sin 1 0 x
0 sin
1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
常用函数的导数
导数计算
h0
2h
即 (sin x) cos x. 2
类似
(cos x) sin x.
15
例5 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nxn1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
即 (a x ) a x ln a. (e x ) e x .
导数的计算
例7 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
h0
log a
(1 h
h) x
1 x
1.x x ln a
即
(log a
x)
1. x ln a
例3 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C 0. h0 h
即 (C) 0.
例4 f ( xsin x) lim sin( x h) sin x
h0
hh
lim cos( x h) sin 2 cos x.
第四章 函数的导数
问题的引入
§1 导数的定义
切线的斜率
t y
P(a, f (a)) h
问题的引出
Q(a h, f (a h)) f (a h) f (a)
O
a
ah
x
切线斜率 k tan lim f (a h) f (a)
h0
h
瞬时速度
问题的引出
t a 时的位置
t ah 时的位置
可导与连续的关系
导数与连续的关系
定理1.2 若f ( x)在点 x0处可导，则 f ( x)在点 x0处连续.
证明
设函数
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
y x
f ( x0 ),
y x
f ( x0 ) ,
0
(x 0)
y f ( x0 )x x,
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
单侧导数的数学定义
例1 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
h h0
y y x
o
x
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
(ln x) 1 . x
总结
小结
1. 导数的定义
2. f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
3. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 4. 求导数最基本的方法:由定义求导数
作业
习题4.1 1, 3, 5, 7, 10, 12, 13, 15
可导的条件
定理1.1
f ( x)在x0可导
f
(
x0
)
f
(
x0
).
定义1.3 若f (x)在(a,b)的每一点可导，则称 f 在(a,b)上可导.
若
f
在(a,
b)上可导,
且f
(a
)，f
(b)都存在,
则称
f 在[a,b]上可导.
由f ( x)在每一个可导点的导数值，得到导函数 f '( x),简称函数f ( x)的导数.
并称y f ( x)在点 x0处可导.
其它等价形式
导数的数学定义
f ( x0 )
lim
h0
f ( x0
h) h
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
单侧导数
单侧导数的数学定义
定义1.2（左右导数）函数f ( x)在U( x0; )内有定义,
导数的数学定义
导数的定义
定义1.1设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 如果极限
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x 0
x
存在,
则称该极限为f ( x)在点 x0处的导数.
记为
f '( x0 )或
y
x
x0
，或
df ( x) dx
|x
x0
.
x]
0
函数f ( x)在点x0连续.
注意: 该定理的逆定理不成立
导数与连续的关系
连续函数不存在导数举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
x 0 连续但是不可导.
y
y x2
yx
0
x
例2
讨论函数
f (x)
x
sin
1, x
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 ,
若对x 0,极限 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，
x0
x
则称其为
f 在x0处的右导数，记为
f
(
x0
)或者f
( x0 +);
若对x 0,极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，
x0
x
则称其为
f
在x0处的左导数，记为f
(
x0
)或者f
( x0 ).
单侧导数的数学定义
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
导数的计算
例6 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
O
s
f (ah) f (a)
f (a) f (ah)
瞬时速度 v lim f (a h) f (a)
h0
h
问题的引出
物理学家研究 功关于时间的变化率,称为功率
化学家研究 反应物的浓度对时间的变化率,称为反应速度
生物学家研究 细菌群落的种群数量关于时间的变化率.
变化率的计算在自然科学和工程中,甚至在社会科 学中都是非常重要的.
lim x sin 1 0
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
但在x 0处有
y
(0
x)sin 1 0 x
0 sin
1
x
x
x
当x 0时, y 在 1和1之间振荡而极限不存在 . x
f ( x)在x 0处不可导.
常用函数的导数
导数计算
h0
2h
即 (sin x) cos x. 2
类似
(cos x) sin x.
15
例5 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nxn1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
即 (a x ) a x ln a. (e x ) e x .
导数的计算
例7 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
h0
log a
(1 h
h) x
1 x
1.x x ln a
即
(log a
x)
1. x ln a
例3 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C 0. h0 h
即 (C) 0.
例4 f ( xsin x) lim sin( x h) sin x
h0
hh
lim cos( x h) sin 2 cos x.
第四章 函数的导数
问题的引入
§1 导数的定义
切线的斜率
t y
P(a, f (a)) h
问题的引出
Q(a h, f (a h)) f (a h) f (a)
O
a
ah
x
切线斜率 k tan lim f (a h) f (a)
h0
h
瞬时速度
问题的引出
t a 时的位置
t ah 时的位置
可导与连续的关系
导数与连续的关系
定理1.2 若f ( x)在点 x0处可导，则 f ( x)在点 x0处连续.
证明
设函数
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
y x
f ( x0 ),
y x
f ( x0 ) ,
0
(x 0)
y f ( x0 )x x,
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
单侧导数的数学定义
例1 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
h h0
y y x
o
x
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
(ln x) 1 . x
总结
小结
1. 导数的定义
2. f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
3. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 4. 求导数最基本的方法:由定义求导数
作业
习题4.1 1, 3, 5, 7, 10, 12, 13, 15
可导的条件
定理1.1
f ( x)在x0可导
f
(
x0
)
f
(
x0
).
定义1.3 若f (x)在(a,b)的每一点可导，则称 f 在(a,b)上可导.
若
f
在(a,
b)上可导,
且f
(a
)，f
(b)都存在,
则称
f 在[a,b]上可导.
由f ( x)在每一个可导点的导数值，得到导函数 f '( x),简称函数f ( x)的导数.
并称y f ( x)在点 x0处可导.
其它等价形式
导数的数学定义
f ( x0 )
lim
h0
f ( x0
h) h
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
单侧导数
单侧导数的数学定义
定义1.2（左右导数）函数f ( x)在U( x0; )内有定义,
导数的数学定义
导数的定义
定义1.1设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 如果极限
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x 0
x
存在,
则称该极限为f ( x)在点 x0处的导数.
记为
f '( x0 )或
y
x
x0
，或
df ( x) dx
|x
x0
.
x]
0
函数f ( x)在点x0连续.
注意: 该定理的逆定理不成立
导数与连续的关系
连续函数不存在导数举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
x 0 连续但是不可导.
y
y x2
yx
0
x
例2
讨论函数
f (x)
x
sin
1, x
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 ,
若对x 0,极限 lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，
x0
x
则称其为
f 在x0处的右导数，记为
f
(
x0
)或者f
( x0 +);
若对x 0,极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，
x0
x
则称其为
f
在x0处的左导数，记为f
(
x0
)或者f
( x0 ).
单侧导数的数学定义
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
导数的计算
例6 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
O
s
f (ah) f (a)
f (a) f (ah)
瞬时速度 v lim f (a h) f (a)
h0
h
问题的引出
物理学家研究 功关于时间的变化率,称为功率
化学家研究 反应物的浓度对时间的变化率,称为反应速度
生物学家研究 细菌群落的种群数量关于时间的变化率.
变化率的计算在自然科学和工程中,甚至在社会科 学中都是非常重要的.