北京大学数学科学学院2017年直博生摸底考试试题
2015年北京大学数学科学学院应用数学考博专业介绍,考博真题,真题解析
2
【全国百所名校定向保录】 【才思教育由命题组领专业化辅导】
comprehension of the formation and development as well as **************. If possible, I will go on with my study for doctorate degree. In a word, I am looking forward to making a solid foundation for future profession after two years study here.
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考试科目
1
备注
【全国百所名校定向保录】
12. 图像重建与图像处 理
13. 微分方程在图像处 理和信 号分析中的应 用
14. 信息物理融合系统
【才思教育由命题组领专业化辅导】
1. 自我介绍(self-introduce) Good morning. I am glad to be here for this interview. First let me introduce myself. My name is ***, 24. I come from ******,the capital of *******Province. I graduated from the ******* department of *****University in July ,2001.In the past two years I have been prepareing for the postgraduate examination while I have been teaching *****in NO.****middle School and I was a head-teacher of a class in junior grade two.Now all my hard work has got a result since I have a chance to be interview by you . I am open-minded ,quick in thought and very fond of history.In my spare time,I have broad interests like many other youngers.I like reading books, especially those about *******.Frequently I exchange with other people by making comments in the forum on line.In addition ,during my college years,I was once a Net-bar technician.So, I have a comparative good command of network application.I am able to operate the computer well.I am skillful in searching for information in Internet.I am a football fan for years.Italian team is my favorite.Anyway,I feel great pity for our country’s team. I always believe that one will easily lag behind unless he keeps on learning .Of course, if I am given a chance to study ****** in this famous University,I will stare no effort to master a good command of advance ******.
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案2
2017全国数学联赛模拟二试试题及答案2（清北学堂教研部特邀上海中学奥赛名师周建新老师命制，内部资料，禁止翻印。
）第二试1、 点D 在ΔABC 的边BC 上，E 是CD 的中点。
过E 作BC 的垂线交AC 于F ，且AF ·BC=AC ·EC 。
ΔADC 的外接圆交AB 于G 。
证明：过点F 作ΔAGF 的外接圆的切线也是ΔBGE 外接圆的切线。
2、 求正整数n 的最小值，使得存在n 个实数a 1,a 2,……a n ,满足：a i ∈(-1,1)（i=1,2，……，n ），n10ii a==∑,n2120i i a ==∑。
3、 设集合s(n)是所有使得nR的分数部分≥12的正整数的集合，如，S （17）={}2,3,6,9,10,11,18,19,20,21,…，34。
求，K s()n ∈∑，()k ϕ，其中()n ϕ是欧拉函数。
4、 棋盘K 是一个去掉了一些放个的棋盘，使得：（1） 在此棋盘中不可能在放置任何一个1×2块（），（2） 无论在棋盘的什么位置复原一个被去掉的单个方格后，就可以在棋盘上又放置一个1×2块。
容易看出，对8×8块的棋盘束说，得到棋盘K 至少需要去32个方格，问：最多可以去掉多少方格？（注：题目3,4有较大难度）参考答案1.证明：过F 做FH ∥BC 交AB 于H 。
由于ΔAHF ∽ΔABC ，有HF=C BCAF A 。
又由已知条件，EC=C BCAF A ，因此，HF=EC=DE 。
进而得到，平行四边形HFCE ，矩形HFED ，又∠BGD=∠ACB=∠HED(因为HE ∥AC)，有H ，G ，D ，E 共圆，且，∠HDE=90°（因为矩形HFED ），则该圆直径是EH ，再由∠HFE=90°，可知：H ，G ，D ，E ，F 五点共圆，EH 是直径。
由∠BGE=90°=∠FEB ，从而∠ABC=∠GEF ，因此，EF 是ΔBGE 外接圆的切线。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。
2017年北大博雅计划数学试题及答案
【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…， ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数，比如 2017 出现在原数字的笫 0 位，
2014 出现在第 4 位等。 注意到 10 的方幕除以 9 的余 数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
＝－9 ， s
即
SMoD=— 92x．
故 liDOA 的内切圆半径是？雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再 通过共边定理获得另一个三角形的面积值。 较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
故n的最大可能值 不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和 不小于 5 。 幕次和为6的情形上已排除， 故幕次和为 5 。 由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数，故 a,b,c必有一个被 2 5 整除，一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此， 取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密，即2的幕次不小于 n更容易达到。 故我们考虑 5 的幕次。 不大 于 402 的 5 的正 整 数幕最 大是 125, 故 a,b,c 各自所 含 5 的 幕 次最 高 是 3 . 而
2017年北京大学博雅计划数学试题分析
2017年北京大学博雅计划数学试题分析选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方，得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ，12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C.52.函数21()|2||||1|2f x x x x，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B.335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos55 的值为（ ）A.1B.114C.1D.前三个答案都不对 54.解：π3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos)(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π5542sin sin 55，从而 原式11111.244故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，ABD DBC ，则该圆的直径为（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对55.D56.已知三角形中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为（ ）57.已知x 为实数，使得2、x 、2x 互不相同，且其是有一个数恰为别一个数的2倍，则这样的x 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对 57.B 58.设整数a 、m 、n 满足 则这样的整数组(,,)a m n 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对58.C59.设111123571111log πlog πlog πlog πS ，则不超过S ，且与S 最接近的整数为（ ）A.5B.4C.5D.前三个答案都不对59.A60.已知复数z 满足2z z是实数，则|i |z 的最小值等于（ ） A.3 B.2C.1D.前三个答案都不对 60.解：设复数i z a b ，从而 222222222(i)22i i ((i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b ， 由题意得222a b ，即在复平面内，复数z 对应的点在圆222a b 上运动，而|i |z 的几何意义是动点(,)P a b 到定点(0,1) 1.从而选D.61.已知正方形ABCD 的边长为1，1P 、2P 、3P 、4P 是正方形内部的4个点，使得1ABP 、2BCP 、3CDP 、4DAP 都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于（ ）A.2B.4C.18D.前三个答案都不对 61.解：以C 为坐标原点，CD ，CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系.由题意知11(,122P、21,22P、31(,)22P、41(1,)22P ，易知四边形1234PP P P为正方形，从而12342132411||||1)222P P P S PP P P 四边形P 选A.62.已知某个三角形的两条高线的长度分别为10和20，则它的第三条高线长度的取值区间为（ ） A.10(,5)3 B.20(5,3 C.20(,20)3D.前三个答案都不对 62.解：设ABC 的面积为S ，所求的第三条高线为长为h ，则三边长分别为210S ，220S ，2S h .则22.1020S S 由三角形的三边关系，得222,20102222010.S S S h S S Sh 解得20203h ，从而选C. 63.正方形ABCD 与点P 在同一个平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC ，则||PD 的最大值为（ ）A.2B.C.1D.前三个答案都不对63.解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设(,)P x y ，由题意得2221x y y ，即22(1)2x y ，即动点P 在圆22(1)2x y 上运动.||PD 的长即为圆上动点P 到定点(0,1)D 的距离，易知D 距离圆心的距离为2，从而最大值为2选A.64. 方程43log (23)log (42)x x x x的实根个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.前三个答案都不对64.解：令43log (23)log (42)x x x x t ，从而234x x t ，423x x t，两式相加，得4343x x t t，令()43x x f x ，从而得()()f x f t .因为()f x 为增函数，从而.x t 所以原方程只有一个根，选B.65.使得2x x 和222x x都是整数的正实数x 的个数为（ ） A.1 B.2 C.无穷多 D.前三个答案都不对 65.解：因这2x x 为整数，故22(x x 必为整数，即2244x x 为整数，由于222x x 为整数，所以22x 为整数.从而2x 必为2的因数.从而21x 或22x .因为0x ，所以1x或x当1x 时，2x x为整数，满足题意；当x 2x x不是整数，不合题意，舍去. 故满足题意的实数x 只有 1.x 故选A. 66.满足4(())()f f x f x 的实系数多项式()f x 的个数为（ ）A.2B.4C.无穷多D.前三个答案都不对66.D67.使得327p p 为平方数，且不大于100的素数p 的个数为（ ）A.0B.1C.2D. 前三个答案都不对67.解：因为3227(7)p p p p ，因为若327p p 是平方数，由27p p 无整数解，从而7p 为平方数.若p 为个位数字，且p 为质数，从而p 所有可能的取值为2,3,5,7，因为平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，检验知只有2符合题意；若p 为两位质数，则7p 必为偶数，因为两位平方数的未两位数字是0偶、1偶、4偶、9偶、25、6奇，从而7P 的未两位数字必是0偶、4偶、6奇三种情况.（1）若p 7 未两位是0偶的形式，则p 只能是13、23、53、73、83，而此时7p 不是平方数；（2）若p 7 未两位是偶4的形式，则p 只能是17、37、47、67、97，而此时7p 不是平方数；（3）若p 7 未两位是6奇的形式，则p 只能是29、89，检验知29符号题意.综上知2p 或29p ，满足条件的p 只有2个，故选C.68. 函数()(1)(2)(3)f x x x x x 的最小值为（ ）A.1B.32C.2D.前三个答案都不对 68.解：令13[(1)(2)(3)]42t x x x x x ，从而3.2x t 所以22311319()()()(().222244f xg t t t t t t t 再令2221195[(()]2444m t t t ，从而254t m ， 于是2()()(1)(1)1 1.g th m m m m当0m ，即2t （此时322x ）时“＝”成立.从而选A. 69.动圆与两圆1:C 221x y 和2:C 22670x y x 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.抛物线D.前三个答案都不对69.解：由圆2C 的方程22670x y x ，得22(3)2x y ，从而可知2C 的圆心为(3,0)，半径为2r ，从而可知1C 与圆2C 相外离.设动圆的圆心P ，从而212121||||1 1.PC PC r r r r 由双曲线的定义可知，动圆的圆心轨迹是双曲线靠近2C 的那支，即双曲线的右支，故选B.70.在ABC 中，4sin 5A ，4cos 13B ，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.无法确定 D.前三个答案都不对70.解：4cos 13B ，得sin 13B ，由于4sin 5A 13 ，所以π2A B ，从而3sin 5A ，所以434cos cos()sin sin cos cos 0513513C A B A B A B ，从而C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形. 故选A.总体评价1.保持了近几年北京大学博雅计划自主招生的几格（1）仍然是20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分；（2）时间紧，题量大.三个小时内要完成语、数、外三科试题的解答，很少有学生完成；（3）D选项一律是“前三个答案都不对”.很具有迷惑性，有时候甚至比较棘手.例如第5题，答案数字不怎么完整.在考场时间紧张的情况下，是否相信自己的判断，对考生来说是一个考验；再如第9题，答案明显是个负数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要估算；（4）风格灵巧，强调多想少算.比如第1题，看出来配方的技巧就可以秒杀.如果硬算的话，可能比较造成悲剧；（5）不追求知识的全面覆盖.数论、函数、平面几何、三角等一向是北京大学各种自主招生考试中的高频考点.在2017年的自主招生考试中依然也是考查的重点. 而概率、统计、导数、立体几何等考点一向被北京大学冷落，2017年的这场考试也不例外；（6）经典试题有一定的重现率.比如第6题就是平面几何中的经典问题，第9题中用到对数运算公式等，这在北京大学的自主招生考试中也是屡见不鲜的.2.相对于近几年的北京大学的各场自主招生的相关考试而言，这份试卷的难度不高，在平均线以下；3.有较好的区分度，能够达到北京大学自主招选拔的目的.与高考试题的对比1.有些试题即使放在高考中也不是难题.比如第19题、第20题.这类题基本每份自主招生的试卷中都有，但一般来讲数量较少；2.有些试题的考点同时也是高考考查的重点，但相对高考而言，综合性较强.考生若想在有限的时间内顺利解决的话，得有很好的基本功. 比如第18题，如果做成四次函数求最值，将会十分麻烦.代数变形后进行换元，处理成二次函数才是解决此类问题的正途.再如第14题，每一步可能都不算难，用到的知识也是高考要求的，但步骤一多，考生可能就处理不好；3.一多半的试题或者为是高考重点要求的（如数论，同时也是自主招生考试中考查最多的知识点，但高考很少涉及），或者是在高考大纲范围内，但考查方法较为灵活（如12题，需要将多个高量之间的本质关系想清楚才能顺利解决）.对考生的启示1.有针对性的训练是有必要的.比如在高考中很少考到数论的相关问题，即使考到，最多无非是奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但自主招生考试对数论的要求却较高.事实上，数论的相关问题很容易体现出“多想少算”的特点，非常符合自主招生的选拔要求.再如平面几何，高中生很可能还比不上初中生，毕竟高考中的平面几何问题都非常简单.如果平时没有有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点就很容易抓瞎，遇到那些虽然在高考大纲范围内，但风格不太一样的试题，也很难顺利解决.2.研习真题真的很重要往年的自主招生试题，全国高中数学联赛的试题，甚至自省的预赛题，都是很好的备考材料.平时练习多思考、多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性就会相当大.3.试题的难度在总体上会保持稳定2017年北京大学博雅计划的自主招生试题相对容易，这只是正常的波动.2018年可能会比2017年稍微难一些，但难度应该也不会太大，对此大家应该有心理准备.4.选择题的“考场技巧”平时需要多练最近两年北京大学的博雅计划自主招生考试全是选择题，必要的时候可能猜.事实上，一道试题即使不完全会，也不能空着.可能会有同学问：“选错不是倒扣1分吗？”可是如果我们从数学角度算算期望的话，一道试题随机选择的得分期望是0.5分.如果能排除两个错误选项的话，得分的期望值就会更高.。
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )
2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（笔试试题附解析 ）一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1. 如图，在三棱锥中ABC D -中，已知AB =2，3-=⋅BD AC ．设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab +1的最小值为 ．2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为 ． 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ，且1202≤-≤a b ，则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 ．4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”：⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ，，，，⋅⋅⋅=321的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交集为空集，且M C B A = ；⑵ 集合A 中所有数均为奇数，集合B 所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合C 中；⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、，且321S S S ==．对于以下4个说法：① 8是“萌数”；② 60是“萌数”；③ 68是“萌数”；④ 80是“萌数”；其中正确的是 ．（填所有正确的序号） 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ，其中*∈N n m ,且2,≥n m ，则n m +的值是 ．13922=+y x 6. 如图，设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点，OB OA ⊥．当A O B ∆面积取最大值时，直线l 的方程为 ．7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ，且1=XY ，则()()Y E X E 的取值范围为 ． 8. 已知0,≥b a ，1=+b a ，则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 ．9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：① ()z z -2Re 被2整除；② ()z z -3Re 被3整除；③ ()z z -4Re 被4整除；④ ()z z -5Re 被5整除；正确的是 ．（填所有正确的序号）10. 在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 ．AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ，且13+===CD BC AB ，1===FA EF DE ．则此六边形的面积为 ．12. 已知n x x x ，，，⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数，则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 ． 二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）． 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<，0．(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ，判断()x h 的奇偶性，并讨论()x h 的单调性． (Ⅱ) 若()()x f x g =，设()b a M ,为()x g 在[]02，-的最大值，求()b a M ,的最小值．⑵ 设Z ∈a ，已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21，内有一个零点0x ，()x g 为()x f 的导函数．(Ⅰ) 求()x g 的单调区间；(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈，函数()()()()m f x m x g x h --=0，求证：()()00<x h m h ；(Ⅲ) 求证：存在大于0的常数A ，使得对任意的正整数p ，q ，且[)(]2,,100x x q p ∈，满足401Aqx q p ≥-．14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ，2≤n a ，⋅⋅⋅=，，，321n ． 证明：若1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列． ⑵ 数列{}n a 各项均为正数，且对任意*∈N n ，满足21n n n ca a a +=+（常数0>c ）．(Ⅰ) 求证：对任意正数M ，存在*∈N N ，当N n >时，有M a n >；(Ⅱ) 设，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nn ca b +=11求证：对任意0>d ，存在*∈N n ，当N n >时，有d ca S n <-<110．参考答案一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）． 1 考点：立体几何（三棱锥） {难度：★★☆☆☆}答案：22 考点：计数，排列 {难度：★★★☆☆}答案：16813 考点：代数式求值 {难度：★★☆☆☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121， 4 考点：集合、数论、分类讨论 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：①③④5 考点：三角函数（三倍角公式） {难度：★★★☆☆}答案：916 考点：解析几何（直线与椭圆） {难度：★★☆☆☆}答案：333+=x y 或333-=x y 7 考点：随机变量 {难度：★★★★☆}答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251，8 考点：导数，放缩 {难度：★★★☆☆}答案：11510433++9 考点：复数，费马小定理 {难度：★★★☆☆}（ 2017年中学生学术能力测试 ）答案：②④10 考点：立体几何（球与圆锥） {难度：★★☆☆☆}（ 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 ）答案：2111 考点：平面几何（特征分析思想，转换法） {难度：★★★☆☆}答案：()3249+图1 → 图2（将小三角形重新组合）12 考点：基本不等式 {难度：★★★★☆}（ 2017年IMO ，中国国家队选拔考试 ）答案：161二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论的应用{难度：★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈， 令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥.13考点：数列，数学归纳法{难度：★★★★☆} (35分)（2017年全国高中数学联赛浙江预赛）（2013年清华大学自主招生）。
北京大学数学科学学院研究生素质综合测评办法
北京大学数学科学学院研究生素质综合测评办法总则第一条 凡在本校正式注册并参加全日制学习活动的数学科学学院硕士研究生、博士研究生，均应依据本办法进行测评。
第二条 学生素质综合测评的内容包括三部分：功课学习成绩、基本素质和创新能力。
功课学习成绩测评F1（满分70分）第三条 参评课程选择：1、硕士一年级、直博一年级：在上一学年所修专业课程中自选15学分的课程（若不能恰好为15学分，允许16、17学分）进行加权平均，否则对于不够15学分的情况，如果有导师签字说明是按导师规定修课，则不乘以系数，否则按如下规定计算：修课情况 成绩F1计算方法15－17学分 百分制成绩按学分加权平均×0.712－14学分 百分制成绩按学分加权平均×0.9×0.79－11学分 百分制成绩按学分加权平均×0.7×0.76－8学分 百分制成绩按学分加权平均×0.6×0.73－5学分 百分制成绩按学分加权平均×0.5×0.7本科时所修课程带入研究生阶段的成绩可以进行计算。
2、硕士二年级、直博二年级：选择成绩最好的两门专业课程，其百分制成绩按学分加权平均再乘以0.7即为功课学习成绩测评分数F1，如果不够两门课，则从一年级所修课程中选择去年未参加成绩计算的课程来补足两门课进行计算。
3、其他年级研究生不再计算此项功课学习成绩。
4、选修外系的课程，需要导师签字证明该课程的专业性质，方能进行成绩计算。
第四条 本学年若有两门或两门以上必修或专业课程不及格，则视为该生的功课学习成绩总评不合格。
（满分20分）基本素质测评F2第五条 基本素质测评包括思想政治表现、学习态度、文明行为、实践活动四个方面。
第六条 上述四个方面的具体内容是：一、 思想政治表现1．维护四项基本原则，不参与任何有损祖国尊严、荣誉和危害社会秩序的活动，不做有损国格和学校形象的事；2．遵守宪法、法律和规章制度，勇于同不良行为作斗争；3．维护民族团结，尊重不同民族的风俗习惯和宗教信仰。
北京大学2017级数学分析1试题
北京大学数学学院2017−2018学年第一学期数学分析期中考试请在答卷上填写院系,姓名与学号1.(共24分,每题6分).运用已知极限,极限性质,函数性质等解答下述问题,简要写出求解过程.(1)求lim x →0(1−tan 2x )1x .(2)求lim n →+∞n √(3)设x →0时,x p 为5x 2−4x 2的同阶无穷小量,求p =?(4)设f (x )∈C [0,1],求lim n →+∞1n n∑k =1(−1)k −1f (k n ).2.(共16分)(1)(6分)用ε−N 语言证明limn →+∞n √n =1.(2)(10分)证明e =lim n →+∞1+11!+12!+···+1n !3.(14分)f (x )=x 2在(0,+∞)上是否一致连续?f (x )=x 2sin 1x 2在(0,+∞)上是否一致连续?简述理由.4.(共14分)(1)(6分)设f (x )∈C (−∞,+∞),{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞x n )?给出证明或反例.(2)(8分)设f (x )∈C (−∞,+∞),且单调上升,{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞)?给出证明或反例.5.(12分)设f (x )∈C [a,b ]且f ([a,b ])⊂[a,b ],证明恒存在c ∈[a,b ]满足f (c )=c .若将条件f (x )∈C [a,b ]改为f (x )在[a,b ]上单调上升,证明结论仍成立.6.(10分)设序列{a n }n ≥1满足0≤a m +n ≤a m +a n +1m +1n ,∀m ≥1,∀n ≥1,问lim n →+∞a n n 是否恒存在?证明你的结论或给出反例.7.(10分)设函数f (x )定义于区间(a,b )且对∀x 1,x 2∈(a,b )及∀λ∈(0,1)满足f [λx 1+(1−λ)x 2]≥λf (x 1)+(1−λ)f (x 2)问f (x )是否在区间(a,b )上恒连续?证明你的结论或给出反例.考试科目:数学分析整理人:匣与桔QQ :1433918251第1页共1页。
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
2017年北京大学夏令营数学试卷-学生用卷
1、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第1题
高二上学期单元测试《解三角形与恒等式》自招第16题
在中，求证：．
2、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第2题
高二下学期单元测试《整除与同余》自招
求实数，使得方程的解均为整数．
3、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第3题
数列中，是否存在个数，使其为等差数列．
4、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第4题
为整系数方程的无理根，求证：存在，使得任意互质正整数，满足．
5、【来源】 2017年北京北京大学自主招生夏令营第5题
已知正数满足，求证：．
1 、【答案】证明见解析．
;
2 、【答案】或．
;
3 、【答案】存在．
;
4 、【答案】证明见解析．;
5 、【答案】证明见解析．;。
2017年清华北大自主招生物理模拟试卷、答题卷、参考答案(含解析高二适用)
2 0 1 7 年清华、北大自主招生 物理模拟试卷2017.8（ 笔试 ）说明：1. 全卷共12页，4大题，30小题．满分200分，考试时间180分钟2. 本卷除特别说明处外，g 取2s /m 10一、不定项选择题（共16题，每题5分且至少有1个正确答案，少选得2分，多选、错选、不选均不得分，共80分）1．如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为v 0，小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，乙的宽度足够大，速度为v 1，则 （ ）．A ．在地面参考系中，工件做类平抛运动B ．在乙参考系中，工件在乙上滑动的轨迹是直线C ．工件在乙上滑动时，受到乙的摩擦力方向不变D ．工件沿垂直于乙的速度减小为0时，工件的速度等于v12．图中A 、B 是两块金属板，分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为q 、质量为m 的带正电的点电荷自贴近A 板处静止释放（不计重力作用）．已知当A 、B 两板平行、两板的面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达B 板时的速度为u 0，在下列情况下以u 表示点电荷刚到达B 板时的速度，则说法正确的是 （ ）．A ．若A 、B 两板不平行，则0u u <B ．若A 板面积很小，B 板面积很大，则0u u <C ．若A 、B 两板间的距离很大，则0u u <D ．不论A 、B 两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，u 都等于?u 03．如图，一带正电荷Q 的绝缘小球（可视为点电荷）固定在光滑绝缘平板上，另一绝缘小球（可视为点电荷）所带电荷用q （其值可任意选择）表示，可在平板上移动，并连在轻弹簧的一端，轻弹簧的另一端连在固定挡板上；两小球的球心在弹簧的轴线上．不考虑可移动小球与固定小球相互接触的情形，且弹簧的形变处于弹性限度内．关于可移动小球的平衡位置，下列说法正确的是 （ ）． 第2题第1题A ．若q > 0，总有一个平衡的位置B ．若q > 0，没有平衡位置C ．若q < 0，可能有一个或两个平衡位置D ．若q < 0，没有平衡位置第3题4． 2014 年 3 月 8 日凌晨 2 点 40 分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系．2014 年 3 月 24 日晚，初步确定失事地点位于南纬2531'︒、东经25115'︒的澳大利亚西南城市帕斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则 （ ）．A ．该卫星一定是地球同步卫星B ．该卫星轨道平面与南纬2531'︒所确定的平面共面C ．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D ．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍5．如图所示，物体A 和带负电的物体B 用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A 、B的质量分别是m ?和2m ，劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A 相连，倾角为θ的斜?面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦．开始时，物体B 在一沿斜面向上的外力F = 3mg sin θ的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F ，直到物体B 获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度，则在此过程中 （ ）．A ．撤去外力F 的瞬间，物体B 的加速度为2sin 3θg B ．B 的速度最大时，弹簧的伸长量为kmg θsin 3 C ．物体A 的最大速度为km g 6sin θ D ．物体A 、弹簧和地球所组成的系统机械能的增加量大于物体B 电势能的减少量6．如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆相连，有静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g ．则 （ ）．A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为gh 2C ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg第5题第6题 第7题7．如图所示，一内壁光滑的圆锥面，轴线O O '是竖直的，顶点O 在下方，锥角为2α，若有两个相同的小珠（均视为质点）在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动，则有 （ ）．A ．它们的动能相同B ．它们运动的周期相同C ．锥壁对它们的支撑力相同?D ．它们的动能与势能之比相同（设O 点为势能零点）8．如图所示，电阻不计，间距为L 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R ．质量为m 、电阻为r 的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，外力F 与金属棒速度v 的关系是F=F 0+kv （F 0、k 是常量），金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i ，受到的安培力大小为F A ，电阻R 两端的电压为U R ，感应电流的功率为P ，它们随时间t 变化图像可能正确的是 （ ）．第8题9．如图所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦．现将质量分别为M 、m （m M >）的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上．两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．在α角取不同值的情况下，下列说法正确的是 （ ）．A ．两物块所受摩擦力的大小总是相等B ．两物块不可能同时相对绸带静止C ．M 不可能相对绸带发生滑动D ．m 不可能相对斜面向上滑动第9题10．观察水龙头，在水龙头出水口出水的流量（在单位时间内通过任一横截面的水的体积）稳定时，发现自来水水流不太大时，从龙头中连续流出的水会形成一水柱，现测得高为H 的水柱上端面积为S 1，下端面积为S 2，重力加速度为g ，以下说法正确的是 （ ）．A ．水柱是上细下粗B ．水柱是上粗下细C ．该水龙头的流量是2221212S S gH S S - D ．该水龙头的流量是22212S S gH + 11．如图所示，质量分别均匀的细棒中心为O 点，1O 为光滑铰链，2O 为光滑定滑轮，2O 在1O 正上方，一根轻绳一端系于O 点，另一端跨过定滑轮2O ，由于水平外力F 牵引，用N 表示铰链对杆的作用，现在外力F 作用下，细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，说法正确的是 （ ）．A ．F 逐渐变小，N 大小不变B ．F 逐渐变小，N 大小变大C ．F 先变小后变大，N 逐渐变小D ．F 先变小后变大，N 逐渐变大12．如图所示，平行板电容器两极板水平放置，电容为C ，开始时开关闭合，电容器与一直流电源相连，极板间电压为U ，两极板间距为d ，电容器储存的能量221CU E =．一电荷量为 -q 的带电油滴，以初动能E k 0从平行板电容器的两个极板中央水平射入（极板足够长），带电油滴恰能沿图中所示水平虚线匀速通过电容器，则 （ ）．第12题A ．保持开关闭合，仅将上极板下移4d ，带电油滴仍能沿水平线运动 B ．保持开关闭合，仅将上极板下移4d ，带电油滴将撞击上极板，撞击上极板时的动能为120qU E k + C ．断开开关，仅将上极板上移4d ，带电油滴将撞击下极板，撞击下极板时的动能为60qU E k + D ．断开开关，仅将上极板上移4d ，若不考虑电容器极板的重力势能变化，外力对极板做功至少为281CU 13．某质点作匀变速曲线运动，依次经过A 、B 、C 三点，运动轨迹如图所示．已知过B 点切线与AC 连线平行，D 点为AC 线段的中点，则下列关于质点从A 点运动到B 点所用的时间t AB 与质点从B 点运动到C 点所用的时间t BC 的大小关系；质点经过B 点时的加速度a 的方向的说法中，正确的是 （ ）．A ．t AB 一定等于t BC ，a 的方向一定由B 点指向D 点B ．t AB 一定等于t BC ，a 的方向不一定由B 点指向D 点C ．t AB 不一定等于t BC ，a 的方向一定由B 点指向D 点D ．t AB 不一定等于t BC ，a 的方向不一定由B 点指向D 点14．霍尔式位移传感器的测量原理如图所示，磁场方向沿x 轴正方向，磁感应强度B 随x 的变化关系为B=B 0+kx （B 0、k 均为大于零的常数）．薄形霍尔元件的工作面垂直于x 轴，通过的电流I 方向沿z 轴负方向，霍尔元件沿x 轴正方向以速度v 匀速运动．元件上、下表面第11题第13题产生的电势差发生变化．则（）．A．霍尔元件运动过程中上、下表面电势差增大B．增大?I，可使元件上、下表面产生的电势差变化得更快C．增大B0，可使元件上、下表面产生的电势差变化得更快D．换用单位体积内的载流子数目更多的霍尔元件而电流仍为I，上、下表面产生的电势差变化得更快第14题第15题第16题15．如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B．若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦．设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2，已知下列四个关于T1的表达式中至少有一个是正确的，则正确的表达式有（）．A．()()2112122mmmgmmmT+++=B．()()2121142mmmgmmmT+++=C．()()2112124mmmgmmmT+++=D．()()2111144mmmgmmmT+++=16．如图所示为两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L，距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直，线框一边平行于磁场边界，现用外力F使线框以图示方向的速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定：电流沿逆时针方向时的电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量Φ为正，外力F向右为正．则关于线框中的磁通量Φ、感应电动势E、外力F和电功率P随时间变化的图象中正确的是（）．二、填空题（第17-19题每空4分，第20-24题每空5分，共50分）17．在三维直角坐标中，整个空间沿+z方向有磁感强度大小为B的匀强磁场，沿?z方向有电场强度大小为E的匀强电场．t=0时刻，在原点O有一质量为m、电量为?q的粒子（不计重力）以沿正x方向、大小为v0的初速度发射．则粒子经过z轴的坐标为．第17题第18题18．如图1所示，4个边长相同、电荷量相同恰均匀分布在表面的带正电的绝缘立方体，并排放在—起（忽略边界效应，假设移近过程电荷分布保持不变）．若在上表面4个角顶点相聚的O点处，测得场强大小是E0，现将前右侧的小立方体移至无穷远处．如图2所示，则此时O点的场强大小变为．19．三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d?a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：⑴A杆顶端所受作用力的大小为．⑵若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小为．⑶若有重为G的人坐在A、B、C三杆的顶端，则A杆顶端所受作用力大小为．（设杆和地面的摩擦系数μ=0.5）A．B．C．D．第19题第20题20．如图所示，倾角为α的传送带，以一定的速度将送料机送来的料——货物，传进到仓库里．送料漏斗出口P距传送带的竖直高度为H．送料直管PQ的内壁光滑且有一定的伸缩性（即在PQ管与竖直夹角θ取不同值时，通过仲缩其长度总能保持其出口Q很贴近传送带）．则料从P到Q所用时间最短为．21．质量为m?、倾角分别为α和β的双斜面体放在水平面上，另有质量分别为m1和m2的滑块通过轻滑轮跨过双斜面（两边的绳子和斜面平行）．不计一切摩擦，静止释放整个系统，则双斜面体的加速度为．第21题第22题22．如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B两者的质量均为m，A与B之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）．B由离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失．B与地碰撞n次后，A与B分离．若H、k、n为已知，则L的取值范围应为．23．如图所示，物体A质量为m，吊索拖着A沿光滑的竖直杆上升，吊索跨过定滑轮B绕在匀速转动的鼓轮上，吊索速度为v0，滑轮B到竖直杆的水平距离为l0，则当物体A到B所在水平面之距离为x时，绳子张力的大小是．第23题第24题24．如图所示为7个圆环电阻丝构成的电阻网络，其中构成网络的每个圆都是粗丝均匀的材料相同的电阻丝，且单位长度的电阻为 ，己知最大的圆的直径为D，各连接点接触良好，AB之间的圆弧为四分之一圆周，则AB两点间的等效电阻大小为．若该电阻网络为无限网络结构（每个大圆内接两个小圆），则AB两点间的等效电阻大小为．三、实验探究题（第25题8分、第26题8分、第27题12分，共28分）25．如图所示，质量为M的滑块A放在气垫导轨B上，C为位移传感器，它能第25题将滑块A到传感器C的距离数据实时传送到计算机上，经计算机处理后在屏幕上显示滑块A的位移—时间(x-t)图象和速率—时间(v-t)图象．整个装置置于高度可调节的斜面上，斜面的长度为l、高度为h．（取重力加速度g=9.8 m/s2，结果保留一位有效数字）．⑴此装置可用来验证牛顿第二定律．实验时通过改变可验证质量一定时，加速度与力成正比的关系；通过改变可验证力一定时，加速度与质量成反比的关系．⑵将气垫导轨换成滑板，滑块A换成滑块A′，给滑块A′一沿滑板向上的初速度，A′的x-t图线如下图实所示．通过图线可求得滑块与滑板间的动摩擦因数μ= ．第25题26．现要通过实验验证机械能守恒定律．实验装置如图1所示：水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t．用d表示A点到导轨底端C点的距离，h表示A与C 的高度差，b 表示遮光片的宽度，s 表示A ，B 两点的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B 点时的瞬时速度．用g 表示重力加速度．完成下列填空和作图；第26题⑴ 若将滑块自A 点由静止释放，则在滑块从A 运动至B 的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为 ．动能的增加量可表示为 ．若在运动过程中机械能守恒，21t 与s 的关系式为21t = ． ⑵ 多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点（A 点）下滑，测量相应的以s 为横坐标，21t为纵坐标，在图2坐标纸中描出第1和第5个数据点；根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k =???????? ??????×104m -1·s -2?（保留3位有效数字）．由测得的h 、d 、b 、M 和m 数值可以计算出s t-21直线的斜率k 0，将k 和k 0进行比较，若其差值在试验允许的范围内，则可认为此试验验证了机械能守恒定律．27．研究性学习小组围绕一个量程为30 mA 的电流计展开探究．第27题⑴ 为测量该电流计的内阻，同学甲设计了如图（a ）所示电路．图中电源电动势未知，内阻不计．闭合开关，将电阻箱阻值调到20 Ω时，电流计恰好满偏；将电阻箱阻值调到95 Ω时，电流计指针指在如图（b ）所示位置，则电流计的读数为 mA ．由以上数据可得电流计的内阻R g = Ω． ⑵ 同学乙将甲设计的电路稍作改变，在电流计两端接上两个表笔，如图（c ）所示，设计出一个简易的欧姆表，并将表盘的电流刻度转换为电阻刻度：闭合开关，将两表笔断开，调节电阻箱，使指针指在“30 mA ”处，此处刻度应标阻值为 Ω（填“0”或“∞”）；再保持电阻箱阻值不变，在两表笔间接不同阻值的已知电阻找出对应的电流刻度．则“10 mA ”处对应表笔间电阻阻值为 Ω．⑶ 若该欧姆表使用一段时间后，电池内阻变大不能忽略，电动势不变，但将两表笔断开，指针仍能满偏，按正确使用方法再进行测量，其测量结果与原结果相比将 （填“变大”、“变小”或“不变”）．四、分析计算题（第28题10分，第29题12分，第30题20分，共42分）28．已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ，卫星B 沿半径为r ()h r <的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）．29．不计电阻的光滑平行轨道EFG 、PMN 构成相互垂直的L 形，磁感应强度为B 的匀强磁场方向与水平的EFMP 平面夹角θ（︒<45θ）角斜向上，金属棒ab 、cd 的质量均为m 、长均为l 、电阻均为R ，ab 、cd 由细导线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细线质量不计，ab 、cd 与轨道正交，已知重力加速度为g ． ⑴ 金属棒的最大速度； ⑵ 当金属棒速度为v 时，求机械能损失的功率P 1．和电阻的发热功率P 2． 第29题 30．如题图所示，在半径为a 的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B 的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L =1.6a 的刚性等边三角形框架ΔDEF ，其中心O 位于圆柱的轴线上．DE 边上S 点⎪⎭⎫ ⎝⎛=L 41处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图题图中截面内且垂直于DE 边向下．发射粒子的电量皆为q (q >0)，质量皆为m ，但速度v 有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞无能量损失，电量也无变化，且每一次碰撞时速度方向均垂直于被碰的边．试问： ⑴ 带电粒子经多长时间第一次与DE 边相碰？ ⑵ 带电粒子速度v 的大小取哪些数值时可使S 点发出的粒子最终又回到S 点？ ⑶ 这些粒子中，回到S 点所用的最短时间是多少？ 第30题 2 0 1 7 年清华、北大自主招生 物理模拟试卷 答 题 卷 本卷满分200分 考试时间180分钟 答案须写在答题纸相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 不得使用计算器 一、不定项选择题（共16题，每题5分且至少有1个正确答案，少选得2分，多选、错选、不选均不得分，共80分）考号●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●装订线25. ⑴（每空2分）⑵（4分）26. ⑴（每空2分）⑵（2分）27. ⑴（每空2分）⑵（第1空2分，第2空3分） ⑶（3分）四、分析计算题（第28题10分，第29题12分，第30题20分，共42分）28. （本题10分）29. （本题12分）30. （本题20分）2 0 1 7 年清华、北大自主招生 物理模拟试卷参 考 答 案说明：本卷满分200分一、不定项选择题（共16题，每题5分且至少有1个正确答案，少选得2分，多选、错选、不选均不得分，共80分）部分解析（ 提示 ）：11.9. 提示：注意到绸带为轻质，故始终受力平衡．11. 提示：对O 点受力分析，构造21OO O 的相似三角形，利用正弦定理判断．14. 用特殊值法．假设滑轮质量m =0，两物体质量m 1=m 2，在此情况下，两物体均处于静止状态，滑轮也不转动，容易知道T 1=m 1g =m 2g ．将此假设的条件代入四个选项逐一验算，可知只有C 选项正确．部分解析（ 提示 ）：19. 提示：见受力分析图20. 提示：方法一：作图法，如图，以P 为最高点画一个圆，使它恰与传送带相切，切点为Q ，那么PQ 就是所求的斜面．因为沿其他斜面下滑到达圆周上的时间都相等，所以到达传送带上的时间必大于从P 到Q 的时间．因为Q 为切点，所以半径OQ 与斜面垂直，∠QOC=α，又因为△PQO 为等腰三角形，所以当送料直管与竖直方向夹角为2α时，料从P 到Q 所用时间最短． 方法二：函数法，作P 到传送带的垂线，垂线长为h （为定值），垂足为M ，设∠MPQ=θ，写出料沿PQ 运动所需时间的关系式，然后求最小值，也可得到同样的结论．21.三、实验探究题（第25题8分、第26题8分、第27题12分，共28分）25. ⑴（每空2分） 改变斜面高度h改变滑块A 的质量M 及斜面的高度h ，且使M h 不变⑵（4分） 0.3（0.2或0.4都给分）26. ⑴（每空2分） gs m M d h ⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()2221t b m M + ⑵（2分） 2.4027. ⑴（每空2分） 12.0 30⑵（第1空2分，第2空3分） ∞ 6⑶（3分） 不变四、分析计算题（第28题10分，第29题12分，第30题20分，共42分）28. （本题10分）答案：r 32π（h 32－r 32）( arc sin R h ＋arc sin R r ) T解 设卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；在此时间间隔τ内，卫星A 和B 绕地心转动的角度分别为α和α′，则α＝τT 2π ① （2分）α′＝τT ′ 2π ② （2分）若不考虑卫星A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在图中B点和B ′点之间，图中内圆表示地球的赤道．由几何关系得∠BOB ′＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin R h ＋arcsin R r ③ （2分） 当r ＜h 时，卫星B 比卫星A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有α′－α＝∠BOB ′ ④ （2分）由①~④式得τ＝r 32π（h 32－r 32）⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin R h ＋arcsin R r T ⑤ （2分） 29. （本题12分）（4分）（4分）（4分）30. （本题20分）（1）答案：（2）（3）??仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
北大直博历年试题(2011-2018,缺2014,2017)
使得 lim f x 0 ？ x
（1） f x C ；
（3） f x 2 dx 收敛； a
（2） f x 3 dx 收敛； a
（4） f x 2 dx 收敛。 a
二、代数与几何
1. f x xn a1xn1 L an1x an ， g x xm b1xm1 L bm1x bm ， Amn 为 m n 阶方阵，前 m 行是 f x 系数，后 n 行 g(x) 是系数，如下：
¦3‡pƒ L«•˜‡
•þ,¦ 3dC†eEC•3‡pƒ
C†Ú©Oé3‡pƒ
••–1
•þ;¿ò¤‰ • C† C† ¦È.
3. y²:©OáuV- Ô¡
x2 y2 − = 2z
a2 b2
þ üxpƒR† †1‚ : ;,´-¡(1)†²¡2z = b2 − a2
‚.
(1) ‚•˜^V-
2
2013 北大数院直博
cos ε1, ηn
cos ε2, η1
cos ε2, η2 ...
cos ε2, ηn
. . . cos εn, η1
. . . cos εn, η2
...
...
. . . cos εn, ηn
(c) (½ ‘mþ1˜a Ý 91 a Ý ˜„/ª,¿‰Ñn‘î ¼˜mþ C† ƒqIO.(=,«{z L«/ª).
f (x)
=
g(x)
+
f (n)(y) − n!
g(n)(y) (x
−
x1)k1
.
.
.
(x
−
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北京大学2017年暑期学堂试题
.北京大学2017年暑期学堂试题1. 如图所示，光滑的斜面上放置着两个质量不同的小滑块，初始时用外力将其固定，两块间的间距为d ，现将外力撤去，两物块沿斜面下滑，那么两物块的间距d 会( ) A. 变大 B. 不变 C. 变小D. 先变大后变小2. 以一定速度向斜上方发射一枚铅球，空气阻力可忽略不计，请问应该以什么样的发射角度发射，才能使铅球落地时的运动距离最远( )A. 大于 45B. 等于 45C. 小于 45D. 无法确定 3. 有一个近乎真空的容器，其体积为L V 2.11=，测得其内部压强为mmHg P 51101-⨯=，现将其温度升高至C 300，吸附在壁上的分子由于受热而逸出，此时又测得其内部压强为mmHg 2101-⨯，求吸附在壁上分子的数量级为( )A. 1910B. 1810C. 1710D. 16104. 在炎热的夏天，向远处的柏油马路看去，路面特别明亮光滑，像用水淋过一样.其原理时在温度和重力的影响下，空气的折射率随着高度的升高而变大，从远处的光线将会被弯曲，看起来就好像是路面上有一块反射镜.请问以下四种生活现象中，与此现象产生的原理相同的是哪两种( ) A. 海市蜃楼B. 沙漠神泉C. 白天，地表附近的气温较上层的气温高，声音在地表附近的传播较上层快，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向上拐弯的.D. 黑夜，地表附近的气温较上层的气温低，声音在地表附近的传播较上层慢，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向下拐弯的5. 将一个电子放于一个匀强电场中，那么( ) A. 电子将沿电场方向做匀速运动B. 电子将沿电场相反反向做匀速运动C. 电子将沿电场方向做匀加速运动D. 电子将沿电场相反方向做匀加速运动6. 有一只孤独的变色龙，在沙漠严寒的冬日，一面正对太阳，另一面背对太阳，为了使其体温维持稳定，其颜色需要变化为( ) A. 向光侧颜色深，背光侧颜色浅 B. 向光侧颜色浅，背光侧颜色深 C. 向光侧和背光侧都要颜色深D. 向光侧和背光侧都要颜色浅7. 空间中存在一个圆环、一个圆盘和一个圆球，三者半径相同并带有等量同种电荷，试问三者中心电势的大小关系为( ) A. 圆球>圆盘>圆环 B. 圆球>圆环>圆盘 C. 圆盘>圆球>圆环D. 圆环>圆盘>圆球8. 一个导体球壳A 内部有一个小导体B ，下列说法正确的是( ) A. 若只有A 带电，则AB U 为正或为负B. 若B 带负电，则AB U 的正负与A 的带电量无关C. 若B 不带电，则AB U 的正负与A 的带电量无关D. 若B 带正电，则无论A 带何种电荷，0 AB U9. 在广袤的宇宙中，存在着这样一颗不断自转的行星，质量为M 均匀分布，半径为R ，在其上的未知生命对于重量的变化非常敏感，有一个热爱旅行的未知生命感受到他在赤道上重量恰好为在极地重量的%99，现在这些未知生命希望能够发射一次卫星，请问： (1) 该星球极点处的逃逸速度；.(2) 如何使得发射所需的能量最小，应该在何处以怎样的速度发射？10.真空中存在着两个点电荷21q q 、，其电量之和为q ，相距为d ，相互作用力为f (吸引为负，排斥为正)，静电力常量为k ，请问：(1) 要使得21q q 、有取值，以上的量需要满足什么关系？ (2) 在满足(1)的条件下，两点电荷的电量。