数理方程课程总结 (精简)

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方程全部知识点总结

方程全部知识点总结一、方程的定义在数学上，方程是指由未知数和已知数，通过运算符号以及等号组成的数学式，常用于描述两个数量在某种关系上相等的情况。

通常来说，方程可以表示为：F(x) = G(x)，其中F(x)和G(x)是两个关于未知数x的表达，它们的值相等。

例如：x + 2 = 5就是一个简单的方程，表示未知数x加上2的结果等于5。

二、方程的基本概念1. 未知数和已知数：在方程中，未知数是指需要求解的数，常用x、y、z等字母来代表；已知数是指已知值或者变量，可以是数字、常数或者其他未知数。

2. 等式：方程的基本构成要素之一就是等式，表示两个数或两个式子相等。

等号左边和等号右边的值相等，才能构成一个方程。

3. 解：求解方程意味着找到使得方程成立的未知数的值。

解可以有一个或者多个，也可能没有解。

解方程的过程就是找到使得等式成立的未知数的值。

4. 方程的次数：方程中未知数的最高次数称为方程的次数。

比如一次方程、二次方程等。

5. 线性方程和非线性方程：根据未知数的次数，方程可以分为线性方程和非线性方程。

一次方程是线性方程的典型例子，非线性方程则包括二次方程、三次方程等。

6. 系数：方程中未知数前面的数字或者参数称为系数，它们可以是实数、复数、甚至函数。

7. 参数方程：在一些特殊的问题中，方程中还会出现参数（通常用t表示），这时方程称为参数方程。

三、方程的解法1. 方程的解法就是求解未知数的值，常用的解法包括代数法、几何法、图像法、方法学法等。

最常用的代数法有以下几种：（1）唯一解的求法：对于只有一个解的方程，可以通过代数运算，利用等式的性质逐步消解未知数的系数，得到最终的解。

（2）一元二次方程的求解：一元二次方程通常是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其解法包括因式分解、配方法、公式法等。

（3）二元一次方程组的求解：当方程中含有两个未知数时，就构成了二元一次方程组，常用的求解方法包括代数消元法、矩阵法、图解法等。

方程主要知识点总结

方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。

方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。

方程的解即是使等式成立的未知数的值。

二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。

2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。

3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。

4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。

5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。

数理方程知识点总结

数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。

数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。

一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。

求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。

具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。

（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。

算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。

华科数理方程总结

华科数理方程总结数理方程（Mathematical Equations）是数学中一个重要的研究领域，它涉及到数学方程的建立、求解和分析。

华中科技大学（HUST）是中国一所著名的综合性大学，在数理方程的研究方面也具有较高的声誉。

本文将对华科数理方程的研究进行总结。

首先，华科数理方程的研究内容非常丰富，包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等不同类型的方程。

其中，常微分方程是研究关于未知函数的导数的方程，它在自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。

华科数学院的研究人员在常微分方程的理论和应用方面具有深厚的研究基础，他们通过对方程的性质、解的存在性和稳定性等进行研究，为相关领域的发展提供了理论支持。

其次，华科数理方程的研究方法多样化，不仅包括数值方法、解析方法，还包括动力学系统理论、变分法、集合拓扑等方法。

数值方法是一种通过数值计算来求解方程的方法，它可以有效地解决一些复杂的方程。

华科数学院的研究人员在数值方法方面取得了显著的成果，他们开发了一系列高效、精确的数值算法，解决了多个实际问题。

除此之外，华科数学院还注重理论的推导和分析，通过对方程的特征和性质进行研究，进一步提高了方程的解析求解能力。

另外，华科数理方程的研究还涉及到一些具体的应用领域，如物理学、生物学、计算机科学等。

数学在这些领域中起着重要的作用，数理方程的研究为相关领域的发展提供了理论支持和实际解决方案。

华科数学院的研究人员不仅注重理论的研究，还积极参与到实际问题的解决中，以理论指导实践，为社会经济发展做出贡献。

华科数理方程的研究在国内外学术界享有很高的声誉。

华科数学院的研究成果在国内外学术期刊上发表，得到了同行的广泛认可。

华科数学院与国内外多个知名学府和科研机构合作，开展联合研究和学术交流，促进了数理方程研究的进一步发展。

总之，华科数理方程的研究涵盖了常微分方程、偏微分方程、差分方程等不同类型的方程，采用了多种研究方法，包括数值方法、解析方法、动力学系统理论、变分法、集合拓扑等。

数理方程总结复习及练习要点-V1

数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。

在学习数学时，数理方程是必修课程之一。

但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。

下面我们一起来总结复习及练习中的要点。

一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。

数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。

这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。

三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。

例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。

2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。

3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。

四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。

例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。

2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。

3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。

五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。

2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。

3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。

总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。

只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。

数理方程总结完整版

此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1

则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

方程的知识点总结六年级

方程的知识点总结六年级在六年级的数学学习中，方程是一个重要的概念。

通过学习方程，我们可以解决各种实际问题。

下面是方程的一些知识点总结。

一、方程的定义与表示方法方程是一个具有等号的数学式子，包括一个或多个未知数。

方程的一般形式为：表达式= 表达式，其中未知数通常用字母表示。

例如，2x + 3 = 7 就是一个简单的方程，其中x是未知数。

二、求解方程的方法1.加减法法通过加减法，可以将方程中的未知数移到等号的一边，将已知数移到另一边。

这样，就可以得到未知数的解。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将3移动到等号的右边：2x = 7 - 3继续计算，得到：2x = 4最后，将方程两边都除以2，得到：x = 2所以，方程的解为x = 2。

2.乘除法法通过乘除法，可以将方程中的未知数的系数化简，从而求解方程。

例如，对于方程3x = 12，我们可以将3移动到等号的右边：x = 12 ÷ 3计算后得到：x = 4所以，方程的解为x = 4。

三、应用方程解决实际问题方程在解决实际问题时非常有用。

我们可以将问题用方程表示，然后通过解方程来求解问题的答案。

例如，小明用了一些时间在跑步上，并且跑了10千米。

已知他的平均速度是6千米/小时，要求计算他跑步的时间。

设跑步的时间为t小时，则方程可以表示为10 = 6t。

我们可以解这个方程，得到：t = 10 ÷ 6计算后得到：t ≈ 1.67所以，小明跑步的时间约为1.67小时。

四、方程的解的判断在求解方程时，我们需要判断方程的解是否正确。

通常，我们将得到的解代入原方程进行验证。

如果代入后两边相等，那么解就是正确的；如果不相等，那么解就是错误的。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们已经求得x = 2。

现在，将x = 2代入方程进行验证：2(2) + 3 = 74 + 3 = 77 = 7验证结果两边相等，所以解x = 2是正确的。

五、方程的应用举例方程在解决实际问题时有很多应用。

数理方程重点总结

X (0) A 0 B 1 0
断言: B 0，于是有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又由边界条件u
0，得
x xl
sin l 0
于是，得到空间变量问题的本征值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将（5）、（7）代入（4）式，即得特解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可以由两个边界条件唯一地被确定。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x

数理方程总结复习及练习要点报告

➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
4
数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数最高的求导次数－偏微分方程的齐次与非齐次不含有研究函数的非零项－偏微分方程的线性与非线性
12
数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv

数理方程-总结复习及练习要点(1)

数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。

在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。

下面是数理方程的总结复习及练习要点。

一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。

二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。

三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。

因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。

数学方程知识点总结

数学方程知识点总结一、方程的基本概念方程是数学中的基本概念之一，它是用来描述数值关系的一种表示方法。

通常情况下，一个方程表示了两个表达式之间的等式关系。

例如，2x + 3 = 7就是一个方程，它表示了一个未知数x与一个已知数7之间的关系。

方程中涉及到的基本概念包括方程的解、根、系数、次数等等。

解是指满足方程的数值，根是指方程的解所在的位置，系数是指方程中的各项的系数，次数是指方程中最高次项的次数。

二、一元一次方程一元一次方程是指具有形式ax + b = c的方程。

其中，a、b、c是已知的常数，x是未知数。

解一元一次方程的关键是通过运算，将未知数x求解出来。

通常来说，可以通过简单的运算，将未知数x解出来。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以通过减去3然后除以2，从而得到x的解为2。

一元一次方程的解通过运算得到的数值是方程的根，它表示了方程的解在实数轴上的位置。

当然，一元一次方程不一定有解，例如x + 1 = 0就没有解。

而当方程有无穷多个解的时候，就称为恒等式。

三、一元二次方程一元二次方程是指具有形式ax^2 + bx + c = 0的方程。

其中，a、b、c是已知的常数，x是未知数。

一元二次方程是一种较为复杂的方程，它可以通过一元一次方程的方法求解，也可以通过因式分解或求根公式来求解。

一元二次方程的解有两个，分别为实数解和虚数解。

实数解可以通过因式分解或求根公式得到，而虚数解通常是通过配方法将其转化为实数解获得。

四、方程的性质方程有许多重要的性质，其中最为重要的性质之一是方程的根与系数之间的关系。

这种关系被称为维特一斯特拉斯逆命题定理（Vieta's theorem）。

这个定理表明，一元二次方程的两个根与系数之间有以下关系：1. 方程的两个根之和等于系数b的相反数。

2. 方程的两个根的乘积等于系数c/a。

这个定理对于求解一元二次方程的根具有非常重要的意义，也为后续的方程求解奠定了基础。

数理方程笔记

第一章教材五章傅里叶变换第一节傅里叶级数从矢量的正交分解谈起定义矢量点积（内积）F = x F i +y F j S =x S i +y S jF ⋅S =F S cos θ= (x F i +y F j ).(x S i +y S j )=x F x S +y F y S =x y F F ⎡⎤⎣⎦x y S S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内积为零，则垂直（正交）分解方法F = x F i +y F jx F =F cos θyF =Fsin θF = x F i +y F j F ⋅i =x F i ⋅i +y F j ⋅ix F =F ⋅i =F cos θ 分解需要什么i j 基 i ⋅j =0(90o ) 系数 x F yF 要研究的量F = x F i +y F j内积这种运算 222x y F F F =+勾股定理（一）周期函数的傅里叶展开①要研究的对象(x)f ，以2l 为周期②基 1, cos x l π,2cos x l π,3cos x l π……cos k x l π……sin x l π,2sin x l π,3sin x l π……sin k x l π……③展开为01212221cos cos ......sin sin ....(x ..)x x x xa a ab l l l lf b ππππ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= ④F = x F i +y F j函数的长度如何表示？两个函数内积定义为(x)*(x)dx ll f g +-⎰ 共轭⑤“基”要求正交11cosdx sin|0ll l lxxllπππ++--⋅==⎰1cosdx 0(k 0)2(k 0)llk xll π+-⋅=≠==⎰1sindx 0llk xlπ+-⋅=⎰coscos dx 0(k )(k )llk x n xn l ll n ππ+-⋅=≠==⎰sinsin dx 0(k )(k )llk x n xn l ll n ππ+-⋅=≠==⎰cossin dx 0llk x n xl lππ+-⋅=⎰证明正交性sinsin dx 0(k )1(k n)x (k n)x cos cos 2(k n)x (k n)x sin |sin |2(k n)2(k n)0lll l l l l l k x n xn l l dx l l l l l l ππππππππ+-+-++--⋅=≠+-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-+-=++-=⎰⎰ 2(sin)dx 012(1cos )212k x sin |22k lll l l lk x l k x dx l l l l lππππ+-+-+-==-=-⋅=⎰⎰ 长度不是1，是()()()()()()()()()()221sin cos sin sin 21cos sin sin sin 21cos cos cos cos 21sin sin cos cos 21cos 1cos 221sin 1cos 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβθθθθ=++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦=+=- ⑥如何求系数F = x F i +y F j 与i 做内积01212221coscos......sin sin ....(x ..)xx x xa a ab ll l l f b ππππ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=求0a 左右两边乘以1，并积分与1做内积求1a 左右两边乘以cosxl π，并积分0121102(x)cosdx 2cos (cos )cos cos ............1(x)cos dx 1(x)dx 21(x)cos dx1(x)sin dxk k lll l l l l l l l ll l l l l xf l x x x x a dx a dx a dx l l l l a lx a f l l a f l k x a f l l k x b f l lππππππππ+-+++---+-+-+-+-⋅=⋅+⋅+⋅++=⋅=⋅==⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑦222x y F F F =+勾股定理同样满足[]2222k k 011111(x)dx +222l l k k f a b a l ∞∞+-===+∑∑⎰功率守恒用数学分析0122012112121222222222120122coscos......sin sin ......)22cos c (x)(x)(os ......sin sin ......22cos 2cos ......2cos sin ......xx x xa a ab b l l l lx x x xa a ab b l l l l x x x xa a a f a ab l l l l f ππππππππππππ+⋅+⋅++⋅+⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅⋅+⋅=做积分可得勾股定理为什么有12l12 12这些系数？介绍频谱例：以2l 为周期的脉冲电流函数f （t ）在[]0,2l 表示为0(t)02tt l f l t l≤≤⎧=⎨<≤⎩展开为傅里叶级数0k k 11(t)cos +sink k k t k t f a a b l l ππ∞∞===+∑∑0011(t)dt t dt 224l l l la f l l +-===⎰⎰ 0000202201(t)cos dt 1t cos dt1td(sin )1sin t sindt cos ()(1)1()02-k ()k l l l l lll kk k ta f l lk t l l l k t l k l t k t k tk l k ll k t k l l k k l k ππππππππππππ+-+++≠=⋅=⋅=⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为偶数为奇数2000001(t)sin dt1t sin dt 1cos cosdt 0(1)(k 1,2,3......)k l l llk k k t b f l l k t l l t k t k tk l k l lk πππππππ++≠=⋅=⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦↵=--=⎰⎰⎰22112(21)(t)cos +(1)sin 4(2k 1)kk k l l k t l k x f l k l ππππ∞∞==--=+---∑∑狄里希利定理：f(x)满足（1）处处连续或者每个周期中只有有限个第一类间断点（2）每个周期只有有限个极值点，则展开式收敛级数和[](x)1(x 0)(x 0)2f f f ⎧⎪=⎨++-⎪⎩连续点间断点（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开01(x)dx21(x)cos dx1(x)sin dxk k ll l l l l a f l k x a f l l k xb f l l ππ+-+-+-==⋅=⋅⎰⎰⎰ （1） f(x)是奇函数00002(x)sin dxk k l a a k xb f l lπ+===⋅⎰k 1sin=0k k xb l lπ∞=±=∑展开式（x=0,）（2） f(x)是偶函数0001(x)dx 2(x)cos dx0k k ll a f l k x a f l l b π++==⋅=⎰⎰0k 1cosk k x a a l lπ∞==+±∑（展x=0,开式）'k1sin =0k k k x a l l lππ∞==±-∑(展开式（x=0,)）（三）定义在有限区间上的函数的傅里叶展开奇函数()(0)0f f l ==做奇延拓偶函数()''(0)0f f l ==做偶延拓（四）复数形式的傅里叶级数（四版，72页）欧拉公式1cos (e e )21sin (e e )2ix ix ix ixx x i --=+=-1cosk (e e )2sink (e e )2ik x ik x ik x ik x lx ix ωωωωπωωω--==+=-+00000k k 111111(x)(cos sin )11(e e e e )222211()e ()e 22c ec e c e 1()k 02c 01(2k ik x ik x ik x ik x k k k k k ik xik xk k k k k k ik xik xk kk k ik xkk k k k f a a k x b k x i ia a ab b a a ib a ib a a ib a k ωωωωωωωωωωω∞=∞--=∞∞-==∞-==-∞+∞=-∞=++=++-+=+-++=++=->==∑∑∑∑∑∑∑)0k k a ib k --⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+<⎪⎩0001111(x)cosk xdx (x)sink xdx (x)e dx 2201111(x)cos(k x)dx (x)sin(k x)dx (x)e dx2211(x)dx (x)e dx 22l l l ik xk l l l l l lik x k l l l l l i xl l k c f i f f l l lk c f i f f l l l c f f l lωωωωωωω+++----+++----++--->⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦<⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰作业：三版：42页，3,5（2），6（2）四版：72页，3,5（2），73页6（2）第一章教材五章傅里叶变换第二节傅里叶积分与傅里叶变换（一）实数形式的傅里叶变换0k k 1g(x)(cos+sin )k k x k xa ab l lππ∞==+∑令123231k kk k l lll l l ππππωωωωωπωπ====∆∆==0k k 1g(x)(cos sin )k k k a a x b x ωω∞==++∑11111g(x)g(x)dx g(x)cos dx cos )g(x)sin dx sin )2l l lk k k k l l l k k x x x x l l lωωωω∞∞+++---===+⋅+⋅∑∑⎰⎰⎰研究l →∞1lim g(x)dx 02lll l +-→∞=⎰ g (x )d xl l +-⎰要求有限 111;;;1lim g(x)cos dx cos 1lim g(x)cos dx)cos 1f(x)cos dx cos k k k k l k k l l k l k k k l l k dw l lx xlx x x xd ωπωωωωπωωωωωπωωωπ∞+-→∞=∞+-→∞=∞+∞-∞∆=∆=→∆→⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰∑⎰⎰⎰同理正弦部分的极限是：1f(x)sin dx sin x xd ωωωπ∞+∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰1()f(x)cos dx 1B()f(x)sin dxA x x ωωωπωωωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰为偶数为奇数(x)()cos d B()sin d f A x x ωωωωωω∞∞=+⎰⎰PPT 傅里叶积分定理变换的应用举例1.23 5.67lg lg1.23lg 5.670.24350.08990.75366.9743A A A =⨯=+↓↓↓=查对数表查反对数表[]00(x)()cos d B()sin d =()cos +B()sin d =C()cos(())d C()()=arctan(B()())f A x x A x x x A ωωωωωωωωωωωωωϕωωωϕωωω∞∞∞∞=+-=⎰⎰⎰⎰振幅（谱）相位（谱）00002(x)-(x)()0;(0)0(x)B()sin d 2B()f()sin d (x)(x)B()0;(0)0(x)A()cos d 2A()f()cos d 2=f f A f f x f f f f x ωωωωωξωξξπωωωωωξωξξππ∞∞∞∞=-=====-====⎰⎰⎰⎰’奇函数傅里叶正弦变换偶函数对称形式例111|x |2rect 10|x |2x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩00(t)h rect()2(t)A()cos d 22A()f()cos d h rect()cos d 222sin h os d Ttf Tf t tTh Tc ωωωωξωξξωξξππωωξξππω∞∞∞=⋅===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰将展开为傅里叶积分例20002sin |t |2N 20|t |A t N N πωωπω⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩个正弦波f(t) 00020002200(t)()sin d 2B()f(t)sin d 2sin sin d 2sin(N 2)()N f B t t t A t t t A πωωωωωωπωωπωωππωωω∞∞====-⎰⎰⎰ （二）复数形式的傅里叶积分1cos (e e )21sin (e e )2i x i x i x i x x x i ωωωωωω--=+=-代入实数形式的傅里叶积分00(x)()cos dx B()sin dx f A x x ωωωω∞∞=+⎰⎰[][][]00000011(x)()(e e )d B()(e e )d 221111()B()e d ()B()e d 222211()B()e d ()B()e d 221()B()e d 21()()2i x i x i x i x i x i x i x i x i x f A iA A i i A i A i A i F A i ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω∞∞--∞∞-∞-∞+∞-∞=++-⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→-=-+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰[][]B()(x)()e d 1()(x)cos sin dx 21(x)e dx 2i x i x f F F f x i x f ωωωωωωωωππ+∞-∞+∞-∞+∞--∞==-=⎰⎰⎰傅里叶积分（逆变换）傅里叶变换[][]1()=F (x)(x)F ()F f f F ωω-=表示方法复数形式的傅里叶变换例3(t)h rect()2t f T=⋅求的傅里叶变换 1F h rect()=h rect()e d t 222e d t 2=e |2sin i t T i t T i t T T t t T T h h i h T ωωωπππωωπω+∞--∞+---+-⎡⎤⋅⋅⎢⎥⎣⎦=-=⎰⎰ ω可以为负，正负对称，所以少了系数21sin (e e )21cos (e e )2ix ix ix ix x ix --=-=+作业：三版104页2,4四版81页2,82页4参考三版81页四版63页例题结果（三）傅里叶变换的性质（1）导数定理(x)i F()f ωω→’ '''11(x)(x)e d e d (x)2211(x)e (x)e dx 22lim (x)01(i )(x)e dx 21i (x)e dx 2()i x i x i x i x x i x i x F f f f f f f f f i F ωωωωωωωππππωπωπωω+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞→±∞+∞--∞+∞--∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分定理(x)(x)F()1()d ()f f F i ωξξωω→→⎰ 与导数定理相反（3）相似性定理1(ax)F()||(ax)F()f a af aωω→以a>1为例，说明一下意义，形状变窄，变宽[][]01F (ax)=(ax)e dx (ax y)211(y)e d 211(y)e d 21F()||01F (ax)=-F()||i x y i a yi aa f f f ya f ya a a a f a a ωωωπππωω+∞--∞-+∞-∞-+∞-∞>→===<⎰⎰⎰时时（4）延迟定理00(x x )e F()i xf ωω--→00000(y )y1(x -x )e dx (x x y)21()e dy21e ()e dy2e F()i xi x i x i i x f f y f y ωωωωωπππω+∞--∞+∞-+-∞+∞---∞--→===⎰⎰⎰（5）位移定理（调制定理）（6） 00e (x)()i x f f ωωω→-(t)sin f t ω证明 00()01e (x)e dx21(x)e dx 2F()i xi x i x f f ωωωωππωω+∞--∞+∞---∞==-⎰⎰（6）卷积定理12121212(x)(x)f ()f (x )d (x)(x)2()()f f f f F F ξξξπωω+∞-∞*=-*→⋅⎰在信号与系统和数字信号处理中有用，在课程中也有涉及举例有热辐射源分布，1f ()ξ表示热源强度，如果只有一个热源，那越接近温度越高1212f ()f (x )(x)f ()f (x )d x u ξξξξξ+∞-∞-=-⎰点温度所有ξ点对x 的影响都加在一起（四）多重傅里叶变换（简单介绍）12312311212113123212()1233(x,y,z)1(x,y,z)e dx 21e dy 21e dz 21(x,y,z)e (z)e dz (2)i x i y i z i x y z i z f f f dxdydz f ωωωωωωωωπωωωπωωωωωπωωωπ+∞--∞+∞--∞+∞--∞-++-∞=⎰⎰⎰⎰⎰⎰对x:F(,y,z)=对y:F (,,z)=F(,y,z)对z:F(,,)=F (,,z)F(,,)=反变123()123123123123123123(x,y,z)=e e i x y z i z f d d d d d d d d d d ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω++∞∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰换F(,,)F(,,)F(,,)F()第一章第三节δ 函数（一）δ 函数引1一根钢管5m ，20kg ，均匀，线密度为4kg/m ，如果长0.2m ，线密度？0(x)0(x)l l dx mρρ+-⎧=⎨≠⎩=⎰很大x=0x 0引2 概率密度定义0000000(x)0(x)(x)=11lim ()(x)(x )x 0;x ,l dx dx x rect l lx x x x δδδδδ+∞+-∞-→∞⎧=⎨≠⎩==--==∞⎰⎰x=0x 0且那么位于，质量为m 的质点的线密度为m 有第一个用处：表示点电荷质点的线密度（二）δ（x ）的性质（量纲上说：密度）（1）是偶函数(x)(x)δδ-=如果奇函数0(x)01lim ()(x)l dx x rect l lδδ+∞-∞→==⎰ 导数''(x)(x)δδ-=-是奇函数（2）0((x)(t)1(t),H(t),(x)(x)(x)x H dt u H dH dxδδ-∞⎧==⎨⎩=⎰x<0）（x>0)都可以，单位阶跃函数（3）对于连续函数()f τ00000000000()()()()(t )()(t )(t )()()(t)()()t t t t f t d f t d f t d f f f t d f f t d εεεετδτττδττδτττδτττδττ+∞-∞+-+-+∞-∞+∞-∞-=-=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰一个函数等于它与δ函数的卷积第二个用处，连续量表示为脉冲量的积分（三）δ（x ）是一种广义函数只要满足(x)()()f f x d ξδξξ+∞-∞=-⎰的δ（x ）都可以叫做δ函数（四）δ（x ）的傅里叶变换0111()(x)e dx e 222i x i c ωωωδπππ+∞---∞===⎰ 逆变换：1(x)e dx 21(x)e d 2i x i x ωωδπδωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰δ（x ）的傅里叶变换，另外求法001lim ()(x)11sin(/2)F(())=2/21sin(/2)1lim 2/22l l x rect l lx l rect l l l l l δωπωωπωπ→→== 例2 (x)1f =的傅里叶变换11e dx ()()2i x ωδωδωπ+∞--∞⋅=-=⎰1(x)e d 21()e dx 2i x i x ωωδωπδωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰（五）多维δ（x ）函数三维δδδδ（r ）=（x ）（y ）（z ）第二章教材七章定解问题第二章（教材七）物学物理定解问题定解问题由方程、边界条件、初始条件构成（1）方程静电势20(u 0)u ∇=∆=稳定温度20(u 0)u ∇=∆=稳恒温度场为(x,y)u温度梯度u ∇散度20u u ∇∇=∇=（2）边界条件0|100c o x u ==（3）初始条件0|?f(x,y)(x,y)100c t o u ==点的温度然后边界处于，各个点温度随时间变化的规律例子：一维稳恒温度分布2220(x)10000|0|100100x x l xu luu x u u uc u cx D u xx l ==⎧=⎪⎪∂⎪∇=⇒=⎨∂⎪=⎪⎪=⎩∂==+=∂第一节数学物理方程的导出方法：（1）确定研究哪一个物理量温度，位移，电势(x ,t )u （2）空间上划分出一小部分 ,,dx ds dv（3）研究一个短时间内的变化dt（一）弦的微小横振动例琴弦的振动假设：A 弦是柔软的，力沿切线方向，法向不能提供力（板擦） B12353524,sin ......3!5!2tan ......3!15cos 1 (1)2!4!ααααααααααααααα=-++≈=+++≈=-++≈很小忽略重力影响水平方向：21(x dx)cos (x)cos 0(x dx)(x)T T T T αα+-=+=垂直方向：ρ为线密度 kg/m22122221222222222sin sin (x,t)dx (x dx,t)sin tan (x,t)sin (x dx,t)(x,t)(x,t)dx (x dx,t)(x,t)(x,t)(x,t)(u dx T T F tm au xu xu u u dx T F t x x dxu u u T F t x dx u u T F t xT a f ρααααααρρρρ∂=-+∂∂+=∂∂∂∂∂+∂⎡⎤=-+⎢⎥∂∂∂⎣⎦÷∂∂+-⎡⎤=+⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂=+∂∂=令2222222(x,t)x,t)(x,t)u u (x,t)u u 0()u u(x,t)tt xx tt xx F u u a f t xa f a ρ=∂∂=+∂∂-=-==无外力（二）均匀杆的纵振动定义相对伸长为“应变” (x dx,t)u(x,t)(x,t)u u dx x+-∂=∂ 胡克定律(x,t)(x,t)Y u P x∂=∂ (x,t)P ：作用于物体的“应力”（单位面积上的力），压强单位 Y 杨氏模量作用在（x,x+dx ）上小段的合外力为 [][]22P(x dx,t)(x,t)(x dx,t)(x,t)(x dx,t)(x,t)(x,t)F S P u u SY x x SY u u xu SY dx x=+-∂+∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦∂=+-∂∂=∂ 作业：三版152页2,3；四版121页2,3222222,(x,t)(x,t)=t u u 0tt xx sdx s u u SY dx s dxx Y a a ρρρρ∂∂∂∂=-=设细杆密度为，m=为截面积以上两种属于波动方程，二维，三维的方程22u (u u )0u (u u u )0tt xx yy tt xx yy zz a a -+=-++=（四）扩散方程传输线方程金和铝压在一起四年，互相扩散物理量是浓度u ，起源是浓度不均匀，浓度随空间变化用浓度梯度表示u ∇扩散运动的强弱用单位时间通过单位截面积的质量表示q （扩散流强度）扩散定律x y z q D u u q Dx u q Dy uq Dz =-∇∂=-∂∂=-∂∂=-∂研究三维空间中的扩散定律，单位时间沿X 方向净流入为x x dx q dydz q dydz +-(x,y,z,t)(x dx,y,z,t)(x dx,y,z,t)(x,y,z,t)():()z :()u u Ddydz D dydz x xu u D D dydz x x uD dxdydz x x uy D dxdydz y y uD dxdydz z z ∂∂+=-+∂∂∂+∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2222()()()()u (u u u )0u 0u =t xx yy zz t t u u u u dxdydz D D D dxdydz t x x y y z z dxdydza D a a u a u⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦=-++=-∆=∆粒子数守恒约掉令均匀，常数如果单位时间单位体积产生的质量为(x,y,z,t)F2u =(x,y,z,t)t F a u +∆四版111页（三）传输线方程（电报方程）单位长度电阻R ，电漏G ，电容C ，电感L()()x tx tdj vGdx vCdx t dv jRdx jLdx t dxjv Gv C j Gv Cv x t v j v Rj Lj Rj L xt ∂⎧=--⎪⎪∂⎨∂⎪=--⎪∂⎩÷∂∂⎧=--⎪=--⎧⎪∂∂⇔⎨⎨∂∂=--⎩⎪=--⎪∂∂⎩()0......(1)()0......(2)()0....................................(3)()()()0......(4)()xx jG C v x t v R L j t x j G C v x t x G C R L j G C v G C t t x t t ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩∂∂∂⎧++=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂∂∂⎪++++=+⎪∂∂∂∂∂⎩用作用于（1）用作用于（2）222-()0()v 0R=0G=0010001tt xx t tt xx t tt xx tt xx tt xx tt xx LCj j LG RC j RGj LCv v LG RC RGv LCj j j j LCv a v j a j a a LC-+++=-+++=-=-=-=-==（4）（3）同理如果，，无电阻，无电漏则表示电磁波的速度三维空间中的电磁波（真空） 222233222222300010tt tt v E j HE a E x y z H a H a c με→→∂∂∂-∆=∆=++∂∂∂-∆===（五）热传导方程（三版146页，四版117页）热流强度q单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量||dQ q dSdt=A ：傅里叶定律q K u =-∇B ：牛顿冷却定律单位时间，从物体内部通过单位表面积流到周围介质的热量跟物体表面与外界的温差成正比，即()()()()()0012,H ,,,|Q Q ,y,z,t ,y,z,t s ssvvq s t u x y z t u u v qd s K ud s K u dvv F x dvF x ∆∆=-⎡⎤⎣⎦∆=-=∇=∇∇∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰环境温度位于内的介质吸收的热量来自热传导的热源单位时间流入的热量单位时间内热源释放的热量热源密度单位时间单位体积释放的热量()()()1222222222Q +Q ,y,z,t =+F ,0v v v v t t t t xx v u c dv t u c dv K u dv F x dv t v u c K u tK FK a f c c c u a u f u a u ff u a uu a u ρρρρρρ∆∆∆∆∆∂=∂∂=∇∇+∂∆∂∇∇∂==÷=∇+-∇===∇-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰单位时间内，中介质温度升高所对应的热量是任意选取的为常数，一维情况以上两类属于运输方程（五）稳定浓度分布 ()()()222,y,z,t ,y,z 1,y,z =0t u a u F x a u F x u F x au -∆=-∆=∆=-∆泊松方程如果F=0,则，拉普拉斯方程（六）稳定温度分布()()22222222222,y,z,t ,y,z,t 00;0;0000t u a u f x f f x a u ff a u u u u u ux y z u x-∆===∆+=∆=∆=∆=∂∂∂++=∂∂∂∂=∂具体化（物理意义：每一点的散度为0，保证温度不变）一维（七）静电场在介电常数为ε 的介质中，电荷分布为(),,f x y z ρ ，则静电场(),,?E x y z =22S v =-0fsfvv f vvff ff Q E d Edv dv E dv dvE u E E u u u u u ερερερερερερ⋅=∇⋅=∇⋅=∇⋅=∇-∇=∆=∇=-∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰体积足够小用电势表示，无电荷以上三种称为稳恒场方程220000tt xx t xx xx yy u a u u a u u u u ⎧-=⎪-=⎨⎪∆=⇔+=⎩双曲型方程抛物型方程椭圆型方程第七章第二节定解条件只有方程还不能求解！例如''''00222()0||0x x y y x y ay b y y u u a t x===++=∂∂-=∂∂如果要三个条件（一）初始条件1给出系统各点的初位移和初速度00(,t)|(,0)(x)|(,0)(x)t t t u x u x uu x tϕϕ====∂==∂ 2给出系统的初始温度（浓度）0(,y,z,t)|(x,y,z)t u x ϕ==例：长为l ，两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离b ，写出初始条件初位移202(,0)2()2bl x x l u x b l l x x l l⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩初速度放手的那一瞬间，各点的速度为(,0)t u x =0（二）边界条件分为三类：（1）给出边界上的值（2）给出边界上外法线方向的导数值，纵振动杆的一端受一个恒定拉力（3）给出上面两类的组合的值（1）第一类边界条件两端固定的弦()0|(0,t)0|,0x x l u u u u l t ======细杆导热00(,)|(t)0(,)|x x a u x t f x f t u x t u x a u ======一端按（）变化一端恒温扩散000(,)|(,)|x x l u x t N u x t N ====恒定表面浓度扩散（2）第二类边界条件1纵振动的杆00,Y |()()=;|-()=;|-()=0|=00,x a x l x x a a lun s f t nu u u f t n x x YS u u u f t n x x YSuf t a l n =====∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂是外法线方向右：左：（）如果自由，（）2细杆导热00000()-K|()()()-K|()|()()-K |()|()()|()()|-=0|0|0x a x x x x x l x l x x l n f t uf t nu u f t f t f t n x K u u f t f t f t n x K u f t f t x K u f t f t x Ku u un x x=========∂=∂∂∂=-⇒=-∂∂∂∂=⇒=∂∂∂⇒=∂∂⇒=∂∂∂∂==∂∂∂：外法线方向：沿外法线方向的热流强度左端流入左端流出右端流入右端流出没有热流（绝热）（3）第三类边界条件2作纵振动的杆00SY|,SY ()|0SY |+-SY ()|0x l x l x x x luKu u x u u K xx u Ku x u u K x=====∂=-∂∂+=∂=∂=∂∂+=∂增加时，力与外法线方向相反（）（4）第三类边界条件0-K |(|)()()()0()nn x a n x a n x a x x l x x x a n q Ku u h u K u Hu H ha l u Hu a u Hu θθθθθ=======-=-+===+==-=自由冷却，环境温度：外法线方向m ||tt x l x x l u mg YSu ===-（三）衔接条件A 静电场界面两侧①12u u = ②2121()f u un nεεσ∂∂-=-∂∂面电荷密度 B 弦①00(0,)(0,)u x t u x t -=+ ②1211022000()sin sin 0sin (0,)sin (0,)(0,)(0,)()x x x x F t T T tg u x t tg u x t Tu x t Tu x t F t αααααα--=--++--=-（四）①自然的周期条件②无穷远或圆心有限或圆上有限作业：161页，1,2,3；四版128页，1,2,3第二节达朗贝尔公式定解问题（一）达朗贝尔公式0,,(,)()()0t 0t xx xy yy au bu cu a b c u x y f y x x t u f y t λλλλ++==+→=+>↑<↑为实常数假设解释左加右减2''''''2''2''2121122122121122()()()0()()00()0=b 40(,)()()=b 402(,)()()a f y xb f y x cf y x a bc f y x a b c f y x ac R u x y f y x f y x f f bac au x y f y x xf y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+++++=+++=++=+=∆->≠∈=+++∆-===-=+++，代入方程或（无意义）（1）要求存在连续二阶导数(2)[][]2112212=b 40(,)()()()()ac i u x y f y x f y x f y x i x f y x i x λαβλλαβαβ∆-<=±=+++=++++-(3)求解222''2''120(,0)(x)(,0)(x)0(x )00(,t)(x )(x )tt xx tt xx u a u x u x u x u a u u u t u a u a a u x f at f at λλλ⎧-=-∞<<+∞⎪=Φ⎨⎪=ψ⎩-==+-==±>=++-无限长弦的横振动，杆的纵振动（1）通解令解释：行波法，解释物理意义，随t 向左和向右运动，a 为波速（2）函数1f 与2f 的确定[][]000012''01201102201212102011(,0)|()()(x)(,0)|()()(x)()()()()()()()(x)1()()()()()111()(x)()222t t t t xx xx x x u x u f x f x u x u af x af x x x a f x f x a f x f x d f x f x f x f x d f x f x a f x d f a ξξξξξξ====+=Φ==-=ψ→---=ψ+=Φ⎧⎪⎨-=ψ+-⎪⎩=Φ+ψ+⎰⎰⎰从做积分[][][]00202102012()()111()(x)()()()222(,)(x )(x )11(x at)(x at)()22x x x atx at x f x f x d f x f x a u x t f at f at d aξξξξ+--=Φ-ψ--=++-=Φ++Φ-+ψ⎰⎰（二）半无界弦的自由振动1端点固定200(,0)(x)(,0)(x)0(0,t)0tt xx t u a u x u x u x x u ⎧-=<<+∞⎪=Φ=ψ≤+∞⎨⎪=⎩不能直接用达朗贝尔公式，先看公式只要满足(0,t)0u =即可[][]11(,)(x at)(x at)()2211(0,)(at)(at)()022(at)(at)()x atx at atat u x t d a u t d a ξξξξξ+-+-=Φ++Φ-+ψ=Φ+Φ-+ψ=Φ=-Φ-⎧⎨ψ⎩⎰⎰为奇数延拓(x)x 0()(x)x 0(x)x 0()(x)x 0x x φφϕψϕ≥⎧Φ=⎨--<⎩≥⎧=⎨--<⎩ 定解问题转化为：20-(,0)(x)(,0)(x)-tt xx t u a u x u x u x x ⎧-=∞<<+∞⎪⎨=Φ=ψ∞≤+∞⎪⎩代入达朗贝尔公式求解2端点自由200(,0)(x)(,0)(x)0(0,t)0tt xx t xu a u x u x u x x u ⎧-=<<+∞⎪=Φ=ψ≤+∞⎨⎪=⎩进行偶延拓(x)x 0()(x)x 0x φφ≥⎧Φ=⎨-<⎩ (x)x 0()(x)x 0x ϕϕ≥⎧ψ=⎨-<⎩ 再利用达朗贝尔公式求解作业：三版179页；四版142页（三）定解问题是一个整体方程和定解条件是一个整体，很少有先求通解，再利用定解条件求解，必须同时考虑方程和条件（四）定解问题的适应性满足：有解，唯一，稳定定解条件的数值有细微改变解的数值也作细微的改变就称为适定的第三章教材八分离变数法有电子版第一节齐次方程的分离变数法（一）分离变数法200000||0|(x)|(x)tt xx x x l t t t u a u x l u u u u ====⎧-=<<⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩()()()()()()()()''2''''2''''''22''''22(,)()()=000000000000+=0u x t X x T t XT XT a X T X X T X l X l T t XT a X TT X a XT a T XX X X X l T a T a a λλλλ=⎧-==⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩=÷==-⎧+=⎪⎨==⎪⎩+==令代入方程本征值问题讨论：()12121212(1)0000X x c e c e c c c ec e c c λ<=++=⎧⎪⎨+=⎪⎩==无意义()1221212(2)=000X x c x c c c l c c c λ=+=⎧⎨+=⎩==无意义()()1212222222''0sin 000sin 0(n )0,0(n 1,2,3......)X ()sin 0(0)0Ax=x n X x c c c c c c n l n ln xx c lx x x x l ππλπλλ=+=⎧⎪⎨=⎪⎩=∴≠∴==>>===⎧+=⎪⎨==⎪⎩无意义为正整数本征值本征函数本征值问题与矩阵的特征值问题一样看关于T （t ）的方程()()()()()()''222''221,23100cos sin,,cos sin sin 1,2,3......,,cos sin sin n n n n n n n n n n n n T a T n T a T ln at n atT t A B l lu x t X x T t n at n at n x u x t A B n l l l u u u n at n at n x u x t A B l l l λπππππππππ∞=+=+==+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑都是解（满足方程，边界条件），不见得满足初始条件也是解（半通解），求系数可以满足初始条件011011002sin (x)sin ()sin 2sin (x)sin ()sin (x)(x)2=()sin 2=()sin n nl n n n n n l n n n n n l n l n n x n x n A a a d l l l l n a n x n x n B b b d l l l l l n A d l l n B n a lπππξϕφξξππππξξξϕπξφξξπξξπ∞∞==∞∞==⎧===⎪⎪⎨⎪=ψ==ψ⎪⎩ψψ∑∑⎰∑∑⎰⎰代入初始条件利用傅里叶展开和，对应项相等，可得：d ξ⎰（二）例题（书，185页）例1200000||0|(x)|(x)tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u u ====⎧-=<<⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩()()()()()()()()()'''2''''''22''''2(,)()()0t 000==0'0000u x t X x T t X T T t X X l X l T t XT a X TT X a XT a T X X X T a T X X l λλλ==⎧⎪≠∴⎨=⎪⎩=÷==-⎧+=⎪+=⎨==⎪⎩'代入边界条件'方程本征值问题’’()()12'12(1)000X x c e c e X x c c c c c c c c λ<=+=-⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴==无意义()()()()12'1110200100()X x c x c X x c c c X x c X x c c =+===⎧==⎨=⎩有意义()()12'2212221(3)0sin 0000,0sin 0(n )(n 1,2,3......)X()cos (n 1,2,3......)cosn n X x c c X x c c c c c c c n n ln xx c l n xX c lλππλππ>=+=-+⎧==⎪⎨-=⎪⎩=≠∴========1,2,3......、22200(n 01,2,3......)cos (n 0,1,2,3......)n n n l n xX c l λλπλπ=>====把，的情况结合在一起，余弦级数的基本函数族看关于T （t ）的方程()()()()()()()22''22''0000000000000cos sin 1,2,3......0,,cos sin cos 1,2,3......,cos sin n n nnn n n n n T aT n l T n n at n at T t A B n l l T t A B t n u XTu x t A B t C n at n at n x u x t A B n l l l n at n a u x t A B t A B l ππππππππ⎧+=≠⎪⎨⎪==⎩⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩==+⎧⎪⎨⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎩=+++方程解半通解1cos n t n x l l π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑00110011000000+cos =(x)+cos +cos =(x)+cos 1=()1=()2=()cos 2=()cos nn n n n n n n l ll n l n n x n x A A a a l l n a n x n x B B b b l l l A d lB d l n A d l l n B d n a l πππππψφξξξξπξφξξπξξξπ∞∞==∞∞==⎧Φ=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ψ⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ψ⎪⎩∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰代入初始条件例2220000|0|0|(0x )txx x x x l t k u a u a c u u xu u l l ρ===⎧-==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=<<⎪⎩()()'''2(,)()()0000,0u x t X x T t X X T a T X X l λλ=⎧+=⎪+=⎨==⎪⎩’()()12'1222220,00sin 0001()(k 0,1,2,3......)21()2(k 0,1,2,3......)1()2X()sin (k 0,1,2,3......)X x c c X x c c c c k k l k xx c lλλλππλπ=<>=+=-+=∴≠⎧⎪⎨=⎪⎩=+=+==+==无意义时代入条件T （t ）的方程()222222222'221()21()2000000201()201()2sin1()2,sin1()2sin 01()2sin 1()22=sin (2=-cos 1()2k a tl k a tl k k k k l k l k T a T l k xT celk xu x t c elk x u c x x l l l k xlk u c d l l lu l d l k ππππππππξξξξπ+-+∞-=∞=++=+=+=+=<<+++∑∑⎰⎰代入初始条件以为基本函数族做傅里叶展开()22200022000221()20221)211()()2222cos |cos 11()()221()22sin |11()()222(1)1()21()212,(1)sin1()2ll l kk a tkl k k l k k u u l l d l l l l k k k u l l l k k u k k xu u x t elk ππξπξπξξξπππξπππππ+∞-=⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++=-++++=++=-++=-+⎰∑作业：三版201页1,2,7；四版160页1,2,7 例3000000(0,0)||(0)||(0)xx yy x x a y y b u u x a y b u u u u y b u u u Ux a ====+=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩非齐次条件，不能分离变量，边界条件不能分离00000000000000+0v ||v ||v ||v ||00v |v ||0|0v |0v |0||xx xx yy yy x x x a x a y y y b y b xx yy xx yy x x a x x a y y b y y b u v wv w v w w u w u w u w U v v w w u u w w w u w U=================+++=⎧⎪+=+=⎨⎪+=+=⎩+=+=⎧⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪====⎩⎩ 特殊解决方法：()()0,,u x y u v x y =+ 代入方程及条件： 0000v |0v |0v |0v |xx yy x x a y y b v v U u ====+=⎧⎪==⎨⎪==-⎩()()''''v(,y)()Y(y)0000x X x X X Y Y X X a λλ=⎧+=⎪-=⎨==⎪⎩2221(n 1,2,3......)X ()sin (n 1,2,3......)(y)(x,y)()sin(x,y)()sinn n n y y aa n n n n n y y aan n n n n y y a a n n n n an xx c a Y A eB en x v A eB ean xv A e B e a πππππππλπππ--∞-======+=+=+∑代入y 的边界条件()()()()()()1010000()sin 0()sin 00n 4n 0n 4=-=n -)121241,2nn n n n b ba a n n n n n n nb b a an n n n n n b ba a x xx x n x A B a n x A e B e U u a A B A e B eU u n U u A B n e e shx e e chx e e U u u x y u πππππππππππ∞=∞-=----⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩+=⎧⎪⎪⎧⎨⎪+=⎨⎪-⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩=-=+-=+∑∑为偶数为奇数为偶数为奇数（0(21)(21)sin (21)1n k yshk x a k b k a shaπππ∞=++++∑ 例4、求导体附近的电势分布垂直纸面是均匀的222222x y a 00(x y a )|0|xx yy r u u u u E X +=→∞⎧+=+>⎪=⎨⎪=-⎩令()()22222a 0,()00(a)|0|cos (,2),u x y XY X x Yu u uu u E u u ρρρρρρρϕρϕρϕπρϕ=→∞==⎧∂∂∂++=>⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪+=⎩不能分离出边界条件，边界用两个变量表示极坐标()()()()()()22''22''22''2''',()01()00+2=()(+2=()u R d R dR R d d d R dR R R d d R R R R R ρϕρφϕρρρρρρλρρλρρλρϕπρϕϕπϕ=Φ++Φ=Φ÷Φ+=-=ΦΦ+Φ=+-=ΦΦ⇒ΦΦ代入周期条件）本征值问题''(+2=()0ϕπϕλΦΦ⎧⎨Φ+Φ=⎩）()()()201,2,3...()0000A B m m A B B Be A B λλϕϕλλ⎧+>⇒==⎪⎪Φ=+=⇒=⎨⎪+<⇒==⎪⎩,可以,,可以,不可以本征值20,1,2......m m λ==本征函数()cos sin 0,1,2,3......m m A m B m m ϕϕϕΦ=+=222222222222()01=,ln ,11111101(m 0)ln (m 0)t mt mt mmR d R dR m R d d dt e t d dR dR dt dR d dd dt d dt d dt d R d dR dR d Rd d dt dt dt d Rm R dtCe De C D R C Dt C D ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ-+-=====⇒=⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭∴-=⎧+=+≠⎪=⎨⎪+=+=⎩的方程欧拉型常微分方程，作代换()()()()()0000011()m 0(,)ln m 0(,)cos sin cos sin (,)ln cos sin cos sin m m m m m m m mm m m m m m m R C u C D u A m B m C m D m u C D A m B m C m D m ρρϕρρϕρϕϕρϕϕρϕρρϕϕρϕϕ-∞∞-==Φ==+≠=+++=+++++∑∑代入边界条件()()()()00110000220110lna cos sin cos sin 0lna 0lna 00cos sin cos 1ln cos sin mm m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m mmm m m m m C D aA mB m aC mD m C D C D a A a C C A a a B a D D B aAm B m E C D A m B m E ϕϕϕϕρρϕϕρϕρρρϕϕρρ∞∞-==--∞=-+++++=+==-⎧⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩→∞+=-÷⇒+++=-∑∑∑0110221102000cos 0;D 0;0(m 1);C 0(m 1)(,)ln cos cos m m m m m B A E A C A a E a a u D E E a lϕρρϕρϕϕ∞====-=>=-==>=-+∑作业：三版201页11,202页16；四版160页11,161页16第二节非齐次振动方程和输运方程（一）傅里叶级数法分离变数法(,)()(x)(x)()n n nu u x t X x T T X x ===∑2000''2''20000cos sin 0|0|0|(x)|(x)cossin 0|0|0|(x)|(x)ttxx x x x x l t t t tt xx x x x x t t t x u a u A t x llu u u u u XTxXT a X T A t lu a u u u u u πωπω========⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎪⎩=-=⎧-=⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩分离如果就可以求解本征函数cos,0,1,2......n xn lπ= 假设原方程的解具有()0T cosn n n xt lπ∞=∑的形式，代入原方程 222''2022''112222''2T cos cos sin sin cos 1T sin 1T 0n n n nn a n x x x T A t A t l l l l a n T A t l n a n T l ππππωωπωπ∞=⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦⎧=⇒+=⎪⎪⎨⎪≠⇒+=⎪⎩∑ 代入初始条件()()00'00T 0cos (x)(x)cos T 0cos (x)(x)cos n nn n n nn n n x n xl l n x n x l l ππϕϕππ∞∞==∞∞=====ψ=ψ∑∑∑∑ 000'0000'01(0)=()1(0)=()2(0)=()cos 1,2,3......2(0)=()cos 1,2,3......l l l n n l n n T d l T d l n T d n l l n T d n l l ϕϕξξψψξξπξϕϕξξπξψψξξ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰①。

完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结

完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结知识点1：一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数为1，系数不等于0的整式方程。

其标准形式为ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0），最简形式为ax=b（a≠0）。

不定方程是含有两个或两个以上未知数的代数方程，一般有无穷多解。

等式是用符号“=”表示相等关系的式子，左、右两边分别为等式的左边和右边。

方程的根是只含有一个未知数的方程的解。

解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1.矛盾方程是一个方程，不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值。

知识点2：二元一次方程是有两个未知数，未知项的次数为1的方程。

二元一次方程组是含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组。

解二元一次方程组的两种方法为代入消元法和加减消元法。

代入消元法的步骤为：将方程组中的一个未知数化成另一个未知数的代数式，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。

加减消元法的步骤为：将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等，将所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。

知识点3：一元一次不等式（组）一元一次不等式是指只含有一个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式，可以用不等号（＞、≥、＜、≤或≠等等）表示。

由多个一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组。

不等式有以下基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；（2）不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.如果乘数和除数是负数，需要改变不等号方向。

三年级方程知识点归纳总结

三年级方程知识点归纳总结在小学三年级的数学课程中，方程是一个重要的知识点。

方程是数学中用来表示两个数学表达式相等的等式。

在这个阶段，学生将开始接触并学习如何解简单的方程。

以下是对三年级学生学习方程的知识点的归纳总结。

一、方程的概念- 方程是数学中用来表示两个量相等的等式。

- 一个方程通常包含未知数，我们的目标是找到这个未知数的值。

二、方程的表示- 未知数通常用字母表示，如x、y等。

- 方程的等号两边是等价的，表示左边的值和右边的值相等。

三、基本的方程类型- 简单的线性方程：形如ax + b = c，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

- 等式：表示两个数学表达式相等，如2x = 6。

四、解方程的步骤1. 理解方程：首先需要理解方程的含义，确定未知数是什么。

2. 简化方程：通过合并同类项，简化方程，使其更易于解决。

3. 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到另一边。

4. 求解未知数：通过等式的性质，如两边同时加减或乘除相同的数，来求解未知数。

五、方程的应用- 方程在日常生活中有广泛的应用，如解决速度问题、工作量问题等。

- 学生可以通过解决实际问题来加深对方程概念的理解。

六、练习和巩固- 通过大量的练习题来巩固对方程的理解和解题技巧。

- 鼓励学生尝试解决不同类型的方程，提高解题的灵活性。

七、常见错误及注意事项- 学生在解方程时可能会忘记移项时需要变号。

- 在做乘除运算时，学生可能会忘记将等式两边同时进行运算。

八、总结方程是数学中一个基础而重要的概念。

通过学习方程，学生不仅能够提高数学解题能力，还能够培养逻辑思维和问题解决的能力。

希望学生能够通过不断的练习和思考，掌握解方程的技巧，并能够将这些技巧应用到更广泛的数学问题中去。

通过这样的总结，三年级的学生应该能够对方程有一个清晰的认识，并且能够掌握基本的解方程技巧。

教师可以通过举例和引导，帮助学生更好地理解和应用这些知识点。

数理方程公式总结

数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。

它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。

数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。

在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。

本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。

1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。

根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。

常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。

数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。

2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。

它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。

根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。

常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。

数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。

它可以看作是微分方程的一种推广。

积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。

常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。

数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。

总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。

在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。

解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。

因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。

数理方程总结(球函数)

球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。

得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。

P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0）证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。

方程思想总结知识点归纳

方程思想总结知识点归纳一、方程的基本概念1.方程的定义方程是数学中一个常见的概念，它描述了一个等式关系。

一般地，方程可以表示为一个未知数和常数之间的等式，如：ax + b = c。

其中，a、b、c为已知的常数，x为未知数。

2.方程的分类根据方程中未知数的个数和幂数，方程可以分为一元方程、二元方程、多元方程；一次方程、二次方程、高次方程等。

3.方程的解方程的解是能够使得等式成立的未知数的值。

对于一元一次方程ax + b = c，它的解为x = (c - b) / a。

4.方程的解的性质方程的解可能有一个、多个或无解。

在一元一次方程中，当a不等于0时，方程有唯一解；当a等于0且b等于c时，方程有无穷多解；当a等于0但b不等于c时，方程无解。

二、方程的解法1.一元一次方程的解法对于一元一次方程ax + b = c，解法有化简、解方程等方法。

通过移项、通分、消去等操作，可以求得方程的解。

2.一元二次方程的解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，解法有因式分解、配方法、求根公式等方法。

通过因式分解得到方程的解。

3.多元方程的解法对于多元方程，解法一般需要用到代数的方法。

通过消元、替换、化简等操作，可以求得多元方程的解。

三、方程的应用1.方程在几何中的应用方程在几何中有着广泛的应用。

例如，直线的方程、圆的方程、抛物线的方程等，都是几何中重要的概念。

2.方程在物理中的应用方程在物理中也有着重要的应用。

例如，牛顿第二定律F=ma、万有引力定律F=G(m1m2/r^2)等，都可以用方程进行描述和求解。

3.方程在经济学中的应用方程在经济学中有着重要的应用。

例如，投资收益模型、供求关系模型等，都可以用方程进行描述和求解。

四、方程的拓展1.方程的应用拓展方程的应用不仅局限于数学、物理、经济学等领域，还可以拓展到其他领域。

例如，生物学中的种群增长模型、化学中的化学反应速率等，都可以用方程进行描述和求解。

2.方程的研究拓展除了一般的方程，人们还研究了一些特殊的方程。

七年级数学方程知识点总结

七年级数学方程知识点总结
数学方程是初中数学中的重要部分，在七年级的学习中也是必
须要掌握的内容。

有关数学方程的知识点总结如下：
1.基础知识
在学习方程之前，需要先掌握一些基础概念，如未知数、常数、系数、等式等，这些都是后续学习的基础。

2.一元一次方程
一元一次方程是初步掌握方程的重要环节，对于初学者来说，
需要了解方程的定义、解方程的方法，掌握化简、移项、合并同
类项等技巧，可以通过书本中的例题逐步加深理解。

3.带分数方程
带分数方程在一元一次方程基础上增加了分数的运算，需要掌
握通分、分离系数与未知数、通分消分和去分母等技巧，在实际
问题中需要仔细分析、灵活解决。

4.两步方程
两步方程是初中数学进阶部分，需要在一元一次方程的基础上进一步深入理解，掌握解决含有“加减乘除”混合运算的方程的方法，需要灵活运用方程的基本性质、移项法、合并同类项、分离系数与未知数等技巧。

5.绝对值方程
绝对值方程是数学中的一种特殊方程，需要掌握求绝对值的方法，具备运用绝对值不等式解决问题的能力。

6.综合运用
综合运用方程是将方程运用到实际问题中进行解决，需要仔细分析问题，确定未知数及方程，通过构建方程解决问题，从而培养数学解决实际问题的能力。

在学习中，需要注意积极思考、勤于练习、注重应用，通过对基础知识掌握并实践练习，逐渐深入学习并加深理解。

初中数学方程及方程的解知识点总结

初中数学方程及方程的解知识点总结方程及方程的解是初中数学中的重要知识点之一、在初中阶段，学生不仅需要学习方程的基本概念，还需要掌握方程的解的求解方法。

本文将对方程及方程的解的知识点进行总结。

一、方程的基本概念1.方程的定义：方程是一个等式，它包含了未知数和已知数之间的关系。

常见的方程形式有线性方程、二次方程、一元一次方程等。

2.方程的元素：方程包含了未知数（也称为变量）、常数和运算符。

方程中的常数是已知数，而未知数是需要求解的数。

3.方程的解：方程的解是将方程中的未知数代入等式后满足等式的值。

解是能够使方程成立的数。

二、方程的求解方法1.绝对值求解：当方程中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。

一般步骤是先确定绝对值的取值范围，然后分别解方程。

2.凑平方式求解：当方程含有二次项以及一次项时，我们可以利用凑平方式求解。

常用的凑平方式有平方差公式、配方法等。

3.代入法求解：当方程中含有一个未知数和一个以上的已知数时，可以利用代入法求解。

首先将已知数代入方程中，然后解得未知数。

4.因式分解求解：当方程是一个多项式时，可以通过因式分解将多项式化简为简单的一次或二次方程，然后再进行求解。

5.图形法求解：当方程具有图形意义时，可以通过绘制函数图像进行求解。

根据图像的性质与方程进行比较，找出方程的解。

三、方程解的分类1.有解方程：方程存在解，即能够找到使方程成立的值。

2.无解方程：方程不存在解，即无论怎么取未知数的值，方程都不会成立。

3.恒等方程：方程对于一切值都成立，即无论怎么取未知数的值，方程都成立。

4.等价方程：两个方程具有相同的解。

四、常见的方程及解的求解方法1.一元一次方程：一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

常用的解法有作图法、加减法、代入法等。

2.一元二次方程：一元二次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。

常用的解法有公式法、配方法、因式分解法等。