期权对冲复制策略研究

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的是一个看涨期权，对应的是看好后市的预期；另一方面，同时持有看跌期权和标的资产，在 策略方面是 Protective Put，其目的在于担心潜在的下行风险带来的损失。
通过组合进行完全复制，能够对冲当时的静态持仓风险，但是期权的特殊性在于，并不只 是价格波动带来的风险，期权定价还会涉及到执行价、成本、分红、波动率、时间等其他因素 的影响。因此，除了能够通过复制组合的反向持仓来进行对冲，我们还可以分解因素，从更多 的维度来进行风险暴露程度调整，也就是以下我们所说的风险管理指标的对冲方法。
东海衍生产品小组·期权组课题之二
期权对冲复制策略研究
一、 投资组合的对冲复制 我们将期权投资者持有资产分为基本的三类：看涨期权（Call）、看跌期权（Put）、标
的资产（Underlying）；其次再结合头寸方向（多头 Long，空头 Short），期权投资者持有头 寸状况可分为六种基本情况，收益曲线如下（不包含时间价值）：
，d2
=
ln
S0 K
t)
=
d1
−σ
T−t
且，N（X）是标准正态分布变量的累积概率分布函数。
结合泰勒展开式，风险指标的量化值可用以下公式表示：
指标 定义
买权
计算公式
卖权
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Delta Δ ∂C ∂S
N(d1)
N d1 − 1
Gamma γ ∂2C ∂S2
N′(d1) S0σ T − t
∂2Π ∂t2
∆t2
+
∂2Π ∂S ∂t
∆S∆t
+∙∙∙
当∆= 0，即泰勒展开式右边的∂Π ∆S = 0，而时间间隔∆t取极小，便有以下等式：
∂S
∆Π
=θ
1 ∆t + 2 Γ
∆S2
Gamma>0，θ 趋于负值，∆S=0 时，投资组合价值变化∆Π 趋于负值，即投资组合价值下 降；当∆S处于极正（负）时（价格变化极大），投资组合价值上升。
2. 风险指标的基本特征与对冲方法 对于无分红的欧式期权，我们用 B-S 模型对其定价如下： 欧式看涨期权：c = S0N d1 − Ke−r T−t N(d2) 欧式看跌期权：p = Ke−r T−t N(−d2)−S0N −d1
其中，d1
=
ln
S0 K
+(r+12σ 2) σ T−t
T−t
Vega of Options
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
At the money
0.5
0
-0.5
Underlying Price
Vega 具有一定的矛盾性，因为若到期时间越长，波动率对期权价格的影响就越大，即波 动率存在时间升水的特征；但是当波动率变化时，短期期权的隐含波动率比长期期权的隐含波 动率大，所以通常采用短期期权的波动率变化来计算投资组合的 Vega。因此当面临有多个期 权可以用来进行 Vega 对冲时，我们要从以上方面结合成本，来进行综合考虑。
我们采用一些的希腊字母来表示。

Delta：Δ
=������������ ：标的资产价格变化时期权价格的变化。
������������

Gamma：Γ
=������2������：标的资产变化时 Delta 的变化幅度。
������ ������ 2

Vega：ν
= ������������ ：期权价格对隐含波动率的敏感性。
当标的资产价格变化 S→S’，在 Delta 对冲理论下期权价格值 C→C’，实际上价格期权 价格变动为 C→C’’，利用 Delta 中性进行对冲的实际误差为（C’’-C’）。所以说 Gamma 的作用就是修正 Delta 切线与精确价格曲线之间的误差。
由于 Delta 比率随着股价变化而变化，为了有效对冲风险，需要根据股价的变化，正确调 整 Delta 比率。这是一个动态对冲过程，Delta 被修正的次数要根据期权价格的曲率 Gamma 来 决定。Gamma 值越大，说明 Delta 对于价格变化越敏感，获取 Delta 中性就需要更加频繁的修 正，进而期权的风险及对冲成本就越大。因此若想进行 Delta-Gamma 动态对冲，会先取得 Gamma 中性即修正 Delta 对冲误差后，再对修正后的 Delta 进行对冲。
值得注意的是，由于标的资产的 Gamma=0，因此 Gamma 中性必须加入期权进行对冲。
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2.3.
Theta
期权是选择权，择机是重要的考量内容之一。Theta 就是描述期权价格同到期时间的关系，
即时间价值的损耗。越接近到期日，Theta 的绝对值越大，时间价值的衰减速度越快。正是由
于随着时间推移，期权会贬值，所以一般来说 Theta<0。
头寸/资产 Long
Call
Put
Underlying
Short
若单边持有以上某个头寸，当资产价格走势与预期相反的方向时，所持资产会受到损失。 当然，止损的方法之一就是平仓；但通常投资者会同时进行两笔标的相关、方向相反、数量相 当、盈亏相抵的交易，这就是对冲。
对冲复制的含义是，持有某一类资产的同时，通过将其他两类资产的组合，形成一个类似 的收益曲线，并进行反向持仓操作，用新构建的持仓组合发挥对冲作用。此外，如果通过收益 曲线的拟合来进行组合对冲复制，必须注意的是关键要素的一致，即行权价一致、距离行权到 期时间相同。同时，针对中国目前的市场特殊性，除期货市场的做空机制以外，还应该考虑在 股票市场的融券成本较高的问题。
-1.4
-1.6
C_Theta
P_Theta
Underlying Price
Theta 的定义表明，仅能对价格波动进行对冲，因此 Theta 另一个重要的作用是，可以作
为 Delta 中性时，Gamma 对冲的桥梁作用。
∆Π
∂Π = ∂S
∂Π ∆S + ∂t
1 ∂2Π ∆t + 2 ∂S2
∆S2
+
1 2
Gamma<0，θ 趋于正值，同理可推，∆S=0 时，投资组合价值变化∆Π 趋于正值，即投资 组合价值上升；当∆S处于极正（负）时（价格变化极大），投资组合价值下降。
当|Gamma|上升时，投资组合价值对于标的股票价格变化越敏感。
2.4.
Vega
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除了到期时间，隐含波动率对期权也是至关重要，Vega 即描述期权价格对隐含波动率的 敏感程度，隐含波动率越高，期权价格越高。且看涨和看跌期权的 Vega 相等。
Δ −1
同期限，且均不属于深度虚值/深度实值。
在利用 Delta 进行对冲头寸的计算时，由于标的资产价格不断变动，导致 Delta 也在变动，
Delta 中性只能维持一段时间，因此对冲策略需要不断调整。
2.2.
Gamma
Gamma>0，且对应的看涨期权与看跌期权的 Gamma 相等，平值期权的 Gamma 最大，越深度
Vega ν ∂C ∂σ
S0N′ d1 T − t
Theta Θ
∂C ∂t
− S0N′(d1)σ 2 T−t
− rKe−r T−t N(d2)
− S0N′(d1)σ 2 T−t
+ rKe−r T−t N(−d2)
Rho ρ ∂C ∂r
K T − t e−r T−t N(d2)
−K T − t e−r T−t N(−d2)
Vega 对冲与 Gamma 对冲有很多相似之处。由于标的资产的 Vega=0，因此要想获得 Vega 中 性，必须加入期权进行对冲。
Delta-Gamma-Vega 对冲比较如下： Delta 对冲：最基本的对冲，简便但不精确 Gamma 对冲：对于 Delta 对冲的风险控制，修正 Delta 对冲误差 Vega 对冲：对波动率变化的风险控制
虚值/深度实值的期权的 Gamma 越小。
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0.0025 0.002
0.0015 0.001
0.0005 0
Gamma of Options
At the money
Underlying Price
Gamma 为期权价格对标的价格的二阶导，其实就是对 Delta 的修正。前文提到，Delta 即 为期权价格在某一个资产标的价格为 S 时的斜率。该斜率为期权价格曲线在（S,C）这一点的 切线，因此简单遵从 Delta 中性的对冲并不精确。
1.5
1
0.5
0
Underlying
-0.5
-1
-1.5
C_Delta
P_Delta
因此，若对标的资产看涨、或者想增加对标的资产价格波动的正向敏感性，可以买入看涨 期权或卖出看跌期权；反之若对标的资产价格看跌、或者想增加对标的资产价格波动的负向敏 感性，可以卖出看涨期权或买入看跌期权。
正是因为可以通过改变 Delta 来影响持有投资组合对标的资产价格波动进行灵敏程度的调 整，因此在风险对冲方面，若采用加入期权，令投资组合的 Delta 为零，则可以说理论上规避 了价格波动带来的风险。也就是我们常说的 Delta 中性。
单边头寸 + Call + Put + Underlying - Call - Put - Underlying
多头：+ / 空头：收益曲线复制 + Put & + Underlying + Call & - Underlying + Call & - Put - Put & - Underlying - Call & + Underlying - Call & + Put