北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明

第一章三角形的证明

1等腰三角形

第1课时全等三角形及等腰三角形的性质

1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理．

2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式．

3．掌握等腰三角形性质定理的推论．

重点

掌握等腰三角形的性质定理及推论．

难点

证明等腰三角形的相关性质．

一、复习导入

1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

(1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

(2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

(3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

(4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

(5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)．

2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明．

3．回忆全等三角形的性质．

二、探究新知

1．等腰三角形的性质定理

问题1：什么是等腰三角形？

问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．

问题3

：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．

引导学生得出等腰三角形的性质：

等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”)

问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.

求证：∠B＝∠C.

分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD

⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D.

证法一：取BC的中点D，连接AD.

⎭⎪

⎬

⎪⎫

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD

⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C.

证法二：作∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D.

⎭

⎪⎬⎪

⎫

AB ＝AC ∠1＝∠2AD ＝AD ⇒△ABD ≌△ACD ⇒∠B ＝∠C. 归纳等腰三角形的性质定理：等边对等角． 用几何语言描述为：

在△ABC 中， ∵AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C. 2．等腰三角形性质定理的推论

师：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？

处理方式：引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论．

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合． 简称为等腰三角形的“三线合一”． 三、举例分析

例 在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．

处理方式：引导学生分析求解方法，学生动手求解并写出过程． 解：∵AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ，

∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC , ∠A ＝∠ABD. 设∠A ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x.

∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°，

解得 x ＝36°.∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠C ＝72°. 四、练习巩固

1．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AB ＝5，则AC 的长为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2．在△ABC 和△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠E ；⑥∠C ＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是( )

A ．①②⑤

B ．①②③

C ．①④⑥

D ．②③④

3．如图，已知AC ＝EF ，BC ＝DE ，点A ，D ，B ，F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是________．

错误! ,第4题图)

4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 求证：(1)△ABD ≌△ACD ； (2)BE ＝CE. 五、课堂小结

1．等腰三角形的性质定理是什么？ 2．等腰三角形性质定理的推论是什么？

六、课外作业

1．教材第3～4页“随堂练习”第1、2题． 2．教材第4～5页习题1.1第1～6题．

本节课根据学生已有活动经验，经历“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，使学生自主探究，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果．当然，在探索等腰三角形的性质的活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整．

第2课时 等边三角形的性质

1．了解等腰三角形中线、高线和角平分线的性质． 2．掌握等边三角形的性质．

3．经历等腰三角形的中线、高线、角平分线的性质探索过程，体会性质证明的严谨性．

重点

掌握等边三角形的性质定理． 难点

用等边三角形、等腰三角形的有关性质解决问题．

一、复习导入

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？ 二、探究新知

1．等腰三角形中线、高线和角平分线的性质

(1)引导学生在等腰三角形中自主画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．注意给予适度的引导，如可以依次提出问题：

①你可能得到哪些相等的线段？ ②你如何验证你的猜测？

③你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； ④还可以有哪些证明方法？

学生通过自主探究和同伴的交流，一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： ①等腰三角形两底角的平分线相等； ②等腰三角形腰上的高相等； ③等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明，如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD ＝CE.

证法1：∵AB ＝AC ，

∴∠ABC ＝∠ACB(等边对等角)．

∵∠1＝12∠ABC ，∠2＝1

2

∠ACB ，

∴∠1＝∠2.

在△BDC 和△CEB 中，

∵∠ACB ＝∠ABC ，BC ＝CB ，∠1＝∠2， ∴△BDC ≌△CEB(ASA )．

∴ BD ＝CE(全等三角形的对应边相等) . 证法2：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB.

又∵BD ，CE 分别是△ABC 的角平分线， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠3＝∠4.