应用运筹学补充练习题教学提纲
运筹学复习提纲分解PPT课件
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班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
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§3
复杂情况下的目标规划
例7．一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一
件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3
工时。A、B产品的单位利润分别为260元和125元。为了最
大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高
负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也
（*）并整理得
50 c2
+
• 假若产品Ⅰ、Ⅱ的利润均改变，则可直接用式（*）来 判断。
• 假设产品Ⅰ、Ⅱ的利润分别为60元、55元，则
- 2 - (60 / 55) - 1
那么，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100第，8页x/共24=0页 200 。
23
17
• 如果把工作时间看成创造的效益，那么又该如何指派，
才能获得最大效益？
• 如果再增加一项工作E，四人完成的时间分别是
17,20,15,16分钟，那么又该如何指派使得所花时 目标规划
运筹学复习提纲
运筹学复习提纲第一章线性规划1、线性规划的三个要素目标函数、决策变量、约束条件一般形式，标准形式（转化）2、求解线性规划的图解法3、线性规划解的可能性唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解(原因)4、单纯形法（必考点）基，基变量，基本解，基本可行解，可行解，最优解，最优基单纯形法解题思路、步骤，最优解的判定定理，单纯形法的管理启示大M法的可能结果图解法。
大M法。
线性规划数学模型的建立？（建模）第二章线性规划讨论1、线性规划灵敏度分析价值系数、资源向量第三章 对偶规划 1、对偶模型 2、对偶性质对称性定理，弱对偶定理，强对偶定理，互补松驰定理 3、影子价值对偶问题的最优解，影子价值的经济含义 （课后习题69页，5）1、 求该问题产值最大的最优解和最优值2、 求出该问题的对偶问题和最优值3、 给出两种资源的影子价格，说明其经济含义：第一只能够资源限量由2 变为4 ，最优解是否改变？4、 代加工产品丁，每单位产品需要消耗第一种资源两单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？ 解：1、先转化成标准型：利用单纯形法求解：123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩1234512341235max 4200832..680;1,2,,5jZ x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥=⎩该问题有唯一最优解： 2、利用对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值：第一种资源影子价格为2，表明第一种资源增加1个单位，产值(或利润)增加2个单位，即第一种资源为紧缺资源(x 4 = 0)； 第二种资源影子价格为0，表明第二种资源增加1个单位，产值(或利润)增加0个单位，第二种资源有剩余(x 5 = 6) 。
3、对偶问题数学模型：其对偶模型为：*(0,0,2,0,6)TX =*4Z =*(2,0,12,5,0)Y =*4Z =123123123123max 42832..68,,0Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩121212min 2886431W y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪，根据题意：(4)设产品丁的产量为x6第四章整数规划1、整数规划的含义2、整数规划的类型及求解方法3、整数规划问题建模 0-1规划建模4、分枝定界法第五章目标规划1、目标规划问题建模2、目标规划图解法（满意解）问：在材料不能超用的条件下，企业如何安排生产计划？要求尽可能满足下列目标：(1)力求使利润指标不低于80元；(2)考虑到市场需求, 两种产品的产量需保持1:1的比例；(3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；(4)设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少。
应用运筹学补充练习题参考答案
+（344X44－340Y4）
s.t:Y1≤200 000
Y1－X11－X12－X13－X14=0
X11≤100 000
X12+X13+X14+Y2≤200 000
Y2－X22－X23－X24=0
X12+X22≤140 000
X22*=，X23*=，X24*=，Y2*= ,
X33*=，X34*=，Y3*= ,
X44*=，Y4*= ,Z*=
9、对以下线性规划问题：
MinZ＝2X1+3X2+5X3+2X4+3X5
s.t. X1+X2+2X3+X4+3X5≥4
2X1X2+3X3+X4+X5≥3
X1,X2,X3,X4,X5≥ 0
设按第j种截法截Xj根圆钢，则相应的线性规划模型为：
目标函数：MinZ= Xj
s.t:X1+X2≥100
X1+2X3+X4≥200
2X2+X3+2X4+4X5≥400
xj≥0且为整数（j=1,2.....,5）
EXCEL求解最优解结果：X1*=0，X2*=100，X3*=100,X4*=0 ,X5*=25, Z*=225
《应用运筹学》补充练习题参考答案
1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：
运筹复习提纲
1. 原问题与对偶问题的关系.(问题对偶形式,解的关系)2. 掌握线性规划问题的单纯形法.3. 问题的灵敏度分析.4. 运输问题的表上作业法.5. 指派问题的匈牙利法.6. 多目标规划的解法.(图解法，单纯形法)7. 动态规划的解法，动态规划的模型.8. 了解求一般整数线性规划的方法. 例题练习1. 写出下述线性规划的对偶问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=+≥+--≤-+-+=取值无约束32132321321321,0,073523132.5max x x x x x x x x x x x t s x x x z 2.求解下列线性规划问题.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1551641222.32max 21212121x x x x x x t s x x Z ,(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,18231224.52max 21212121x x x x x x t s x x z3.已知线性规划问题3212max x x x z +-=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤++0,,46.32121321x x x x x x x x t s 先用单纯形法求出最优解，，再分析在下列条件变化的情况下最优解的变化（1） 目标函数变为32132max x x x z++=；（2） 约束右端项由⎪⎪⎭⎫⎝⎛46变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛43；（3） 增添一个新的约束条件0231≥+-x x .4.1某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？由于业务能力、经验和其他情况的不同，四位业务员处理这四项业务的费用各不相同，如表5.有四项工作要甲、乙、丙、丁四个人去完成，每项工作只允许一个人去完成，每个人只完成其中一项工作.已知每个人完成各项工作时间如表所示。
问应如何安排，使总的消耗时间最少？（用匈牙利法）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++++=+-+-+-+--+++3,2,1,0,,,1430402.)2(,min 2133222111213323211i d d x x d d x d d x d d x x st d P d d P d P z i i7.某公司计划在A 、B 、C 三个地区新设4个超市。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
运筹学课程教学大纲
运筹学课程教学大纲一、课程概述运筹学是运用数学、统计学和计算机方法研究和解决实际问题的一门学科。
本门课程主要介绍运筹学的基本概念、原理和应用，培养学生的综合分析和问题解决能力。
二、教学目标1. 了解运筹学的基本概念、发展历程及学科体系结构；2. 掌握线性规划、整数规划、动态规划等运筹学方法的基本原理和应用；3. 掌握运筹学模型建立和求解的基本方法；4. 培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容1. 运筹学的基本概念和发展历程（2学时）- 运筹学的定义、研究对象和研究方法；- 运筹学的发展历程。
2. 线性规划（12学时）- 线性规划的定义和基本概念；- 线性规划的图解法和单纯形法；- 线性规划的对偶理论和灵敏度分析；- 整数规划的基本概念和解法。
3. 动态规划（8学时）- 动态规划的基本概念和基本原理；- 动态规划的最优子结构性质和最优解的构造； - 动态规划的应用实例。
4. 随机模型和排队论（10学时）- 随机模型的基本概念和概率分布；- 排队论的基本概念和排队模型；- 排队论的性能度量和求解方法。
5. 非线性规划和整数规划（8学时）- 非线性规划的定义和基本概念；- 非线性规划的解法和最优性判定；- 整数规划的定义和基本概念；- 整数规划的分枝定界法和割平面法。
6. 运输和分配问题（8学时）- 运输问题的基本概念和解法；- 分配问题的基本概念和解法。
7. 生产调度问题（8学时）- 生产调度问题的基本概念和求解方法； - 作业车间调度问题的建模和求解。
8. 多目标优化问题（6学时）- 多目标优化问题的定义和特点；- 多目标优化问题的解法和应用实例。
四、教学方法本课程采用理论讲授与实践应用相结合的教学方法。
除了课堂上的理论讲解外，还将组织学生参与案例分析、小组讨论、编程实践等活动，加强学生对运筹学方法的理解和应用。
五、教材和参考书目1. 主教材：《运筹学导论》，作者：李明，出版社：清华大学出版社；2. 参考书目：- 《运筹学：初步实用方法》，作者：George B. Dantzig等，出版社：机械工业出版社；- 《运筹学简明教程》，作者：陈杂，出版社：高等教育出版社。
运筹学学习指导
运筹学学习指导及习题集大纲目录第一部分运筹学学习指导第1章绪论学习要点第2章线性规划建模及单纯形法2．1 学习要点及思考题2．2 课后习题参考解答第3章线性规划问题的对偶与灵敏度分析3．1 学习要点及思考题3．2 课后习题参考解答第4章运输问题4．1 学习要点及思考题4．2 课后习题参考解答第5章动态规划5．1 学习要点及思考题5．2 课后习题参考解答第6章排队论6．1 学习要点及思考题6．2 课后习题参考解答第7章目标规划7．1 学习要点及思考题7．2 课后习题参考解答第8章图与网络分析8．1 学习要点及思考题8．2 课后习题参考解答第9章存贮论9．1 学习要点及思考题9．2 课后习题参考解答第10章决策分析10．1 学习要点及思考题10．2 课后习题参考解答第一部分运筹学学习指导第1章绪论学习要点1.1运筹学及其应用、发展(1)、运筹学的英文通用名称为“Operations Research”简称OR，按照原意应译为运作研究或作战研究，是一门基础性的应用学科。
运筹学主要研究系统最优化的问题，通过对建立的模型求解，为决策者进行决策提供科学依据。
(2)、运筹学在早期的应用主要在军事领域，二次大战后运筹学的应用转向民用。
经过几十年的发展，运筹学的应用已经深入到社会、政治、经济、军事、科学、技术等各个领域，发挥了巨大作用。
(3)、运筹学的研究和应用越来越广泛和深入，美国前运筹学会主席邦特(S．Bonder)认为，运筹学应在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学，他在建议着重发展前两者的同时，强调这三个领域应从整体上协调发展。
目前运筹学工作者面临的大量新问题是：经济、技术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统。
因此，早在上一世纪70年代末80年代初就有不少运筹学家提出：要注意研究大系统，注意运筹学与系统分析相结合。
目前，运筹学领域工作者比较一致的共识是运筹学的发展应注重以下三个方面：理念更新、实践为本、学科交融。
最全的运筹学复习题及答案教学提纲
最全的运筹学复习题及答案2、minZ=2x1-x 2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、 C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200， 250 和 100 件，最大月销售量分别为 250， 280和 120 件。
月销售分别为250， 280 和 120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10 米的相同型号的钢筋，今要截成长度为 3 米的钢筋90 根，长度为 4 米的 钢筋 60 根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省起运时间 服务员数 2 —6 4 6 — 10 8 10 一 14 10 14 — 18 7 18 — 22 12 22 — 2 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少 ?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M 法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
maxZ=5x1+3x2，约束形式为八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为34Z=10X l X2 X3 X4—10 b -1 f gX3 2 C O 1 1／ 5X l a d e 0 1(1) a～g 的值(2) 表中给出的解是否为最优解?( 1 ) a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g= － 5 ( 2) 表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题1．minZ=2x1+2x 2+4x3应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于 25七、已知线性规划问题 maxZ=2x 1+x 2+5x 3+6x 4其对偶问题的最优解为 Y l ﹡ =4， Y 2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
运筹学课内实践教学大纲
“运筹学”课程课内实践教学大纲
一、课程课内实践教学大纲基本信息
二、本课程实践教学的总体目的及基本要求
（一）总体目的
收集和统计拟定模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。
根据提出的问题，建立相应的模型，运用运筹学计算软件求解所建立的运筹学模型。
（二）基本要求
要求学生在牢固掌握运筹学基本理论与方法基础上，进一步将模型应用于案例的背景问题，能清楚的用数学语言进行问题描述、问题分析、假设及符号说明、建立模型、软件求解结果、结果分析。
三、实验内容及要求
【主要内容】
模块1：线性规划问题建模与求解
模块2：运输问题建模与求解
模块3：生产计划问题
（具体模块案例内容会以任务书的形式发给学生）
重点：问题描述、问题分析。
难点：建立模型、软件求解结果。
五、教学建议
本课程要求采用多媒体课室进行教学，实验前需要讨论一节课时间，主要是获取实践所给资料的意图，获取有效信息，并复习相应的课程内容。
讨论前，要求每个学生预先
准备一份书面讨论稿。
最后组织学生进行相应的内容的分享与答辩。
通过实践环节锻炼，加深学生对本课程理论的掌握程度，提高学生分析问题和解决问题的能力。
运筹学复习提纲
南京工程学院 运筹学复习提纲绪论一、运筹学的基本特征（3个） ⑴系统整体的观念 ⑵多学科的综合⑶模型方法的运用，尤其是数学模型的应用 二、运筹学的工作步骤（6步） ⑴提出与形成问题 ⑵建立模型 ⑶求解 ⑷解的检验 ⑸解的控制 ⑹解的实施线性规划部分一、最优化问题、数学规划、线性规划之间的关系二、将一般LP 转化为SLP 。
注：先满足0,0x b ≥≥ ，再看目标与约束三、线性规划单纯形法的理论基础和技术路线 ⑴凸集、顶点、（凸集的顶点）、凸组合⑵基本定理：1若LP 存在可行解，则可行域为凸集2 LP 的基可行解对应可行域的顶点3 LP 有最优解，一定存在最优基解（最优解可在某顶点找到）⑶技术路线：从某初始基可行解开始、判别是否最优。
否则转到相邻顶点（基可行解）。
如此往复，直至找到最优解。
四、LP 可能出现的四种求解结果的判别条件⑴无界解判别（Max 问题）：非基变量的检验数10,0.k k K mk k R P αδα⎡⎤⎢⎥>∈=≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦且 ⑵无穷多最优（Max 问题）：非基变量的检验数0,0,k k R δδ≤=∈且。
⑶唯一最优解（Max 问题）：非基变量的检验数00.j j R δδ≤<∈且，且基解不退化。
（注：基解退化时，非基变量检验数不满足非正，该解也可能是最优的，这时该解对应另一个基是最优基可行解）。
⑷无可行解：当大M法中构造的LP M或二阶段法中构造的LP0问题的最优解中人工变量不全为零，则原问题无可行解五、计算题1．图解法（略）2．单纯形法（含大M法）3．对偶单纯形法（仅用于b参数变化时的灵敏度分析）4. 单纯形法与对偶单纯形法的区别在于单纯形法是在满足基解可行性的条件下通过迭代逐步满足最优性；对偶单纯形法是在基解满足对偶可行性的条件下通过迭代逐步满足可行性。
5．列对偶问题6．由互松驰定理求对偶问题的最优解（影子价格）7．灵敏度分析（b , c参数变化……）六、人工变量与附加变量的区别。
应用运筹学补充练习题参考答案
X31≤3X12+1.7X21（第三年年初投资额不超过第二年年底收回的本利值）
Xi1，Xi2≥0（i=1，2，3）
EXCEL求解最优解结果：X11*=，X12*=，X21*=，X22*=，X31*=，Z*=
4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。
已知其对偶问题的最优解为Y1*=4/5, Y2*=3/5, W* = 5。试求出原问题的解。
解：设原问题的两个剩余变量分别为：X6,X7
原问题的对偶问题为：
MaxW＝4Y1+3Y2
s.t.Y1+2Y2≤2松弛变量 Y3
Y1-Y2≤3松弛变量 Y4
2Y1+3Y2≤5松弛变量 Y5
Y1+Y2≤2松弛变量 Y6
5X1+3X2≤100
4X1+1.5X2≤150
X1≤30
X1= +X4(B1每工时完成 件甲产品，共X3个工时，B2完成X4件)
Xj≥0, j=1,2,3,4
EXCEL求解最优解结果：X1*=，X2*=，X3*=，X4*= , Z*=
7、制造某机床需要A、B、C三种轴，其规格和需要量如下表所示。各种轴都用长5.5米长的圆钢来截毛坯。如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。
工商管理专业运筹学补充习题
工商管理专业运筹学补充习题第一篇：工商管理专业运筹学补充习题工商管理专业运筹学第一章补充习题：1、用图解法求以下线性规划问题：MinZ=3x1+2x2⎧x1+2x2≥4 ⎪s.t.⎨x1-x2≥1⎪x,x≥0⎩122、已知线性规划问题：MaxZ=30x1+15x2⎧x1+x2≥1⎪x-x≥-112⎪⎪s.t.⎨3x1+2x2≤6⎪x-2x≤12⎪1⎪⎩x1,x2≥0（1）用图解法求最优解（参考答案：X*=（7/4，3/8）,Z*=58.125）（2）c2（目标函数中x2的系数）是什么值时，线性规划问题有无穷多最优解，并写出一般表达式。
第二篇：南京工业大学运筹学课件运筹学补充习题运筹学习题2,...,2.1已知一组实验数据(x)i= 1,m，试构造多项式 f( x)，使i,yi i= 1,2得 y i =f ( xi ),..., m，并且次数尽可能的少。
其中 xi≠xj(i≠j)2.2证明在任一次双人舞会上，跳奇数次舞的人的总数一定是偶数。
答：注意是双人舞会第三篇：运筹学习题解答3.3写出下列线性规划问题的对偶问题，再写出对偶问题的对偶，并验证其即为原问题对偶。
本题没有单纯形法。
5.3 没有答案第四篇：华东交大运筹学选择题习题华东交大单项选择题在每小题列出的4个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内，错选、多选或不选均不得分。
1.用单纯形法求解线性规划时最优表格的检验数应满足（D）A.大于0；B.小于0；C.非负D.非正2.当线性规划的一个基本解符合下列哪项要求时称之为基本可行解（C）。
A.大于0； B.小于0； C.非负 D.非正3.某人要从上海搭乘汽车去重庆，他希望选择一条线路，经过转乘，使得车费最少。
此问题可以转化为（B）A.最大流量问题求解B.最短路问题求解C.最小树问题求解D.最小费用最大流问题求解4.求解销大于产的运输问题时，不需要做的工作是（D）A.虚设一个产地B.令虚设的产地的产量等于恰当值C.令虚设的产地到所有销地的单位运费为MD.删除一个销地5.求解产大于销的运输问题时，不需要做的工作是（B）A.虚设一个销地 B.删除一个产地C.令虚设的销地到所有产地的单位运费为0D.令虚设的销地的产量等于恰当值6.关于互为对偶的两个模型的解的存在情况，下列说法不正确的是（C）A.都有最优解 B.都无可行解C.都为无界解D.一个为无界解，另一个为无可行解7.对于总运输费用最小的运输问题，若已经得到最优方案，则其所有空格的检验数都（C）A.大于0；B.小于0；C.非负；D.非正8.线性规划的可行域的形状主要决定于（D）A.目标函数B.约束条件的个数C.约束条件的系数D.约束条件的个数和约束条件的系数9.对同一运输问题，用位势法和用闭回路法计算检验数，两种结果是（A）A.一定相同 B.一定不同 C.未必完全相同 D.没有联系10.在寻找某一空格的闭回路时，若遇到基格，则可以选择，但下列说法中不正确的是（D）A.左拐90度B.右拐90度C.穿越D.后退11.关于线性规划的标准形，下列说法不正确的是（B）A.目标函数是最大化的 B.所有变量大于零C.约束条件个数小于变量个数D.约束条件必须是等式约束12.用对偶单纯形法求解线性规划时的最优性条件是（C）A.所有检验数非正B.所有人工变量取值为零C.b列的数字非负D.以上条件都应满足13.求解运输问题时，每一空格的闭回路上“顶点”的个数一定是（B）A.4个 B.偶数个 C.奇数个 D.不确定14.存贮论研究的目的是（A）A.确定最佳进货量和最佳进货周期B.保证不缺货C.求最小费用D.求最小存贮量15.采用不允许缺货的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使进货周期缩短（D）A.单位存贮费C1增加B.需求速度R增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加16.采用不允许缺货的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使每次进货量减少（D）A.单位存贮费C1增加B.需求速度R增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加17.采用允许缺货但缺货需补充的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使进货周期缩短（D）A.单位缺货费C2增加B.需求速度R增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加18.采用允许缺货但缺货需补充的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使每次进货量减少（D）A.单位缺货费C2增加B.需求速度R增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加19.在制品采用不允许缺货的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使进货周期缩短（D）A.单位存贮费C1增加B.生产速度P增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加20.在制品采用不允许缺货的t0循环策略时，下列哪个参数的单独变化不会使进货周期缩短（D）A.单位存贮费C1增加B.生产速度P增加C.单位订购费C3减少D.货物单价K增加21.报童问题的最佳订货量与下列哪个因素无关（A）A.上一周期的实际需求量 B.单位利润k C.单位滞销损失h D.需求量的分布律22.m个产地、n个销地的产销平衡的运输问题，在用表上作业法求解时，基格的个数一定是（B）A.（m+n）个B.（m+n-1）个C.（m+n+1）个D.不一定23.对指派问题的价值系数矩阵作下列何种变换，不影响指派问题的解（A）A.某行同加上一个非零常数 B.某行同乘以一个不等于1常数C.某行同除以一个不等于1常数D.某行加到另一行上去24.以下各项中不属于运输问题的求解程序的是（A）A.根据实际问题绘制运输图B.确定初始运输方案C.计算每个空格的检验数D.根据检验数判断所得方案是否最优25.以下叙述中不正确的是（D）A.树的点数等于边数加1B.树的任意两点间只有一条链C.任何不连通图都不是树D.树是边数最少的图26.用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为（C）A.充分大的负数 B.充分大的负数 C.0 D.127.为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为（A）A.偶数号顶点处运输量的最小值B.奇数号顶点处运输量的最小值C.偶数号顶点处运输量的最大值D.奇数号顶点处运输量的最大值 28.要用最少费用建设一条公路网，将五个城市连接起来，使它们可以相互到达，已知建设费用与公路长度成正比，那么该问题可以看成是（A）A.最小部分树问题求解B.最小费用最大流问题求解C.最短路线问题求解D.最大流量问题求解29.求运输问题表上作业法中求初始基本可行解的方法中没有（D）A.西北角法B.最小元素法C.伏格尔法D.闭回路法30.若Q为f的可增广链，则Q中所有前向弧都为f的（D）A.对边B.饱和弧C.邻边D.不饱和弧31.线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的什么来代换（B）A.和 B.差 C.积 D.商32.对偶问题的对偶是（D）A.基本问题B.解的问题C.其它问题D.原问题33.线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的什么点达到（C）A.内点 B.外点 C.顶点 D.几何点34.在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（C）A.多余变量B.松弛变量C.自由变量D.人工变量35.下面命题不正确的是（C）A.线性规划的最优解是基本可行解B.基本可行解一定是基本解C.线性规划一定有可行解D.线性规划的最优值至多有一个36.设一个线性规划问题（P）的对偶问题为（D），则关于它们之间的关系的陈述不正确的是（A）A.若（P）无可行解，则（D）也无可行解B.（P）、（D）均有可行解则都有最优解C.（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制D.（D）也是（P）的对偶问题37.以下关系中，不是线性规划与其对偶问题的对应关系的是（D）A.约束条件组的系数矩阵互为转置矩阵B.一个约束条件组的常数列为另一个目标函数的系数行向量C.一个目标函数的系数行向量为另一个约束条件组的常数列D.约束条件组的不等式反向38.以下关于最小部分树的陈述不正确的是（B）A.点数等于边数加1的图B.任意两点之间的距离为最短的图C.无圈的图D.连通的图39.四个棋手单循环比赛，采用三局两胜制必须决出胜负，如果以棋手为节点，用图来表示比赛结果，则是个（C）A.树B.任意两点之间有线相连的图C.任意两点之间用带箭头的线相连的图D.连通图第五篇：数学补充习题第一页4.1255.480÷60=8（个）第二页4.欣欣书店打算把240本《数学童话》寄往外地。
运筹学复习提纲
运筹学第一章线性规划数学规划(mathematical programming )是运筹学的一个主要分支，它是研究在一些给定的条件下(即约束条件下)，求的考察函数(即目标函数)在某种意义下的极值(极小或极大)。
对于数学规划，我们研究其中应用最为广泛的线性规划问题线性规划模型为max z = cl x1 + c2x2 + …+cnxns.t. allxl +a12x2 + •••+a1 nxn < bla21x1 +a22x2 + …+a2nxn w b2Yam1x1+am2x2 + …+amn w bmj x1 , x2 ，…,xn > 0基本概念：(1) xn为决策变量(2)am1x1+am2x2 +…+amn为目标函数，z为目标函数值(3)约束条件：非负约束与函数约束(4)参数：模型的参数是数学模型中的常数(5 )解：决策变量的任何一个取值称为模型的解(6)满足所有约束条件的解称为可行解。
反之，一个非可行解至少违反一个约束条件。
全部可行解的集合称为可行域(7)使目标函数达到最大值的可行解称为最优解，该目标函数值称为最优值。
★线性规划的标准形式：nmax z = ' C j X jj生土am = b (i =1,2,…m)s.t. \ j^X j AO (j=1,2-- n)①目标函数取极大化，②约束条件全为等式，③约束条件右端常数项均为非负值，④变量取值为非负。
对于非标准形式的线性规划问题，可通过下列方法化为标准形式：(1)目标函数求极小值。
即min z=刀cjxj，令z'=-z即可。
(2)约束条件为不等式。
当为Y 时，如xK 4时，可添加x3> 0,使得x1+x3=4 ;当为―II时，女口6x1+4x2 > 9，可添加x4> 0,使得6x1+4x2-x4=9。
这里x3和x4是新加上去的变量，取值均为非负，加到原约束条件中去的目的是使不等式转化为等式。
运筹学教学大纲
运筹学教学大纲一、引言运筹学是管理科学的一个重要分支，致力于以系统分析和定量方法来解决决策问题。
本课程旨在帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法，培养其系统思维和决策能力。
二、课程目标1. 理解运筹学的基本概念和原则；2. 掌握线性规划、整数规划、网络优化等运筹学方法；3. 能够运用运筹学方法解决实际管理问题；4. 培养学生团队合作和逻辑推理能力。
三、课程内容1. 运筹学概述- 运筹学的发展历程- 运筹学在管理决策中的应用2. 线性规划- 线性规划模型与理论- 单纯形法及其应用- 线性规划在生产计划、资源分配中的应用3. 整数规划- 整数规划模型及解法- 分支定界法与割平面法- 整数规划在工程项目管理、运输规划中的应用4. 网络优化- 关键路径法与程序评价与审查技术（PERT）- 最小生成树与最短路径算法- 网络优化在项目管理、物流规划中的应用5. 动态规划- 动态规划原理与应用- 动态规划在资源分配、生产排程中的应用6. 多目标决策- Pareto最优解与加权求和法- 多目标规划在环境评估、投资决策中的应用四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，帮助学生建立起对运筹学的整体认识。
2. 实例分析：通过案例分析与解决实际问题，帮助学生理解理论知识与实际应用的联系。
3. 小组讨论：组织学生分组进行运筹学问题讨论，培养学生团队合作与沟通能力。
五、考核方式1. 课堂作业：布置相关习题，要求学生独立完成并及时交回。
2. 期中考试：考查学生对课程内容的掌握程度。
3. 期末论文：要求学生结合实际案例，运用所学方法解决实际问题，撰写学术论文。
六、教材参考1. 《运筹学导论》王明达，北京大学出版社2. 《线性规划原理与方法》朱利民，清华大学出版社3. 《网络优化算法导论》张三，人民邮电出版社七、备注本教学大纲仅作为参考，具体教学内容和安排可能根据实际情况有所调整。
同学们在学习过程中应主动思考、积极参与，丰富自己的知识储备，提升自我能力。
运筹学复习大纲
约束平衡转换的示例
示例 将生产计划问题数学模型的约束化为平 衡条件
max z= 2x1+3x
s. t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1, x2 ≥0
max z= 2x1+3x2+0x3+0x4 +0x5
s. t. x1+ 2x2 +x3
即
max z'= c1'x1+c2'x2+…+cn'xn
第十一页，编辑于星期二：二十二点 五十九分。
目标函数含有常数项
含有常数项的目标函数可以表示为： max z = c0+c1x1+c2x2+…+cnxn
将参数项c0移到等号的左边，令z‘= z - c0 ,即 z = z'+ c0 ,则可得到原目标函数的等价形式
x1≥0, x2≥2, 0≤x3≤3, x4≤0
第二十六页，编辑于星期二：二十二点 五十九 分。
1.2 线性规划问题的解
解的概念
基(本)解 基本定理
第二十七页，编辑于星期二：二十二点 五十九 分。
1.2.1 解的概念
线性规划问题的标准型可以表示为：
max z=c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm++…+cnxn
x1+x2=2
第三页，编辑于星期二：二十二点 五十九分。
2. 问题的分析
线性规划问题的求解结果会出现多种情 况，借助图解法可以考察线性规划问题解的 状况。
唯一解 多重解 无界解
运筹学补充资料
★存储论局部思考：建立存储模型一般要经过那几个步骤？常见的存储策略有哪些？〔答复三个以上即可，辅以适当的说明〕，确定性存储有哪4类模型？1.某电子设备厂对一种元件的需求为R ＝2000件/年，订货提前期为零，每次订货费为25元。
该元件每件本钱为50元，年存储费为本钱的20％。
如发生缺货，可在下批货到达时补上，但缺货损失费为每件每年30元。
求：〔1〕经济订货批量及全年的总费用；〔2〕如不允许发生缺货，重新求经济订货批量，并同〔1〕的结果进展比拟。
解：〔1〕k=25，D=2000，C 1=50×20％=10，C 2=30，那么 Q*=12C kD221C C C +=115 C(t*0,S*)=D kC 12212C C C +=866〔2〕Q*=12C kD=100 C(t*0,S*)=D kC 12=1000 与〔1〕相比，〔2〕中的经济订货批量减少，而全年的总费用增加。
2. 某单位每年需零件A 5000件，无订货提前期。
设该零件的单价为5元/件，年存贮费为单价的20％，不允许缺货。
每次的采购费为49元，又一次购置1000－2499件时，给予3％折扣，购置2500件以上时，给5％折扣。
试确定一个使采购加存贮费之和为最小的采购批量。
解：先分别计算享受不同折扣时的经济订货批量，有： Q 1＝.520.04950002⨯⨯⨯＝700Q 2＝85.420.04950002⨯⨯⨯＝711Q 3＝718因享受折扣的定购量均大于经济订货批量，故按享受折扣的定购量分别计算如下表：3.某报亭出售某种报纸，每售出一百X 可获利15元，如果当天不能售出，每一百X 赔20元。
每日售出该报纸份数的概率P (d )根据以往经历如下表所示。
试问报亭每日订购多少X 该种报纸能使其赚钱的期望值最大。
解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销15k售时机的损失的期望值之和为最小。
k = 15，h = 20，那么有 另有故当Q = 8时，不等式成立.因此,最优的订报量为每天800X,此时其赚钱的期望值最大。
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应用运筹学补充练习题《应用运筹学》补充练习题1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。
该店在每月月初进货一次。
已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。
2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。
把这个问题表示成一个线性规划问题3、一个投资者打算把它的元进行投资，有两种投资方案可供选择。
第一种投资保证每１元投资一年后可赚７角钱。
第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。
但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。
假设每年年初都可投资。
为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。
4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。
每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。
每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。
可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。
每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。
副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。
出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。
试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。
5、考虑下面的线性规划问题：目标函数：Max Z=30X1+20X2约束条件： 2X1+ X2≤40X1+X2≤25X1，X2≥0用图解法找出最优解X1和X2。
6、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。
其中B工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。
生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。
又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。
问应如何安排生产才能获利最大？试建立线性规划模型。
7、制造某机床需要A、B、C三种轴，其规格和需要量如下表所示。
各种轴都用长5.5米长的圆钢来截毛坯。
如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。
8、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米3，由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。
贮存费为a+bu，其中a=7元/米3，b=10元/米3，u为贮存的季度数。
由于木材久贮易损，因此当年所有库存应于秋末售完。
各季木材单价及销量如下表所示。
为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立线性规划模型。
9、对以下线性规划问题：Min Z＝2X1+3X2+5X3+2X4+3X5s. t. X1+X2+2X3+X4+3X5 ≥42X1 - X2+3X3+X4+X5 ≥3X1, X2, X3, X4,X5 ≥ 0已知其对偶问题的最优解为 Y1*=4/5, Y2*=3/5, W* = 5。
试求出原问题的解。
10、某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A、B两种设备上加工，有关数据如下表。
利用对偶性质分析以下问题：1）如何充分发挥设备潜力，使产品的总产值最大？2）该厂如果以每台时350元的租金租外厂的A设备，是否合算？11、某打井队要从10个可供选择的井位中确定5个进行探油，使总的探油费用最小。
若10个井位的代号为S1,S2,S3,……,S10，相应的探油费用为C1,C2,C3,……,C10，并且井位选择要满足下列限制条件：1）或选择S1和S7，或选择S8；2）选择了S3或S4，就不能选S5，或反过来也一样；3）在S5,S6,S7,S8 中最多只能选两个。
试建立线性规划模型。
12、某厂可生产四种产品，对于三种主要资源的单位消耗及单位利润见下表：如果产品3的生产需要用一特殊机器，这机器的固定成本为3000，产品2和产品4的生产也同样需要共用一特定的机器加工，其固定成本为1000，写出此时求利润最大的线性规划模型。
13、某化工厂要用三种原料D,P,H 混合配置三种不同规格的产品A,B,C 。
各产品的规格、单价如左表所示，各原料的单价及每天的最大供应量如右表所示，该厂应如何安排生产才能使利润最大？14、某产品有A1和A2两种型号，需经过B1、B2、B3三道工序，单位工时、利润、各工序每周工时限制如下表所示，问工厂如何安排生产，才能使总利润最大（B3工序有两种加工方式B31和B32，只能选择其中一种；产品为整数）。
15、甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间（分钟）如表所示，应指派何人加工何种工件，能使总的加工时间最少？要求建立数学模型并求解。
16、某厂生产柴油机，1－4月份订货任务为：1月2000台；2月3000台；3月5500台；4月6000台；该厂的月正常生产能力为3000台，每台的生产成本为1500元，每月加班生产能力为2000台，加班生产成本为每台2000元，月库存费用为每台50元，1月初库存为0。
建立求成本最低生产计划的线性规划模型。
17、某铸造厂接到一笔订货，要生产1000公斤（一吨）铸件，其成分是锰的含量至少达到0.45％，硅达到3.25％－5.50%。
铸件的售价是4.5元/公斤。
工厂现存三种可以利用的生铁（A、B、C），存量很多，其性质如下表所示。
此外，生产过程允许把纯锰直接加到融化金属中。
各种可能的炉料费用如下：生铁A－210元/吨，生铁B－250元/吨，生铁C－150元/吨，纯锰80元/公斤。
每融化一吨生铁要花费50元。
应如何选择炉料才能使利润最大。
18、已知有三个产地给四个销地供应某产品，产销地之间的供需量和单位运价要求：1）建立此运输问题的线性规划模型（不需要求解）；2）由于市场情况的变化，B3 和 B4 的销量各增加了50单位（运用表上作业法可求得此时最小运费为2950元）。
有关部门在研究调运方案时还需要依次考虑以下情况（已规定其优先等级 P1－P5）：P1: B4是重点保证单位，必须尽可能满足其需要； P2: A3向B1提供的量不少于100；P3: 因道路问题，尽量避免安排A2产品运往B4; P4: 给B1和B3的需求供应率要相等；19、某电台每天允许播出12小时，其中商业节目每分钟可收入250元，新闻节目每分钟支出40元，音乐节目每播一分钟支出17.5元。
依规定：正常情况下商业节目只能占广播时间的20%，而每小时至少安排 5分钟的新闻节目。
试问该电台每天如何安排节目？其优先级如下：P 1—满足政策的要求；P 2—每天的纯收入最大。
建立此问题的目标规划模型。
20、A －J 共10项工作需在两台机器上加工，各自的加工时间如下，如何安排加工顺序使系统效率最高(只要求写出加工顺序)。
21、求出下图中从A 到E 的最短路线及其长度。
22、求下图（22题图）所示网络的最大流（写出线性规划模型，并用图上标注的方法求解）。
22题图 23题图23、求网络（23题图）从节点1到节点7的最短路径（写出线性规划模型，并用图上标注的方法求解 ）。
24、某工厂的某台机器可连续工作4年，决策者在每年年初都要决定机器是否更新。
若购置新机器，就要支付购置费；若继续使用，则需要支付维修与运行费用，而且随着机器使用年限的增加费用也会逐年增加。
已知计划期（4年）中每年的购置价格及维修运行费用如下表所示，试制定今后4年的机器更新计划，使总支付费用最小。
25、某地拟进行石油勘探。
统计资料表明，在相似地理区域钻探的井中，有7口油井和16口干井，每口油井收入都是大约130万元。
若请勘探人员自行开发需花费30万元，如出租给别的公司开采可稳得租金10万元，且若能出油还可额外再得10万元。
该地领导应如何决策？为提高决策的准确性，专家建议可先进行地震试验，从而判断该地区的地质结构是封闭的或开放的。
从地质学知道：有油地区多半是封闭结构，无油地区多半是开放结构，以往情况是有油地区勘测为封闭结构的概率为0.8，无油地区勘探开放结构的概率是0.6。
若做地震试验要花费5万元，该领导又该如何决策？26、画出网络图（不考虑工序时间）网络图1 网络图2 网络图3工序紧后工序工序紧前工序工序紧前工序A C,D A -- A --B C,D,E B -- B --C G C -- C AD H,F D A D AE H,F E B E BF G F C F BG I G B,D G D,EH I H E H D,EI G,H I D,E,FJ E,F J CK E,F K CL I,J L JM D,E,F,G,H,K27、已知某项工程的作业程序、作业时间、直接成本、最大可缩短时间、各工序缩短一天工期所增加的直接费用等信息如下表所示，正常时间完成各工序的直接费用总和为1300元，每天的间接费用为25元：要求：1）画出网络图，计算每一节点的最早、最迟时间，确定关键线路； 2）建立使该项工程达到最低成本时间的线性规划模型；3）计算使总成本最低的最优完工时间。
28、某企业对一种原材料的年需求量为5000立方米，该种原材料的市场价1000元/立方米，每次购买时的订货费8000元，年库存费500元/立方米，试确定最佳订货周期和经济批量。
29、一食品店要决定每月牛奶的进货量，进货每箱80元，售价100元。
如果该店根据过去的销售经验，知道每天需求量的概率分布如下：若当天不能售出因牛奶变质而全部损失，试确定每天最佳进货量和最大期望收益值。
30、某时装专卖店计划在冬季到来前订购一批新颖皮装，已知皮装的进价每件1000元，估计利润率为40%，多进的货如果卖不出去只能以进价的一半返还给厂家，试确定销售服从以下均匀分布时的最佳订货批量。