高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：

1、求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点

的坐标.

解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）;

(2）ox轴（a,-b,-c）,oy轴（-a,b,-c）,oz轴（-a,-b,c）;

(2）关于原点（-a,-b,-c）。

2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征,指出下列各点的

位置

A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).

解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0.

ox轴：y=0,z=0，oy轴：x=0,z=0，oz轴：x=0,y=0，

A在xoy面上，B在yoz面上，C在x轴上，D在y轴上。

3、在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐标.

解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=

14

9 ，所求点为(0,0,

14

9

)

.

4、设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.

解：2u3v5a11b7c.

5、已知两点M

1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.

解：M

1M21,2,1，M1M22，方向余弦为c o s 1

2

，

cos

2

2

，cos

1

2

，方向角

2

3

，

3

4

，

3

.

1

6、设向量a的模a2,方向余弦

13

cos0,cos,cos,

22

求

a.

x 解：设ax,y,z，则0

2 ，

y1

22

，

y

3

22

，所以x0，y1，

z3，a0,1,3

7、设有向量P

1P2,P1P22,它与x轴、y轴的夹角分别为

和，如果已34

知P

1(1,0,3),求P2的坐标.

解：设P的坐标为(x,y,z)

，P1P2x1,y,z3，2 x11

cos

232

，

所以x2；y2

cos

242

，所以y2，又P P，所以

122,

2

12(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐标为(2,2,2)

或者(2,2,4).

8、求平行于向量a6,7,6的单位向量.

解：a36493611，与a平行的单位向量为16,7,6

11 ，即

为

676

,,

111111

，或者

676

,,

111111

.

§7.2数量积向量积混合积

必作题：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：

1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与d2,2,平行，求和的值.

解：ab，ab2620，2

2

ab，

112

22u

，u4.

2、已知向量a2i3jk,b ij3k,ci2j,分别计算以下各式.

⑴(ab）c(a c）b；⑵(ab)(bc)；⑶(a b)c.

解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k

⑵(a b)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk

231

(a b)c1132.⑶

120

3、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积.

解：OAOB3i3j k

ABO的面积119

SOAOB.

22

§7.3曲面及其方程

必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.

必交题：

1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以

222222

(x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得动点的轨

迹方程为63

2x2y5z. 2

2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.

⑴yx1；⑵224

xy；⑶

221 xy；

⑷22

xy；⑸

220 xy.

解：⑴直线；平面⑵圆；援助面⑶双曲线；双曲柱面

3

⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴

3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.

⑴

222

xyz

499

1

；⑵

222

(za)xy.

解：⑴xOy坐标面上椭圆

22

xy

49

1绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面

上椭圆

22

xz

49

1绕Ox轴旋转形成。

（2）xOz坐标面上zax绕Oz轴旋转形成，或者yOz坐标面上zay绕Oz轴旋转形成.

4、指出下列方程表示什么曲面

⑴

22

xy

94

21

z；⑵

22

zxy

349

；

⑶

222

xyz；⑷

2224

xyz.

解：⑴椭球面⑵椭圆抛物面⑶圆锥面⑷旋转双叶双曲面.

5、建立单叶双曲面

222

xyz

1645

1 与平面x2z30的交线关于xoy

面的投影柱面与投影曲线方程. 解：

将曲面与平面方程联立，消去变量z得到投影柱面

22(3)2

xyx

16420

1

，

22(3)2

xyx

16420

1

投影曲线为

.

z0

6、画出下列各曲面所围立体图形.

⑴

22

zxy，z1；⑵

22

z6xy，z0；