浙江省高考数学模拟考试卷

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浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)

一、单选题二、多选题1. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（）A ．0.08B ．0.14C ．0.24D ．0.562. 下列结论正确的是（）A ．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列B ．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C ．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要条件D ．满足的数列为等比数列3. 已知i 为虚数单位，复数z 满足，则复数z 在复平面上的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知各项为正的等比数列的公比为q ，前n 项的积为，且，若，数列的前n 项的和为，则当取得最大值时，n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．95.在等比数列中，，则（）A．B．C ．16D ．86. 已知某种药物在病人体内的含量在1200mg 以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg ，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过（）小时后须再次向病人体内补充这种药物．（已知，，结果精确到0.1h ）A ．1.8B ．1.9C ．2.1D ．2.27.已知集合，则（）A ．0或1B．C．D．或8. 抛掷一枚骰子，则向上的点数是偶数的概率是（）A．B．C．D．9. 如图所示，在棱长为的正方体中，过对角线的一个平面交棱于点，交棱于点，得四边形，在以下结论中，正确的是（）A ．四边形有可能是梯形B ．四边形在底面内的投影一定是正方形C．四边形有可能垂直于平面D ．四边形面积的最小值为浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)三、填空题四、解答题10.若，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．11.已知函数的图象关于点对称，且其图象与直线的交点中有两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则的值可能为（）A．B．C．D．12.已知椭圆的左，右焦点分别为，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（）A ．的最大值为B ．为定值C ．C 的焦距是短轴长的2倍D ．存在点A，使得13.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为_________．14.在中，内角所对的边分别为a ，b ，c，若，则的最小值为________．15. 已知正实数a ，b 满足，则的最小值为___________．16. 已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．（1）求椭圆的方程；（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．17. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．18. 如图，在三棱锥中，，在底面上的射影为，，于．（1）求证：平面平面；（2）若，，，求直线与平面所成的角的正弦值．19. 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为2，点D 是A 1B 的中点，点E 是B 1C 1的中点．（1）证明：DE ∥平面ACC 1A 1；（2）若三棱锥E －DBC 的体积为，求该正三棱柱的底面边长．20. 第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行，射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为. 求该运动员在5次射击中．（1）恰有3次射击成绩为10环的概率；（2）至少有3次射击成绩为10环的概率；（3）记“射击成绩为10环的次数”为，求.（结果用分数表示）21. 人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从(1=1024)级别跃升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49，2009年数据量为0.8，2010年增长到 1.2，2011年数据量更是高达 1.82.下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：)及相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号123456年数据量6.68.616.121.633.041.03.521.152.8517.5813.82125.35 6.73表中，.（1）根据上表数据信息判断，方程(是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据：，，回归方程中，斜率最小二乘法公式为，.。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A．27πB．C．D．16π第(2)题贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度与售价元之间存在线性相关关系，回归方程为．当苗木长度为时，估计价格为（）元．102030405060元2610141618A．36.5B．35C．37D．35.5第(3)题已知函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的上一点满足，在上的投影为，则的最大值是（）A．B．C．1D．2第(5)题若全集，集合或，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知正方体的外接球的球心为，则（）A．B．C．D．第(7)题设、、满足，，，则（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，，则的面积为（）A．3B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．第(2)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（）A．B．面积的取值范围为C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为D．当时，的周长为第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，．若在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量，若，则______________.第(2)题已知集合，集合，则_____．第(3)题某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20192020202120222023年份代码12345年借阅量万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据上表，可得关于的线性回归方程为.则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，，，设函数.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设，，别为内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.第(2)题平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求的最小值．第(3)题今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：不相同相同合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？（2）计算这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取位男生和位女生逐个进行采访，最后再随机选取次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式：.附表：第(4)题如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．第(5)题杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200人，统计他们的竞赛成绩m（满分100分，已知每名参赛大学生至少得60分），制成了如下所示的频数分布表：成绩/分[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数60705020(1)规定成绩不低于85分为“优秀”，成绩低于85分为“非优秀”，这200名参赛大学生的成绩的情况统计如下表：分类优秀非优秀总计男生3070100女生2080100判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；(2)经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x与知识竞赛成绩y进行数据收集，如下表：x/时89111215y/分6763808085求变量y关于x的线性回归方程；(3)A市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m进行分类奖励，当时，奖励100元；当时，奖励200元；当时，奖励300元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的则有2次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100元现金红包的概率均为，抽中200元现金红包的概率均为，且两次抽奖结果相互独立．若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．附：（其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828线性回归方程中，，；第（2）问中，，，，．。

【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数，所以10ab −=，故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =；所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ，取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−，则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=，所以024121a a a ++=，故D 正确；故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=，为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ，所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−，设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望；（ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷附答案解析

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}3log 21A x x =+>，(){}20B x x x =-<，则()R A B ð等于（）A ．∅B ．()0,1C ．()1,2D ．[)2,+∞2．已知复数z 满足()()112i 5i z --=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(),1a m = ，(),1b m =- ，若3a b - 与b垂直，则a r 等于（）ABC ．3D ．64．已知数列{}n a 满足12a =，则“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可．．能．为（）A ．11B ．13C ．15D ．176．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=-B ．()tan 1αβ-=C ．()tan 1αβ+=-D ．()tan 1αβ+=7．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x 与y 的对应关系就是()7107110 2.71828xy e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭L ，当点P 从线段AB 靠近A 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）．A ．ln 2B ．ln 3C ．3ln2D ．4ln38．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，AB =，120AFB ∠=︒，则C 的离心率为（）ABC D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()11sin cos f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πT =B ．()f x 的图象关于()π,0对称C ．()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x ≥10．已知A ，B ，C 是一个随机试验中的三个事件，且()01P A <<，()01P B <<，下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则A 与B 不相互独立B ．若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥C ．若()()()P A B P B A P AB ⋅=，且()0P AB ≠，则A 与B 相互独立D ．若()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，则A ，B ，C 两两独立11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AD AA λμ=+，其中R λ∈，μ∈R ，则（）A ．当λμ=时，则1C P PD +B ．过点P 在平面11ADD A 内一定可以作无数条直线与CP 垂直C ．若1C P 与AD 所成的角为π4，则点P 的轨迹为双曲线D ．当1λ=，[]0,1μ∈时，正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为62⎣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 的系数为.13．已知圆1C ：222x y +=和圆2C ：()()223416x y -+-=，过圆2C 上一动点P 作圆2C 的切线，交圆1C 于A ，B 两点，当AOB （点O 为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为.（写出一条即可）14．已知函数()()2e ln xf x x x =-+，()g x ax b =+，对任意(],1a ∈-∞，存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，则满足条件的b 的最大整数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在直角坐标平面内有线段12A A ，已知点3A 是线段12A A 上靠近2A 的三等分点，点4A 是线段23A A 上靠近3A 的三等分点，……，点1n A +是线段1-n n A A （2n ≥，*n ∈N ）上靠近n A 的三等分点，设点n A 的横坐标为n a .(1)求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；(2)若11a =，25a =，求{}n a 的通项公式.16．在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AB DC ，122AD DC AB ===，=PC E 、F 分别为直线DC ，DP 上的动点.(1)若异面直线AD 与PC 所成的角为45︒，判断PB 与AD 是否具有垂直关系并说明理由；(2)若PB PA ==//EF PC ，求直线AC 与平面BEF 所成角的最大值.17．将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回．．．取球.(1)若每次取一个球，求：（ⅰ）前两次均取到红球的概率；（ⅱ）第2次取到红球的概率；(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：（ⅰ）另一个也为红球的概率；（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()1F ，)2F ，P 为动点，满足122PF PF -=.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点()3,1T -的直线l 与曲线C 交于两点M ，N ，连接AM ，AN .（ⅰ）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12122k k k k ++为定值；（ⅱ）直线AM ，AN 与直线12y x =-分别交于B ，C 两点，求BC 的最小值.19．莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用()n μ作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅），例如：260235=⨯⨯，对应3k =，12p =，23p =，35p =，12r =，21r =，31r =.现对任意*n ∈N ，定义莫比乌斯函数()()121,11,10, 1kk in n r r r r μ=⎧⎪=-==⋅⋅⋅==⎨⎪>⎩存在.(1)求()68μ，()985μ；(2)已知1n >，记1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅）的所有因数从小到大依次为1a ，2a ，…，m a .（ⅰ）证明：()()()122km a a a μμμ++⋅⋅⋅+=；（ⅱ）求()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+的值（用i P （1,2,,i k =⋅⋅⋅）表示）.1．D【分析】首先解对数不等式求出集合A ，解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由()3log 21x +>，即()33log 2log 3x +>，即23x +>，解得1x >，所以(){}{}3log 211A x x x x =+>=>，由()20x x -<，解得02x <<，所以(){}{}2002B x x x x x =-<=<<，所以(][)R ,02,B =-∞⋃+∞ð，则()[)R 2,A B =+∞ ð.故选：D 2．C【分析】由复数的除法运算可得1i z =-+，再由共轭复数可知问题的结果.【详解】由()()112i 5i z --=得：()()()5i 12i 5i 5i 1012i 12i 12i 12i 5z +--====-+--+，即1i z =-+，所以1i z =--，故复数z 在复平面内对应的点()1,1--位于第三象限.故选：C.3．B【分析】根据3a b - 与b垂直，可得()30a b b -⋅= ，即可求出m ，再根据模的坐标公式即可得解.【详解】()32,4a b m -= ，因为3a b - 与b垂直，所以()23240a b b m -⋅=-= ，解得22m =，所以a ==r .故选：B.4．B【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，则12n n a q -=，所以112224m n m m n n a q q q a --+-=⋅=⨯，12m n m n a q +-+=，当2q ¹时m n m n a a a +⋅≠，故充分性不成立；若m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ），不妨令1m =，则11n n a a a +⋅=，又12a =，所以12n n a a +=，即12n na a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，故必要性成立；故“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的必要不充分条件.故选：B 5．A【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，结合方差的公式，分析选项，即可求解.【详解】设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，则8012023801208012055w x y x y =+=+++，22280120[15(][10()]8012080120s x w y w =+-++-++22229346[15()][10()]12(1252552525x y x y x y =+-++-=+-≥，结合选项，可得A 项不符合.故选：A.6．C【分析】利用和差角公式展开，即可得到sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，再两边同除cos cos αβ，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ-++ππsin cos cos sinsin 44ααβ⎫=-⎪⎭，即sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin sin 2cos sin αβαβαβαβαβαβ-++=-，即sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，两边同除cos cos αβ可得tan 1tan tan tan ααββ+=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故选：C 7．D【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为710，然后可以根据7710110()xy e=，求出P 在中点、三等分点时的x ，则Q 点移动的距离可求，结合速度、时间可求．【详解】解：由题意，P 点初始速度710即为Q 点的速度．当P 在靠近A 点的三等分点时：77710211010()3xe⨯=，解得：7310ln 2x =，当P 在中点时：77710111010()2xe⨯=，解得：7n 102l x =，所以经过的时间为：7734[10(ln 2ln )]10ln 23-÷=．故选：D ．8．B【分析】设AF x =，结合已知条件和双曲线的定义求得BF ，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率.【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF .由双曲线的对称性可得：1AF BF =，1//AF BF ，则四边形1AFBF 是平行四边形，又因为120AFB ∠=︒，则160FAF ∠=︒，设AF x =，由双曲线的定义可得：12BF AF a x ==+，在AFB △中，由余弦定理可得：2222cos AB AF BF AF BF AFB=+-⋅⋅∠所以()()()22212222x a x x a x ⎛⎫=++-+⋅- ⎪⎝⎭，整理可得：2236240x ax a +-=，解得：2x a =或4x a =-（舍去），则12AF BF a ==，14BF AF a ==，在1AFF 中，由余弦定理可得：22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠所以()()()()()22212242242c a a a a =+-⋅⋅⋅，整理可得：223c a =，所以==ce a.故选：B.9．BCD【分析】由()()πf x f x +≠，可判定A 不正确；由()()πf x f x +=-，可判定B 正确；设sin cos t x x =+，得到()221tf x t =-，利用导数求得函数()f x 的单调性和最值，可判定C 正确、D 正确.【详解】对于A 中，由()()1111πsin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=--≠++，所以A 不正确；对于B 中，由()()1111π()sin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=-+=-++，可得函数()f x 关于()π,0对称，所以B 正确；对于C 中，设sin cos t x x =+，可得21sin cos 2t x x -=，则()()211sin cos 2sin cos sin cos 1x x t f x g t x x x x t +=+===-，当π(,0)2x ∈-时，可得πππ(,444x +∈-，则πsin cos (1,1)4t x x x =+=+∈-，又由()()()()()()222222222212222220111t t tt t g t ttt --⋅-+--===<---'，所以函数()g t 在()1,1-上单调递减，又π4t x =+在π(,0)2x ∈-上为单调递增函数，所以由复合函数单调性，可得函数()f x 在π(,0)2x ∈-上为单调递减函数，所以C 正确；对于D 中，当π(0,)2x ∈时，可得ππ3π(,444x +∈，则(π1,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又由()0g t '<，()g t在(为递减函数，当πππ(,)442x +∈时，即π(0,)4x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；当ππ3π(,424x +∈时，即ππ(,)42x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性，可得函数()f x 在π(0,4x ∈单调递减，在ππ(,)42x ∈上单调递增，所以()π()4f x f ≥=，所以D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，若A 与B 互斥，则A 与B 不能同时发生，即()0P AB =，因为A B ⋂表示A 与B 都不发生，则A B ⋂的对立事件为A 与B 至少有一个发生，所以()()1P A B P A B ⋂=-⋂，而()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B ⋃=+-=+，所以()()()1P A B P A P B ⋂=--，因为()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤⋅=--⎣⎦⎣⎦()()()()1P A P B P A P B =---⋅所以()()()P A B P A P B ⋂≠⋅，由此可知，A 与B 不相互独立，故A 正确；对于B ，若A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，因为()01P A <<，()01P B <<，所以()()01P A P B <⋅<，则()0P AB ≠，所以A 与B 不互斥，故B 正确；对于C ，若()()()P A B P B A P AB ⋅=，因为()()()()()()()P AB P AB P A B P B A P AB P B P A ⋅=⋅=，因为()0P AB ≠，则有()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，抛掷一枚质地均均的骰子，事件A 表示出现点数为1,3,4，事件B 表示出现点数1,5,6，事件C 表示出现点数1,2,3,5，事件ABC 表示出现点数为1,()16P ABC =，()()()33416666P A P B P C ⋅⋅=⨯⨯=，满足()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，事件AB 表示出现点数为1,()16P AB =，但()()()13316664P AB P A P B =≠⋅=⨯=则A ，B 不相互独立，故D 错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对A ，将平面1AD D 展开到与11D ABC 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当P 在1D 时，过P 点只能作一条直线与CP 垂直，可判断；对CD ，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P 坐标，利用向量的坐标运算即可判断.【详解】对于A ，当λμ=时，()11AP AD AA AD λλ=+= ，所以点P 在线段1AD 上，如图，将三角形1AD D 与矩形11D ABC 沿1CD 展成平面图形如下所示，则线段1DC 即为1C P PD +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos24C D C D DD C D DD =+-⋅⋅=+所以1C D =，即1C P PD +，故A正确；对于B ，当P 在1D 时，过点P 在平面11ADD A 内只可以作一条直线与CP 垂直，故B 错误；对于C ，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,0,)D C A B P x z ，得1(,1,1),(1,0,0)C P x z AD =--=-，11πcos 4C P AD C P AD⋅∴==⋅整理得22(1)1x z --=，为双曲线方程，故C 正确．对于D ，当1λ=时，11AP AD AA DP AA μμ=+⇒=，故点P 在线段1DD 上运动,正方体经过点A 、P 、1C 的截面为平行四边形1A P C H ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，()0,0,P μ，所以()10,1,1PC μ=- ，()11,1,1AC =- ，112PC AC μ⋅=-，1PC =，1A C = ，所以点P 到直线1AC的距离为d =，于是当12μ=时min22d =，1PAC的面积取最小值，此时截面面积为2=；当0μ=或1时max 63d =1PAC3=所以正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为2⎣，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.12．280【分析】先由二项式系数和为128，求出n ，再求出72x ⎛⎝展开式的通项，令3712r -=，即可得出答案.【详解】2nx ⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为2128n=，解得：7n =，所以72x ⎛⎝展开式的通项为：()()37772177C 2C 21rr r r r r r r T x x---+⎛==⋅- ⎝，令3712r -=，解得：4r =，所以展开式中x 的系数为：()4437C 21358280⋅-=⨯=.故答案为：280.13．=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-（写出一条即可）【分析】由圆的弦长公式求出AB =1d =，然后由圆心到直线AB 的距离分别等于半径列方程组，解出即可.【详解】设圆1C 的圆心()10,0C，半径1r 2C 的圆心()23,4C ，半径24r =；设O 到直线AB 的距离为d，则AB =0d <，则12AOB S AB d =⋅=== 所以当1d =时，AOB 的面积最大，当直线AB 的斜率不存在时，=1x -满足题意，当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，则由题意可得14⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①化简可得344k m m +-=，即334k m -=或354k m +=，代入①可解得3454k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7242524k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以满足条件的切线方程为=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-，故答案为：=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-.（写出一条即可）14．4-【分析】依题意存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，参变分离可得()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln x F x x x x =-+-，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，求出()max F x ，则()max b F x ≤，即可求出b 的最大整数.【详解】依题意对任意(],1a ∈-∞，且0x >有()g x ax b x b =+≤+，因为存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，所以存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，即()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln xF x x x x =-+-，()0,1x ∈，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭，令()1e xm x x=-，()0,1x ∈，则()m x 在()0,1上单调递增，且()1e 10m =->，121e 202m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()0001e 0x m x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时()0F x '>，当01x x <<时()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()0000000m 0ax 00212e ln 212xF x x x x x x x x x F x ⎛⎫-=-+-=-=-=+ ⎪⎝⎭，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0012,3x x +∈，所以()()()0max 001124,3F x x F x x ⎛⎫=-+∈-⎪⎭=- ⎝，依题意()max b F x ≤，又b 为整数，所以4b ≤-，所以b 的最大值为4-.故答案为：4-【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在()0,1x ∈使得()2e ln xx x x b -+≥+，即()2e ln x x x x b -+-≥.15．(1)证明见解析(2)2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得2122n n n n a a a a +++-=-进而证得21113n n n n a a a a +++-=--，即可证得数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）根据题意，求得214a a -=，求得21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合累加法，得到2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求得数列的通项公式.【详解】（1）解：由题意得2122n nn n a a a a +++-=-所以2132n n n a a a ++=+，可得21133n n n n a a a a +++-=-，又由210a a -≠，所以21113n n n n a a a a +++-=--所以数列{}1n n a a +-是首项为21a a -，公比为13-的等比数列.（2）解：因为11a =，25a =，所以214a a -=，因为数列{}1n n a a +-是公比为13-的等比数列，所以2n ≥时，21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由累加法可得2n ≥时，21114133n n a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111113433·1313n n --⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭+，即当2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，经检验，11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.16．(1)答案见解析，理由见解析(2)60︒【分析】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG ，即可说明//CG AD ，则PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，分45PCG ∠=︒和135PCG ∠=︒两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以G 为坐标原点建立空间直角坐标系，设(),2,0E t ，求出平面BEF 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出线面角的最大值.【详解】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG，因为//AB DC ，122AD DC AB ===，所以AG DC =且//AG DC ，所以四边形AGCD 为平行四边形，所以//CG AD ，所以PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，①当45PCG ∠=︒时，在PCG中，=PC 2CG =，由余弦定理可知2PG ==，所以222CG PG PC +=，所以CG PG ⊥，所以AD PG ⊥，又AD AB ⊥，AB PG G = ，AB ，PG ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.②当135PCG ∠=︒，假设AD PB ⊥，则由①有AD ⊥平面PAB ，因为PG ⊂平面PAB ，所以AD PG ⊥，CG PG ⊥，这与135PCG ∠=︒相矛盾，故此时AD 与PB 不垂直.综上所述，当45PCG ∠=︒时，AD PB ⊥；当135PCG ∠=︒时，AD 与PB 不垂直.（2）由PB PA ==G 是AB 中点，可得PG AB ⊥，从而由122GB AB ==可得2PG =，又2,GC AD PC ===所以2228GC GP PC +==，即PG GC ⊥，因为AD AB ⊥，由（1）有//GC AD ，所以GB GC ⊥，所以,,GB GC GP 两两互相垂直，故可以G 为坐标原点，GB ，GC ，GP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.故()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()2,2,0AC =.因为//EF PC ，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0,0,n BE n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 设(),2,0E t ，则()2,2,0BE t =- ，又()0,2,2PC =- ，所以有()220220t x y y z ⎧-+=⎨-=⎩令2x =，则2y z t ==-，故平面BEF 的一个法向量为()2,2,2n t t =--，设直线AC 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅==⋅===令4t s -=，则sin θ=当0s =时，sin 0θ=；当0s ≠时，sin θ（当且仅当3s =-，1t =时取“＝”）.又090θ︒≤≤︒，所以060θ︒≤≤︒.综上所述，直线AC 与平面BEF 所成角的最大值为60︒.17．(1)（ⅰ）110；（ⅱ）25(2)（ⅰ）17；（ⅱ）选择交换，理由见解析【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：()()()|P AB P A P B A =，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即()()()21212P A P A A P B A =+；（2）条件概率公式：()()|()P AB P B A P A =，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.【详解】（1）记事件i A （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到红球，事件i B （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到白球.（ⅰ）前两次均取到红球即为事件12A A ，()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=.（ⅱ）()()()()212121212P A P A A B A P A A P B A =+=+()()()12211132210545P A A P A B P B =+=+⨯=.（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件12B B ，()()()121213235410P B B P B P B B ==⨯=，所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率()()1212111071710P A A P P B B ===-.（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为117P =；若换：换后取到红球的概率记为2161207737P =⨯+⨯=；由于12P P <，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.18．(1)2214y x -=(2)【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=，2214y x -=变形可得()()2241810x x y -+--=，两式联立，设1y k x =-，可知1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，由根与系数的关系即可得出答案.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.【详解】（1）因为12122PF PF F F -=<，所以根据双曲线的定义可知点P 的轨迹为以1F ，2F 为焦点，实轴长为2的双曲线，由22a =，c =，得1a =，2224b c a =-=，所以C 的方程为2214y x -=.（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=（220m n +≠）因为直线过定点()3,1-，所以21m n -=.2214y x -=变形可得()224114x y ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2241810x x y -+--=所以()()()22418110x x m x ny y ⎡⎤-+--+-=⎣⎦整理得()()()22841810m x n x y y +-+--=（*）设1y k x =-，则（*）式除以()21x -得28480m nk k ++-=此时1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，所以1212884k k n k k m +=⎧⎨=--⎩，所以12122168816k k k k m n ++=--+=-，得证.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-，由()1112y k x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得1112B kx k =+；设直线AN ：()21y k x =-，同理可得2212c k x k =+；2212111122111112222B C k BC x k k k k =-==--+=++++.由1212216k k k k ++=-得121131224k k ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以214231k BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⋅，当且仅当2213124k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即212k -±=时取等号，故BC的最小值为31.【点睛】关键点点睛：设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.19．(1)()680μ=，()9851μ=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由268217=⨯，9851975=⨯，根据所给定义计算可得；（2）（ⅰ）依题意只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，再由组合数公式计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出111k k kx x p -=-，最后利用累乘法计算可得.【详解】（1）因为268217=⨯，因为2的指数21>，所以()680μ=；又9851975=⨯，易知2k =，1197p =，25p =，11r =，21r =，所以()()298511μ=-=；（2）（ⅰ）i a ()1,2,,i m =⋅⋅⋅的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，()0i a μ=，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，所以()()()()121m a a a μμμμ+++⋅⋅⋅+()()()()()()()12122311k k k p p p p p p p p p μμμμμμμ-⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()12k p p p μ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅01211211C C C C C C C C C 2k k k k kk k k k k k k k k --=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=.（ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，所以()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()222121212122311211111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.令()()()()22212122311211111111kk k k k k x p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()()2221112112232112111111111k k k k k k x p p p p p p p p p p p p ------⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2k ≥，*N k ∈），所以()()()()()()22233311211223211211111111(1)kk k k k k k k k k k k k kx p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ----⎡⎤⎡⎤---------⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以111k k k k x x x p ---⋅+=，111k k kx x p -=-.因为1111x p =-，所以12112112111111111k k k k k k k x x x x x x x x p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二：()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()2221212121223112111111111kk k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()22212122311211111111kk k k k p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由展开式原理可知，12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式即为上式所求.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题干所给定义，得到1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数.。

浙江省高考模拟试卷数学(有答案)

绝密★考试结束前高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式24S R =π11221()3V S S S S h =++球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343VR =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（原创）已知U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x A ，集合{}1|>=y y B ，则A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B.(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,231,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23, （命题意图：考查集合的含义及运算，属容易题） 2.（原创）已知i 是虚数单位，若iiz 213-+=，则z 的共轭复数z 等于 A.371i - B.371i + C.571i - D.571i +（命题意图：共轭复数的概念，属容易题）3.（原创）若双曲线122=-y mx 的焦距为4，则其渐近线方程为 A. x y 33±= B. x y 3±= C. x y 55±= D.x y 5±= （命题意图：考查双曲线性质，属容易题）4.（原创）已知α，β是两个相交平面，其中α⊂l ，则 A.β内一定能找到与l 平行的直线 B.β内一定能找到与l 垂直的直线C.若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行D.若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直（命题意图：直线与平面间垂直、平行的概念，属容易题）5.（原创）等差数列}{n a 的公差为d ，01≠a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则“0=d ”是“∈nnS S 2Z ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（命题意图：充分必要条件的判定，属容易题） 6.（原创）随机变量的分布列如下：其中a ,b ,c 成等差数列，若()9=ζE ,则()ζD = A.811 B.92 C. 98 D.8180 （命题意图：考查离散型随机变量的分布、数学期望和方差，属中档题） 7.（原创）若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为 A.51 B. 45C. 1D. 4 （命题意图：考查不等式和函数性质，属中档题）8.（原创）从集合{}F E D C B A ,,,,,和{}9,8,7,6,5,4,3,2,1中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）。

浙江省高考数学模拟试卷(含答案)

浙江省高考数学模拟试卷（含答案）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|0≤log 3x ≤9}，C ={x|x =2n,n ∈N}，则A ∩B ∩C =( )A. {2}B. {0,2}C. {0,2，4}D. {2,4}【答案】A【解析】解：集合A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}=[0,2]， B ={x|0≤log 3x ≤9}={x|1≤x ≤2}=[1,2]， C ={x|x =2n,n ∈N}={0,2，4，…}，则A ∩B ∩C ={2}．故选：A ．化简集合A 、B 、C ，根据交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 复数z 满足(z −2i)⋅(1+i)=2(i 为虚数单位)，则复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】解：由(z −2i)⋅(1+i)=2得：z −2i =21+i =1−i ， ∴z =1+i ，z −=1−i.则z −对应的点(1,−1)在第四象限，故选：D ．先求出z ，然后求出z 的共轭复数，由此即可求解．本题考查了共轭复数的概念，考查了复数对应的点的位置，属于基础题．3. 如果点P(x,y)在平面区域{2x −y +2≥0x −2y +1≤0x +y −2≤0上，则y+1x−2的取值范围是( )A. [−2,−13]B. [−2,−32]C. [−2,13]D. [−13,2]【答案】A【解析】解：如图，先作出点P(x,y)所在的平面区域．y+1x−2表示动点P 与定点Q(2,−1)连线的斜率．联立{x −2y +1=0x +y −2=0，解得{x =1y =1．于是k QE =1+11−2=−2，k QF =0+1−1−2=−13．因此−2≤y+1x−2≤−13．故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，利用y+1x−2的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．4. 条件p ：x 2−4x −5<0是条件q ：x 2+6x +5>0的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：∵P ：由x 2−4x −5<0，解得：−1<x <5， q ：由x 2+6x +5>0，解得：x >−1或x <−5，由p ⇒q ，而q 推不出p ， ∴p 是q 的充分不必要条件，故选：A ．分别解出关于p ，q 的不等式的解集，从而判断出p ，q 的关系．本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．5. 函数f(x)=2xe x +e −x 的部分图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=−2xe−x+e x=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项B和C，当x→+∞时，e x比x增长的快，∴f(x)→0，排除选项D，故选：A．先判断函数的奇偶性，再考虑x→+∞时，f(x)的取值情况，即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=√3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A−BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A−BCD中AC长为()A. 32B. √3 C. √102D. 2【答案】C【解析】解：根据矩形的折叠，得到：平面ABD⊥平面BCD．如图所示：在平面ABD 中，作AE ⊥DB ，在平面BCD 中，作CF ⊥BD ，利用射影定理：AB =1，BC =√3，所以BD =2，AB 2=BE ⋅BD ，解得BE =12，同理：DF =12，所以EF =2−12−12=1，则：AE 2=BE ⋅ED =12×32=34，同理：CF 2=34所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34+34+1=104．故AC =√102．故选：C ．直接利用矩形的折叠的应用和射影定理，线面垂直的应用，勾股定理，向量的线性运算，向量的模的应用求出结果．本题考查的知识要点：射影定理，线面垂直的应用，勾股定理，向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7. 已知直线l 过第一象限的点(m,n)和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，则1m +4n 的最小值为( )A. 4B. 9C. 23D. 32【答案】D【解析】解：根据题意，直线l 过第一象限的点(m,n)和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，则n−5m−1=−1，变形可得m +n =6，则1m +4n =16×(1m +4n )(m +n)=16(5+4m n+nm )，又由点(m,n)在第一象限，即m >0，n >0，则有4m n+n m ≥2√4m n×n m =4，当且仅当n =2m 时等号成立，故1m +4n =16(5+4m n+nm )≥32，即1m +4n 的最小值为32，故选：D ．根据题意，由直线的斜率计算公式可得n−5m−1=−1，变形可得m +n =6，则有1m +4n =16×(1m +4n )(m +n)=16(5+4m n+nm )，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题．8. 设0<a <13，随机变量ξ的分布列为ξ 01 2Pa 1−3a 2a那么，当a 在(0,13)内增大时，D(ξ)的变化是( )A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】B【解析】解：由随机变量ξ的分布列，得： E(ξ)=1×(1−3a)+2×2a =1+a ， E(ξ2)=1×(1−3a)+4×2a =1+5a ，D(ξ)=E(ξ2)−E 2(ξ)=(1+5a)−(1+a)2=−(a −32)2+94，当0<a <13时，D(ξ)单调递增．故选：B ．先求出E(ξ)=1+a ，E(ξ2)=1+5a ，再求出D(ξ)=E(ξ2)−E 2(ξ)=(1+5a)−(1+a)2=−(a −32)2+94，从而得到当0<a <13时，D(ξ)单调递增．本题考查离散型随机变量的方差的变化趋势的判断，涉及到离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．9. 如图，在△ABC 中，AB =1，BC =2√2，B =π4，将△ABC 绕边AB 翻转至△ABP ，使平面ABP ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ等于()A. √52B. 3√55C. 2√55D. 2√53【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，考查利用向量法求线段长与直线所成的角，还考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，是中档题．根据题意过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB 为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与DQ 所成角的余弦值，再结合导数即可求得PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长．【解答】解：因为平面ABP⊥平面ABC，交线为AB，故过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，，在△ABC中，AB=1，BC=2√2，B=π4将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则B(2,0，0)，A(1,0，0)，O(0,0，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，设Q(x,y ，z)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,0，2)，λ∈[0,1]，即(x −1,y ，z)=(−λ，0，2λ)，∴Q(1−λ,0，2λ)，又D 是BC 的中点，故D (1,1，0)， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−1,2λ)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)， |cos <DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√5λ2+1⋅2√2=√2√(1+2λ)25λ2+1，令f(λ)=(1+2λ)25λ2+1，λ∈[0,1]，∴f′(λ)=2(1+2λ)(2−5λ)(5λ2+1)2，由f′(λ)=0，λ∈[0,1]，得λ=25，λ∈[0,25)时，f′(λ)>0，λ∈(25,1]时，f′(x)<0，∴当λ=25时，f(λ)取最大值，此时PC 与DQ 所成角取得最小值，|AQ|=25|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25√5．故选：C ．10. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1−a n >1n+1(n ∈N ∗)，则一定成立的是( )A. a 100>ln102B. a 99>ln100C. a 99<ln100D. a 100<ln99【答案】B【解析】解：∵a 1=1,a n+1−a n >1n+1(n ∈N ∗)， ∴a n −a n−1>1n ，a n−1−a n−2>1n−1，…，a 2−a 1>12，将上面的式子相加得到：a n −a 1>12+13+⋯+1n (n ≥2)，即a n >1+12+13+⋯+1n ，n ≥2，令f(x)=ln(x +1)−x(x >−1)，当x >0时，f′(x)=1x+1−1<0，故当x >0时，f(x)<f(0)=0，即ln(x +1)<x ， ∴lnn+1n=ln(1+1n )<1n ，又ln(n +1)=lnn+1n+ln n n−1+⋯+ln 21，∴a n >1+12+13+⋯+1n >ln2+ln(1+12)+ln(1+13)+⋯+ln(1+1n )=ln(n +1)，即a n >ln(n +1)，n ≥2， ∴a 99>ln100，故选：B ．根据递推关系a n+1−a n >1n+1，可知a n −a n−1>1n ，a n−1−a n−2>1n−1，…，a 2−a 1>12，累加可得a n −a 1>12+13+⋯+1n(n ≥2)，即a n >1+12+13+⋯+1n ，令f(x)=ln(x +1)−x(x >−1)，利用导数研究函数的单调性，再结合对数函数的性质进行求解．本题主要考查数列中的不等式问题、累加法的应用及不等式的放缩，有一定的难度．二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知函数f(x)=sinπx +acosπx 图象的一条对称轴为x =16，则a = ______ ，函数f(x)在区间[−16,13]上的值域为______ ．【答案】√3 [1,2]【解析】解：因为函数f(x)的对称轴为x =16，由辅助角公式可得f(x)=√1+a 2sin(πx +θ)(tanθ=a)，所以，|f(π6)|=√1+a 2，即|sin π6+acos π6|=√1+a 2，即|12+√32a|−√1+a 2，两端平方，可得a =√3．所以，f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3)．由x ∈[−16,13]，得πx +π3∈[π6,2π3]，所以sin(πx +π3)∈[12,1]，所以2sin(πx +π3)∈[1,2]，故函数f(x)在区间[−16,13]上的值域为[1,2]，故答案为：√3；[1,2]．由题意利用辅助角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12. 若(x +a)(√x −√x )4的展开式的常数项为2，则a = ______ ，所有项系数的绝对值之和是______ ．【答案】1 32【解析】解：∵(√x −√x )4 的通项公式为T r+1=C 4r⋅(−1)r ⋅x 2−r ，∴(x +a)(√x √x )4的展开式的常数项为C 43×(−1)+a ⋅C 42=2，则a =1．所有项系数的绝对值之和，即(x+a)⋅(√x+1√x)4的各项系数和，令x=1，可得为(x+a)⋅(√x+1√x)4的各项系数和(1+a)⋅24=32，故答案为：1；32．由题意利用二项展开式的通项公式，求得a的值，再通过给x赋值，可得所有项系数的绝对值之和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.已知△ABC，∠BAC=120°，BC=2√3，AD为∠BAC的角平分线，则(ⅰ)△ABC面积的取值范围为______ ．(ⅰ)AB+4ACAD的最小值为______ ．【答案】(0,√3]9【解析】解：(ⅰ)可设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−2bc⋅(−12)≥2bc+bc=3bc，即有bc≤13a2=13×12=4，当且仅当b=c=2取得等号，则S△ABC=12bcsinA=12bc⋅√32≤√34×4=√3，所以△ABC面积的取值范围为(0,√3]；(ⅰ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC，可得12bcsin120°=12c⋅AD⋅sin60°+12b⋅AD⋅sin60°，化为√32bc=√32AD(b+c)，即为AD=bcb+c，所以AB+4ACAD =c+4bAD=(b+c)(c+4b)bc=cb+4bc+5≥2√cb⋅4bc+5=9，当且仅当c=2b时，取得等号，则AB+4ACAD的最小值为9．故答案为：(ⅰ)(0,√3]，(ⅰ)9．(ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；(ⅰ)由S△ABC=S△ABD+S△DAC，结合三角形的面积公式，可得AD，再由基本不等式计算可得所求最小值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．14. 已知直线l ：mx +y −2=0与圆(x −1)2+(y −m)2=2，若m =2，直线l 与圆相交于A ，B 两点，则|AB|= ______ ，若直线l 与圆相切，则实数m = ______ ．【答案】2√3052±√3【解析】解：当m =2时，直线l ：2x +y −2=0，圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=2，圆心坐标为(1,2)，半径为√2，圆心到直线2x +y −2=0的距离d =√5=2√55，则|AB|=2(2√55)=2√305；直线l 与圆相切，则(1,m)到直线mx +y −2=0的距离d =√m 2+1=√2，整理得：m 2−4m +1=0，解得m =2±√3．故答案为：2√305；2±√3．由m =2求得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；若直线l 与圆相切，则由圆心到直线的距离等于半径列式求得m 值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．15. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，考查运算转化能力，属于较难题．由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出，注意检验取等号的条件是否成立．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b时取等号，解得a +b =4，结合ab =1，a ，b 为方程x 2−4x +1=0的两根，∴a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号， ∴12a+12b+8a+b的最小值为4，故答案为4．16. 电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有______ 种.(用数字作答) 【答案】24【解析】解：根据题意，电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则有A 44=24种不同的顺序，故答案为：24．根据题意，这个一共排列问题，由排列数公式直接计算可得答案．本题考查排列数公式的应用，注意区分排列组合的定义，属于基础题．17. △ABC 中，(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且对于t ∈R ，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为65|BC|，则∠BAC = ．【答案】π4 【解析】【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得到5b 2−5c 2=a 2，化简|BA⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，并利用二次函数求最值，求出|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最小值，且使最小值等于3625a 2，可得c 2=85a 2，进而得出b 2=95a 2，最后利用余弦定理即可得解．本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大．利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得出三角形三边的关系是解题的关键．【解答】解：设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，又(3AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2−3c 2+bccos∠BAC=2b 2−3c 2+b 2+c 2−a 22，∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2b 2−3c 2+b 2+c 2−a 22=0，∴5b 2−5c 2=a 2，又|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+t 2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗=c 2+t 2a 2−2taccosB =c 2+t 2a 2−2t ⋅a 2+c 2−b 22=a 2t 2−45a 2t +c 2=a 2(t −25)2+c 2−425a 2，∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为c 2−425a 2， ∴c 2−425a 2=3625a 2，解得c 2=85a 2， ∴b 2=95a 2，∴cos∠BAC =b 2+c 2−a 22bc=95a 2+85a 2−a 22√95a 2⋅√85a 2=√22，又0<∠BAC <2π，∴∠BAC =π4．故答案为：π4．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tanB tanA+tanB =bc ．(1)求角A ；(2)若a =7，b =5，求△ABC 的面积．【答案】解：(1)由2tanBtanA+tanB =bc 及正弦定理可知：2sinB cosB sinA cosA +sinBcosB=sinBsinC ，所以2sinBcosB ⋅cosA⋅cosB sin(A+B)=sinBsinC ，所以2cosA=1，即cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=25+c2−5c，所以c2−5c−24=0，所以c=8(c=−3舍去)，从而S△ABC=12bcsinA=12×5×8×√32=10√3．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA=12，结合A∈(0,π)，可得A的值．(2)由已知利用余弦定理可得c2−5c−24=0，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．19.在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=2DE，∠DAB=∠EBA=60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．(1)求证：平面ABED⊥平面BCFE；(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)证明：过点E作EH⊥AB于H，∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，EH⊂平面ABED，∴EH⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴EH⊥BC，又BC⊥BE，BE、EH⊂平面ABED，∴BC⊥平面ABED，∵BC ⊂平面BCFE ， ∴平面ABED ⊥平面BCFE ．(2)解：将三棱台ABC −DEF 补成三棱锥P −ABC ， ∵AB =2DE ，∠DAB =∠EBA =60°，∴D ，E ，F 分别为PA ，PB ，PC 的中点，且△PAB 为正三角形，以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，作Bz ⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则A(0,2，0)，P(0,1，√3)，C(2,0，0)，D(0,32,√32)，F(1,12,√32)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,√32)，设平面ABF 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0x +12y +√32z =0，令z =2，则x =−√3，y =0，∴n ⃗ =(−√3,0，2)，设直线DF 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3√7×√2=√4214，故直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值为√4214．【解析】(1)过点E 作EH ⊥AB 于H ，由平面ABED ⊥平面ABC ，推出EH ⊥平面ABC ，有EH ⊥BC ，再根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证；(2)将三棱台ABC −DEF 补成三棱锥P −ABC ，则D ，E ，F 分别为PA ，PB ，PC 的中点，且△PAB 为正三角形，以B 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABF 的法向量n ⃗ ，设直线DF 与平面ABF 所成角为θ，由sinθ=|cos <n ⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20. 设{a n }是等比数列，公比大于0，{b n }是等差数列，(n ∈N ∗).已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }满足c 1=c 2=1，c n ={1,3k <n <3k+1a k ,n =3k，其中k ∈N ∗． (ⅰ)求数列{b 3n (c 3n −1)}的通项公式；(ⅰ)若{nan (n+1)(n+2)}(n ∈N ∗)的前n 项和T n ，求T 3n +∑b i 3n i=1c i (n ∈N ∗)．【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，则 a 2=q ，a 3=q 2，则q 2−q −2=0，解得q =−1(舍去)，或q =2， ∴a n =2n−1，n ∈N ∗，设等差数列{b n }的公差为d ，则由a 4=b 3+b s ，可得b 1+3d =4，由a 5=b 4+2b 6，可得3b 1+13d =16，联立{b 1+3d =43b 1+13d =16，解得{b 1=1d =1，∴b n =n ，n ∈N ∗， (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)，可知c n ={1,3k <n <3k+1a k ,n =3k ={1,3k <n <3k+12k−1,n =3k，∴b 3n (c 3n −1)=b 3n (a n −1)=3n (2n−1−1)=3×6n−1−3n ， (ii)由题意，可得na n (n+1)(n+2)=n×2n−1(n+1)(n+2)=2n n+2−2n−1n+1，则T n =213−202+224−213+⋯+2n n+2−2n−1n+1=2n n+2−12，∴T 3n =23n 3n+2−12=8n3n+2−12，∵∑b i 3ni=1c i =∑[3ni=1b i (c i −1)+b i ]=∑b i 3ni=1(c i −1)+∑b i 3ni=1=∑b 3i ni=1(c 3i −1)+∑b i 3ni=1=∑(ni=13×6i−1−3i )+∑i 3ni=1=∑3ni=1×6i−1−∑3i ni=1+∑i 3ni=1=3×(1−6n )1−6−3×(1−3n )1−3+(1+3n )×3n2 =3×(6n −1)5−3×(3n −1)2+(1+3n )×3n2=6n+1+910+32n −2×3n2，∴T 3n +∑b i 3ni=1c i =8n 3n +2−12+6n+1+910+32n −2×3n2=8n 3n+2+6n+1+410+9n −2×3n2．【解析】(Ⅰ)先设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，然后根据题干列出关于q 的方程，解出q 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，再根据a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6列出首项b 1与公差d 的方程组，解出b 1与d 的值，即可得到数列{b n }的通项公式； (Ⅱ)(ⅰ)先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，然后代入计算出数列{b 3n (c 3n −1)}的通项公式；(ⅰ)先代入计算出数列{nan (n+1)(n+2)}(n ∈N ∗)的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n 的表达式，代入计算出T 3n 的表达式，计算∑b i 3n i=1c i 时将其转化为∑b i 3ni=1(c i −1)+∑b i 3ni=1，然后根据(Ⅱ)(ⅰ)的结果以及第(Ⅰ)题的结果代入进行计算，再根据等比数列的求和公式进行计算，最后即可算出T 3n +∑b i 3ni=1c i 的值．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求通项公式，求前n 项和，求和的计算．考查了转化与化归思想，方程思想，整体思想，定义法，求和的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题．21. 已知抛物线C ：2px =y 2(p >0)的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点P ．(Ⅰ)若P 的坐标为(−1,4)，求直线的斜率；(Ⅱ)若P 始终不在椭圆4x 2+y 2=1的内部(不包括边界)，求△ABP外接圆面积的最小值．【答案】解：(1)记A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB：x=my+p2，与抛物线方程联立可得方程y2−2pmy−p2=0，由韦达定理可知y1+y2=2pm，y1y2=−p2，另一方面，可求得过A的切线方程为y−y1=p y1(x−x1)，过B的切线方程y−y2=py2(x−x2)，联立解得P(−p2,pm)，结合题意解得m=2，故k AB=1m =12．(2)由(1)知两条切线的斜率之积为k1k2=p2y1y2=−1，即AP⊥BP，则△ABP的外接圆半径即为12AB=12√1+m2⋅|y1−y2|=p√m2+1，又由题意知4⋅(−p2)2+(pm)2≥1，即p2+p2m2≥1，可知p√m2+1≥1，又所以外接圆的半径最小值为1，故外接圆的最小面积为π．【解析】(1)记A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB：x=my+p2，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合切线方程，转化求解P的坐标，然后求解AB的斜率即可．(2)由(1)判断AP⊥BP，求出△ABP的外接圆半径的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，切线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.已知函数f(x)=lnx+m2．(1)若ℎ(x)=f(x)+1x⋅sinα，α∈(0,π2)，ℎ(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，求α的取值范围；(2)若g(x)=m2x，对任意x∈(1,+∞)，f(x)的图象总在g(x)图象的下方，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=lnx+m2，所以ℎ(x)=lnx+m2+1xsinα，所以ℎ′(x)=1x −1x2sinα=xsinα−1x2sinα，因为ℎ(x)在x ∈[2,+∞)上为增函数，所以xsinα−1≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立，即sinα≥1x 在x ∈[2,+∞)上恒成立，因为y =1x 在x ∈[2,+∞)上单调递减，故(1x )max =12，所以sinα≥12，又因为α∈(0,π2)，所以α∈[π6,π2)；(2)因为对任意x ∈(1,+∞)，f(x)的图象总在g(x)图象的下方，所以lnx +m 2−m 2x <0在x ∈(1,+∞)上恒成立，设M(x)=lnx +m 2−m2x ，x ∈(1,+∞)，则M′(x)=1x−m 2=2−mx 2x，①当m ≤0时，因为x ∈(1,+∞)，则M′(x)>0，故M(x)在(1,+∞)上单调递增，所以M(x)>M(1)=0，不符合题意； ②当m ≥2时，则0<2m ≤1，因为M′(x)=−m(x−2m)2x<0在x ∈(1,+∞)恒成立，所以M(x)在x ∈(1,+∞)上单调递减，则有M(x)<M(1)=0，故m ≥2符合题意； ③当0<m <2，即2m >1时，由M′(x)>0，解得1<x <2m ，由M′(x)<0，解得x >2m ，所以M(x)在(1,2m )上单调递增，在(2m ,+∞)上单调递减，所以M(2m )>M(1)=0与M(x)≤0恒成立矛盾，不符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是m ≥2．【解析】(1)利用导数的正负与函数单调性的关系将问题转为sinα≥1x 在x ∈[2,+∞)上恒成立，求出y =1x 的最值，得到sinα≥12，求解三角不等式即可； (2)将问题转化为lnx +m 2−m2x <0在x ∈(1,+∞)上恒成立，构造函数M(x)=lnx +m 2−m 2x ，x ∈(1,+∞)，分m ≤0，m ≥2，0<m <2三种情况进行研究，利用导数研究函数的单调性逐一求解即可．本题考查了利用导数研究函数的性质，主要考查了导数的正负与函数单调性关系的应用，三角不等式的求解，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想以及逻辑推理，属于较难题。

2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)

宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)(1)

一、单选题二、多选题1. 已知正数a ，b 满足，则的最小值为A ．12B ．8C．D．2. 已知平面向量，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．3. 已知球的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为( )A ．4B ．6C ．8D ．124. 函数与的图象可能是（）A．B．C．D．5. 若定义在R上的偶函数满足，则（）A．B．C．D．6. 函数的图象与y 轴的交点坐标是（）A．B．C．D．7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A ．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度B ．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度8.下列双曲线中，渐近线方程不是的是（）A．B．C．D．9. 已知函数（）的最小正周期满足，且是的一个对称中心，则（）A．B ．的值域是C ．是的一条对称轴D ．是的一个零点浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)(1)浙江省2022届高考模拟卷数学试题(一)(1)三、填空题四、解答题10.若是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．B ．是函数图象的一条对称轴C ．点是函数图象的一个对称中心D ．函数在上单调递减11. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（）A ．面B．与面所成的角为定值C ．三棱锥体积为定值D ．若平面平面，则三棱锥外接球体积为12.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（）A．B．C ．为的平分线D．的角平分线所在直线的倾斜角为13. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为＝1，双曲线C 2的方程为＝1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为________．14.已知函数是偶函数，则______.15.函数，若对任意恒有，则实数取值范围是．16. 已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)若过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.17. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）讨论的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）.18. 已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于两点，且的面积为，求直线的方程.19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.20. 在四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．21. 某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为，两块试验田（假设，两块试验田地质情况一致），10月10日在试验田播种该新品种小麦，10月20日在试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：），按照[20，30)，[30，40)，[40，50]进行分组，得到如下表格．其中千粒重不低于的小麦视为饱满，否则为不饱满．[20，30)[30，40)[40，50]试验田/份479试验田/份7103（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用样本估计总体，从试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为，求数学期望．参考公式：，其中．（）0.150.100.050.0250.0100.0012.072 2.7063.841 5.024 6.63510.828。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）．A．B．C．D．第(3)题已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）A．1B．C．2D．第(5)题已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题中医是中华传统文化的瑰宝，中医传统补气名方“四君子汤”是由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成的，补血名方“四物汤”是由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成的，这两个方子中的八味药又组合而成“八珍汤”，现从“八珍汤”的八味药中任取四味.取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A．B．C．D．第(8)题如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（）．A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于函数，下列判断正确的是（）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则第(2)题下列说法中正确的是（）A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数C．设随机变量，，则D．设M，N为两个事件，已知，，，则第(3)题定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（）A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为6C．D．和的图象所有交点横坐标之和等于8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．第(2)题在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的最大值为___________.第(3)题已知的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，____________，展开式中的项的系数为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？第(2)题二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？完全答对部分答对合计男女合计附：，其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.072 2.7063.841 6.6357.879第(3)题四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.第(4)题已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.第(5)题已知，设向量，.（1）若，求x的值；（2）若，求的值.。

浙江省杭州市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷

浙江省杭州市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球．问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为）问题B：你是否有早恋现象？已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（）（精确到0.01）A．0.08B．0.07C．0.06D．0.05第(2)题曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．(1, 0)B．(2, 8)C．(1, 0)和(-1, -4)D．(2, 8)和(-1, -4)第(3)题已知集合，，则( )A．B．C．D．第(4)题已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知，则的值构成的集合是（）A．B．C．D．第(6)题已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(7)题已知全集，集合或，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则第(2)题已知一组样本数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.关于这组样本数据，结论正确的是（）A．平均数为8B．众数为7C．极差为6D．中位数为8第(3)题已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（）A．为偶函数B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

浙江省高考模拟测试数学试题及答案

1浙江省高考模拟测试数学试题及答案选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()UA B =（）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23a =，3A π=，ABC ∆的面积为23，则b c +=（）A ．4B ．6C ．8D ．10 5．设实数,x y 满足20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩1y z x +=，则（） A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值 D ．z 无最大值，无最小值 6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（）A ．80-B ．40-C ．5D ．1027．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是（） A ．120 B ．110 C ．310 D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个 9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是（）A ．218π B ．518π C ．718π D ．1118π 10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时，（）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->非选择题部分 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷(宁波一模)(含答案)

浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷（宁波一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={−2,0,1}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∪B =A. {−2,0,1}B. {0,1,4}C. {0,1}D. {−2,0,1,4}2.复数z 满足z =5i−2，则|z|=A. 1B. 2C.5D. 53.向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a ⊥b ，则|a−3b |=A.3B.7C.10D.134.研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：小时)分成五组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是A. 7B. 7.5C. 7.8D. 85.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为A.33B.32C. 233D.36.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过上顶点A 作直线AF 2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F 1B|，则椭圆C 的离心率为A. 13B. 12C.33D.227.不等式(x 2−ax−1)(x−b)≥0对任意x >0恒成立，则a 2+b 2的最小值为A. 22−2B. 2C. 22 D. 22+28.设a ∈R ，函数f(x)={sin (2πx−2πa),x <a,|x−a−1|−3a +6,x ≥a 若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是A. (2,72]B. (2,3]C. (2,73]∪(52,72]D. (2,73]∪(52,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，则A. 数列{a n+b n}是等比数列B. 数列{a n·b n}是等比数列C. 数列{a n b n}是等比数列D. 数列{a n b n}是等比数列10.函数f(x)=e x−a ln x，则A. f(x)的图象过定点B. 当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 当a=1时，f(x)>2恒成立D. 存在a>0，使得f(x)与x轴相切11.已知曲线C：(x2+y2−1)3−7sin2x+7cos2y=6，下列说法正确的是A. 曲线C过原点OB. 曲线C关于y=x对称C. 曲线C上存在一点P，使得|OP|=1D. 若P(x,y)为曲线C上一点，则|x|+|y|<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案

2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ．甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<．（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−．三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项．第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+，故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==，又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−．注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′．（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=，故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥，故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ，记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===，由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2，仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且，因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=．（2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠．（3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+．法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷一、单选题1．集合{}2,0,1A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （）A ．{}2,0,1-B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}2,0,1,4-2．复数z 满足5i 2z =-，则z =（）A ．1B ．2CD ．53．向量a ，b 满足1a b == ，a b ⊥ ，则3a b -= （）AB C D 4．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[)10,12，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）A ．7B ．7.5C ．7.8D ．85．圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为（）A ．3B ．2C ．3D 6．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过上顶点A 作直线2AF 交椭圆于另一点B .若1AB F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C D ．27．不等式()()210x ax x b ---≥对任意0x >恒成立，则22a b +的最小值为（）A．2B ．2C．D．28．设a ∈R ，函数()()sin 2π2π,,136,.x a x a f x x a a x a ⎧-<⎪=⎨---+≥⎪⎩若()f x 在区间()0,∞+内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A ．72,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]2,3C ．7572,,322⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ D ．752,,332⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，则（）A ．数列{}n n a b +是等比数列B ．数列{}n n a b ⋅是等比数列C ．数列n na b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．数列{}n b n a 是等比数列10．函数()e ln x f x a x =-，则（）A ．()f x 的图象过定点B ．当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增C ．当1a =时，()2f x >恒成立D ．存在0a >，使得()f x 与x 轴相切11．已知曲线C ：()3222217sin 7cos 6x y x y +--+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 过原点OB ．曲线C 关于y x =对称C ．曲线C 上存在一点P ，使得1OP =D ．若(),P x y 为曲线C 上一点，则3x y +<三、填空题12．已知()3x f x =，则()3log 2f =.13．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点且3PF =，O 为坐标原点，则OPF S = .14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.四、解答题15．在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 是边长为2的等边三角形，AB =2PB =，π2ABC ∠=.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.16．已知数列{}n a 为等差数列，且满足()221n n a a n *=+∈N .(1)若11a =，求{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n b 满足215134b b -=，且数列{}n n a b ⋅的前n 项和()13428n n T n +=-×+，求数列{}n b 的通项公式.17．已知53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上一点，E的渐近线方程为2y x =±.(1)求E 的方程；(2)直线l 过点()1,1A ，且与E 的两支分别交于P ，Q 两点.若AP AQ PQ ⋅=l 的斜率.18．已知函数()sin f x ax x =.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若12a =-，求证：()1f x ≤；(3)若存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，均有()1f x <，求正实数a 的取值范围.19．开启某款保险柜需输入四位密码123s a a a x ，其中123a a a 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是09 中的一个整数），s x 是根据开启时收到的动态校验钥匙s （s 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.s x 的具体计算方式：s x 是32123M a s a s a s =⋅+⋅+⋅的个位数字.例如：若静态密码为301，动态校验钥匙2s =，则3232021226M =⨯+⨯+⨯=，从而动态校验码26x =，进而得到四位开柜密码为3016.(1)若用户最终得到的四位开柜密码为2024，求所有可能的动态校验钥匙s ；(2)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙5s =，求动态校验码s x 的概率分布列；(3)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙()15,s i i i =≤≤∈N 的概率为i p ，其中i p 是互不相等的正数.记得到的动态校验码()09,s x k k k =≤≤∈N 的概率为k Q ，试比较0Q 与1Q 的大小.。

浙江高考模拟试卷数学卷和答案.docx

sin 2 x(
得:函数g( x)在[
,0]上的解析式为
g (x)
2
2
........(14分)
1sin 2x(
x
)
2
2
19、（Ⅰ）连接，由3ADDB知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴ACCB，
P
由
3AC
BC知，
CAB
60o，
∴
ACO为等边三角形，从而
CD
AO-------（3
分）
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
x1
=2
2
x1
x2
2
]------*
b[
( x1
x1x2
x2) 1
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得
2
2
x1
x2
2
]=0，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)
b[
x1x2( x1x2)1
即kADkAB0
（3）直BD的方程y2xb
y
2x
b
4x2
2
2bx
b2
4
0
2x2
y2
4
8
2
64
0
2 2
b
2 2
b
x1x2
2b,
----①
高考模拟试卷数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分
150分，考试时间
120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共
40分）
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
棱柱的体积公式
P A B
P A
P B
V
Sh
如果事件A，B相互独立，那么

浙江高考数学模拟卷(含答案)

浙江高考数学模拟卷一、单选题1．已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,52．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．454．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．173B ．6C ．203D ．2235．设实数x ，y 满足约束条件2040640-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩x y x y x y 则2z x y =+的最小值（）A ．5B ．385-C ．8-D ．86．已知直线l 不在平面α内，则“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数4()ln f x x x =+，53()sin g x x x =+，则如图所示的函数为（）A ．()()y f x g x =+B ．()()y f x g x =-C ．()()1y f x g x =⋅+D ．()f x y =8．设,,αβγ为互不相等的三个实数，且,k k Z αβγπ++=∈，则有A ．sin sin sin 1αβγ++≥B ．sin sin sin 1αβγ++≥C ．cos cos cos 1αβγ++≥D ．cos cos cos 1αβγ++≥9．若实数,a b 满足224ln 4ln 1a b a b -≥+-，则4a b +=（）AB．C．D．10．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列二、填空题11．下面这道题来自于《张丘建算经》，张丘建是南北宋时期的著名数学家，最早提出三元一次不定方程的根，这题也是他买鸡偶然提出的.题：用100文购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱３只，则三种鸡都有时，公鸡至少有_______只.12．已知a R ∈，函数()27sin 2,06log ,0x x f x x x π⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩，若3f f a π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a ________.13．已知()()()2550125222x a a x a x a x =+-+-++- ，则2a =__________；则123452345a a a a a ++++=__________.14．如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，满足32CD BD =，2,5,AB BC AC ===则AD =__________；sin DAC ∠=__________.15．袋中有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有x 个，其余均为白球，每次从袋中有放回地抽取一个小球，抽取3次，记取到红球的次数为随机变量ξ，若()1171125P ξ≥=，则()0P ξ==______，()E ξ=______．16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是_____，双曲线的离心率是_________.17．已知平面向量1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 满足1234561123456a a a a a a======，1234560a a a a a a +++++=，则246a a a ++ 的最小值是________，15162526a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅的最大值是_______.三、解答题18．设函数()3cos 2cos 262f x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（Ⅰ）求a 值及()f x 递增区间；（Ⅱ）若将函数()y f x =图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求满足()006g x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭12≥的实数0x 的集合.19．在四棱锥P ABCD -中，//,BC AD CD AD ⊥，二面角P AD B --的大小为23π，且PA =PD222AD DC BC ===.（1）求证：PB AD ⊥；（2）设E 是直线PC 上一点，求AE 与平面PAB 所成角正弦的最大值.20．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++= .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N ∈122n c c c +++< .21．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1N ⎛-- ⎝⎭，.直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点P 恰好在抛物线218y x k=上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求OAB （O 为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程.22．已知函数()2()ln 0,f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）当1b =时，试讨论函数()f x 的单调增区间；（2）设()()g x xf x =，()g x 在[]1e ，上不单调，且124b a+≤e 恒成立，求a 的取值范围（e 为自然对数的底数）；（3）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点12x x 、，且121x x ->，求证：()()1234ln 2f x f x ->-.参考答案1．A 【分析】直接进行交集运算即可求解.【详解】因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =所以{}1,3A B = ，故选：A.2．C 【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．3．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.4．C 【分析】首先画出几何体的直观图，再求其体积即可.【详解】将三视图的直观图放入长方体中，如图所示：由题知：长方体的长为4，宽为2，高为4，B ，C 为棱上的中点.11421222522ABCD S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=，则1205433V =⨯⨯=.故选：C 5．B 【分析】做出x ，y 满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.【详解】做出x ，y 满足约束条件2040640-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩x y x y x y 的可行域如图，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过点A 时2z x y =+有最小值，由20640-+=⎧⎨--=⎩x y x y 得166,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ，所以2z x y =+的最小值为166382555-⨯-=-.故选：B.6．A 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案.【详解】若//l α，则l 上任意点到平面α的距离都相等，即存在两个点到平面α的距离相等，充分性成立，若直线l 上存在两个点到平面α的距离相等，则l 与平面α可相交，且面上、下各有一点到平面的距离相等，故必要性不成立，所以“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的充分不必要条件.故选：A 7．D 【分析】由图象判断函数的奇偶性，根据解析式判断()f x 、()g x 的奇偶性，再由各选项的函数表达式，应用奇偶性定义判断奇偶性即可.【详解】由图象的对称性知：函数关于原点对称，即为奇函数，根据解析式易知：()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-A ：()()()()f x g x f x g x -+-=-，不合要求；B ：()()()()f x g x f x g x ---=+，不合要求；C ：()()1()()1f x g x f x g x --+=-+，不合要求；D ：()()()()f x f xg x g x -=--为奇函数，符合要求.故选：D.8．D 【分析】运用绝对值不等式的性质和三角函数的有界性（α1,α1sin cos ≤≤）求解可得结论．【详解】∵,k k Z αβγπ++=∈，∴()cos 1αβγ++=．∵()()()()cos cos cos αcos αsin sin αβγαβγβγβγ⎡⎤++=++=+-+⎣⎦()()cosαcos αsin sin βγβγ≤+++()cosαsin βγ≤++，又()sin sinβcos βsin sinβcos βsin cos cos βγγγγγ+=+≤+sinβcos βsin cos βcos cos γγγ=+≤+，∴()cos 1|cosα|βcos cos αβγγ++=≤++，即|cosα|βcos 1cos γ++≥．故选D ．【点睛】本题考查三角函数的值域及绝对值不等式，考查放缩法的应用，解题时要灵活运用正弦函数和余弦函数的有界性，同时要注意不等式中等号成立的条件，考查变化能力的运用．9．D 【分析】由224ln 4ln 1a b a b -≥+-，得40,0a b >>，利用基本不等式可得2244111a a b b +-≥=-，令4,0at t b=>，令()ln 1g t t t =-+，利用倒数可求得()()10g t g ≤=，结合()0g t ≥，可得()()10g t g ==，从而可求得,a b ，即可的解.【详解】解：由224ln 4ln 1a b a b -≥+-，得40,0a b >>，则2244111aa b b+-≥-=-，当且仅当224a b=时，取等号，4ln 4ln lna ab b -=，则44ln 10a ab b-+≥，令4,0at t b=>，令()ln 1g t t t =-+，()11g t t'=-，当01t <<时，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，所以函数()g t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()10g t g ≤=，又因为()0g t ≥，所以()()10g t g ==，所以2241400a b a b a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪>⎩，解得a b ==所以4a b +=故选：D.10．B 【详解】1112b a c =-且11b c >，1112a c c ∴->，11a c ∴>，111111120b a a c a a c ∴-=--=->，111b a c ∴>>，又111b c a -<，11112a c c a ∴--<，112c a ∴>，∴112a c >，由题意，112n n n n nbc b c a ++++=+，1112(2)2n n n n n n b c a b c a ++∴+-=+-，1112b c a += ，11120bc a ∴+-=，20n n n b c a ∴+-=，122n n n b c a a ∴+==，12n n b c a +∴=，由此可知顶点n A 在以n B 、n c 为焦点的椭圆上，又由题意，112n n n n c b b c ++--=，∴111112(2)2n n n n n a b bb a b a b ++----==-，1111()2n n b a a b +∴-=-，111(2n n b a -∴-=-，∴11111()(2n n b a b a -=+--，1111112()(2n n n c a b a b a -=-=---，∴21111111111111333311()[()()][()()]222222n n n a a a a S a a b a a b a --=------+--2212111131[()()]424n a a b a -=--单调递增（可证当1n =时22111()0)4a b a -->故选：B ．11．4【分析】设买公鸡x 只,母鸡y 只，小鸡z 只，由1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，得到7254y x =-，再根据,,x y z 为正整数求解.【详解】设买公鸡x 只,母鸡y 只，小鸡z 只，由题意得：1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，则7254y x =-，因为,,x y z 为正整数，所以x 必须是４的倍数，当x 分别为4,8,12时，得41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以公鸡至少有4只，故答案为：412．1-【分析】利用函数()f x 的解析式可得出求得实数a 的值.【详解】由已知可得111sin sin 2sin 36662f πππππ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 1322a f ff π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-.13．80405【分析】由()()()()5255012522222x x a a x a x a x =+-=+-+-++-⎡⎤⎣⎦ ，利用通项公式求解2a ；由()()()2550125222x a a x a x a x =+-+-++- 两边求导，再利用赋值法求解.【详解】因为()()()()5255012522222x x a a x a x a x =+-=+-+-++-⎡⎤⎣⎦ ，所以2325280a C ==；两边求导得()()4412552252x a a x a x =+-++- ，令21x -=，得3x =，所以41252553405a a a +++=⨯= ，故答案为：80，40514133【分析】①ABC 中由余弦定理求出cos C ，在ADC 中，由余弦定理可得解；②ADC 中，由正弦定理可得解.【详解】由题满足32CD BD =，2,5,AB BC AC ==2,3CD BD ==ABC 中，由余弦定理cosC C ==ADC 中，由余弦定理可得AD ==ADC2sin DAC =∠，所以s in DAC ∠=.，13315．812595【分析】根据对立事件的概率求得()0P ξ=，从而解得x ，再根据二项分布求得数学期望.【详解】∵()1171125P ξ≥=，∴()()8011125P P ξξ==-≥=，则()3350C 55x x P ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8125=，∴3x =，则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()39355E ξ=⨯=．故答案为：8125；95.16【分析】由题意，写出圆心坐标与半径，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，表示出AB 和BC ，计算AC ，从而计算出tan BAC ∠，进而得直线斜率，再由双曲线的性质得22b PF a=，2AF a c =+，列等式，由,,a b c 关系即可得离心率.【详解】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC =，得2tan 4aBC BAC AC∠==，所以直线的斜率是4；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以2222tan 4PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得242(42)0e e --+=，求解得424e +=.故答案为：24；424+【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a ，c ，代入公式ce a=；只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．17．112【分析】由条件结合三角不等式可得2461155131a a a a a a a a a ++=++≥--= ，设112b a a =+，234b a a =+ ，356b a a =+ ，则有13b ≤ ，27b ≤ ，311b ≤ ，1230b b b ++=，然后()()()()1256131312111712a a a a b b b b b b b b b '+⋅+=⋅≤≤-≤-≤.【详解】因为1234561123456a a a a a a ====== ，1234560a a a a a a +++++= ，所以2461155131a a a a a a a a a ++=++≥--= ，且等号可以取到，如下图()()151625261256a a a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+ 设112b a a =+ ，234b a a =+ ，356b a a =+ ，则有13b ≤ ，27b ≤ ，311b ≤ ，1230b b b ++= ，如下图所以有()()()()1256131312111712a a a a b b b b b b b b b '+⋅+=⋅≤≤-≤-≤，且等号可以取到，如下图故答案为：1；12【点睛】本题考查的是平面向量的加减法、三角不等式和数量积的应用，考查了学生分析能力和转化能力，属于难题.18．（Ⅰ）0a =；5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（Ⅱ）0,12242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简整理()f x ，再利用最大值求参数，并求递增区间即可；（Ⅱ）先平移得到函数()y g x =解析式，再解不等式即可.【详解】解（Ⅰ）()3cos 2cos 262f x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2cos 222x x a =+sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()max 11f x a =+=，∴0a =；令22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦得5,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（Ⅱ）()f x 向右平移6π个单位，得()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()200000001sin 2sin 2=sin 2sin 2cos 2632g x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭200000111sin 2+2cos 24cos 2244x x x x x ==-+011sin 4264x π⎛⎫=-+ ⎝⎭∴()00162g x g x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即0111sin 42642x π⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，得01sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得05242,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，故实数0x 的集合为0,12242k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的应用，属于中档题.19．（1）证明见解析（2【分析】(1)取AD 中点O ，证明,PO AD BO AD ⊥⊥，由线面垂直判定定理证明AD ⊥平面POB ，由此可证PB AD ⊥；(2)建立空间直角坐标系利用向量法求AE 与平面PAB 所成角正弦再求其最大值.（1）取AD 中点O ，则,PO AD BO AD ⊥⊥，PO ，BO ⊂平面POB ，PO BO O =，AD ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，∴AD PB ⊥；（2）以O 为原点，,OB OD 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，23POB π∠=，则1(2P -，(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)A B C -，设PE PC λ=，则31(,1))2AE λλλ-=+- 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则1022x y z x y ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩，故取(1,n =-设AE 与平面PAB 所成角θ，则sin θ故AE 与平面PAB，20．（1）(*)n a n n N =∈（2）证明见解析【分析】（1）根据题意得到12n n n a a S +=和112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，解得答案.（2）计算1(1)n b n n =+，n c 放缩n c <和n c >，利用裂项相消法计算得到证明.（1）由12n n n a a S +=得112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =，得22a =，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，n a n =.综上所述(*)n a n n N =∈.（2）由1211n n n a n b b b a n ++++==+ ，1211n n b b b n --+++= ，2n ≥，112b =，两式相减得1(1)n b n n =+，2n ≥，验证112b =成立，故1(1)n b n n =+.则n c =那么n c =，故122(1n c c c +++<-+=2(12<，同理n c =，故12n c c c +++>+=.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们需要灵活掌握.21．（1）2214x y +=（2）1，112y x =-【分析】（1）将点1N ⎛-- ⎝⎭，代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，得出关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在218y x k=上求出k 与m 关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出OAB S ，结合二次函数性质可求最值.（1）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 经过点P ，2222222411314c a a a b c b ab ⎧=⎪⎪⎧=⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪+=⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，()()()()222228441441641km k m k m ∆=-+-=+-，设()()1122,,A x y B x y ，，则21212228444141km m x x x x k k --+==++，，∵线段AB 的中点为D ，12024241x x km x k +-∴==+，00241my kx m k =+=+，又点D 在抛物线218y x k =上，2221441841m kmk k k -⎛⎫∴=⋅ ⎪++⎝⎭，0m =或()2241m k =-+，当0m =时，O A B 、、三点共线（舍去），又AB =点O 到直线l 的距离d =1122OABS AB d ∴=⋅⋅=⋅△，=，1=，当1m =-时，OAB 的面积取得最大值，此时12k =，此时直线l 的方程为112y x =-.22．（1）当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当108a <<时，()f x 在10,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.（2）22e e 44⎡+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（3）证明见解析【分析】（1）求出导函数22'()21a x x af x x x x-+=-+=，对分子分类讨论；（2）根据'()0g x =在()1,e 上有解，转化为讨论ln 1()3a x a F x x x a+=++单调性求解；（3）()2ln f x x bx a x =-+利用导函数分析出a 的范围，根据单调性求解.（1）当1b =时，2()ln f x x x a x =-+，()f x 的定义域为()0,∞+，22'()21a x x af x x x x-+=-+=，()214218a a ∆=--⨯=-，①当0∆≤时，即11808a a -≤⇒≥时，'()0f x ≥，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，②当0∆>时，即108a <<时，令12'()0f x x x =⇒==，显然1211044x x <<>，，()f x ∴在⎛ ⎝⎭和14⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；综上所述：当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当108a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2'()32ln g x x bx a x a =-++，()g x ∵在[]1,e 上不单调，'()g x ∴在()1,e 上有正负，'()0g x ∴=，在()1,e 上有解，()23ln 2,1,e x a x ab x x++⇒=∈，答案第17页，共17页124b a+≤e 恒成立，记ln 1()3a x a F x x x a +=++，则23ln '()x F x a a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记23ln 12ln ()'()x x G x G x x x -=∴=，，()G x ∴在(上单调递增，在)上单调递减，[]max 1()2e G x G ∴==，于是知：①当312a e≥，即6a ≤e 时，'()0F x ≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调递增，21(e)3e 4e e a F a ∴=++≤，222e e 0a a a ⇒-+≤≤，②当6e a >时，14e F a =+>=>，故不满足题意，综上，a ∈⎢⎥⎣⎦；（3）证明：()()220ln b a a f x x bx a x =+>=-+∵，，()()()12'222x x a a a f x x b x a x x x--∴=-+=--+=，由()12'012a f x x x =⇒==，，又由12122a x x ->⇒>，()f x ∴在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，()()()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()'22ln 2h t t t =--，()222''20t h t t t -∴=-=>，()()'2,h t ∴+∞在上单调递增，()()''222ln 20h t h ⇒>=->，()h t ∴在()2,+∞上单调递增，()()234ln 20h t h ⇒>=->，()()1234ln 2f x f x ∴->-.。

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 下列选项中，角是第一象限角的是（）A．B．C．D．2. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．3. 如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，点E 在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（）A．B ．4C．D．4. 已知函数对任意都有，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则得取值范围为（）A．B．C．D．5.已知为等差数列，且，则（）A．B．C．D．6. 已知平面向量与的夹角是，且，则（）A．B．C．D．7. 在中，，，，，则（）A．B．C．D．8.已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（）A．B．C．D．9. 设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（）A．B．C ．直线的斜率为D ．的面积为浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 截至2019年年末，中国大陆总人口约为14亿，为实现人口分布和就业结构更加合理，自上世纪90年代至今，我国城镇化发展迅速，如图是我国2011年至2019年的城镇化率走势图．预计到2035年，中国大陆总人口将增至亿，其中城市人口有亿．2011-2019年中国城镇化率走势图依据以上信息，下列判断正确的是（）．A ．我国城镇化率逐年提高B ．2019年我国城市人口比农村人口约多一倍C ．预计2035年我国农村人口比2019年农村人口少亿D ．预计2035年我国城镇化率高于70％11. 从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（）A ．直方图中的的值为0.0040B ．这100户居民月用电的平均数约为186度C ．这100户居民月用电的中位数约为200度D ．这100户居民月用电的众数约为175度12. 已知圆锥SO （O 是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为．若P ，Q 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）A ．圆锥SO的侧面积为B ．SPQ面积的最大值为C ．三棱锥O -SPQ体积的最大值为D ．圆锥SO的内切球的体积为13. 若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_________14. 教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首是周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为______.15. 设，为单位向量，且，则__．16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.(1)求角A ；(2)若，且的周长为，求的面积.17. 已知椭圆：的右焦点为，且过点.(1)求的方程；(2)若点是上的一点，过作直线与相切，直线与轴的正半轴交于点，过与平行的直线交轴于点，且，求直线的方程.18. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的互联网学习平台.该平台学习采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治､经济､文化､社会､生态，表现形式有图片､文字､视频､考试､答题､互动等，让人们的生活充实而有质量.某市为了了解教职工在“学习强国”平台的学习情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学习强国”中获得的积分(单位：千分)并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）以样本估计总体，该市教职工在“学习强国”获得的积分近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取.若该市恰有1万名教职工，试估计这些教职工中积分位于区间内的人数.（2）若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学习“学习强国”的要求与该市相同，教职工的人数也与该市教职工的人数相当)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3千分至9千分内的教职工人数为，求的期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.19. 已知数列满足，数列满足，记为数列的前项和.(1)是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；(2)求.20. 如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．21. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n +1．（1）求S n ；（2）设b n，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n．。

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 关于的不等式的解集为，则的最大值是（）A．B．C．D．2. 在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D的三等分点，则（）A．B．C．D．3. 在△中，，E是上一点．若，则（）A．B．C．D．4. 若f （x ）=x 3，f′（x 0）=3，则x 0的值是（）.A ．1B ．﹣1C ．±1D ．35. 函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A．B．C ．0D．6.在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是( )．A．B．C．D．7. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元8. 已知函数的定义域为R ，对任意实数x ，y 都有，当时，，且，则关于x 的不等式的解集为（）A．B．C．D．9. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点的坐标为B ．若直线过点，则C ．若，则的最小值为D ．若，则线段的中点到轴的距离为10. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题三、填空题四、解答题对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（）A ．数列是公比为的等比数列B．C ．数列是公比为的等比数列D ．数列的前项和11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（）A ．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D ．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形12. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是（）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．13.函数的最小正周期为________14. __________．15.记为数列的前项和，若，则______．16.如图，直三棱柱中，，，，D 为上的点，二面角的余弦值为.（1）求证：；（2）求点A到平面的距离.17. 已知函数.(1)求的最小值；(2)记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.18. 已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.19. 如图，在四棱锥中，平面，点E为的中点，连．(1)求证：平面；(2)求点D到平面的距离．20. 设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有唯一的零点，求实数的值；（3）讨论函数的零点个数.21. 如图，四边形为正方形，，，为锐角三角形，，分别是边，的中点，直线与平面所成的角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.。