高数答案第七章

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高等数学第七章习题答案

习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面（2）单位圆（3）两个点（4）直线。

2．设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4．解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6．设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

23高数切片讲义第7章课后习题与答案

第七章无穷级数【基础练习题52】1. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：（1）1n ∞；（2）1111133557(21)(21)n n ；（3）11ln 1n n ∞. 2. 判定下列级数的收敛性：（1）1111+3693n；（2）13 ；（3）22331111111123232323n n. （4）23111111112322323323n n. 【基础练习题52解析】1.【解析】（1）因为1)1,lim ,n n n S S ∞∞所以根据定义可知级数1n ∞发散.（2）由于1111(21)(21)22121n u n n n n，从而1111111111,23352121221n S n n n1lim ,2n n S 所以根据定义可知级数收敛. （3）341ln 2lnln ln ln(1)23n n S n n，因lim n n S ∞∞，故级数发散. 2.【解析】（1）此级数的部分和1111111113693323n S n n，而111lim 123n n∞∞，故lim n n S ∞∞，即该级数发散.（2）此级数的一般项n u ，11lim lim 13nn n n u∞∞，不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散.（3）此级数的一般项1123n n n u ，注意到112n n ∞与113n n ∞分别是公比12q 与13q 的等比级数，而1q ，故112n n ∞与113n n ∞均收敛. 根据收敛级数的性质可知，原级数11123n n n ∞收敛.（4）此级数的一般项1123n n u n ，又1111122n n n n ∞∞发散，113n n ∞收敛，根据级数的性质可知，原级数11123n n n∞发散.【基础练习题53】1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）111135(21)n ；（2）22212131112131nn ；（3）1112536(1)(4)n n . 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）232333*********nnn ；（2）213n n n ∞；（3）12!n nn n n ∞. 3. 判定下列级数的收敛性：（1）233333234444nn；（2）11(2)n n n n ∞；（3. 4. 判定下列级数的收敛性：（1） 2111nn n n. （2）11ln 1nn.（3）1113n nn n. （4）211ln nn n.5. 设1ln 1nn u ，则级数（）（A ）1nn u和21nn u都收敛. （B ）1nn u和21nn u都发散.（C ）1nn u收敛而21nn u发散. （D ）1nn u发散而21nn u收敛.6. 设有下列命题：○1若 1212)(n n n u u 收敛，则1n n u 收敛.○2若1n n u 收敛，则11000n n u 收敛.○3若1lim 1n n n u u ，则1n n u 发散.○4若 1)(n n n v u 收敛，则 1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是（）（A ）○1○2. （B ）○2○3. （C ）○3○4. （D ）○1○4. 【基础练习题53解析】1.【解析】（1）解法一 11 (1,2,)212n u n n n ，由于级数11n n ∞发散，故各项乘12后的级数112n n ∞也发散，由比较审敛法知原级数1121n n ∞发散. 解法二因1121lim 12n n n∞，而11n n∞发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散.（2）221111n n n u n n n n ，而11n n ∞发散，由比较审敛法知原级数发散.（3）因21(1)(4)lim 11n n n n ∞，211n n∞收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数收敛.2.【解析】（1）因1113333lim limlim 1(1)22212n nn n n n n n n u n n n u n ∞∞∞，故级数发散. （2）因2221121(1)1(1)lim lim lim 13333n n n n n n nu n n n u n ∞∞∞，故级数收敛. （3）因11122(1)!2!lim lim lim 21(1)1e nn n n n n n n n nu n n n n n u n∞∞∞，故级数收敛. 3.【解析】（1）1133limlim 144n n n nu n u n ∞∞，由比值审敛法知级数收敛.（2）11lim1(2)n n n n n ∞，而级数11n n∞发散，由极限形式的比较审敛法知原级数发散. （3）121lim lim 10n n n n u n∞∞，故级数发散. 4. 【解析】（1）记21n n u n，则n u 单调递减，且21lim lim 0,n n n n u n 由莱布尼茨判别法知，交错级数2111nn n n收敛. （2）记ln 1n u ，则n u单调递减，且lim lim ln 1ln10,n n n u由莱布尼茨判别法知，交错级数11ln 1nn收敛.（3）记3n n nu，则n u 单调递减，且lim lim 0,3n n n n n u 由莱布尼茨判别法知，交错级数1113n nn n收敛. （4）因为221111ln ln ln nnn n n n n，对于交错级数21ln nn n，记1ln n u n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n由莱布尼茨判别法知，交错级数21ln nn n收敛.对于正项级数21ln n n，因为11ln n n ，又21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln n n发散. 故由级数收敛的性质知，级数211ln nn n发散. 5.【答案】 C. 【解析】1nn u为交错级数，又满足莱布尼茨判别法的条件，故收敛.2211ln 1,n n n u又n时，221ln 1n ，且级数11n n发散，由比较审敛法的极限形式知，21nn u发散.6.【答案】 B.【解析】级数加括号后收敛不能推本身级数收敛，故○1错，反例可取通项 1nn u ；级数加上，去掉或改变前有限项不改变级数的敛散性，故○2正确；命题○3正确：由1lim 1n n n u u 知，1lim 1n n nu u ，故当n 充分大时，正数列n u 是单调递增的，故当n 时，n u 0，则n u 0，由级数收敛的必要条件知，1n n u 发散；命题○4显然结论反了，可取11,nn u v n n排除.【基础练习题54】1. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）11n ；（2）111(1)3n n n n∞；（3）12341111111111(1)3232323232n n；（4）21ln nn n n.2. 级数 111cos n n a n（常数0a ）（）（A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与a 有关.【基础练习题54解析】1.【解析】（1）112(1)n n u n，11121nn n un∞∞是发散的；又1nn u∞是交错级数，满足1n n u u ，且lim 0n n u ∞，故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.（2）因1111lim lim 133n n n nu n u n ∞∞，由比较审敛法知级数1n n u ∞收敛，故原级数绝对收敛.（3）1(1)32n n n u ，因11132n nn n u ∞∞是公比1 (1)2q q 的等比级数，故收敛，从而原级数绝对收敛.（4）因为2211ln ln nn n n n n n，又11ln n n n ，且21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln nn n n发散.因为21ln nn n n为交错级数，令1ln n u n n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n n 由莱布尼茨判别法知，交错级数 21ln nn n n收敛. 综上，级数21ln nn n n条件收敛.2.【答案】 C.【解析】先判定是否绝对收敛，即判定正项级数 1111cos 1cos nn n a a n n的敛散性，因为n 时，22211cos ,22a a a n n n 又级数222211122n n a a nn收敛，由比较审敛法的极限形式知，级数11cos n a n收敛，即原级数绝对收敛.【基础练习题55】1. 求下列幂级数的收敛区间.（1）23232222225101n nx x x x n ；（2）221212n nn n x ∞；（3）1nn ∞；（4）1132nnnn x n. 2. 求下列幂级数的收敛域.（1）2323nx x x nx ；（2）2221(1)2nn x x x n；（3）23231323333nnx x x x n ；（4）211(1)21n nn x n ∞.3. 已知幂级数1nn n a x在1x 处条件收敛，则幂级数11nn n a x的收敛半径为 . 4. 已知幂级数11nn n a x在2x 处收敛，在0x 处发散，则幂级数11nn n a x的收敛域为 .【基础练习题55解析】1.【解析】（1）级数可表示为2121n nn x n，因为122211lim2,21n nn n n故收敛半径为112R，收敛区间为11,.22（2）记 2221,2n n nn u x x因为 221122212limlim ,2122nn n n n n n nn x u x x n u x x由正项级数比值审敛法知，212x时收敛，解得收敛区间为 .（3）记nn u x 因为1lim 5,n n n nu x x u x 由正项级数比值审敛法知，51x 时收敛，解得收敛区间为 4,6. （4）记1,32nn nn x u x n因为11111132limlim ,1332n n n n n n n nnn x n x u x x u x n由正项级数比值审敛法知，13x时收敛，解得收敛区间为 3,3 .2.【解析】（1）级数可表示为1nn nx，因为1lim1,n n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数显然发散（不满足级数收敛的必要条件），故收敛域为 1,1 .（2）级数可表示为211(1)nnn x n，因为122(1)1lim1,(1)n nn n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数2111(1)nn n收敛，当1x 时，级数2111n n收敛，故收敛域为 1,1 .（3）级数可表示为13nnn x n，因为 11131lim ,133n n n n n 故收敛半径为13R，收敛区间为 3,3 ，又当3x 时，级数11n n发散，当3x 时，级数11nn n收敛，故收敛域为 3,3 .（4）记 21(1),21n nn x u x n 因为2311221(1)23lim lim ,(1)21n n n n n n n nx u x n x x u x n由正项级数比值审敛法知，21x 时收敛，解得收敛区间为 1,1 .又1x 时，级数11(1)21nn n ∞收敛，当1x 时，111(1)21n n n ∞收敛，故收敛域为 1,1 .3.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数1nnn a x的收敛半径为101R ，收敛区间为 1,1 .故幂级数 11nn n a x在111x ，即02x 时收敛，收敛区间为 0,2，收敛半径为1.4.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数11nn n a x在121x ，即02x 内绝对收敛，在101x ，即02x x 或时发散，又幂级数在2x 处收敛，在0x 处发散，故收敛域为 0,2.【基础练习题56】求下列幂级数的和函数：（1）2(1)1212n n n n ∞；（2）1211(1)21n n n x n ∞；（3）1(1)nn n x ∞；（4）1(1)nn x n n ∞.【基础练习题56解析】（1）2(1)21()2n n nn u x x ，221()21lim lim ()2122n n n nu x xx n u x n ∞∞. 当212x 时，原级数收敛；当212x，因级数的一般项()n u x )u ∞，故级数发散. 因此原级数的收敛域为212x，即(.设和函数为()S x ，即2(1)121()2n nn n S x x∞，从0到x 积分并逐项积分：22121101002211()d 22221,(2212nxn n n n n n n x x S x x x x x xx x x∞∞∞上式两端对x 求导，得22222()2(2)x x S x x x，(x . （2）121(1)()21n n n u x x n ，221()21limlim()21n n n n u x n x x u x n ∞∞.当1x 时，级数收敛；当1x 时，因级数一般项()n u x 0 ()u ∞，故级数发散；当1x ，级数11(1)21n n n ∞与1(1)21nn n ∞是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，则1211(1)()21n n n S x x n ∞，且(0)0S .在(1,1) 内，上式两端对x 求导，得12222211()(1)(1)()1n n nnn n n n S x xxx x∞∞∞. 于是，201()()(0)()d d arctan 1xxS x S x S S x x x x x.又由于幂级数在1x 处收敛，且arctan x 在1x 处连续，故()arctan S x x ， [1,1]x .（3）令1x t ，幂级数1nn nt∞的收敛域为(1,1) . 记其和函数为()t ，即有1111()nn n n n n t nt t ntt t∞∞∞21(1)t t t t t， (1,1)t . 于是原级数的和函数21()(1)(2)x S x x x， (0,2)x .（4）()nn n u x a x ，1(1)n a n n. 由1limlim 12n n n n a n a n ∞∞，得幂级数的收敛半径1R . 当1x 时，级数11(1)n n n∞与1(1)(1)n n n n ∞均收敛，故幂级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，即1()(1)nn x S x n n ∞.当0x ，(0)0S ；当01x 时，11()(1)n n x xS x n n ∞，上式两端对x 求导，得1[()]nn x xS x n∞，再求导，得111[()]1n n xS x x x∞. 注意到0[()]0x xS x ，上式两端从0到x 积分，得0d [()]ln(1)1xxxS x x x，再积分，得()ln(1)d (1)ln(1)xxS x x x x x x ，于是，1()ln(1)1xS x x x， (1,0)(0,1)x .由于幂级数在1x 处收敛，故和函数分别在1x 处左连续与右连续，于是111(1)lim ()lim ln(1)11x x xS s x x x.因此111ln(1),[1,0)(0,1),()0,0,1,1.x x x S x x x【基础练习题57】1. 将函数1()f x x展开成(3)x 的幂级数. 2. 将函数21()32f x x x 展开成(4)x 的幂级数.3. 将函数11()ln 41xf x x展开成x 的幂级数.4. 将函数12()arctan 12xf x x展开成x 的幂级数.【基础练习题57解析】1.【解析】利用011n n x x ∞，(1,1)x 得01111113333331133133,(1,1),333nn x x x x x x∞ 即101(1)(3)3n nn n x x ∞，(0,6)x . 2.【解析】2111132(1)(2)12x x x x x x ，其中0111114413(4)33313nn x x x x∞， 4(1,1)3x ，即(7,1)x ；0111114422(4)22213nn x x x x∞， 4(1,1)2x ，即(6,2)x . 于是2110001141411(4),32223323n nnn n n n n x x x x x∞∞∞(7,1)(6,2)(6,2)x .3.【解析】11111212111111()ln ln 1ln 14141111,11411141211,1.421221n n n n n nn n n n n n x f x x x x x x x x n n x n x x x n n其中4.【解析】因为2222212014()1212112122141411411214,,,22nn n n n n n f x x x x x x x x x其中其中故12021100()d arctan1214d π11214,.42122xx n n n n n n n n f x f f x xx xx x n其中又当12x 时，级数21211110001122142*********n n n n n n n n n n x n n n收敛，又12()arctan12x f x x 在12x 处连续，故展开范围可以包含端点12x ，即有 2110π11214,,.42122n n n n x f x x n【基础练习题58】1. 设 f x 是周期为1的周期函数，其在区间11,22上的定义为 11,0,211,0,2x x f x x x则 f x 的傅里叶级数在32x处收敛于 . 2. 将函数e ,0,()1,0x x f x x 展开成傅里叶级数.3. 将函数() (0)2xf x x展开成正弦级数. 4. 将函数2()2 (0)f x x x 分别展开成正弦级数和余弦级数.5. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）：（1）211()1 22f x x x；（2）21,0,()1,0 3.x x f x x【基础练习题58解析】1. 【解析】由迪利克雷收敛定理知，1122311110022222111002221111lim 1lim 10.2222x x S S f f f f x x【注】可画出 f x 的图形，辅助求解. 2.【解析】设()x 是()f x 经周期延拓而得的函数，它在(,) 内连续，x 是()x 的间断点. 又()x 满足收敛定理的条件，故在(,) 内它的傅里叶级数收敛于()f x .0011e e d d xa x x，211(1)e e cos d cos d n x n a nx x nx x n(1,2,)n ，01e sin d sin d xn b nx x nx x21[1(1)e ]1(1)1n n n n n(1,2,)n . 故2211e 11(1)e (1)e 1(1)()cos sin 11n n n n n n f x nx nx n n n∞(,)x .3.【解析】作(),(0,],()0,0,(),(,0).f x x x x f x x()x 是()f x 的奇延拓. 令()x 是()x 的周期延拓，则()x 满足收敛定理的条件，而在2 ()x k k Z 处间断，又在(0,] 上，()()x f x ，因此()x 的傅里叶级数在(0,] 上收敛于()f x .0 (0,1,2,)n a n ,200221sin d cos sin 222n x x b nx x nx nx n n1 (1,2,)n n，故11()sin n f x nx n∞，(0,]x . 4.【解析】（1）展开成正弦级数令222, [0,],()2, (,0).x x x x x是()f x 的奇延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件，而在(21) ()x k k Z 处间断，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0, 上收敛于()f x .0n a (0,1,2,)n ，202sin d n b x nx x2230422cos sin cos x x nx nx nx n n n2334(1)(1)22n n n n n(1,2,)n ，故2331422()(1)sin nn f x nx n n n，[0,)x .（2）展开成余弦函数令2()2x x ，(,]x 是()f x 的偶延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件且处处连续，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0,] 上收敛于()f x .0n b (0,1,2,)n ，220042d 3a x x， 22082cos d (1)n n a x nx x n(0,1,2,)n . 故2212(1)()8cos 3nn f x nx n∞，[0,]x . 5.【解析】（1）函数()f x 是半周期12l的偶函数，故21 1220011222200122223301220(1,2,),211(1)d ,1622(1)cos d 4(1)cos(2)d 11221224sin(2)cos(2)sin(2)248(1)(1,2,),n n n b n a x x n x a x x x n x x x x n x n x n x n n n n n因()f x 满足收敛定理的条件且处处连续，故有1221111(1)()cos(2)12n n f x n x n∞，(,)x ∞∞. （2）函数()f x 的半周期3l .303033011()d (21)d d 133a f x x x x x， 30333011()cos d (21)cos d cos d 33333n n x n x n x a f x x x x x 226[1(1)]n n， (1,2,)n ， 30333011()sin d (21)sin d sin d 33333n n x n x n x b f x x x x x16(1)n n， (1,2,)n . 因()f x 满足收敛定理的条件，其间断点为3(21)x k ，k Z ，故有1221166()[1(1)]cos (1)sin 233n n n n x n x f x n n∞， \{3(21)}x k k R Z .。

《高等数学》同济第六版第7章答案

1 3
1 （5）此级数为等比级数且公比 q = − ，所以该级数收敛，且收敛于 3
（6）此级数为等比级数且公比 q =
1 1 1 − (− ) 3
=
3 ； 4
7 > 1, ，所以该级数发散。. 6
6.将循环小数 0.25252525 " 写成无穷级数形式并用分数表示. 解： 0.25252525 " = 0.25 + 0.0025 + 0.000025 + "
∞ 1 1 1 (−1) n −1 = 1− + − +" = ∑ 3 5 7 n =1 2n − 1
级数
∞ ∞ 1 1 nπ (−1) 2 n −1 发散而级数收敛，所以级数条件收敛. sin ∑ ∑ ∑ 2 n =1 2n − 1 n =1 n n =1 2n − 1 ∞
（4） lim
n →∞
∑ (−1)
n+2 6n + 1
解：（1） lim
n →∞
∞ ∞ un 1 1 (2n − 1) 2 1 = lim = ，而级数 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 收敛； 2 1 1 n →∞ 4 n =1 n n =1 (2n − 1) n2 n2
从而级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 绝对收敛； (2n − 1) 2
2n + 2 (1) ∑ 2n n =1
∞
n! (2) ∑ n n =1 3
∞
(3)
∑n
n =1
∞
3
sin
π
2n
2n ⋅ n ! (4) ∑ nn n =1
∞
2n + 4 ∞ n +1 2n + 2 a n +1 1 解：（1） lim = lim 2 = < 1 ，所以级数收敛； n →∞ 2n + 2 n→∞ a 2 2n n n =1 2n

高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数§7.1 向量及其线性运算必作题：P300---301：1,3,4,5,6,7,8,9,12,13,15,18,19.必交题：1、求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：〔1 xoy 面〔a,b,-c,yoz 面〔-a,b,c, xoz 面〔a,-b,c;<2ox 轴〔a,-b,-c, oy 轴〔-a,b,-c, oz 轴〔-a,-b,c;<2关于原点〔-a,-b,-c 。

2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置解：xoy 面：z=0, yoz 面：x=0, xoz 面：y=0.ox 轴：y=0,z=0, oy 轴：x=0,z=0, oz 轴：x=0,y=0,A 在xoy 面上,B 在yoz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上。

3、在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标.解：设C 〔0,0,z,有|AC|=|BC|,解得：z=149,所求点为<0,0,149>. 4、设2,3,u a b c v a b c =-+=-+-试用,,a b c 表示23.u v -解：235117u v a b c -=-+.5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模,方向余弦和方向角.解：{}121,M M =-,122M M =,方向余弦为1cos 2α=-,cos 2β=-,1cos 2γ=,方向角23πα=,34πβ=,3πγ=.6、设向量a 的模2,a =方向余弦1cos 0,cos ,cos 22αβγ===求.a解：设{},,a x y z =,则02x =,122y =,22y =,所以0x =,1y =,z ={0,1,3a =7、设有向量12,PP 122,PP=它与x 轴、y 轴的夹角分别为34ππ和，如果已知1(1,0,3),P 求2P 的坐标.解：设2P 的坐标为(,,)x y z ,{}121,,3PP x y z =--,11cos 232x π-==,所以2x =；cos 242y π==,所以y =又122,PP =,所以2=,解得2z =或4z =,所以2P 的坐标为2)或者4).8、求平行于向量}{6,7,6a =-的单位向量. 解：364911a =+=,与a 平行的单位向量为}{16,7,611±-,即为}676,,111111⎧-⎨⎩,或者}676,,111111⎧--⎨⎩. §7.2数量积向量积混合积必作题： P309--310：1,2,3,4,6,7,8,9.必交题：1、已知向量}{1,2,2a =-与{}2,3,b λ=垂直,向量}{1,1,2c =-与}{2,2,d μ=平行,求λμ和的值.解：a b ⊥,2620a b λ⋅=-+=,2λ=a b ,11222u-==,4u =-. 2、已知向量23,3,2a i j k b i j k c i j =-+=-+=-,分别计算以下各式.⑴((a bc a c b -））；⑵()()a b b c +⨯+；⑶()a b c ⨯. 解：⑴((88824a bc a c b c b j k -=-=--）） ⑵()()(344)(233)a b b c i j k i j k j k +⨯+=-+⨯-+=-- ⑶231()1132120a b c -⨯=-=-.3、已知3,3OA i k OB j k =+=+,求ABO ∆的面积.解：33OA OB i j k ⨯=--+ ABO ∆的面积11922S OA OB =⨯=. §7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点()()2,3,14,5,6A B 和等距离,求该动点的轨迹方程. 解：设动点(,,)P x y z ,因为PA PB =,所以222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)x y z x y z -+-+-=-+-+-,解得动点的轨迹方程为632252x y z ++=. 2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形. ⑴1y x =+；⑵224x y +=；⑶221x y -=；⑷22x y =；⑸220x y +=.解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面 ⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz 坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴2221499x y z ++=；⑵222()z a x y -=+. 解：⑴xOy 坐标面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转形成,或者xOz 坐标面上椭圆22149x z +=绕Ox 轴旋转形成。

高等数学测试及答案(第七章)

高等数学测试（第七章）一. 选择题（每小题3分，共30分）：1.下列结论正确的是（）A.若||||a b >，则有a b >B.若非零向量{,,}a x y z =与xOy 面垂直，则0z =C.若a b a c ⋅=⋅，0a ≠，则b c =D.对于两个向量总有a b b a ⨯=-⨯2.设{1,1,1},{1,1,1}a b =-=--，则有（） A.//a b B.a b ⊥ C.π(,)3a b ∧= D. 2π(,)3a b ∧= 3.平面21x y -=的位置是（） A..与x 轴平行 B.与z 轴垂直 C.与xOy 面垂直 D. 与xOy 面平行4.直线2121x y y z +=⎧⎨+=⎩与直线11101x y z --==-的位置关系（）A.平行B.重合C.垂直D.既不平行也不垂直 5.直线32112x y z -+==-与平面10x y z --+=的位置关系式（） A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面内 D.平行6. 柱面20x z +=的母线平行于（） A.y 轴 B.x 轴 C.z 轴 D.zOx 面7．曲面2224z x y =+称为（）A.椭球面 B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.椭圆抛物面 8.在空间直角坐标系下，方程222199164x y z z ⎧++=⎪⎨⎪=⎩表示的是（）A.一条直线 B.一个点 C. 椭圆 D.两个圆 9.旋转曲面122222=--z y x 是( )A.xOy 面上的双曲线绕x 轴旋转所得B.xOz 面上的双曲线绕z 轴旋转所得C.xOy 面上的椭圆绕x 轴旋转所得D.xOz 面上的椭圆绕x 轴旋转所得 10.双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为( ) A. 143222=-+z y x B. 143222=+-z y x C. ()14322=-+z y x D. ()14322=+-z y x 二. 填空题（每空4分，共20分）：11. 点)1,3,2(-关于yOz 平面的对称点是 .12. 向量{}2,1,1=→a 与向量{}1,1,2-=→b 的夹角为 . 13. 向量→→→→-+=k j i a 43的模=→a .14. 由向量{}{}2,1,0,1,0,1=-=→→b a 为邻边构成的平行四边形的面积为 .15. 向量{}2,1,1-=→a 在向量{}4,3,0=→b 上的投影为 .三．计算题（每题10分，共50分）：16.写出⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 的对称式方程和参数方程.17.求过点(2,1,3)-与直线21101x y z -+==-垂直，又与平面430x y +=平行的直线方程.18.求过直线212524x y z -+-==且与平面4370x y z +-+=垂直的平面方程.19.求直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 与平面x z 3=的夹角ϕ.20.一直线过点()3,2,1A ，且与向量{}2,0,1-=→c 平行，求原点到该直线的距离d .答案：一. 选择题1—5 DACCD 6—10ADBAA二. 填空题11. ()31,2-- 12.3π 13. 26 14. 6 15. 1 三．计算题16.写出⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 的对称式方程和参数方程. 【解析】取直线的方向向量{}3,1,4312111--=-=→→→→kj i s .当0=x 时，⎩⎨⎧=++-=++04301z y z y 即⎪⎩⎪⎨⎧-==4541z y ，则直线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,41,0，故直线的对称式方程为3451414+=--=z y x ，参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==t z t y t x 345414（t 为参数）. 17.求过点(2,1,3)-与直线21101x y z -+==-垂直，又与平面430x y +=平行的直线方程. 【解析】有题意可知：所求直线与已知直线和平面的法向量都垂直，取直线的方向向量为{}1013,4,3430i j ks =-=-，所求直线方程为213343x y z -+-==-. 18.求过直线212524x y z -+-==且与平面4370x y z +-+=垂直的平面方程. 【解析】直线212524x y z -+-==的方向向量为{5,2,4}s =；平面4370x y z +-+=的法向量为1{1,4,3}n =-；由题意可知，所求平面的法向量n 与1,s n 都垂直，取{}114322,19,18524i j kn n s =⨯=-=--，取直线上点(2,1,2)-；故所求平面方程为22(2)19(1)18(2)0x y z --+--=，即221918270x y z ---=.19.求直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 与平面x z 3=的夹角ϕ.【解析】直线⎩⎨⎧-=-=5252x z x y 的方向向量为{}2,2,1102012=--=→→→→k j i s ，平面x z 3=的法向量为{}1,0,3-=→n . 所以3010sin 222222=++++++=C B A p n m pCnB mA ϕ，故3010arcsin =ϕ. 20.一直线过点()3,2,1A ，且与向量{}2,0,1-=→c 平行，求原点到该直线的距离d .【解析】由直线的点向式方程可知，直线方程为230211-=-=--z y x ，即得直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==-=t z y t x 2321，过原点与该直线垂直的平面方程为02=+-z x ，把直线方程代入可得1-=t ，则直线与平面的交点()1,2,2B ，而OB 之间的距离就是原点到该直线的距离.所以原点到该直线的距离3=d .。

高等数学第七章课后习题解答

习题1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-；()2,3,1--M 到x 轴的距离为()132322=-+；()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-.3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3；()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()25534222=+-+；()5,3,4-A 到x 轴的距离为()345322=+-；()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()53422=-+.6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即()()()()=-+-+--22270230y ()()()()22270130--+-+-y解得 23=y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()103321017222=-+-+-==AB c ；AC 边长()()()()3312311222=-+-+--=b ； BC 边长()()()()1173110371222=-+-+--=a .由余弦定理知cos ∠BAC ()010321171032222222<⨯⨯-+=-+=bc a c b ，所以，∠BAC 为钝角.8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等.【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即()()()()=-+--+-2225011y x ()()()222443-+-+-z y x()()()222164-+-+-=z y x解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D习题1.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示DA CD BC AB ,,,.【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .()b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=-==2121212121；同理可求出，()b a a b OC BO BC +=+=+=212121；()a b AB CD -=-=21；()b a BC DA +-=-=21.2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()n m n m n m 733232-=+--=.3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示EF DE CD BC ,,,.【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；a BA BA AO DE -=-===；().b a BC EF +-=-=5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有什么有何特征？【解】（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；（2）因为a 垂直于xoy 面，故a 平行于z 轴，从而a ∥{}1,0,0=k ，所以，0==y x a a .（3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a . 6.已知向量{}7,4,4-=AB ，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标. 【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x AB ----=7,1,2，根据已知条件，有77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为 ()0,3,2-A .7.已知向量{}1,1,6-=a ，{}0,2,1=b .求（1）向量b a c 2-=；（2）向量c 的方向余弦；（3）向量c 的单位向量. 【解】（1）c {}{}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.（2()()26134222=-+-+=.故，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==261,263,2640c c ，所以，向量c 的方向余弦为.261cos ,263cos ,264cos -=-==γβα（3）.向量c 的单位向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--±261,263,264.8.试确定m 和n 的值，使向量k n j i a ++-=32和k j i m b 26+-=平行. 【解】因为a ∥b ，所以2632nm =-=-，解得 .1,4-==n m9.已知向量{}12,9,8-=b 及点()7,1,2-=A ，由点A 作向量AM 34=，且AM 与b 的方向相同.求向量AM 的坐标表达式及点M 的坐标.【解】设()z y x M ,,，则{}7,1,2-+-=z y x AM .据题意知AM ∥b 且与b 同向，因此有λ=--=+=-1279182z y x ，① 且 0>λ. ② 由①式得 λλλ127,91,82=-++=-z y x .又已知34=，故有 ()()()341298222=++λλλ. ③③式化简得4115628922=⇒=λλ，解得 2=λ或2-=λ（舍）.所以，.17,17,18-===z y x因此AM {}24,18,16-=，()17,17,18-=M .10.已知点()4,2,1--A 和点()z B ,2,6-9=，求z 的值.【解】()(){}{}4,4,74,22,16+-=------=z z AB .9=，得()()9447222=++-+z ，化简得082=+z z ，解之，得 0=z 或.8-=z11.已知点()1,2,41M 和点()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 【解】{}{}1,2,112,20,4321--=---=M M ；()()2121222=+-+-=.因为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=--==21,22,211,2,12121021M M M M .所以21M M 的方向余弦是.21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα 方向角为.3cos ,43,32πγπβπα===12.求与下列向量a 同方向的单位向量0a . （1）{}1,4,2-=a ；（2）k j i a ++-=32. 【解】（1()21142222=+-+=，所以{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-==211,214,2121,4,22110a a .（2()14132222=++-=，所以.141,143,1421410⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a a 习题1.设向量k j i a 23--=，k j i b -+=2.求：（1）b a .；（2）b a ⨯；（3）()()b a 32⨯-；（4）()b a 2⨯；（5）向量b a ,的夹角. 【解】（1）()()()3122113.=-⨯-+⨯-+⨯=b a ；（2）k j i j b a 7521++=-=⨯；（3）()()()1836.63.2-=⨯-=-=-b a b a ；（4）()()k j i b a b a 1421022++=⨯=⨯；（5）()()14213222=-+-+=()6121222=-++=，故21236143.,cos =⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a b a ，所以向量b a ,的夹角为.2123arccos ,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a2.设向量a ，b ，c 为单位向量，且满足0=++c b a ①.求：a c c b b a ...++. 【解】由①式得()0.=++c b a a ；()0.=++c b a b ； ()0.=++c b a c .即0..=++c a b a ； ②0..=+c b a b ； ③0..=++b c a c ； ④ 将②、③、④相加得()03...2=+++a c c b b a所以，.23...-=++a c c b b a3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求：（1）同时与AB 及AC 垂直的单位向量；（2）ABC ∆的面积. 【解】（1）AB AC⨯{}16,12,151612153405=++=--=k j i kj .25161215222=++=. 所以，同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=⨯±2516,2512,25116,12,15251AC AB .（2）ABC ∆的面积225==. 4.设{}2,5,3-=a ，{}4,1,2=b ，则当实数λ与μ有什么关系时，能使b a μλ+与z 轴垂直？【解】{}μλμλμλμλ42,5,23+-++=+b a .要使b a μλ+与z 轴垂直，只须b a μλ+与{}1,0,0=k 垂直，于是有()042.=+-=+μλμλk b a ，即 .2μλ=5.设质量为100kg 的物体从点()8,1,31M 沿直线移动到点()2,4,1M ，计算重力所做的功.【解】{}6,3,21--==M M s ，{}{}980,0,01008.9,0,0=⨯-=F .所以，{}{}58806,3,2.980,0,0.=---==s F W （焦耳）.6.已知{}3,2,1-=a ，{}1,4,2-=b ，{}0,2,4=c ，b a ⨯是否与c 平行？【解】{}0,5,1005104221--=+--=--=⨯k j i j i b a ；因为c b a 52-=⨯，所以，b a ⨯与c 平行.7.求一个单位向量使其同时垂直向量{}0,1,1=a 和{}1,1,0=b .【解】{}1,1,111-=+-==⨯k j i j b a .()3111222=+-+=. 所以同时垂直向量a 和b 向量的单位向量为 {}1,1,131-±=⨯±b .习题1.求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.【解】已经平面的法向量为{}5,7,3-=n .据题意知，所求平面的法向量可也取作n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0150733=--+---z y x . 化简得 04573=-+-z y x .2.求过点()6,9,20-M 且与连接坐标原点O 及0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作{}6,9,20-==OM n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0669922=----+-z y x . 化简得 0121692=--+z y x .3.求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-三点的平面方程. 【解】据平面的三点式方程，所求平面为()()()0121111121212111=---------------z y x . 即 ()()()0161913=++-+--z y x . 化简得 023=--z y x .4.求平面0522:=++-z y x π与坐标面xoy 、yoz 及zox 的夹角的余弦. 【解】平面π的法向量为{}1,2,2-=n ；xoy 面的法向量为{}1,0,0=k . 由公式，平面π与xoy31=；同理，平面π与yoz32=；平面π与zox32-=.5.求点()1,2,1平面01022:=-++z y x π的距离. 【解】12211012221222=++-⨯+⨯+=d .6.求两平行平面0:11=+++D Cz By Ax π与0:22=+++D Cz By Ax π之间的距离.【解】在1π上任取一点()1111,,z y x M ，则1M 到2π的距离d 就是所求1π与2π之间的距离.由点到平面的距离公式得 2222111CB A D Cz By Ax d +++++=. ①又11π∈M ，故有 0:11111=+++D Cz By Ax π，即1D Cz By Ax -=++. ②将②代入①，立得 22212CB A D D d ++-=.7.一平面通过()1,1,11M 和()11,02-M 两点，且垂直于平面0=++z y x .求该平面方程.【解】已知平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,1=n ，{}2,0,121--=M M .据题意，可取所求平面的法向量为{}1,1,2211120121--=--=--=⨯k j i kj in M M . 所以，所求平面方程为()()()011.11.2=-----z y x ，即 02=--z y x .8.求满足下列条件的平面方程：（1）过点()2,1,3--和z 轴；（2）过点()2,0,4-及()7,1,5且平行于x 轴；（3）过点()3,5,2-，且平行于zox 面；（4）过点()1,0,1-且同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=.【解】（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+By Ax π. ①又将点()2,1,3--的坐标代入①，得03=+-B A ，即 A B 3=.因此，所求平面π为.03=+Ay Ax ②注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以A ，得到 03:=+y x π.（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=++D Cz By π. ①又将点()2,0,4-及()7,1,5的坐标分别代入①，得⎩⎨⎧=++=+-.07,02D C B D C ，故 ⎩⎨⎧-==.9,2C B C D .因此，所求平面π为.029=++-C Cz Cy ②注意到0≠C （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以C ，得到 029:=++-z y π.（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+D By π. ①又将点()3,5,2-的坐标代入①，得05=+-D B ，即 B D 5=.因此，所求平面π为.05=+B By ②注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以B ，得到 05:=+y π.（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.将点()1,0,1-的坐标代入①，得0=+-D C A . ② 又因为π同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=，故n 同时垂直于向量k j i a ++=2，j i b -=，于是有.02=++C B A ③ .0=-B A ④ ②、③、④联立得到A D A C AB 4,3,-=-==因此①成为043:=--+A Az Ay Ax π . ⑤ 注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以A ，得到 043:=--+z y x π.9.平面在y 、z 轴上的截距分别为30，10，且与{}3,1,2=r 平行，求该平面方程.【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.因为π在y 、z 轴上的截距分别为30，10，故π过点()0,30,0及(),10,0,0.将此两点坐标代入①得030=+D B . ②及 010=+D C . ③又已知π与{}3,1,2=r 平行，故n 垂直于向量r ，于是有032=++C B A . ④②、③、④联立得到B A BC BD 5,3,30-==-=.因此①成为03035:=-++-B Bz By Bx π. ⑤注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以B ，得到 03035:=-++-z y x π.10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面.（1）013=-x ；（2）012=-+z y ；（3）02=+z x ；（4）135=-+z y x .【解】（1）因方程中z y ,前面的系数为零，故平面013=-x 平行于yoz 面；（2）因方程中x 前面的系数为零，故平面012=-+z y 平行于x 轴；（3）因方程中没有常数项，且y 前面的系数为零，故平面02=+z x 通过y 轴；012=-+z y 02=+z x ；（4）135=-+z y x 可化为113151=-++z y x ，故135=-+z y x 是在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为51、31和1-的平面. 习题1.用点向式方程及参数式方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-.42,1:z y x z y x L 【解】任取方程组的一组解⎪⎩⎪⎨⎧===.1,1,1z y x 则有，L 过点()1,,1,10M .可取直线的方向为{}3,1,232121121-=++-=-=⨯k j i j in n . 所以，所求直线L 的点向式方程为 311121-=-=--z y x . 进一步，L 的参数式方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=.31,1,21t z t y t x2.求过()1,2,31-P 、()2,0,12-P 两点的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,2,421-==P P s . 故所求直线为.112243-=+=--z y x 3.求过点()3,1,4-且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}5,1,2=s .故所求直线为 .531124-=+=-z y x 4.求过()1,32-且垂直于平面0132=+++z y x 的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,3,2=s .故所求直线为.113322-=+=-z y x 5.求过点()2,1,00M 且与直线21111z y x =--=-垂直相交的直线方程. 【解】过点()2,1,0且与直线21111z y x =--=-垂直的平面π为 ()()()02210.1:=-+---z y x π.即 032:=-+-z y x π . ① 化直线21111z y x =--=-为参数式得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.2,1,1t z t y t x ②将②代入①，有()()()032211=-+--+t t t . ③ 解得 21=t . 故直线21111z y x =--=-与平面π的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,231M . 因此所求直线的方向为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==1,21,2310M M s ∥{}2,1,3-. 故所求直线为.221130-=-=--z y x6. 过点()0,2,10-M 向平面012=+-+z y x 作垂线，求垂足坐标.【解】过点()0,2,10-M 且与平面012=+-+z y x 垂直的直线L 为 .102211:--=-=+z y x L ① 化直线L 为参数式得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=.,22,1t z t y t x ②将②代入平面012=+-+z y x 方程中，得()()()012221=+--+++-t t t . ③解得 32-=t . 故垂足坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,32,351M . 7.求直线⎩⎨⎧=-+-=-+-,0123,09335:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=-++=+-+.01383,02322:2z y x z y x L 的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}1,4,34323351-=-+=--=k j i j is ； 2L 的方向为{}10,5,101051083222-=+-==k j i j is ∥{}2,1,2-. 因为()()0211423.21=⨯-+-⨯+⨯=s s ，所以1L 与2L 垂直，从而2πθ=.8.求直线21121:+=-=-z y x L 与平面02:=+-z y x π的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}2,1,2-=s ，平面π的法向量为{}2,1,1-=n . ()()7221112.=⨯+-⨯-+⨯=n s .()3212222=+-+=. ()6211222=+-+=.故637sin ⨯==θ，所以，637arcsin ⨯=θ.9.求过点()2,0,10-M 且垂直于平面032:=+-z y x π的直线方程.【解】根据题意知，所求直线L 的方向向量即为平面π之法向量，即 {}3,12-=s . 所以，由点向式方程知，所求直线为321021:+=--=-z y x L . 10.设平面π过直线130211:1--=-=-z y x L ，且平行于直线11122:2z y x L =-=+，求平面π的方程.【解】显然面π过点()3,,2,10M . 可取面π的法向量为{}1,3,13120121-=+-==⨯=k j i j is s n . 所以，平面π的方程为 ()()()03.12.31.1=-+---z y x .化简得023:=++-z y x π.11.求过点()1,2,10P 和直线⎩⎨⎧=--=-.032,6:z y x z x L 的平面π的方程. 【解】直线L 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==.6,9,:x z x y x x L显然L 过点()6,9,01-P ，且L 的方向为{}1,11-=s .根据题意，可取平面π的法向量为{}6,6,0660117110--=--=--=⨯=k j i j is P P n ∥{}1,1,0. 所以，平面π的方程为 ()()()01.12.11.0=-+-+-z y x .化简得03:=-+z y π.习题1.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.（1）1=-y x ；（2）x y 22=；（3）122=-y x ；（4）1222=+y x . 【解】（1）1=-y x 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于z 轴的平面；（2）x y 22=在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；（4）1222=+y x 在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几何中表示一张椭圆柱面.2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程.（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周；（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周；（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周.【解】（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周得到的曲面是 ()x z y 5222=+±，即 x z y 522=+.（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周得到的曲面是 ()36942222=-+±y z x ，即36494222=+-z y x .（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周而得到的曲面是 ()013222=+-+±z y x ，即()()222134-=+z y x . 3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ；【解】（1）1994222=++z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422y z x 绕x 轴旋转一周而形成. （2）14222=+-z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422z y x 绕y 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422x y z 绕y 轴旋转一周而形成. （3）1222=--z y x 由曲线⎩⎨⎧==-,0,122z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎩⎨⎧==-,0,122y z x 绕x 轴旋转一周而形成. 4.指出下列各方程所表示的曲面.（1）14416916222=++z y x ；（2）144944222=+-z y x ；（3）z y x 729422=-；（4）16922=+z y ；（5）22z y x --=；（6）224y z x =+；（7）36249222=++z y x ；（8）444222=-+x y z .【解】（1）原方程可化为()1169222=++y z x . 所以，原方程表示的是旋转椭球面.（2）原方程可化为 1163838222=+-z y x . 所以，原方程表示的是双叶双曲面.（3）原方程可化为81822y x z -= 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（4）原方程可化为 11691622=+z y . 所以，原方程表示的是椭圆柱面.（5）原方程可化为()22z y x +-=.所以，原方程表示的是旋转抛物面.（6）原方程可化为4122z y x -=.所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （7）原方程可化为11894222=++z y x . 所以，原方程表示的是椭球面. （8）原方程可化为1141222=-+x z y . 所以，原方程表示的是单叶双曲面.习题1.求球心在()3,2,1，半径为3的球面与平面5=z 的交线方程（写出一般式方程和参数式方程），并求出该曲线绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程. 【解】（一）球心在()23,1，半径为3的球面方程为 ()()()9321222=-+-+-z y x .故球面与平面5=z 的交线的一般式方程为()()()⎩⎨⎧==-+-+-Γ.5,9321:222z z y x即()()⎩⎨⎧==-+-Γ.5,521:22z y x化为参数式方程为[]π2,0.5,sin 52,cos 51:∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=Γt z t y t x .（二）利用公式()()()()()[][]()πθβαθθ2,0,,.,sin ,cos 2222∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=t t z z t y t x y t y t x x .Γ绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 [][]()πθπθθ2,0,2,0.5,sin sin 54cos 5210,cos sin 54cos 5210∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=t z t t y t t x .2.分别求出母线平行于x 轴、y 轴且通过曲线()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++Γ2,01,162:222222z y x z y x 的柱面方程. 【解】（一）（1）、（2）联立消去x ，得 16322=-z y .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为16322=-z y . （二）（1）、（2）联立消去y ，得 162322=+z x .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为162322=+z x . 3.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+. 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 21=. 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为.23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21=. 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== 5.画出下列各曲面所围立体的图形. （1）0,22==z x y 及1224=++zy x ；（2）0,,222==+=z y x y x z 及1=x . 【解】略.6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 7.写出圆锥面22:y x z S +=的参数方程.【解】().20,0.,sin ,cos πθθθ≤≤+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===r r z r y r x习题1.设向量值函数()k t j t i t t r ++=sin cos ，求()t r t 4lim π→. 【解】()t r t 4lim π→k j i k t j t i t t t t 42222lim sin lim cos lim 444ππππ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→. 2.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-='t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±='r 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|1,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x s '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t t t ===.由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,sin cos 2,cos |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .6.已知(){}t t t t r 2,1,12-+=表示空间一质点在时刻t 的位置，求质点在时刻t 的速度和加速度向量，并求质点在指定时刻1=t 的速率和运动方向. 【解】（一）时刻t 的速度向量为()()()()(){}2,2,12,1,12t t t t t r t v =⎭⎬⎫⎩⎨⎧''-'+='=；时刻t 的加速度向量为()()()()(){}{}0,2,02,2,1='''=''=t t r t a .（二）1=t 的速度为(){}2,2,11=v )32211222=++=. 1=t 的速度为(){}2,2,11=v()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=32,32,311.复习题71.填空题（1）设b a ,为非零向量，若0.=b a ，则必有a ⊥b .（2）设b a ,为非零向量，若0=⨯b a ，则必有a ∥b .（3）若直线l 的方向向量s 与平面π的法向量n 互相平行，则直线l 与平面π必垂直.（4）点()1,5,3P 到平面07623=+++z y x 的距离732. （5）若动()z y x M ,,到定点()5,0,0的距离等于它到x 轴的距离，则该动点的轨迹方程为25102-=-z x .（6）直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=.31,1,2t z t y t x 与平面0765=-+-z y x 的位置关系是相交但不垂直.【解】直线l 的方向向量为{}3,1,1-=s .平面的法向量为{}6,5,1-=n .因为024.≠=n s ，且s 与n s .的坐标分量不成比例，所以直线l 与平面π相交. 2.判断题.（1）若c a b a ..=，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （2）若c a b a ⨯=⨯，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （3）若c a b a ..= ① 且c a b a ⨯=⨯ ② ，则必有c b =.（⨯）【解】取0=a ，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 .【书后答案有误】. 【注意：如果假定c b a ,,均为非零向量，则上述命题是正确的，其理由如下：由①式得 ()0.=-c b a ，说明a 与c b -垂直；由②式得 ()0=-⨯c b a ，说明a 与c b -平行. 因为a 为非零向量，故c b -必为零向量，从而c b =. （4）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ..=.（√）（5）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ⨯=⨯..（⨯）3.已知直线⎩⎨⎧=+--=+++.03102,0123:z y x z y x l 平面024:=+-z y x π，则直线l 与平面π的位置关系为（B ）A. 平行于平面π C. 在平面π上B. 垂直于平面π D. 与平面π斜交.【解】在直线l 上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-0,71,7100M .直线l 的方向向量为k j i j i n n s 71428123121-+-=-=⨯=∥{}1,2,4-. 平面的法向量为{}1,2,4-=n .因为s ∥n ，所以直线l 与平面π垂直.4.设c b a u 2+-=，c b a v ---=3，试用c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()c b a 22+-=()c b a ----33c b a 775++=.5.设点C 为线段AB 上一点，且AC CB 2=，O 为AB 外一点，记OA a =，OB b =，OC c =，试用b a ,来表示c .【解】由题意知，a b OA OB AB -=-=，a b AB AC 313131-==. 所以，a b a a b OA AC AO AC c 32313131+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=.6.已知k j i a +-=32，k j i b 3+-=，j i c 2-=.计算：（1）()()b c a c b a ..-；（2）()()c b b a +⨯+. 【解】（1）()()8311312.=⨯+-⨯-+⨯=b a ； ()()8302312.=⨯+-⨯-+⨯=c a .所以，()()()()k j k j b c b c b c a c b a 24838888..--=--=-=-=-.（2）k j i j ib a +--=--=⨯581132；k j i j ic a -+=--=⨯22132；k j i j ic b -+=--=⨯362111. 所以，()()c b b b c a b a c b b a ⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+()k j i +--=58 ()k j i -++2 ()k j i -++36 k j --=. 【或者这样做：k j i b a 443+-=+，k j i c b 332+-=+. 所以()()c b b a +⨯+.3243k j j i--=--=】 7.已知{}2,1,2=a ，{}10,1,4-=b ，a b c λ-=，且a ⊥c ，求实数λ. 【解】{}λλλλ210,1,24----=-=a b c .因为a ⊥c ，所以 ()()()λλλ210211242.0-⨯+--⨯+-⨯==c a ，即0927=-λ .解之得 .3=λ8.设{}1,2,3-=a ，{}2,1,1-=b ，求：（1）()()b a 72⨯；（2）i a ⨯. 【解】（1）k j i j i b a 5731123--=-=⨯{}5,7,3--=. 所以，()()b a 72⨯()b a ⨯=14{}{}70,98,425,7,314--=--=.（2）{}2,1,020001123--=--=-=⨯k j i kji i a . 9.3=，1=6π=，计算：（1）b a +与b a -之间的夹角；（2）以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积.【解】232313,.cos .=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧b a b a . ① （1+()71232322=+⨯+===；-()11232322=+⨯-===； ()()().213 (2)2=-=-=-+b b a a b a b a设b a +与b a -之间的夹角为θ，则有()(72172cos =⨯==b a b a θ，所以72arccos =θ.（2+()1314234322=⨯+⨯+===；-()319236322=⨯+⨯-===； ()()().2916233.6..3.222-=⨯--=--=-+b b b a a a b a b a设b a 2+与b a 3-之间的夹角为θ，则有()(392931329cos -=⨯-==θ，故 2613539291cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=θθ. 所以由三角形的面积公式知，以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积为.32526135313sin 2=⨯⨯=⎥⎦⎤⨯-+=θS10.已知点()0,0,1A 及()1,2,0B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. 【解】过点()0,0,1A 及()1,2,0B 直线l 的方向即为{}1,2,1-==AB s .l 的方程为 1211:zy x l ==--. 设点()z C,0,0，则{}2,1,22101---=--=⨯z z ji s AC . 点C 距l 的距离为()()()6212222-+-+-==z z d 65245152+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z明显地，当51=z 时，d 取到最小值55254=.所以，ABC ∆的面积最小值为 53055262155221=⨯⨯==∆S ABC . 所求点.51,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C11.求过点()2,1,3--且与平面01235=-+-z y x 平行的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量与已知平面相同，即为{}3,5,1-=n . 所以，所求平面方程为()()()0231.53.1=+++--z y x ，即 .0235=-+-z y x12.求过点()1,2,1且垂直于平面0=+y x 和05=+z y 的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量为k j i j in n n 5501121+-==⨯=. 所以，所求平面方程为()()()0152.11.1=-+---z y x ，即 .045=-+-z y x 13.求满足下列条件的平面方程.（1）过点()2,1,1--M 和()1,1,3N 且垂直于平面0532:=-+-z y x π；（2）过点()3,3,2-M 且平行于xoy 面. 【解】（1）可取所求平面的法向量为k j i j is MN n 63122122--=-=⨯=∥{}2,1,4--. 所以，所求平面方程为()()()02.21.11.4=+-+--z y x ，即 .0924=---z y x（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 .0=+D Cz将点()3,3,2-M 的坐标代入平面方程得.03=+D C 即 ()03≠-=C C D . 所以，所求平面为 .03=-C Cz 化简得.03=-z14.求过点()3,0,2-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.01253,0742:z y x z y x l 垂直的平面方程.【解】直线l 的方向为k j i j in n s 111416532121++-=-=⨯=. 所以，所求平面方程为()()()03.110142.16=++-+--z y x ，即 .065111416=+++-z y x15.求过点()1,3,20-M 和直线⎩⎨⎧=+-=--.062,0165:z y y x l 的平面方程.【解】化直线l 的为参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=.62,,165:y z y y y x l .因此直线l 过点()6,0,161M .可取所求平面的法向量为{}1,3,131531410--=--==⨯=k j i j is M M n . 所以，所求平面方程为()()()01.13.32.1=--+--z y x ，即 .0103=---z y x 【书后答案有误】. 16.求过点()1,1,1M 且与直线42135:-=+=-zy x l 平行的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}4,2,3-=s .所以，所求直线为412131--=-=-z y x . 17.求过点()4,2,00M 且与两平面12:1=+z x π和23:2=-z y π都平行的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}1,3,232100121-=++-==⨯=k j i j in n s . 所以，所求直线为143220-=-=--z y x . 18.求下列旋转曲面方程.（1）⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周；（2）⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周. 【解】（1）由公式，知⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周生成曲面 ()y zx 2222=+±，即 222z xy += ，为椭圆抛物面.（2）由公式，知⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周生成曲面 ()142222=++±z yx ，即 14222=++z y x ，为椭球面. 19.指出下列各方程所表示的是何种曲面.（1）11694222=++z y x ；（2）94322y x z +=；（3）64416222=-+z y x ；（4）3694222-=+-z y x . 【解】（1）表示椭球面；（2）表示椭圆抛物面；（3）可化为164164222=-+z y x ，故（3）表示单叶双曲面；（4）可化为14369222-=-+z y x ，故（4）表示双叶双曲面. 20.求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=Γ.,1,1:2t z t t y t t x ① 对应于1=t 处的切线方程.【解】将1=t 代入① ，得切点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,2,21.又切向量为()|12,1,1=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t tt t t t s ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==2,1,412,1,11|122t t t t ∥{}8,4,1-. 所以，曲线Γ对应于1=t 处的切线方程为8142121-=--=-z y x .。

高等数学第七章测试题答案第版

第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是3阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x +=；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e e y x dx x +⎰⎰=⎰-，三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y分离变量x x y yd d 1-=，两边同时积分C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=，又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。

高等数学微分方程第七章练习题答案

第七章练习题一、填空：第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是一阶常微分方程. 3、01"=+xy 是二阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是（ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为（ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ）（A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为（ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解（1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解（1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解（1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解（1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

《高数(同济六版)》第七章微分方程--参考答案

第七章微分方程—练习题参考答案一、填空题1. 三阶；2. 023=+'-''y y y ；3. 1-='xy y ； 4. x e 22ln ⋅ ； 5. x x e c e c 221-+；6. 错误、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB; 6-8: CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122-=+x xdx y ydy ，两边积分得，c x y ln 21)1ln(21)1ln(2122+-=+，从而方程通解为 )1(122-=+x c y .（2）解：整理得，xy x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程，令u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dxdu x u ln =+，变量分离得，xdx u u du =-)1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-，所以原方程的通解为cx x y =-1ln，或写为1+=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-. （4）解：整理得，x y x x dx dy 1ln 1=+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-，代入初始条件1==e x y 得21=c ，从而所求特解为)ln 1(ln 21x x y +=. （5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan 11c x dx xy +=+='⎰， 2121)1ln(21arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰，即原方程通解为212)1ln(21arctan c x c x x x y +++-=. （6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰，从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 21221c e c x x y x ++--=.2、解：将⎰+=x du u f x x f 0)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，又由⎰+=xdu u f x x f 0)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，所以所求1)(-=x e x f .3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解，又因3221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关，从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=，所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=，即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

第七章高等数学试题及答案

第七章高等数学试题及答案第七章空间解析几何与向量代数1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。

解因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a ,) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a .2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。

解点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。

解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c .4．若4=r，它与轴u 的夹角为3π，求r 在轴u 上的投影。

解22143c o s ||j Pr =?=?=πr r u .5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

解设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以及和21M M 方向一致的单位向量。

高等数学教材第七章答案

高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。

1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。

解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。

高等数学第七章大作业答案解析

A. e x ( B0 B1 x); C. x 2e x ( B0 B1 x);
2
）
B. xe x ( B0 B1 x) D. Be x
特征方程 r 2r 1 0
C
特征根 r 1(二重根 )
1是特征根，而且是二重根，
所以特解形式为
x e ( B0 B1 x)
2 x
二、填空题
1. 已知连续函数 f ( x)满足关系式 f ( x)
f ( x)
2x 0
1 t f ( )dt , 则 x 2
1 2x t f ( x) f ( )dt x 0 2
1 f ' ( x) 2 x

2x
0
t 1 f ( )dt f ( x) 2 2 x
Y y y ' ( X x) 与y轴的截距为 y y' x
2 x 3a
2
( x, y )
梯形面积为（y y y ' x)
求一曲线，使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于常数 3a , 且过点（1，a ）（y y y ' x) x 3a 2 2 2 6a 2 整理得 y' y 2 且y(1) a 2 x x
分离变量，求解微分方程得
1 f ( x) x
f ( x) Cx
2.以y e2 x (3 cos x 4 sin x)为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
r 2 i为该方程的特征根
所以特征方程为
(r 2 i)(r 2 i) 0
即r 4r 5 0
2 2

高等数学下册第七章习题答案详解

高等数学下册第七章习题答案详解1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：()123A ，，；()2,3,4B -； 2,3,4C --（）； D 3,4,0（）；()0,4,3E ；3,0,0F （）. 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？答: 在xOy 面上的点，z =0;在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.3. 对于x 轴上的点，其坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答：x 轴上的点，y =z =0;y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.4. 求下列各对点之间的距离： (1) (000)，，，(234)，，； (2) (000)，，，(23,4)--，； (3) (2,3,4)--，() 1,0,3； (4) (4,2,3)-，(2,1,3)-.解：（1）22223429s =++=(2) 2222(3)(4)29s =+-+-=(3) 222(12)(03)(34)67s =++-++=(4) 222(24)(12)(33)35s =--+++-=5. 求点(4,3,5)-到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+=222(44)(30)(50)34x s =-+--+-=2224(33)541y s =+-++=2224(3)(55)5z s =+-+-=.6. 在z 轴上求一点，使该点与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离. 解：设此点为M （0，0，z ），则222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--解得 149z =即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证:以三点(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.习题7-21. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图12. 设2,3=-+=-+-u a b c v a b c .试用a,b,c 表示23-u v . 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c3.把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为1234,,,D D D D ，再把各分点与A 连接，试以,AB BC ==c a 表示向量123,,A D A D A D 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a4. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=5. 一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在三坐标轴上的投影依次是4，－4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0). 6. 一向量的起点是1(4,0,5)P ，终点是2(7,1,3)P ，试求: (1) 12P P 在各坐标轴上的投影； (2) 12P P 的模；(3) 12P P 的方向余弦； (4) 12P P 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==- (2) 22212(74)(10)(35)14PP =-+-+-=(3) 123cos 14x a PP α==121cos 14y a PP β==122cos 14z a PP γ-==(4) 120123{}141414141414PP PP ===-e j . 7. 三个力123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)=---F F F 同时作用于一点，求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R cos cos cos 212121αβγ=== 8. 求出向量,235=++=-+a i j k b i j k 和22=--+c i j k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量,,a b c .解：222||1113=++=a222||2(3)538=+-+=b222||(2)(1)23=-+-+=c3, 38, 3. a b c ===a e b e c e9. 设358,247,54,=++=--=+-m i j k n i j k p i j k 求向量43=+-a m n p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 10. 已知单位向量a 与x 轴正向夹角为π3，与其在xOy 平面上的投影向量的夹角为π4.试求向量a .22223===34411cos cos cos 1cos ,cos ,42112112,,.222222a πππαγγαβγββ++===±⎧⎧⎪⎪±-±⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭由已知得单位向量的分向量：，或由知从而所求向量为，，或11. 已知两点12(2,5,3),(3,2,5)M M --，点M 在线段12M M 上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 12. 已知点P 到点(0012)A ，，的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+122226570cos 6, 749z z z x y z γ==⇒==++ 又122222190cos 2, 749xx x x y z α==⇒==++ 122223285cos 3, 749y y y x y z β==⇒==++ 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 13. 已知,a b 的夹角2π3ϕ=，且3=a ， 4=b ，计算: (1) ⋅a b ；(2) (32)(2)-⋅+a b a b .解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b14. 已知(4,2,4),(6,3,2)=-=-a b ，计算:(1) ⋅a b ； (2) (23)()-⋅+a b a b ；(3) 2-a b .解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15. 已知32,2=+-=-+a i j k b i j k ，求: (1) ⨯a b ； (2) 27⨯a b ；(3) 72⨯b a ； (4) ⨯a a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .16 已知向量a 和b 互相垂直，且3,4==a b ，计算： (1) ()()+⨯-a b a b ；(2) (3)(2)+⨯-a b a b .解：（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 习题7-31. 求过点(41,2)，-，且与平面32611x y z -+=平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.2. 求过点0(1,7,3)M -，且与连接坐标原点到点0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=03. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 4. 求过(1,1,-1),(2,-2,2)-和(1,-1,2)三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) 0y =； (2) 310x -=； (3) 2360x y --=； (4) 0x y -=； (5) 2340x y z -+=.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图3)图2 图3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图6）.图4 图5 图66. 通过两点(1,1,1)和(2,2,2)作垂直于平面0x y z +-=的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.7. 求通过下列两已知点的直线方程： (1)()1,2,1,(3,1,1)--；(2) (3,1,0),(1,0,3)--.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 8. 求直线234035210x x z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数式方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩9. 决定参数k 的值，使平面29x ky z +-=适合下列条件： (1) 经过点(5,4,6)－；(2) 与平面230x y z -+=成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.（2）两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||42514k k θ⋅-====+⋅n n n n 解得70k =±10. 确定下列方程中的l 和m ：(1) 平面2350x ly z ＋＋－＝和平面620mx y z --+=平行； (2) 平面3530x y lz -+-=和平面3250x y z +++=垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n11. 通过点(11,1)，－作垂直于两平面10x y z -+-=和210x y z +++=的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =012. 求平行于平面375x y z -+=，且垂直于向量2i j k －＋的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则1(52).30n =±+-e i j k 13. 求下列直线的夹角： (1) 533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；(2) 2314123x y z ---==-和38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩.解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 12126cos 0.2064135785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 14. 求下列直线与平面的交点： (1) 11,2310126x y zx y z -+==++-=-；(2)213,2260232x y z x y z +--==+-+= 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 15. 求点(121)，，到平面22100x y z ++-=的距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为222122()()()1333d =++= 即为点到平面的距离.习题7-41. 建立以点(13-2)，，为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2. 一动点离点(20-3)，，的距离与离点(4-6,6)，的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.3. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：(1)2222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（a 为正常数）(2)22149x y -+=；(3)22194x z +=；(4)20y z －＝； (5)220x y －＝；(6)220x y ＋＝.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图8.图7 图8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图10.图9 图10 （5）母线平行于z轴的两平面，如图11.（6）z轴，如图12.图11 图124. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：(1)222149y zx++=；(2)22369436x y z+-=；(3)222149y zx--=；(4)2221149y zx+-=；(5)22209zx y+-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图14.图13 图14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图15.(4) 单叶双曲面，如图16.图15 图16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图17.图175. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1)2222x y z a ＋＋＝与()0,02az z a ==>为常数； (2)4x y z =＋＋，0,1,0,2x x y y ====及0z =； (3)24,0,0,0z x x y z =-===及24x y +=； (4)226,0,0,0z x y x y z =-+===（）及1x y +=. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图18，19，20， 1所示.图18 图19图20 图216. 求下列曲面和直线的交点：(1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-； (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.7. 设有一圆，它的中心在z 轴上、半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.8. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面2x =； (2) 平面0y =； (3) 平面5y =； (4) 平面2z =.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.9. 求曲线2222222,x y z a x y z ＋＋＝＋＝在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩10. 建立曲线22,1x y z z x ＋＝＝＋在xOy 平面上的投影方程. 以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题七1.填空题：（1）过(0,1,0)且与平面1x y z -+=平行的平面方程为1x y z -+=-（2）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离（3）原点关于平面6291210x y z +-+=的对称点是（-12，-4，18）。

高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数§向量及其线性运算必作题：P300 —301 ：1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 19. 必交题：1. 求点(aM分别关于⑴各坐标而：⑵"坐标轴：⑶坐标原点的对称点的坐标.解:(1) xoy 而(a,b, ? c)理oz 面(? a,b , c) , xoz 面(a 广bQ ;(2) ox 轴(a A brc) z oy 轴(? ab? c) , oz 轴(? a,-b,c);(2)关于原点(? a,-b? c)a3、坐标而上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点的位置A(3,4,0), 3(0,4,3), C(3,0,0), £ >(0-1,0).解: xoy 而：z=0, yoz 而：x=0> xoz 而：y=0 ?ox 轴：y=O,z=O. oy 轴：x=0,z=0, oz 轴：x=0z y=0tA在xoy而上，B在yoz而上，C在x轴上，D在y轴匕4、在z 轴上求与点AM, 1,7) 和点B(3,5,-2) 等距离的点的坐标.14 14 解:设 C (0, 0, z),有|AC| = |BC|,解得：z=—,所求点为(0Q —).9 95、设“ =a-b + 2c.v = -a + 3b-c, 试用a.b.c 表示2u-3v? 解：2M一3” = 5a —1 仍+ 7c5、已知两点和M,3,0.2), 求向的模，方向余弦和方向角.解：={-1-72,1} , = 2 ,方向余弦为cos a =~~方向角汀上疗= cos y =—"辛: :P = ---- t Y ——4 3解：设0 "戯的模厨 i 方向余弦= = = 求2={5},贝2 2* = x/J * “ = {o 丄苗}7、设有向疑片A , kR| = 2,它与x 轴、y 轴的夹角分别为彳和？如果已知人（1,0,3）,求g 的坐标.解：设巴的坐标为（x,y,z ） ?叶马={x-l,y,乙一 3},-八一! ■= cos —=—,所以x = 2 :I = cos-=八，所以 y = V2 ,又障可=2,,所以 J1 + 2 + (Z _3)2 =2,解得 z = 2 或 z =4,所以人的坐标为(2,72,2)或者(2,72,4).& 求平行于向疑方={6,7, — 6}的单位向量. ）{6,7,-6}，即必作题： P309-310 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 必交题：1、已知向量“ ={1, 一 2,2}与/? = {2,3,几}垂直，向 M c = {1,1,-2}与2={22平行，求兄和“的值解：？ =736 + 49 + 36 = 11,与N 平行的单位向疑为土丄数量积向量积混合积2、已知向Sa = 2i-3j + k9b = i-j + 3k 9c = i-2j A 别计算以下各式⑴(a A B)c-(a A c)b； (2) (a + b)x(b + c) ; (3) (axb A c.解:(1) - (a ? c)b = 8c - 8b = -8 了 - 24 斤(2) (A+b)x(b+c) = (A -4j+4k)x(2i-3j+3k) = -j-k2 一 31⑶(“ xb)0= 1-1 3=2 1 -2 0OAxOB ：解：-37-3j3、已知 OA=l+3k,OB = J + 3k f 求 AABO 的而积. AABO 的而积 S = A \OA X OB\ =.§曲面及其方程必作题；必交P318-319 : 1、2、5、6、7、8、9、10.1、一动点与两従点 A(2,3,l)和B(4,5,6)等距离，求该动点的轨迹方程解：设动点因为网=阿所以(x-2)2+(y-3) 2+(z-l) 2=(x-4) 2+(y-5)2 + (z-6)2，解得动点的轨迹方程为 2x + 2y + 5z.2、指出下列方程在平而解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形2 2解：(DxOy 坐标而上椭圆一+ — = 1绕6轴旋转形成，或者妝力坐标而上椭圆一+ A - 4 =1绕6轴旋转形成。

高等数学课后习题答案--第七章

135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;

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第七章空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）;(2）ox轴（a,-b,-c）,oy轴（-a,b,-c）,oz轴（-a,-b,c）;(2）关于原点（-a,-b,-c）。

2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征,指出下列各点的位置A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0.ox轴：y=0,z=0，oy轴：x=0,z=0，oz轴：x=0,y=0，A在xoy面上，B在yoz面上，C在x轴上，D在y轴上。

3、在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐标.解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=149 ，所求点为(0,0,149).4、设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.解：2u3v5a11b7c.5、已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.解：M1M21,2,1，M1M22，方向余弦为c o s 12，cos22，cos12，方向角23，34，3.16、设向量a的模a2,方向余弦13cos0,cos,cos,22求a.x 解：设ax,y,z，则02 ，y122，y322，所以x0，y1，z3，a0,1,37、设有向量P1P2,P1P22,它与x轴、y轴的夹角分别为和，如果已34知P1(1,0,3),求P2的坐标.解：设P的坐标为(x,y,z)，P1P2x1,y,z3，2 x11cos232，所以x2；y2cos242，所以y2，又P P，所以122,212(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐标为(2,2,2)或者(2,2,4).8、求平行于向量a6,7,6的单位向量.解：a36493611，与a平行的单位向量为16,7,611 ，即为676,,111111，或者676,,111111.§7.2数量积向量积混合积必作题：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与d2,2,平行，求和的值.解：ab，ab2620，22ab，11222u，u4.2、已知向量a2i3jk,b ij3k,ci2j,分别计算以下各式.⑴(ab）c(a c）b；⑵(ab)(bc)；⑶(a b)c.解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k⑵(a b)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk231(a b)c1132.⑶1203、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积.解：OAOB3i3j kABO的面积119SOAOB.22§7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以222222(x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得动点的轨迹方程为632x2y5z. 22、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴yx1；⑵224xy；⑶221 xy；⑷22xy；⑸220 xy.解：⑴直线；平面⑵圆；援助面⑶双曲线；双曲柱面3⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴222xyz4991；⑵222(za)xy.解：⑴xOy坐标面上椭圆22xy491绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面上椭圆22xz491绕Ox轴旋转形成。

（2）xOz坐标面上zax绕Oz轴旋转形成，或者yOz坐标面上zay绕Oz轴旋转形成.4、指出下列方程表示什么曲面⑴22xy9421z；⑵22zxy349；⑶222xyz；⑷2224xyz.解：⑴椭球面⑵椭圆抛物面⑶圆锥面⑷旋转双叶双曲面.5、建立单叶双曲面222xyz16451 与平面x2z30的交线关于xoy面的投影柱面与投影曲线方程. 解：将曲面与平面方程联立，消去变量z得到投影柱面22(3)2xyx164201，22(3)2xyx164201投影曲线为.z06、画出下列各曲面所围立体图形.⑴22zxy，z1；⑵22z6xy，z0；4⑶22z2xy，22zxy.解：略§7.4空间曲线及其方程必作题：P324--325：3，4，5，6，7，8. 必交题：1、下列方程组各表示什么曲线？y5x1 y2x3 ；⑵22xy49z13⑴；⑶2426xyzz1；⑷22480yzxy4；⑸222xyz36.222(x1)(y2)(z1)25解：⑴直线⑵椭圆⑶双曲线（4）抛物线⑸圆2、求由上半球面222zaxy，柱面220xyax及平面z0所围立体在xoy坐标面和xoz坐标面的投影.解：在xOy平面投影2 aa22(x)y，z024在xOz平面投影22 zax，y0，x01、将曲线的一般方程2229xyz化为参数方程.yx3 xcost2解：3ycost2z3sint，0t2§7.5平面及其方程5必作题：P329---330：2，4，6，7，8.必交题：1、求满足下面条件的平面方程⑴过点3,0,1且与向量a3,7,5垂直;⑵过点1,0,1且与二向量a2,1,1，b1,1,0平行;⑶过点5,7,4且在三坐标轴上的截距相等且不为零;⑷过z轴，且与平面2xy5z0的夹角为.3解：⑴3(x3)7y5(z1)0，即3x7y5z4ijk⑵ab211ij3k，所以(x1)y3(z1)0，即110xy3z4⑶设平面方程为xyza，过点5,7,4，所以a2，即xyz2⑷设平面方程为AxBy0，cos2A B32210AB，解得A3B或B3A，所以方程为3BxBy0，即3xy0，或者Ax3Ay0，即x3y0.2、求两平行平面1:xyz10与2:2x2y2z30之间的距离.解：在1上任取一点(0,0,1)，距离2353d.6444§7.6空间直线及其方程必作题：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.6必交题1、求过点(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程.解：方向向量s1,0,20,1,32,3,1以直线方程为x y2z42312、求直线L : x y3z0xyz0和平面:xyz10间的夹角.解：s1,1,31,1,12,4,2，n1,1,1242sin04164111，所以03、求点P(3,1,2)到直线xyz102xyz40的距离. 解：s1,1,12,1,10,3,3在直线上任取一点M(1,0,2)，PM2,1,0，PMs3,6,6距离d P Mss322第七章总复习必作题:P337---338:总习题七.必交题:第七章模拟检测题1、填空题(1)设2a5b与ab垂直，2a3b与a5b垂直，则(a,b)=.2或33(2)已知a(2,2,1),b(8,4,1)，则a在b的投影为；7与a同方向的单位向量为；b的方向余弦为.1；221,,333；cos89，cos49，cos19(3)空间曲线22zxy22z2(x y)在xOy面上的投影曲线的方程为.221xyz0 x1y1tz2t及x1y2z1121(4)与两直线都平行且过原点的平面方程为.xyz0(5)点P(3,5,7)关于平面2x6y3z420的对称点的坐为.9713109(,,)4949491、选择题(1)设ab3，ab(1,1,1)，则向量a与b的夹角为（D）;A．B．C．D．2346(2)设两直线L1：x1yz1112 ，L2：x y1z2134，则此两条直线（A）;A．异面B．相交C．平行D．重合(3)通过x轴且垂直于平面5x4y2z30的平面方程为（B）;A．z2y0B.y2z0C．x2z0D．z2x0(4)平面2x4y3z30与平面xy2z90的夹角为（D）;A．B．C．D．64328(5)点M(1,1,0)到直线L :2y3z30xy0的距离为（B）.A．34011 B．34111C．34211D．343113、计算题(1)求点A（-1，2，0）在平面x2y z10上的投影.解：垂涎方程为x1y2z121 ，令x1y2z121t代入平面方程解得522(,,)3332t，所以35x，32y，32z，即投影为3(2)设平面过点（0，1，3），且平行于直线x1y2z1211，又垂直于已知平面xy2z10，求此平面方程.解：法线向量n2,1,11,1,21,5,3，所求平面方程为(x0)5(y1)3(z3)0，即x5y3z14(3)求直线x1y3z231绕z轴旋转一周所成曲面方程.解：s2,3,1，cot11 4913曲面方程为22z(x1)(y3)cot，即22213z(x1)(y3)(4)求以点A（3，2，1）为球心，且与平面x2y3z18相切的球面方程.9解：点A到平面的距离34318 dr14，149球面方程为222(x3)(y2)(z1)14.(5)求空间曲线xz22xy1在三个坐标面上的投影曲线方程.1解：在xOy平面的投影221xy，在y O z平面的投影z022(z1)y1x0在xOz平面的投影x zy 01.4、证明题(1)证明向量ai3j2k,b2i3j4k,c3i12j6共k 面.132(ab)c2340，所以三个向量共面.证明：3126或者c5ab，三个向量线性相关，所以共面.(2)已知两直线方程为x2y2z3 L:，1112x1y1z1L:，证明直线L1与L2相交. 2121证明：直线x1y1z1L:过点(1,1,1)，而该点满足2121x2y2z3 L:的方程：1112 121213112，且1,1,21,2,10，所以两直线不平行，也就不重合，故两直线相交.10。

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