安徽省寿县一中高二数学下学期期中考试 理 新人教A版
高二数学下学期期中联考试题理新人教A版(精品文档)
1普宁二中 高二下学期期中考理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(1+i)2=（ ）A ． 2iB ．－2iC ．－2D ．2+2i2. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理所得结论错误的原因是：（ ）.A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．大前提小前提都错 3.已知0x >，函数16y x x =+的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．8D ．64. 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5. 已知向量()1,2=a ，=b （x, －4），若a b 与共线，则x 的值为( )A ．2B ．8C ．2±D ．－26. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒； 正确顺序的序号为 ( )A ．③①②B ．①②③C ．①③②D ．②③① 7. 函数y=x3+2x2－3在点（1，0）处的切线方程为（ ）A. y=3x －4B. y=7x －7C. y=－6x+5D. y=7x+6 8. 三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，主视图左视图2 左视图是等腰直角三角形）如图所示,则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A ．1242+ B ．692+C ．842+D ．2792+ 9．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π-=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)322sin(2π+=x yD ．)32sin(2π-=x y10. 若定义运算ba ba b a a b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x=⊕的值域是（ ）A.[)0,+∞ B. [)1,+∞ C. R D. (]0,1第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．函数sin 2y x =的最小正周期是 . 12. 命题“若b a >，则221a b≤-”的否命题为______________________________.13. 过原点且倾斜角为45的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为__________． 14.依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下第5个等式为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知复数z=(m2+m －2) +(m2－2m)i （1）实数m 取什么值时，z 是实数；（2）实数m 取什么值时，与z 对应的点在第四象限．316．（本小题满分14分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应 数据：（1）在给出的直角坐标系中画出散点图；（2）求回归直线方程； （3）据此估计广告费用为10万元时，销售收入y 的值． 参考公式：回归直线的方程a bx y+=ˆ， 其中1122211()(),()nniii i i i nniii i x x y y x y nx yb a y bxx x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据： 521145ii x==∑，52113500ii y==∑，511380iii x y==∑17. (本小.题满分12分)如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD, E, F 分别是AC, PB 的中点. 求证：(Ⅰ) EF ∥平面PCD ； (Ⅱ) BD ⊥平面PAC.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足213(1,)22n S n n n n N *=+≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值.19．（本小题满分14分）ABCDPEF （第17题）4 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5．过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M. （1）求抛物线的方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.20．（本小题满分14分）已知函数323()31,f x ax x a=-+-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）在0a >的情况下，若曲线()y f x =上两点,A B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.高二下理科数学期中考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCBDABDCA5二.填空：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. π 12. ,a b ≤若则221a b>- 13. 22 14.5+6+7+…+13= 92三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，得m2－2m=0 解得m=0或m=2 ………………5分 ∴当m=0或m=2时，z 是实数. ………………6分 （2）由题意，得222020m m m m ⎧+->⎨-<⎩ 解得1<m<2 ………………11分∴当1<m<2时，与z 对应的点在第四象限. ………………12分 16. （本小题满分14分） 解：（1）作出散点图如下图所示：………………5分（2）1(24568)55x =⨯++++=，1(3040605070)505y =⨯++++=…………7分 222513805550 6.5145555i i ix y x y b x x --⨯⨯===-⨯-∑∑，50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=…………11分因此回归直线方程为 6.517.5y x =+；………………12分（3）10x =时，预报y 的值为10 6.517.582.5y =⨯+=（万元）．………………14分17 .（本小题满分12分）证明: (Ⅰ)连结BD, 则E 是BD 的中点. 又F 是PB 的中点,所以EF ∥PD.因为EF ⊄平面PCD, P PCD D ⊂平面 所以EF ∥平面PCD. ……6分(Ⅱ) ∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC.又PA ⊥平面ABC ，ABC BD ⊂面ABCDPEF （第17题）6 ∴PA ⊥BD.又PA AC=A ⋂∴BD ⊥平面PAC. …12分 18. （本小题满分14分） 解：（1）111)1,2n a S ===当时 ……………………………………………2分22113132)2,(1)(1)2222 1n n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时……………6分12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………………………………………………7分（2）)2(1)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n，……………………………8分)2(221212111....41313121+=+-=+-+++-+-=∴n n n n n T n ………10分10051005,201020122(2)2012n n T n n >>∴>+又得 …………………12分2011n ∴的最小值为 ………………………………14分(19) （本小题满分14分）解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为∴抛物线方程为y2= 4x. ………………4分（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=- 解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得 ………………9分（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.7当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x m y --=即为,04)4(4=---m y m x圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. ………………14分 20. （本小题满分14分）解（1）由220,()363()a f x ax x ax x a '≠=-=- 令()0f x '=得1220,x x a==.………………1分 当（i ）0a >时，若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间(,0)-∞上是增函数；…………2分若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(0,)a 上是减函数；………………3分 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,)a +∞上是增函数；…………4分（i i ）当0a <时，若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间)2,(a -∞上是减函数；……………5分 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,0)a 上是增函数；………………6分 若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间(0,)+∞上是减函数. …………7分8 （2）由（1）中（i ）的讨论及题设知，曲线()y f x =上的两点,A B 的纵坐标为函数的极值，且函数()y f x =在20,x x a ==处分别是取得极大值和极小值………………8分3(0)1f a =-，2243()1f a a a =--+.………………9分因为线段AB 与x 轴有公共点，所以(0)02()0f f a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩并且两等号不能同时成立…………10分即23(1)043(1)0a a a -≥--+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并且两等号不能同时成立………………11分由已知0a >故304a a ≥⎧⎨<≤⎩.………………12分解得 34a ≤≤.………………13分 即所求实数a 的取值范围是[]3,4.………………14分。
人教A版高中必修二试题第二学期期中考试 (2).doc
高中数学学习材料唐玲出品第二学期期中考试高一年数学试卷试卷分A 卷和B 卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟参考公式：柱体体积公式：Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高；球体体积公式：343V R π=，R 为球半径. A 卷（共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。
1.0cos 420的值为A.32B.32- C.12 D. 12-2.设函数f (x )＝sin 3(2)2x π+，x ∈R ，则f (x )是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数3.若直线b a ,是异面直线，b 与c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是 A.平行或异面 B.相交，平行或异面 C.异面或相交 D.异面4.点P 是函数f (x )＝cos ωx (其中ω>0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离最小值是π，则ω为 A ．12 B.4 C ．2 D ．145.已知正三角形ABC 的边长为2a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为A.234a B. 232a C.262a D .264a 6.由单位正方体（棱长为１的正方体）叠成的积木堆的正视图与侧视图均为下图所示，则该积木堆中单位正方体的最少个数为 A.5个 B.4个 C.6个 D.7个7.已知tan θ=32,则1cos 2sin 21cos 2sin 2θθθθ++-+的值为A.32 B.23- C ．32D ．32-8.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为A.15π B 43π C.3π D.153π 9.已知21cos 3sin cos 2y x x x ωωω=+-的图象可由sin 4,(0)y A x A =>的图象向左平移24π个单位而得到，则 A.11,2A ω== B.1,1A ω== C .2,1A ω== D.12,2A ω==10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<，其部分图象如下图所示，且直线y A =与曲线11()()2424y f x x ππ=-≤≤所围成的封闭图形的面积为π，则23()()()888f f f πππ++ 2013()8f π+（即20131()8i i f π=⋅∑）的值为A ．1B ．－1C ．0D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比 A.B.或C.D.或2. 已知函数的导函数为，且，则( )A.B.C.D.3. 展开式中的各二项式系数之和为，则的系数是A.B.C.D.4. 九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第，，，位，沉降之龙位{}a n >0a n a 7a 6−3a 5q =()11−333−1f (x)(x)=x −sin x f ′f (1)=12f (−1)=+cos 112−cos 112−1212(−x)2xn 1024x 4( )−210−9609602101379居，，，位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型有多少种( )A.B.C.D.5. 已知定义在上的函数的导函数是，满足，且，则的解集为A.B.C.D.6. 设是数列的前项和，若，，则( )A.B.C.D.7. 某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（ ）A.种B.种C.种D.种8. 已知不等式对于定义域内的每一个取值恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.2468A 882A 44A 49⋅A 44A 44(0,+∞)f (x)(x)f ′f (x)+x (x)>0f ′f (2)=0f (x)>0( )(2,+∞)(0,2)(0,2)∪(2,+∞)∅S n {}a n n =a 112=1−a n+11a n =S 202120172100920192101024304860−ax >ln x +2x x 2a (−∞,−2)(0,1)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 关于，则( )A.B.C.D.10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是( )A.B.C.当时最小D.时的最小值为11. 若甲、乙等个人站成一排，则下列判断正确的是( )A.甲、乙不相邻有种B.甲、乙不相邻有种C.甲、乙相邻有种D.甲、乙相邻有种12.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上是增函数(0,1)(1,+∞)(−∞,−1)(1−2x =+⋅x +⋅+⋯+⋅(x ∈R))2021a 0a 1a 2x 2a 2021x 2021=1a 0+++⋯+=a 1a 2a 3a 202132021=8a 3C 32021−+−+⋯+=1−a 1a 2a 3a 4a 202132021{}a n =a 73a 5n S n d >0<0a 1n =5S n >0S n n 85729012048y =f (x)(x)f ′()f (x)(−3,1)f (x)(1,3)f (x)(1,2)f (x)D.当时， 取得极小值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 曲线在点处的切线方程为________.14. 福建省于年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养．现有名数学特长生可从位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带名数学特长生，则不同的培养方案有________种．（结果用数字作答）15. 已知数列的各项都是正数，，若数列各项单调递增，则首项的取值范围________；当时，记，若，则整数________．16. 某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知的展开式中各项系数之和为求的值；求展开式中的常数项．18. 已知正项数列的前项和为，且＝，数列的前项和为．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求．19. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为海里/时时，燃料费是元/时，而其他与速度无关的费用是元/时．问当轮船的速度是多少时，航行海里所需的费用总和最小？20. 已知函数，在点处取得极值．求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值，，有，求实数最小值；21. 已知数列满足，数列满足．求数列的通项公式；x =4f (x)y =−3+1x 3x 2(1,−1)20212021432{}a n −=(n ∈)a 2n+1a n+1a n N ∗{}a n a 1=a 123=b n (−1)n−1−1a n k <++...+<k +1b 1b 2b 2019k =(3x −)1xn 32.(1)n (2)(x +)1x (3x −)1x n {}a n n S n 4S n +2+1a 2n a n {⋅}a n 2n n T n (){}a n ()T n 106961f (x)=a +b −3x (a,b ∈R)x 3x 2(1,f (1))−2(1)f (x)(2)[−3,3]x 1x 2|f ()−f ()|≤c x 1x 2c {}a n =3，a 1=3+2×(n ∈)a n+1a n 3n+1N ∗{}b n =b n a n 3n(1){}b n (2){}S求数列的前项和.22. 已知函数,其中 为自然对数的底数求函数在 上的最值；若函数,求证：当 时，函数 无零点(2){}a n n S n f(x)=x 2e x e =2.718⋯.(1)f(x)[−5,−1](2)g(x)=−a ln x f(x)x +1a ∈(0,2e)g(x).参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】等差中项等比数列的通项公式【解析】【解答】解：由题意可得，即，则，即，解得或(舍去).故选.2.【答案】D【考点】导数的运算函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：已知函数的导函数为 ，则.2=−3a 6a 7a 5−2−3=0a 7a 6a 5−2−3=0a 1q 6a 1q 5a1q 4−2q −3=0q 2q =3q =−1C f (x)(x)=x −sin xf ′f(x)=+cos x +C 12x 2(1)=+cos 1+C =11由，解得，则函数，故 .故选.3.【答案】B【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，所以，展开式通项为.令，解得，所以的系数为.故选.4.【答案】D【考点】排列、组合的应用【解析】本题考查计数原理，意在考查学生对日常生活中事物的认知和数学应用的思想．【解答】解：依题意，由于四条升腾之龙位置可以不同，四条降沉之龙相对位置也可以不同，但升腾之龙必须位居第，，，位置，降沉之龙必须位居第，，，位置，所以不同的雕刻模型共有 种．故选 ．5.f(1)=+cos 1+C =1212C =−cos 1f(x)=+cos x −cos 112x 2f(−1)=×(−1+cos(−1)−cos 112)2=+cos 1−cos 112=12D =10242n n =10==(−1⋅T r+1C r 10()2x 10−r (−x)r )r 210−r C r 10x2r−102r −10=4r =7x 4⋅⋅=−960(−1)723C 710B 13792468⋅A 44A 44D【答案】A【考点】其他不等式的解法利用导数研究函数的单调性【解析】无【解答】解：令，则，所以在上单调递增，且，所以，即，即，所以，所以的解集为．故选．6.【答案】B【考点】数列递推式数列的求和【解析】由题意得到该数列为周期数列，利用数列的周期性进行求和即可.【解答】解：，，则，，，∴数列为周期为的数列，，∴.故选. F (x)=xf (x)(x)=f (x)+x (x)>0F ′f ′F (x)(0,+∞)F (2)=2f (2)=0f (x)=>0F (x)x F (x)>0F (x)>F(2)x >2f (x)>0(2,+∞)A =a 112=1−a n+11a n =1−2=−1a 2=1−(−1)=2a 3=1−=a 41212⋯⋯{}a n 32021÷3=673⋯⋯2=(++)×673++S 2021a 1a 2a 3a 1a 2=(−1+2)×673+−1=10091212BD【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】【解答】解：等价于，令，则．当时，；当时，．有最小值．故，解得，故的取值范围是，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】−ax >ln x +2x x 2x −>a +2ln x x g(x)=x −ln x x (x)=g ′−1+ln x x 2x 2x ∈(0,1)(x)<0g ′x ∈(1,+∞)(x)>0g ′g(x)g(1)=1a +2<1a <−1，a (−∞,−1)D二项式系数的性质【解析】直接利用特殊值确定系数关系，即可得出答案.【解答】解：令，则，故正确；令，则，则，故错误；利用二项式的通项得，故错误；令，则，则，故正确.故选.10.【答案】A,B,D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】设等差数列的公差为，因为＝，求得＝，根据数列是递增数列，得到，正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．【解答】解：由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故，正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时的最小值为，故正确．x =0=1a 0A x =1++++⋯+=−1a 0a 1a 2a 3a 2021+++⋯+=−2a 1a 2a 3a 2021B (1−2x)2021==−8a 3C 32021(−2)3C 32021C x =−1=−+−+⋯−32021a 0a 1a 2a 3a 2021−+−+⋯+=1−a 1a 2a 3a 4a 202132021D AD {}a n d a 73a 5a 1−3d {}a n A B n {}a n d =a 73a 5+6d =a 13(+4d)a 1=a 1−3d {}a n d >0<0a 1A B =+(−)n =−n S n d 2n 2a 1d 2d 2n 27d 2n =−=−n 7d 2d 72n =34S n C =−n >0S n d 2n 27d 2n <0n >7>0S n n 8D ABD故选.11.【答案】A,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：不相邻时，先排除甲、乙外的另三人，再对甲、乙插空处理，有种方法；相邻时，有种方法．故选．12.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：的图象在上先小于，后大于，故在上先减后增，故错误；的图象在上先大于，后小于，故 在上先增后减，故错误；由图可知，当时， ，所以在上单调递增，故正确；当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】ABD =72A 33A 24⋅=48A 22A 44AD (x)f ′(−3,1)00f (x)(−3,1)A (x)f ′(1,3)00f (x)(1,3)B x ∈(1,2)(x)>0f ′f (x)(1,2)C x ∈(2,4)(x)<0f ′x ∈(4,5)(x)>0f ′x =4f (x)D CD y =−3x +2利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点在曲线上，，∴，即切线斜率为，∴利用点斜式，切线方程为，即．故答案为：．14.【答案】【考点】排列、组合的应用排列、组合及简单计数问题【解析】利用排列组合公式求解即可.【解答】解：①若比例为时有情况种，②若比例为 时有情况种 ，共有方案种.故答案为：.15.【答案】,【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】(1,−1)y'=3−6x x 2y'=−3|x=1−3y +1=−3(x −1)y =−3x +2y =−3x +2542：2=18C 24C 22A 22A 231:2:1=36C 14C 23C 11A 22A 33∴18+36=5454(0,2)−4{}em>n</em>−=−2<0+12+1本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，通过求出的取值范围，得到的取值范围，逆推出的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．【解答】解：由题意，正数数列是单调递增数列，且，∴，解得，∴．∴．∵，∴．又由，可得：．∴．∵，∴．∵，且数列是递增数列，∴，即，∴．∴整数．故答案为：；.16.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】直接列出即可得出答案.【解答】{}a <em>n</em>−=−2<0a n a n+1a n+12a n+1a <em>n</em>+1a 2a 1++...+b 1b 2b 2019{}a n −=a 2n+1a n+1a n −=−2<0a n a n+1a 2n+1a n+1∈(0,2)a n+1∈(0,2)a 2=−∈[−,2)a 1a 22a 214>0a 10<<2a 1−=a 2n+1a n+1a n ==−1a n 1−a 2n+1a n+11−1a n+11a n+1=+1−1a n+11a n 1a n+1=b n (−1)n−1−1a n ++⋯+=−+−⋯+b 1b 2b 20191−1a 11−1a 21−1a 31−1a 2019=−(+)+(+)−...−(+)+(+)1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019=−−++−⋯−−++1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019=−+1−1a 11a 11a 2019=−+921a 2019=a 123{}a n ∈(,2)a 201923∈(,)1a 20191232−4<−+<−3921a 2019k =−4(0,2)−410(1,3,5)(1,3,6)(1,3,7)(1,4,6)(1,4,7)(1,5,7)解：选择互不相邻的三天的选法包含，，，，，，，，，共种.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意，令得，解得．因为二项式的通项为，所以展开式中的常数项为．【考点】二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，令得，解得．因为二项式的通项为，所以展开式中的常数项为．18.【答案】（1）正项数列的前项和为，且＝①，当＝时，解得＝，当时，＝，②，(1,3,5)(1,3,6)(1,3,7)(1,4,6)(1,4,7)(1,5,7)(2,4,6)(2,4,7)(2,5,7)(3,5,7)1010(1)x =1==32(3−1)n 2n n =5(2)(3x −)1x 5=⋅T r+1C r 5(3x)5−r (−)1x r =⋅⋅C r 5(−1)r 35−r x 5−2r (x +)1x (3x −)1x 5x ⋅⋅⋅⋅+C 35(−1)335−3x −1⋅⋅⋅x 1x C 25(−1)235−2=−9+27C 35C 25=18C 25=180(1)x =1==32(3−1)n 2n n =5(2)(3x −)1x 5=⋅T r+1C r 5(3x)5−r (−)1x r =⋅⋅C r 5(−1)r 35−r x 5−2r (x +)1x (3x −)1x 5x ⋅⋅⋅⋅+C 35(−1)335−3x −1⋅⋅⋅x 1x C 25(−1)235−2=−9+27C 35C 25=18C 25=180{}a n n S n 4S n +6+1a 2n a n n 1a 51n ≥25S n−1+2+6a 6n−1a n−1(+)(−)−6(+)−1−1−1①-②得：＝，所以＝（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以＝．（2）设，所以①，②，①-②得：，＝，＝，整理得．【考点】数列递推式数列的求和【解析】Ⅰ直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式；Ⅱ利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】（1）正项数列的前项和为，且＝①，当＝时，解得＝，当时，＝，②，①-②得：＝，所以＝（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以＝．（2）设，所以①，②，①-②得：，＝，＝，整理得．19.【答案】解：设速度为海里/时的燃料费是元时，(+)(−)−6(+)a n a n−1a n a n−1a n a n−10−a n a n−62{}a n 14a n 2n −12×(++...+)−(2n −1)⋅−222223n 4n+1()(){}a n n S n 4S n +6+1a 2n a n n 1a 51n ≥25S n−1+2+6a 6n−1a n−1(+)(−)−6(+)a n a n−1a n a n−1a n a n−10−a n a n−62{}a n 14a n 2n −12×(++...+)−(2n −1)⋅−222223n 4n+1v p /p =k ⋅3由题设的比例关系得，其中为比例系数．由，，得，于是．设船的速度为海里/时时，航行海里所需的总费用为元，而每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为，所以航行海里的总费用为．所以．令，解得．因为当时，；当时， ，所以当时，取得最小值．故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设速度为海里/时的燃料费是元时，由题设的比例关系得，其中为比例系数．由，，得，于是．设船的速度为海里/时时，航行海里所需的总费用为元，而每小时所需的总费用是元，航行海里所需时间为，所以航行海里的总费用为．所以．令，解得．因为当时，；当时， ，所以当时，取得最小值．p =k ⋅v 3k v =10p =6k ==0.0066103p =0.006v 3v 1y (0.006+96)v 311v 1y =(0.006+96)=0.006+(v >0)1v v 3v 296v =0.012v −=(−8000)y ′96v 20.012v 2v 3=0y ′v =200<v <20<0y ′v >20>0y ′v =20y 201v p /p =k ⋅v 3k v =10p =6k ==0.0066103p =0.006v 3v 1y (0.006+96)v 311v 1y =(0.006+96)=0.006+(v >0)1v v 3v 296v =0.012v −=(−8000)y ′96v 20.012v 2v 3=0y ′v =200<v <20<0y ′v >20>0y ′v =20y故当轮船的速度为海里/时时，航行海里所需费用总和最小．20.【答案】解：，由题意得：即解得：所以．令，得，所以在和单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，单调递增，，，，，所以，，对于区间上任意两个自变量的值，，有，所以，最小值为．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】解：，由题意得：即解得：所以．令，得，所以在和单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，单调递增，，，，，所以，，201(1)(x)=3a +2bx −3(a,b ∈R)f ′x 2{f(1)=−2,(1)=0,f ′{a +b −3=−2,3a +2b −3=0,{a =1,b =0,f (x)=−3x x 3(2)(x)=3−3=0f ′x 2x =±1f (x)(−∞,−1)(1,+∞)(−1,1)f (x)(−3,−1)(−1,1)(1,3)f (−3)=−27+9=−18f (1)=1−3=−2f (−1)=−1+3=2f (3)=27−9=18f =f (3)=27−9=18(x)max f =f (−3)=−27+9=−18(x)min [−3,3]x 1x 2|f()−f()|≤|f(x −f(x |=36x 1x 2)max )min c ≥36c 36(1)(x)=3a +2bx −3(a,b ∈R)f ′x 2{f(1)=−2,(1)=0,f ′{a +b −3=−2,3a +2b −3=0,{a =1,b =0,f (x)=−3x x 3(2)(x)=3−3=0f ′x 2x =±1f (x)(−∞,−1)(1,+∞)(−1,1)f (x)(−3,−1)(−1,1)(1,3)f (−3)=−27+9=−18f (1)=1−3=−2f (−1)=−1+3=2f (3)=27−9=18f =f (3)=27−9=18(x)max f =f (−3)=−27+9=−18(x)min [−3,3]对于区间上任意两个自变量的值，，有，所以，最小值为．21.【答案】解：∵，∴，∴．∵，∴，又，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列，.由得，∴，∴，，两式相减得，∴.【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴．∵，∴，又，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列，.由得，∴，∴，，两式相减得，∴.[−3,3]x 1x 2|f()−f()|≤|f(x −f(x |=36x 1x 2)max )min c ≥36c 36(1)=3+2×(n ∈)a n+1a n 3n+1N ∗=+2(n ∈)a n+13n+13a n 3n+1N ∗=+2a n+13n+1a n3n =b n a n 3n −=−=2b n+1b n a n+13n+1a n3n =3a 1==1b 1a 13{}b n 12=1+2(n −1)=2n −1b n (2)(1)=2n −1b n ==(2n −1)⋅a n 3n b n 3n =3+3×+5×+⋯+(2n −1)×S n 32333n 3=+3×+5×+⋯+(2n −3)×+(2n −1)×S n 3233343n 3n+1−2=3+2×+2×+⋯+2×−(2n −1)×S n 32333n 3n+1=+3−(2n −1)×=−2(n −1)−618(1−)3n−11−33n+13n+1=(n −1)+3S n 3n+1(1)=3+2×(n ∈)a n+1a n 3n+1N ∗=+2(n ∈)a n+13n+13a n 3n+1N ∗=+2a n+13n+1a n3n =b n a n3n −=−=2b n+1b n a n+13n+1a n3n =3a 1==1b 1a 13{}b n 12=1+2(n −1)=2n −1b n (2)(1)=2n −1b n ==(2n −1)⋅a n 3n bn 3n =3+3×+5×+⋯+(2n −1)×S n 32333n 3=+3×+5×+⋯+(2n −3)×+(2n −1)×S n 3233343n 3n+1−2=3+2×+2×+⋯+2×−(2n −1)×S n 32333n 3n+1=+3−(2n −1)×=−2(n −1)−618(1−)3n−11−33n+13n+1=(n −1)+3S n 3n+122.【答案】解：依题意，，故当时，，当时， ,故，而,因为，故,故函数在 上的最大值为，最小值为.证明：令，得,令 ,对任意实数 恒成立，所以，即.则，令，所以.因为,所以,所以时，时，，所以在上有最小值，所以，因为，所以，所以所以，即时，对任意，所以，故当时，函数无零点【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，，故当时，，当时， ,故，(1)(x)=2x +=x(x +2)f ′e x x 2e x e x x ∈[−5,−2)(x)>0f ′x ∈(−2,−1](x)<0f ′f(x =f(−2)=)max 4e 2f(−5)=，f(−1)=25e 51e <25e 51e f(x =)min 25e 5f(x)[−5,−1]4e 225e 5(2)g(x)=−a ln x =0x 2e x x +1−a(x +1)ln x =0x 2e x m(x)=−(x +1)e x x >0,(x)=−1>0m ′e x m(x)=−(x +1)>m(0)=0e x >x +1>0e x −a(x +1)ln x >(x +1)−a(x +1)ln x =(x +1)(−a ln x)x 2e x x 2x 2h(x)=−a ln x x 2(x)=(−a ln x =2x −=h ′x 2)′a x 2−a x 2x 0<a <2e (x)=h ′2(x +)(x −)a 2−−√a 2−−√x x ∈(0,)a 2−−√(x)<0,x ∈(,+∞)h ′a 2−−√(x)>0h ′h(x)=−a ln x x 2(0,+∞)h()=−a ln =(1−ln )a 2−−√a 2a 2−−√a 2a 20<<e a 2ln <1a 21−ln >0,a 2(1−ln )>0a 2a 20<a <2e x >0,h(x)=−a ln x >0x 2−a(x +1)ln x >0x 2e x a ∈(0,2e)g(x).(1)(x)=2x +=x(x +2)f ′e x x 2e x e x x ∈[−5,−2)(x)>0f ′x ∈(−2,−1](x)<0f ′f(x =f(−2)=)max 4e 2(−5)=，f(−1)=251而,因为，故,故函数在 上的最大值为，最小值为.证明：令，得,令 ,对任意实数 恒成立，所以，即.则，令，所以.因为,所以,所以时，时，，所以在上有最小值，所以，因为，所以，所以所以，即时，对任意，所以，故当时，函数无零点e f(−5)=，f(−1)=25e 51e <25e 51e f(x =)min 25e 5f(x)[−5,−1]4e 225e 5(2)g(x)=−a ln x =0x 2e x x +1−a(x +1)ln x =0x 2e x m(x)=−(x +1)e x x >0,(x)=−1>0m ′e x m(x)=−(x +1)>m(0)=0e x >x +1>0e x −a(x +1)ln x >(x +1)−a(x +1)ln x =(x +1)(−a ln x)x 2e x x 2x 2h(x)=−a ln x x 2(x)=(−a ln x =2x −=h ′x 2)′a x 2−ax 2x0<a <2e (x)=h ′2(x +)(x −)a 2−−√a 2−−√xx ∈(0,)a 2−−√(x)<0,x ∈(,+∞)h ′a 2−−√(x)>0h ′h(x)=−a ln x x 2(0,+∞)h()=−a ln =(1−ln )a 2−−√a 2a 2−−√a 2a 20<<e a 2ln <1a 21−ln >0,a 2(1−ln )>0a 2a 20<a<2e x >0,h(x)=−a ln x >0x 2−a(x +1)ln x >0x 2e x a ∈(0,2e)g(x).。
2022-2023学年人教A版高二下数学期中考试(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数是一元二次方程的一个根，则（ ）A.B.C.D.2. 已知集合，，则 A.B.C.D.3. 已知是双曲线的一个焦点，若过原点的直线与双曲线相交于，两点，且，则的面积是（ ）A.B.C.D.4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则 A.若，，则B.若，，，则z −2x +2=0x 2|z|=12–√02A ={x ∈Z |y =(3−x)}log 2B ＝{y |y ＝+1}x −√A ∩B =()(0,3)[1,3){1,2}{1,2,3}F −=1x 29y 216M N ∠MFN =120∘△MOF 163–√2–√3–√83–√m n αβ()m//αn//αm//nα//βm ⊂αn ⊂βm//nα∩β=m n ⊥βC.若，，，则D.若，，，则5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.6. 若的展开式中的系数是( )A.B.C.D.7. 已知平面向量，满足，，若，则与的夹角为( )A.B.C.D.8. 圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（ ）α∩β=m n ⊂αm ⊥n n ⊥βm ⊥αm//n n ⊂βα⊥βa =50.4b =0.45c = 0.4log 5a b c a <b <cb <c <ac <a <bc <b <a(2x −1)x −√5x 310−1040−40a →b →||=2a →||=3b →|+|=5a →b →a →b →0π22π3π(1,−2)25–√x 8662–√43–√X E (X)=2X 1231A.，B.，C.D.10. 袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是( )A.摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B.恰好有一黑球事件和都是黑球事件C.至少一个黑球事件和至多一个白球事件D.至少一个黑球事件和全是白球事件11. 下列四个命题中，正确的有（ ）A.函数的图象可由＝的图象向左平移个单位长度得到B.＝的最小正周期等于，且在上是增函数（是自然对数的底数）C.直线＝是函数图象的一条对称轴D.函数的定义域是12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）P m n13m =12n =16m =13n =13D (X)=23D (x)=12343y 3sin 2x y e sin 2x πe x f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若等比数列的各项均为正数且，则________.14. 曲线的一条切线经过点，则切线的方程是________.15. 解集是________．16. 若是抛物线上的动点，点在以点为圆心，半径长等于的圆上运动，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足＝．（1）求角；（2）若＝，＝，求的值．18. 已知数列的前项和满足＝，．（1）求数列的通项公式；（2）设＝，，求数列的前项和． 19. 如图，在长方体中，底面是正方形，，、分别是线段、的中点．求证：；求二面角的余弦值．20. 将某车站乘客候车时间的情况统计如下图所示：{}a n =9a 4a 7++...+=log 3a 1log 3a 2log 3a 10y =x 3l (1,1)l x <A 33A 3x P =8x y 2Q C(2,0)1|PQ|+|PC|△ABC A B C a b c (c −b)sin C a sin A −b sin B A b 5a 7cos C {}a n n S n S n n ∈N ∗{}a n b n 2+(−1)n a n n ∈N ∗{}b n 2n T 2n ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1(1)BD ⊥CE (2)E −FC −D求乘客候车时间不超过分钟的概率；现从该车站候车的乘客中随机抽取人，记候车时间在）的人数为，求的分布列以及数学期望．21. 已知函数求函数的单调递增区间；若极大值大于，求的取值范围．22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上．求椭圆的标准方程；斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点．(1)30(2)4[20,30X X E(X)f (x)=(−2ax)ln x −+3ax.x 2x 2(1)f (x)(2)f (x)2a C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 2A C A ⊥F 1F 1F 2△AF 1F 232B (−b,)b 2C (1)C (2)l C P Q M (8,0)MP MQ l参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：由题意可得或，则．故选．方法二：因为实系数方程的虚数根成对出现，所以也是方程的一个根，所以，则．故选．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先求出集合，，由此能求出．【解答】∵集合，，∴．3.z =1+i z =1−i |z|=2–√B z ¯¯¯|z =z ⋅=2|2z ¯¯¯|z|=2–√B A B A ∩B A ={x ∈Z |y =(3−x)}={x ∈Z |3−x >0}={x ∈Z |x <3}log 2B ＝{y |y ＝+1}={y |y ≥1}x −√A ∩B ={x ∈Z |1≤x <3}={1,2}【答案】D【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】由双曲线解析式确定出与的值，不妨假设为右焦点，则，利用余弦定理列出关系式，整理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出的面积．【解答】解：由得，，，焦点在轴，不妨假设为右焦点，则，设在右支， ，则，由对称性知，为中点，∴，∴，即，解得或(舍去)，∴，，∴．∴．故选．4.【答案】D【考点】两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定【解析】a c F F (5,0)|MF|⋅|NF|△MNF −=1x 29y 216a =3b =4c ==5+a 2b 2−−−−−−√x F F (5,0)M |MF|=m |NF|=|MF|+2a =m +6O MN 2=+FO −→−FM −→−FN −→−4=(+FO −→−2FM −→−FN −→−)2=|+|+2||⋅||cos ∠MFNFM −→−|2FN −→−|2FM −→−FN −→−=+6m +36m 2+6m +36=4|=4×=100m 2FO −→−|252m =−373−−√m =−−373−−√|MF|=−373−−√|NF|=|MF|+6=+373−−√=×|MF|⋅|NF|⋅sin ∠MFN S △MNF 12=×(−3)×(+3)×1273−−√73−−√3–√2=163–√==8S △MOF 12S △MNF 3–√D A m//αm//n．若，，则或与为异面直线，即可判断出；．若，，利用线面垂直的性质定理即可判断出；．若，，，则或与为异面直线，即可判断出；．若，，，则与平行、相交或为异面直线，即可判断出．【解答】解：，若，，则或与为异面直线或相交，因此不正确；，若，，，则或与为异面直线，因此不正确；，若，，，则与相交或垂直，因此不正确；，若，，，则，因此正确.故选．5.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：由指数函数图像可知，，由对数函数图像可知，即可得到.故选.6.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中的系数．【解答】解：∵展开式的通项公式为，令，可得，A m//αn ⊂αm//n m n B m ⊥αn ⊂αC α//βm ⊂αn ⊂βm//n m n D α⊥βm ⊂αn ⊂βm n A m//αn//αm//n m n B α//βm ⊂αn ⊂βm//n m n C α∩β=m n ⊂αm ⊥n n βD m ⊥αm//n n ⊂βα⊥βD a =>150.40<b =<10.45c <0c <b <a D x 3r x 3(2x −1x −√)5=⋅(2x =⋅⋅T r+1C r 5x −√)5−r (−1)r C r 5⋅25−r (−1)r x 3(5−r)2=33(5−r)2r =33⋅=−40323∴展开式中的系数为.故选.7.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，即，即，所以.设与的夹角为，则，又因为，所以.故选.8.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质【解析】利用垂径定理，结合勾股定理，可求圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长．【解答】解：圆心为 到轴的距离为．∵圆的半径为，x 3⋅⋅=−40C 3522(−1)3D |+|=5a →b →|+=25a →b →|2+2⋅+=25a →2a →b →b →24+2⋅+9=25a →b →⋅=6a →b →a →b →θcos θ=⋅a →b →||||a →b →==162×3θ∈[0,π]θ=0A (1,−2)25–√x (1,−2)x 225–√=8−−−−−−−−−−∴圆心为 ，半径为的圆在轴上截得的弦长是．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】利用概率之和为，结合，求出，，再利用方差公式求即可.【解答】解：由题意可得，且，解得，故正确；，故正确.故选.10.【答案】A,B,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；对于，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故正确；对于，比如三个球中两个黑球和一个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故错误；对于，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故正确．故选．(1,−2)25–√x 2=8(2−5–√)222−−−−−−−−−−√A 1E (X)=2m n D (X)m +n +=113E (X)=1×m +2×n +3×=213m =n =13B D (X)=++=13(1−2)213(2−2)213(3−2)223C BC A B C D ABD11.【答案】C,D【考点】正切函数的定义域命题的真假判断与应用正弦函数的奇偶性和对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln x x 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等比数列的性质对数的运算性质【解析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列中，每项均是正数，且，∴A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1e B ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e 2x 1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD 10++...+=(⋅⋅...)=(log 3a 1log 3a 2log 3a 10log 3a 1a 2a 3a 10log 3a 4a 7)5{}a n =9a 4a 7++...+log 3a 1log 3a 2log 3a 10=(⋅⋅...)log．故答案为：.14.【答案】或【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】当①若为切点，根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；②若不是切点，设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可．【解答】解：根据题意，.①若为切点，，则：，即；②若不是切点，设切点，，解得或(舍)，则.故，即.故答案为：或.15.【答案】【考点】排列及排列数公式其他不等式的解法【解析】写出排列数的因式乘积的形式，得到关于的一元二次方程，解方程即可，在得到一元二次方程时，不等式的两边同时除以，由题意可知一定不小于，这样的条件限制使得题目不会出错．=(⋅⋅...)log 3a 1a 2a 3a 10=(log 3a 4a 7)5=log 3310=10103x −y −2=03x −4y +1=0(1,1)f (x)x =2(x)=3f ′x 2(1,1)k =(1)=3×=3f ′12l y −1=3(x −1)3x −y −2=0(1,1)P(,)x 0x 30k =()=3=f ′x 0x 20−1x 30−1x 0=x 0−121k =34l :y −1=(x −1)343x −4y +1=03x −y −2=03x −4y +1=0{x |x >4或x <−1}x x x 3解：∵∴，∵，∴，∴，∴或，故答案为：16.【答案】【考点】抛物线的性质圆锥曲线的最值问题【解析】本题考查抛物线的定义．【解答】解：由条件知圆心为抛物线的焦点，抛物线的准线为．设点到抛物线准线的距离为，则，又圆心到抛物线准线的距离为，则．当点为原点，点为点时取等号，故的最小值为．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】∵＝，∴由正弦定理可得：＝，化为＝．由余弦定理可得：＝，∴为锐角，可得＝；∵＝，＝，∴为锐角，由，可得＝＝＝＝，∴＝＝＝-＝．x< A33A3,x6x<x(x−1)(x−2)x>36<(x−1)(x−2)−3x−4>0x2x>4x<−1{x|x>4或x<−1}3C x=−2P d|PC|=dC4|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥4−1=3P Q(1,0)|PQ|+|PC|33(a−b)(sin A+sin B)(c−b)sin C(a−b)(a+b)(c−b)c+−b2c2a8bccos AA Ab5a7B sin Bcos C−cos(A+B)sin A sin B−cos A cos B余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知利用正弦定理可得＝．再利用余弦定理可得，进而可求．（2）利用正弦定理可求，根据同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角和的余弦公式即可求解．【解答】∵＝，∴由正弦定理可得：＝，化为＝．由余弦定理可得：＝，∴为锐角，可得＝；∵＝，＝，∴为锐角，由，可得＝＝＝＝，∴＝＝＝-＝．18.【答案】由题意，当＝时，＝＝，当时，＝＝-＝，∵当＝时，＝也满足上式，∴＝，．由（1），知＝＝，∴＝＝＝＝＝＝．【考点】数列的求和数列递推式【解析】+−b 2c 2a 2bc cos A A sin B cos B (a −b)(sin A +sin B)(c −b)sin C (a −b)(a +b)(c −b)c +−b 2c 2a 8bc cos A A A b 5a 7B sin B cos C −cos(A +B)sin A sin B −cos A cos B n 1a 1S 13n ≥2a n −S n S n−1n +2n 1a 13a n n +2n ∈N ∗b n 2+(−1)n a n +(−1(n +2)2n+2)n T 2n ++++...++b 1b 2b 3b 4b 2n−1b 2n(−3)+(+4)+(−5)+(+6)+...+[−(2n +1)]+[+(2n +2)]2324252622n+122n+2(++...+)+[4−3+6−5+...+(2n +2)−(2n +1)]232422n+28×(1++...+)+(1+1+ (1)2122n−18×+n8⋅(−1)+n 4n本题第（1）题根据公式＝进行计算即可得到数列的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和．【解答】由题意，当＝时，＝＝，当时，＝＝-＝，∵当＝时，＝也满足上式，∴＝，．由（1），知＝＝，∴＝＝＝＝＝＝．19.【答案】证明：因为是长方体，所以平面．因为平面，所以．连结，交于点，因为四边形是正方形，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的的空间直角坐标系，a n {}a n {}b n 2n T 2n n 1a 1S 13n ≥2a n −S n S n−1n +2n 1a 13a n n +2n ∈N ∗b n 2+(−1)n a n +(−1(n +2)2n+2)n T 2n ++++...++b 1b 2b 3b 4b 2n−1b 2n(−3)+(+4)+(−5)+(+6)+...+[−(2n +1)]+[+(2n +2)]2324252622n+122n+2(++...+)+[4−3+6−5+...+(2n +2)−(2n +1)]232422n+28×(1++...+)+(1+1+ (1)2122n−18×+n8⋅(−1)+n 4n (1)ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD BD ⊂ABCD A ⊥BD A 1AC BD O ABCD AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥ACE CE ⊂ACE BD ⊥CE.(2)D DA DC DD 1x y z D −xyz B =A =21因为底面是正方形，，、分别是线段、的中点，所以，，，所以，．设平面的一个法向量为，则令 ，得，易知为平面的一个法向量．设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为是长方体，所以平面．因为平面，所以．连结，交于点，因为四边形是正方形，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的的空间直角坐标系，ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1C (0,2,0)E(2,0,2)F(0,1,4)=(2,−2,2)CE −→−=(−2,1,2)EF −→−CEF =(x,y,z)n → ⋅=2x −2y +2z =0，n →CE −→−⋅=−2x +y +2z =0，n →EF −→−x =3=(3,4,1)n →=(1,0,0)m →DFC E −FC −D θcos θ===|⋅|m →n →||⋅||m →n →|(3,4,1)⋅(1,0,0)|++324212−−−−−−−−−−√326−−√26E −FC −D 326−−√26(1)ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD BD ⊂ABCD A ⊥BD A 1AC BD O ABCD AC ⊥BD A ∩AC =A A 1BD ⊥ACE CE ⊂ACE BD ⊥CE.(2)D DA DC DD 1x y z D −xyz因为底面是正方形，，、分别是线段、的中点，所以，，，所以，．设平面的一个法向量为，则令 ，得，易知为平面的一个法向量．设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．20.【答案】解：.任取人等车时间在）的概率为,故,故的可能取值为，，，，则,,,,,故的分布列为：故.ABCD AB =A =212A 1E F AA 1C 1D 1C (0,2,0)E(2,0,2)F(0,1,4)=(2,−2,2)CE −→−=(−2,1,2)EF −→−CEF =(x,y,z)n → ⋅=2x −2y +2z =0，n →CE −→−⋅=−2x +y +2z =0，n →EF −→−x =3=(3,4,1)n →=(1,0,0)m →DFC E −FC −Dθcos θ===|⋅|m →n →||⋅||m →n →|(3,4,1)⋅(1,0,0)|++324212−−−−−−−−−−√326−−√26E −FC −D 326−−√26(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5=0.9(2)1[20,30(0.052+0.048)×5=12X ∼B (4,)12X 0,1234P (X =0)==()124116P (X =1)=×=C 14()12414P (X =2)=×=C 24()12438P (X =3)=×=C 34()12414P (X =4)==()124116X X 01234P 116143814116E (X)=4×=212【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】观察频率分布直方图，即可得出，从而计算即可；任取人等车时间在）的概率为,故,的可能取值为，，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.【解答】解：.任取人等车时间在）的概率为,故,故的可能取值为，，，，则,,,,,故的分布列为：故.21.【答案】解：．当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和；当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和．由知，当和时，无极大值，不成立．(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5(2)1[20,30(0.052+0.48)×5=12X ∼B (4,)12X 01234X E (X)(1)P =(0.016+0.028+0.036+0.052+0.048)×5=0.9(2)1[20,30(0.052+0.048)×5=12X ∼B (4,)12X 0,1234P (X =0)==()124116P (X =1)=×=C 14()12414P (X =2)=×=C 24()12438P (X =3)=×=C 34()12414P (X =4)==()124116X X 01234P 116143814116E (X)=4×=212(x)f ′=2(x −a)ln x +x −2a −2x +3a =2(x −a)(ln x −)12(1)a ≤0f (x)(,+∞)e √f (x)(,+∞)e √0<a <e √f (x)(0,a)(,+∞)e √f (x)(0,a)(,+∞)e √a =e √f (x)(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >e √f (x)(0,)e √(a,+∞)f (x)(0,)e √(a,+∞)(2)(1)a ≤0a =e √a >+√当时，极大值，解得，由于，所以．当时，极大值，得，令，则．，在时取得极大值，且．而，，而在上单调递增，所以，解为，则．综上．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】暂无暂无【解答】解：．当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和；当时，在上单调递增，的单调递增区间为；当时，在和上单调递增，的单调递增区间为和．由知，当和时，无极大值，不成立．当时，极大值，解得，由于，所以．当时，极大值，得，令，则．，在时取得极大值，且．而，，而在上单调递增，所以，解为，则．综上．22.【答案】解：设椭圆的焦距为，令，代人椭圆的方程可求得，的面积为，可得，有，将点的坐标代入椭圆的方程，a >e √f ()=2a −>2e √e √e 2a >+e √41e √+−e √41e √e √=−1e √3e √4=(1−)1e√3e 4<0a >e √0<a <e √f (a)=(2−ln a)>2a 22−ln a >2a 2t =a 2g(t)=2−ln t −122t (t)=−+=g ′12t 2t 24−t 2t 2g(t)t =4g(4)>0g(1)=0a <e √t <e g(t)(1,e)g(t)>0(1,e)a ∈(1+)e √a ∈(1,)∪(,+∞)e √e √(x)f ′=2(x −a)ln x +x −2a −2x +3a =2(x −a)(ln x −)12(1)a ≤0f (x)(,+∞)e √f (x)(,+∞)e √0<a <e √f (x)(0,a)(,+∞)e √f (x)(0,a)(,+∞)e √a =e √f (x)(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >e √f (x)(0,)e √(a,+∞)f (x)(0,)e √(a,+∞)(2)(1)a ≤0a =e √a >e √f ()=2a −>2e √e √e 2a >+e √41e √+−e √41e √e √=−1e √3e √4=(1−)1e√3e 4<0a >e √0<a <e √f (a)=(2−ln a)>2a 22−ln a >2a 2t =a 2g(t)=2−ln t −122t (t)=−+=g ′12t 2t 24−t 2t 2g(t)t =4g(4)>0g(1)=0a <e √t <e g(t)(1,e)g(t)>0(1,e)a ∈(1+)e √a ∈(1,)∪(,+∞)e √e √(1)C 2c x =c C y =±b 2a △AF 1F 232=c b 2a 32c =a b 232B C =122=a –√可得，解得，解方程组 得，故椭圆的标准方程为．证明：设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程 ，消去后整理为，有，，有，，又由，由直线、的倾斜角互补，有有，通分整理后可得，可得直线的方程为，可知直线过定点．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】+=1b 2a 2b 24b 2b =a 3–√2 b =a,3–√2c =a,b 232=+,a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√C +=1x 24y 23(2)P Q (,),(,)x 1y 1x 2y 2l y =kx +m(k ≠0) +=1x 24y 23y =kx +m,y (4+3)+8kmx +4−12=0k 2x 2m 2+=−x 1x 28km 4+3k 2=x 1x 24−12m 24+3k 2==k MP y 1−8x 1k +mx 1−8x 1==k +k (−8)+8k +m x 1−8x 18k +m−8x 1=k +k MQ 8k +m−8x 2+1−8x 11−8x 2=+−16x 1x 2−8(+)+64x 1x 2x 1x 2=−−168km 4+3k 2++644−12m 24+3k 264km4+3k 2=−2(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2MP MQ 2k +(8k +m)(+)=0，1−8x 11−8x 22k −=02(8k +m)(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2k =−2m l y =−2mx +m l (,0)12此题暂无解析【解答】解：设椭圆的焦距为，令，代人椭圆的方程可求得，的面积为，可得，有，将点的坐标代入椭圆的方程，可得，解得，解方程组 得，故椭圆的标准方程为．证明：设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程 ，消去后整理为，有，，有，，又由，由直线、的倾斜角互补，有有，通分整理后可得，可得直线的方程为，可知直线过定点．(1)C 2c x =c C y =±b 2a △AF 1F 232=c b 2a 32c =a b 232B C +=1b 2a 2b 24b 2b =a 3–√2 b =a,3–√2c =a,b 232=+,a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√C +=1x 24y 23(2)P Q (,),(,)x 1y 1x 2y 2l y =kx +m(k ≠0) +=1x 24y 23y =kx +m,y (4+3)+8kmx +4−12=0k 2x 2m 2+=−x 1x 28km 4+3k 2=x 1x 24−12m 24+3k 2==k MP y 1−8x 1k +m x 1−8x 1==k +k (−8)+8k +m x 1−8x 18k +m −8x 1=k +k MQ 8k +m −8x 2+1−8x 11−8x 2=+−16x 1x 2−8(+)+64x 1x 2x 1x 2=−−168km 4+3k 2++644−12m 24+3k 264km 4+3k 2=−2(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2MP MQ 2k +(8k +m)(+)=0，1−8x 11−8x 22k −=02(8k +m)(8+km +6)k 2+16km +64+45m 2k 2k =−2m l y =−2mx +m l (,0)12。
2021学年安徽高二(下)期中数学试卷(理科)(有答案)
2021学年安徽高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1. 设i为虚数单位，若复数z=5(1+i)2−i，则z为（）A.1−3iB.−1−3iC.−1+3iD.1+3i2. 用反证法证明命题“设实数a，b，c满足a+b+c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于13”时假设的内容是（）A.a，b，c都不小于13B.a，b，c都小于13C.a，b，c至多有一个小于13D.a，b，c至多有两个小于133. 函数y＝(2x+1)3的导数为（）A.y′＝3(2x+1)3B.y′＝3(2x+1)2C.y′＝6(2x+1)2D.y′＝6(2x+1)34. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是（）A.x＝−1是函数y＝f(x)的极小值点B.x＝1是函数y＝f(x)的极大值点C.函数y＝f(x)在(1, +∞)是减函数D.函数y＝f(x)在(−2, 2)上是增函数5. 已知f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)−ln x，则f′(1e)=()A.2−1e B.2−e C.−2−e D.−2−1e6. 函数f(x)=16x2−cos x的导函数y＝f′(x)的图象大致是（）A. B.C. D.7. 已知f(x)＝x 3−ax 在[1, +∞)上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.08. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数√3√3√3√⋯中的“…”代表无限次重复，设x =√3√3√3√⋯，则可利用方程x =√3x 求得x ，类似地可得到正数61+61+⋯=( )A.4B.3C.2D.19. 已知函数f(x)=e x a−x(a >0)，若函数y ＝f(x)的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,1e ) B.(1e ,e)C.(1e ,1)D.(0, e)10. 设函数f ′(x)是奇函数f(x)x ∈R 的导函数，f(−1)＝0，当x >0时，xf ′(x)−f(x)<0则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ） A.(−∞, −1)∪(0, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0)∪(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 对于函数f(x)＝(2x −x 2)e x ，下列说法正确的个数为（ ）①f(x)的单调递减区间为(−∞,−√2)(√2,+∞)；②f(x)>0的解集为(0, 2)；③f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值；④f(x)有最大值，没有最小值． A.1 B.2 C.3 D.412. 对于任意正实数x ，y ，都有(2x −ye )(ln y −ln x)≤xa ，则实数a 的取值范围为（ ）A.(0, 1]B.(1, e]C.(1e,e]D.(1e,e 2]二、填空题已知i 为虚数单位，复数z ＝(m −1)+(m 2−4)i 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是________．曲线y ＝x ln x 在P 点处的切线与直线2x −y −2020＝0平行，则点P 的坐标为________．曲线y ＝sin x ，x ∈[0,3π2]与x 轴所围成的如图所示的阴影部分面积是________．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是________．华为公司研发的5G 技术是中国在高科技领域的重大创新，目前处于世界领先地位，今年即将投入使用，它必将为人们生活带来别样的精彩，成为每个中国人的骄傲．现假设在一段光纤中有5条通信线路，需要输送5种数据包，每条线路单位时间内输送不同数据包的大小数值如表所示．若在单位时间内，每条线路只能输送一种数据包，且使完成5种数据包输送的数值总和最大，则下列叙述正确的序号是________． ①甲线路只能输送第四种数据包； ②乙线路不能输送第二种数据包； ③丙线路可以不输送第三种数据包； ④丁线路可以输送第三种数据包； ⑤戊线路只能输送第四种数据包． 三、解答题已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，且满足|z|=√5，其实部、虚部均为整数，记i 为虚数单位．(Ⅰ)求复数z ；(Ⅱ)当z +i 为实数时，若z +2(z −m ¯)=4+ni ，求实数m 和n 的值．设a ，b 为正实数，且a +b ＝1，请用分析法证明不等式：√1+a +√1+b ≤√6．已知函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +c ，在x =−23与x ＝1时都取得极值．求： （1）求a 、b 的值；（2）若对x ∈[−1, 2]，有f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝1−x 2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x 轴上的区间[0, 1]等分成n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f(x)＝1−x 2的图象上．若用a k (1≤k ≤n, k ∈N)表示第k 个矩形的面积，S n 表示这n 个叫矩形的面积总和．（1）求a k 的表达式；（2）利用数学归纳法证明12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)，并求出S n 的表达式；（3）求lim n→∞S n 的值，并说明lim n→∞S n 的几何意义．已知函数f(x)＝e x −2ax −2a ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，求a 的取值范围，并证明：(x 1+1)(x 2+1)<1．参考答案与试题解析2021学年安徽高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题 1. 【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 z =5(1+i)2−i=5(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=(1+i)(2+i)=1+3i ，2. 【答案】 B【考点】 反证法 【解析】：反证法证明命题时，要假设结论不成立． 【解答】用反证法证明命题“设实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于13”时的假设是“a ，b ，c 都小于13”． 3.【答案】 C【考点】 导数的运算 【解析】利用复合函数的导数运算法则求解即可． 【解答】∵ y ＝(2x +1)3，∴ y′＝3(2x +1)2⋅(2x +1)′＝6(2x +1)2， 4. 【答案】 D【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性【解析】根据函数图象，得到f′(x)≥0和f′(x)<0的解，从而确定函数的单调区间以及极值，然后进行判断即可．由导数图象知当x ≤2时，f′(x)≥0，即函数的单调递增区间为(−∞, 2]， 当x >2时，f′(x)<0，函数单调递减，即函数的单调递减区间为(2, +∞)． 即当x ＝2时函数f(x)取得极大值， 故A ，B ，C 都不正确，正确的是D ， 5. 【答案】 B【考点】 导数的运算 【解析】对f(x)求导后令x ＝1代入求出f ′(1)，再代入x =1e 求出答案．【解答】∵ f(x)＝2xf ′(1)−ln x ， ∴ f ′(x)＝2f ′(1)−1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)−1，则f ′(1)＝1， ∴ f ′(x)＝2−1x ，∴ f ′(1e )=2−11e=2−e ，故选：B ． 6. 【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意，求出f′(x)=x3+sin x ，分析可得f′(x)为奇函数，排除B ，进而分析可得：在区间(0, +∞)上，排除C 、D ，即可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)=16x 2−cos x ，其导数f′(x)=x3+sin x ，有f′(−x)＝−(x3+sin x)＝−f′(x)，为奇函数，排除B ；在区间(0, π)上，sin x >0，f′(x)=x3+sin x >0， 在区间[π, +∞)上，x3≥π3>1，必有f′(x)=x3+sin x >0，综合可得：在区间(0, +∞)上，都有f′(x)>0，排除C ，D ； 7.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的最值法1：根据增函数的定义，设任意的x1>x2≥1，然后作差，因式分解，和提取公因式之后得到f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−a)，由f(x)单调递增，便可得到x12+x1x2+x22−a>0恒成立，从而得到a<x12+x1x2+x22恒成立，可以说明x12+x1x2+x22>3，从而便得出a≤3，这便可得出a的最大值了．法2:f′(x)＝3x2−a，依题意，利用a≤(3x2)min即可求得答案．【解答】法1：设x1>x2≥1，则：f(x1)−f(x2)=x13−ax1−x23+ax2=(x1−x2)(x12+x1x2+x22−a)；∵x1>x2≥1，f(x)在[1, +∞)上单调递增；∴x1−x2>0；∴x12+x1x2+x22−a>0恒成立；a<x12+x1x2+x22在x∈[1, +∞)上恒成立；x12>1,x1x2>1,x22≥1；∴x12+x1x2+x22>3；∴a≤3；即a的最大值为3．法2:f′(x)＝3x2−a；∵f(x)在[1, +∞)上单调递增；∴3x2−a≥0在x∈[1, +∞)上恒成立；即a≤3x2恒成立；∵3x2在[1, +∞)上的最小值为3；∴a≤3；∴a的最大值为3．8.【答案】C【考点】类比推理【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的值．【解答】=t(t>0)，可以令正数61+61+⋯⇒t2+t−6＝0解得其值为2（舍去负根−3），由t=61+t9.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】求得f(x)的导数和单调性、极值和最值，由题意可得f(x)min>0，解不等式可得所求范围．【解答】f(x)=e xa −x(a>0)的导数为f′(x)=e xa−1，由a>0，f′(x)＝0，可得x＝ln a，当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)递增；x<ln a时，f′(x)<0，f(x)递减，则f(x)在x＝ln a处取得极小值，且为最小值1−ln a，由函数y＝f(x)的图象恒在x轴的上方，可得1−ln a>0，解得0<a<e，则实数a的取值范围为(0, e)．10.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】构造函数g(x)=f(x)x，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性，再画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式f(x)>0的解集．【解答】设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立，即当x>0时，g′(x)恒小于0，∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，又∵g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x=f(x)x=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g(−1)=f(−1)−1=0，∴函数g(x)的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f(x)>0等价于x⋅g(x)>0，即{x>0g(x)>0或{x<0g(x)<0，解得0<x<1或x<−1．∴f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞, −1)∪(0, 1)．故选：A．11.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】先对函数求导得f′(x)＝e x(2−x2)，令f′(x)<0，解之即可得函数的单调递减区间，从而判断①；因为e x>0，所以若f(x)>0，则2x−x2>0，解出x的范围后可判断②；令f′(x)>0，解之得函数的单调递增区间，然后结合①可判断③；结合①与③的结论可判断④．【解答】∵f(x)＝(2x−x2)e x，∴f′(x)＝e x(2−x2)，①令f′(x)<0，∵e x>0，∴2−x2<0，解得x>√2x<−√2，∴函数f (x)的单调递减区间为(−∞,−√2)、(√2,+∞)，即①正确；②∵e x>0，∴若f(x)>0，则2x−x2>0，解得0<x<2，解集为(0, 2)，即②正确；③令f′(x)>0，则−√2<x<√2，∴函数f (x)的单调递增区间为(−√2,√2)，结合①可知，f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值，即③正确；④结合①③可知，函数f(x)没有最大值，也没有最小值，即④错误．∴正确的有①②③，12.【答案】A【考点】不等式恒成立的问题【解析】由x，y>0，结合对数的运算性质，可得(2−yex )ln yx≤1a，可令t=yx(t>0)，上式即为(2−te )ln t≤1a，可设f(t)＝(2−te)ln t，求得其导数和单调性、极值和最值，再由题意可得f(t)max≤1a，解不等式可得所求范围．【解答】(2x−ye )(ln y−ln x)≤xa，x，y>0，可得(2−yex )ln yx≤1a，可令t=yx (t>0)，上式即为(2−te)ln t≤1a，可设f(t)＝(2−te )ln t，f′(t)=2t−1+ln te，由f″(t)=−2t2−1et<0，可得函数f′(t)为(0, +∞)上的减函数，由f′(e)=2e −2e=0，可得0<x<e时，f′(t)>0，f(t)递增；x>e时，f′(t)<0，f(t)递减，可得f(t)在t＝e处取得极大值，且为最大值1，由题意可得f(t)max≤1a ，即1≤1a，解得0<a≤1．二、填空题【答案】(−2, 1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标的正负即可得答案．【解答】由题意可得：{m−1<0m2−4<0，解可得，−2<m<1．【答案】(e, e)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设P(x0, y0)，求出函数在切点处的导数，由题意求得x0，进一步求得切点的纵坐标得答案．【解答】设P(x0, y0)，由y＝x ln x，得y′＝ln x+1，再由题意可得：ln x0+1＝2，得ln x0＝1，即x0＝e，则y＝e ln e＝e．∴点P的坐标为(e, e)．【答案】3【考点】微积分基本定理定积分【解析】阴影部分的面积是函数在x ∈[0,3π2]上的定积分的值，用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案． 【解答】由积分的几何意义可得，S =∫ π0sin xdx+∫ 3π2π(−sin x)dx＝−cos x|0π+cos x|π3π2＝3【答案】 2【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】设无盖方盒的底面边长为a ，则a ＝3−2x ，则无盖方盒的容积为：V(x)＝x(3−2x)2．求导得V ′(x)＝12x 2−24x +9．再令V ′(x)＝12x 2−24x +9＝0，得x =12或x =32．并求得V(12)＝2．由V(x)的单调性知，2为V(x)的最大值．【解答】设无盖方盒的底面边长为a ，则a ＝3−2x ， ∵ a >0，∴ 0<x <32，则无盖方盒的容积为：V(x)＝x(3−2x)2． 得V′(x)＝12x 2−24x +9． 令V′(x)＝12x 2−24x +9>0， 解得x <12或x >32；令V′(x)＝12x 2−24x +9<0，解得12<x <32． ∵ 函数V(x)的定义域为x ∈(0, 32)， ∴ 函数V(x)在(0, 12)递增，在(12, 32)递减． 令V′(x)＝12x 2−24x +9＝0， 得x =12或x =32（舍）． 并求得V(12)＝2．由V(x)的单调性知，2为V(x)的最大值， 【答案】 ②【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由表可知，完成5种数据包输送的数值总和最大值为：17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得，要使总和最大，则从甲可以输送第二或第四种数据包入手，得到丙只能输送第三种数据包，丁只能输送第五种数据包，再对乙进行分类讨论，确定戊的输送情况后，比较输送的数值总和即可． 【解答】由表可知，完成5种数据包输送的数值总和最大值为：17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得，要使总和最大，甲可以输送第二或第四种数据包，丙只能输送第三种数据包，丁只能输送第五种数据包，所以乙可以输送第一、第二或第四种数据包，当乙输送第一种数据包，甲输送第二种数据包时，此时戊输送第四种数据包，数值总和为：17+22+14+11+15＝79，当乙输送第一种数据包，甲输送第四种数据包时，此时戊输送第二种数据包，数值总和为：17+22+14+11+15＝79，当乙输送第二种数据包，甲输送第四种数据包时，此时戊输送第一种数据包，数值总和为：17+23+14+11+13＝78，当乙输送第四种数据包，甲输送第二种数据包时，此时戊输送第一种数据包，数值总和为：17+20+14+11+13＝75，所以正确的只有乙不能输送第二种数据包． 三、解答题【答案】（1）设z ＝a +bi(a, b ∈Z)，则a 2+b 2＝5(a, b ∈Z)，∵ z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴ a >0，b <0， 解得{a =1b =−2 或{a =2b =−1，∴ z ＝1−2i 或z ＝2−i ；（2）当z +i 为实数时，由(Ⅰ)知z ＝2−i ，由z +2(z −m)¯=4+ni ，得6−2m +i ＝4+ni ，即2−2m +(1−n)i ＝0． ∴ {2−2m =01−n =0 ，解得{m =1n =1．【考点】 复数的运算 【解析】(Ⅰ)设z ＝a +bi(a, b ∈Z)，由题意得a 2+b 2＝5(a, b ∈Z)，再由已知可得a >0，b <0，解得{a =1b =−2 或{a =2b =−1，从而求得z ；(Ⅱ)由z +i 为实数，结合(Ⅰ)知z ＝2−i ，代入z +2(z −m)¯=4+ni ，得6−2m +i ＝4+ni ，即2−2m +(1−n)i ＝0．再由实部与虚部分别为0列式求得m 与n 的值．【解答】（1）设z ＝a +bi(a, b ∈Z)，则a 2+b 2＝5(a, b ∈Z)，∵ z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴ a >0，b <0， 解得{a =1b =−2 或{a =2b =−1，∴ z ＝1−2i 或z ＝2−i ；（2）当z +i 为实数时，由(Ⅰ)知z ＝2−i ，由z +2(z −m)¯=4+ni ，得6−2m +i ＝4+ni ，即2−2m +(1−n)i ＝0．∴ {2−2m =01−n =0 ，解得{m =1n =1 ．【答案】证明：∵ a ，b ∈R ∗，且a +b ＝1，∴ 欲证√1+a +√1+b ≤√6，只需证(√1+a +√1+b)2≤6，即证2√(1+a)(1+b)≤3，只需证4(1+a)(1+b)≤9，即证ab ≤14，又∵ ab ≤(a+b 2)2=14，当仅当a =b =12时等号成立，∴ √1+a +√1+b ≤√6成立．【考点】基本不等式 不等式的证明 数学归纳法【解析】两边平方，得出结论成立的充分条件，依次进行下去，直到得出明显成立的条件为止． 【解答】证明：∵ a ，b ∈R ∗，且a +b ＝1，∴ 欲证√1+a +√1+b ≤√6， 只需证(√1+a +√1+b)2≤6，即证2√(1+a)(1+b)≤3， 只需证4(1+a)(1+b)≤9，即证ab ≤14，又∵ ab ≤(a+b 2)2=14，当仅当a =b =12时等号成立，∴ √1+a +√1+b ≤√6成立．【答案】f′( x)＝3x 2+2ax +b ， 令f′(−23)＝0，f′(1)＝0 得：a =−12，b ＝−2由（1）知f ( x)＝x 3−12x 2−2x +c ， 令f′( x)＝3x 2−x −2>0得x <−23或x >1， 所以f ( x)在[−1, −23]，[1, 2]上递增；[−23, 1]上递减， 又f (−23)<f (2)，∴ f ( x)的最大值为f (2)；要使f ( x)<c 2恒成立，只需f (2)<c 2， 解得c <−1或c >2． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数在某点取得极值的条件【解析】（1）根据所给的函数在两个点取得极值，写出函数的导函数，则导函数在这两个点的值等于0，得到关于a ，b 的方程组，解方程组即可．（2）要求一个恒成立问题，只要函数的最大值小于代数式即可，f ( x)的最大值为f (2)；要使f ( x)<c 2恒成立，只需f (2)<c 2，解不等式． 【解答】f′( x)＝3x 2+2ax +b ， 令f′(−23)＝0，f′(1)＝0得：a =−12，b ＝−2由（1）知f ( x)＝x 3−12x 2−2x +c ， 令f′( x)＝3x 2−x −2>0得x <−23或x >1，所以f ( x)在[−1, −23]，[1, 2]上递增；[−23, 1]上递减， 又f (−23)<f (2)，∴ f ( x)的最大值为f (2)；要使f ( x)<c 2恒成立，只需f (2)<c 2， 解得c <−1或c >2． 【答案】由题意第k 个矩形的高是1−(kn )2， ∴ a k =1n [1−(kn )2]=1n (1−k 2n 2)；(i)当n ＝1时，13=16×1×2×3，命题成立，(ii)设n ＝k 时命题成立，即12+22+⋯+k 2=16k(k +1)(2k +1)， 则n ＝k +1时，12+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k(k +1)(2k +1)+(k +1)2 =16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =16(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]，∴ n ＝k +1时命题成立，综上，n ∈N ∗时，命题为真，即12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)，∴ S n =∑ nk=11n (1−k 2n2)=1−12+22+⋯n 2n 3=1−16n(n+1)(2n+1)n 3=23−12n−16n 2．lim n→∞S n =lim n→∞(23−12n −16n 2)=23．lim n→∞S n 的几何意义表示函数y ＝1−x 2的图象与x 轴，及直线x ＝0和x ＝1所围曲线梯形的面积． 【考点】 数学归纳法【解析】（1）第k 个矩形的高为1−(kn )2，然后直接求出第k 个矩形的面积；（2）先用数学归纳法证明12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)，然后由S n =∑ n k=11n (1−k 2n 2)求出S n ．（3）先由lim n→∞S n =lim n→∞(23−12n −16n 2)．求出极限，然后说明lim n→∞S n 的几何意义即可．【解答】由题意第k 个矩形的高是1−(kn )2， ∴ a k =1n[1−(kn)2]=1n (1−k 2n 2)；(i)当n ＝1时，13=16×1×2×3，命题成立，(ii)设n ＝k 时命题成立，即12+22+⋯+k 2=16k(k +1)(2k +1)， 则n ＝k +1时，12+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k(k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =16(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]， ∴ n ＝k +1时命题成立，综上，n ∈N ∗时，命题为真，即12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)， ∴ S n =∑ nk=11n (1−k 2n2)=1−12+22+⋯n 2n 3=1−16n(n+1)(2n+1)n 3=23−12n −16n 2．lim n→∞S n =lim n→∞(23−12n −16n 2)=23．lim n→∞S n 的几何意义表示函数y ＝1−x 2的图象与x 轴，及直线x ＝0和x ＝1所围曲线梯形的面积．【答案】（1）f ′(x)＝e x −2a ，当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；当a >0时，x >ln (2a)，f ′(x)>0，f(x)在(ln (2a)，+∞)上单调递增；x <ln (2a)，f ′(x)<0，f(x)在（−∞, ln (2a)）上单调递减．综上可知，当a ≤0时，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(ln (2a)，+∞)上单调递增，在（−∞, ln (2a)）上单调递减． （2）由(Ⅰ)知，f(x)有两个零点x 1，x 2，必须有a >0且最小值f(ln 2a)＝e ln 2a −2a ln 2a −2a ＝−2a ln 2a <0， ∴ ln 2a >0，∴ a >12，又∵当x→+∞时，f(x)→+∞；当x→−∞时，f(x)→+∞，∴a>1，f(x)有两个零点x1，x2，不妨设x1<x2，∴x1<ln2a<x2，2此时f(x1)=e x1−2ax1−2a=0，f(x2)=e x2−2ax2−2a=0，即e x1=2a(x1+1)，e x2=2a(x2+1)，∴e x1+x2=(x1+1)(x2+1)，4a2<1，要证：(x1+1)(x2+1)<1，即证：e x1+x24a2即证：e x1+x2<4a2，即证：x1+x2<2ln2a，即证：x1<2ln2a−x2，又x1<ln2a<x2，∴x1<2ln2a−x2<ln2a，即证：f(x1)>f(2ln2a−x2)，即证：f(x2)>f(2ln2a−x2)，令g(x)＝(e x−2ax−2a)−[e21n2a−x−2a(2ln2a−x)−2a]＝e x−e21n2a−x−4ax−−4a≥2√4a2−4a=0，4a ln2a(x>ln2a)，g′(x)=e x+e21n2a−x−4a=e x+4a2e x当仅当x＝ln2a取“＝”，∴g(x)在(ln2a, +∞)上为增函数，∴g(x)>g(ln2a)＝0，∴f(x2)>f(2ln2a−x2)成立，∴f(x1+1)(x2+1)<1成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出f′(x)＝e x−2a，通过当a≤0时，当a>0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．(Ⅱ)f(x)有两个零点x1，x2，必须有a>0且最小值f(ln2a)<0，推出a>1，通过x的2取值，判断函数值，列出关系式，要证：(x1+1)(x2+1)<1，即证：x1+x2<2ln2a，转化证明f(x2)>f(2ln2a−x2)，构造函数g(x)＝e x−e21n2a−x−4ax−4a ln2a(x>ln2a)，利用函数的导数结合函数的单调性，转化求解证明即可．【解答】（1）f′(x)＝e x−2a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；当a>0时，x>ln(2a)，f′(x)>0，f(x)在(ln(2a)，+∞)上单调递增；x<ln(2a)，f′(x)<0，f(x)在（−∞, ln(2a)）上单调递减．综上可知，当a≤0时，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(ln(2a)，+∞)上单调递增，在（−∞, ln(2a)）上单调递减．（2）由(Ⅰ)知，f(x)有两个零点x1，x2，必须有a>0且最小值f(ln2a)＝e ln2a−2a ln2a−2a＝−2a ln2a<0，∴ln2a>0，∴a>1，2又∵当x→+∞时，f(x)→+∞；当x→−∞时，f(x)→+∞，∴a>1，f(x)有两个零点x1，x2，不妨设x1<x2，∴x1<ln2a<x2，2此时f(x1)=e x1−2ax1−2a=0，f(x2)=e x2−2ax2−2a=0，即e x1=2a(x1+1)，e x2=2a(x2+1)，∴e x1+x2=(x1+1)(x2+1)，4a2<1，要证：(x1+1)(x2+1)<1，即证：e x1+x24a2即证：e x1+x2<4a2，即证：x1+x2<2ln2a，即证：x1<2ln2a−x2，又x1<ln2a<x2，∴x1<2ln2a−x2<ln2a，即证：f(x1)>f(2ln2a−x2)，即证：f(x2)>f(2ln2a−x2)，令g(x)＝(e x−2ax−2a)−[e21n2a−x−2a(2ln2a−x)−2a]＝e x−e21n2a−x−4ax−4a ln2a(x>ln2a)，g′(x)=e x+e21n2a−x−4a=e x+4a2−4a≥2√4a2−4a=0，e x当仅当x＝ln2a取“＝”，∴g(x)在(ln2a, +∞)上为增函数，∴g(x)>g(ln2a)＝0，∴f(x2)>f(2ln2a−x2)成立，∴f(x1+1)(x2+1)<1成立．。
《精编》安徽省寿县一中高三数学第二次月考试题 理 新人教A版.doc
安徽寿县一中年高三第二次月考试卷数学试题〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.总分值150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第一卷 选择题〔共50分〕一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分.每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 请把答案填在答题卡的相应位置.1.集合222{|log (2)},{|9}A x y x x B y y x ==-++==-，那么A B ⋂=〔 〕 A.(1,2)- B.(1,3]- C.[0,2) D.[3,3]- 2.假设0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，那么 〔 〕 A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >>3．ABC ∆和点O 满足0OA OB OC ++=，假设存在实数λ使得AB AC AO λ+=成立，那么λ=〔 〕A.2B.3C.4D.54.如图，在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点EF DE ⊥,且2BC =，那么DE = 〔 〕225105.在等比数列{}n a 中，首项11a =，公比为q ，假设1239964a a a a ⋅⋅=，那么25898a a a a ⋅⋅=〔 〕A.2B.4C.8D.166.如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02A ωϕπ>><< 的局部图像，那么()6f π=〔 〕A.3-31- D.17.将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为a 和b ，那么函数22()2y x a b x =-++在[4,6]上不是单调函数的概率〔 〕 A.14 B.16 C.19 D.5368.函数2()() 1 (0)f x ax b c x a =+++≠是偶函数，其定义域为[,]a c b -， 那么点(,)a b 的轨迹是 〔 〕A.线段B.直线C.点D.直线的一局部 9.按如以以下图的程序框图运行后，输出的结果是29-， 那么判断框中的整数k 的值是〔 〕A.4B.5C.6D.710.设函数()sin cos f x a x b x =-的图像的一条对称轴方程为4x π=，那么直线0ax by c -+=的倾斜角为〔 〕A.4πB.3πC.23πD.34π 第二卷〔非选择题，共100分〕二、填空题:本大题共5小题，每题5分，共25分. 请把答案填在答题卡的相应位置11.函数22()1x f x x =+,那么1111()()()()(1)(2)(3)(4)(5)5432f f f f f f f f f ++++++++=_________。
安徽省高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．已知数列满足，，则（ ） {}n a 113a =()1211n na n a ++=-∈+N 2022a =A ．2 B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，， 113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解． n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，， 1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ） {}n a n 12n n S a b -=⋅+abA ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出. 1a a b =+2a a =32a a =2ab=-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a故，解得：. ()22a a a b =+2ab=-故选：A4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即， 1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即， 3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦， 2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故， 22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以. 2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610L 14916L 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为， 1145+=14712++=故第四个五边形数为. 1471022+++=故选：D. 6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得， ()()()()22221sin 1sin 11x x x xf x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x ++-'-=+即，()()f x f x ''=-则 ()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围 【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x'=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+解，∵x >0，∴，∴．2211111112222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为 ()f x ()f b ()f x ()f aC ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答. ()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，， ()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增， ()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c 因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．a cb >>a bc >>b c a >>b a c >>【答案】A 【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增， ()0g x ¢>()()f xg x x=()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()5ln f x x a x x=--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数， ()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立， ()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x≤+又 5x x +≥=x =所以， a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y ，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ） ()21cos sin 4f x x x x x =-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间． 1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵， ()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为． 81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{n a 11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2n a 2022a =【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，， 11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列 232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，， 34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数 202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+---20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++-321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=- 20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________. 143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值 q 143a a a +【详解】设四个数为，，，， 1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则. 214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______． 【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即， 12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x =-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立， 12x x <()F x ()0F x '≥因为， ()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x-++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立， ()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x+≤+又，所以，即， 12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且． {}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式； {}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和． {}n b n n a b n ={}n b n T 【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2) 1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案； ()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得， 11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②， 2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴， 13n n a a -=13nn a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列， {}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴， 13n n a -=13n n n n nb a -==∴，， 01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n nT --=+++++ ∴， 01231112111113113333333313nn n n nn n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴． 13313932122323443nn n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且. {}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和. 1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}nb n n T【答案】(1)42n a n =-(2) 21n n T n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为， {}n a d 由题意得： 2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得： 211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：， 124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+-(84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-， 1111(22121n b n n ∴=--+ 1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ . 11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析 11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得： 2n nS n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：， ()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：， ()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：， ()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：； n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；； 111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确； 1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即； ()*1,n k k k N =≥∈21k k S k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k k k S k k ++=+∴， 12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立. N*n ∈21k k S k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，． ()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x(2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为 5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x <<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围. 32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：， ()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：． 32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得： ()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值， 2x =-()h x 443k -当时，有极小值， 2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以 44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩． 204433k ∴-<<故实数的取值范围是 k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数． 21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围． 0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，． (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出. 22sin 2cos x x x a x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增， (,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x 在，，，上，，单调递减， (2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，． ()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得， 0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以， 22sin 2cos x x x a x +=-令，，， 22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π 222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=- 322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即， [2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增， ()g x [2π]π又，， 24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则， ()f x [,]2ππ242a ππ-……故的取值范围，．a (022π。
2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）A. B. C. D.2. 已知集合， ，则的真子集个数为（ ）A.B.C.D.3. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为( )A.B.C.y =f (x)(x)f ′f (x)(2)<(3)<f (3)−f (2)<0f ′f ′(3)<(2)<f (3)−f (2)<0f ′f ′f(3)−f(2)<(3)<(2)<0f ′f ′(2)<f (3)−f (2)<(3)<0f ′f ′A ={x|−2≤x <2}B ={x ∈N|+2x −8≤0}x 2A ∩B 3478X P(x =i)=a(，i =1,2,312)i a 8778121D.4. 某同学从书店本不同的数学复习书和本不同的物理复习书中各选本，则不同的选法共有（ ）A.种B.种C.种D.种5. 已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则A.无最值B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为6. 的展开式中，项的系数为，则实数的值为( )A.B.C.D.7. 已知函数，若，且，则的最大值为( )A.B.C.D.8. 等比数列中，，，函数，则 2133418164127f(x)=3ln x −k +6x x 2f(x)>0(m,n)(m,n)()k k 12+3ln 24k 12+3ln 24k 6+ln 33(1−ax)(1+x)6x 3−10a 232−2−23f (x)=x +1(x >−1)，g(x)=2ln x s <t f (s)=g(t)s −t ln 2−12ln 2−32ln 2−2–√−1{}a n =2a 1=4a 8f(x)=x(x −)(x −)⋯a 1a 2(x −)a 8(0)=f ′()6C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则( )A.甲乙丙三人选择课程方案有种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为D.设三名同学选择课程“礼”的人数为，则10. 有台车床加工同一型号的零件．第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )A.任取一个零件是第台生产出来的次品概率为B.任取一个零件是次品的概率为C.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为11. 已知，则正确的有 A.所有系数和为： B.常数项为：C.D.12. 设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有( )A.212215120592536ξEξ=12316%235%12325%30%45%10.060.0525227327(1+x)=+(x −1)++⋯+(1−2x)6a 0a 1a 2(x −1)2a 7(x −1)7()372=380a 3=350a 3f (x)=−8+6x e 2x e x y =f (x)P (,f ())x 0x 0P x 0−ln 2ln 2D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 将摆放在编号为，，，，五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为________．（用数字作答）14. 的展开式中，含项的系数为________.15. 已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________．16. 若函数恰有个零点，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 张卡片的正、反面分别写有与，与，与，与，将其中张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？18. 已知 . 求的值；求的值；求的值． 19. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人（其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生）．（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差．ln 5123455(−2+y x 3x 2)6x 9y 2ξη=−2ξ+3E (η)=ξ−101P 141214f (x)={−3x +1−a,x >0,x 3+3−a,x ≤0x 3x 23f (a)4012345673f (x)=(1−x)2020=+x ++⋯+a 0a 1a 2x 2a 2020x 2020(1)+++⋯+a 1a 2a 3a 2020(2)+2+3+⋯+2020a 1a 2a 3a 2020(3)+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020A 1002482683X A 20Y f (x)=ax −(a ∈R)x20. 已知函数.讨论函数的单调性；当时，证明：.21. 某单位有个人，其中型血有人，型血有人，型血有人，型血有人．现从中选出人，问：在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是多少？ 22.已知函数.若，求实数取值的集合；证明：.f (x)=ax −(a ∈R)e x (1)f (x)(2)−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 218O 9A 3B 4AB 22A O f(x)=ln x +a (−1),a ∈R 1x(1)f(x)≥0a (2)+≥2−ln x +(e −2)x e x 1x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】导数的几何意义【解析】根据题意，为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得与 的几何意义，又由 ，为直线的斜率，结合图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，设为函数上的点，则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，，为直线的斜率，结合图象分析可得；故选．2.【答案】A【考点】交集及其运算M(2,f(2)),N(3,f(3))(3)f ′(2)f ′f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2MN M(2,f(2)),N(3,f(3))(2)f ′f(x)x =2(3)f ′f(x)x =3f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2MN (2)＜f(3)−f(2)＜(3)＜0f ′f ′D子集与真子集的个数问题【解析】由题意得，，∴，∴的真子集个数为，故选．【解答】解：由题意得，，∴，∴的真子集个数为.故选．3.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据乘法原理得不同选法共有种．故选．B ={x ∈N|(x −2)(x +4)]=0}{0,1,2}A ∩B ={0,1}A ∩B −1=322A B ={x ∈N|(x −2)(x +4)≤0}={0,1,2}A ∩B ={0,1}A ∩B −1=322A ++=1a 2a 4a 8a =178a =87A 3×4=12C5.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：由 ，得设 ,易知在上单调递增，在 上单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与为图象如图所示．依题意得，则即解得： ,故的最小值为 .故选.6.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】f(x)=3ln x −k +6x >0x 2>kx −6.3ln x xg(x)=,h(x)=kx −63ln x x g(x)(0,e)(e,+∞)h(x)=kx −6(0,−6)g(x)h(x)0<m <1{g(2)>h(2)，g(3)≤h(3)，{>2k −6,3ln 22ln 3≤3k −6,≤k <6+ln 3312+3ln 24k 6+ln 33D (1+x)632利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，分别令，，求出展开式含，，的项，利用多项式乘法求出的展开式中项的系数，列出方程求出．【解答】解：∵展开式的通项为,令得展开式含项的系数为，令得展开式含项的系数为，所以的展开式中项的系数为，解得.故选.7.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】令 ，，表示，构造函数 ，利用导数求函数的最值即可.【解答】解：令， ，则，所以，，则.令 ，则.令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故在时取得极大值即最大值，所以.故选.8.【答案】C【考点】(1+x)6x =321x 3x 2x (1−ax (1+x )2)6x 3a (1+x)6=T r+1C r 6x r r =3x 3=20C 36r =2x 2=15C 26(1−ax)(1+x)6x 320−15a =−10a =2B f (s)=g(t)=m m >0s =m −1,t =e m 2h(m)=m −1−,m >0e m 2f (s)=g(t)=m m >0s +1=2ln t =m s =m −1t =e m 2s −t =m −1−e m 2h(m)=m −1−,m>0e m 2(m)=1−h ′12e m 2(m)=0h ′m =2ln 2m ∈(0，2ln 2)(m)>0h ′h(m)(0，2ln 2)m ∈(2ln 2，+∞)h ′(m)<0h(m)(2ln 2，+∞)h(m)m =2ln 2h(m =h(2ln 2)=2ln 2−1−=2ln 2−3)max e ln 2B等比数列的性质导数的运算【解析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等比数列的基本性质(为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键．【解答】解：考虑到求导中，含有项均取，得．故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用排列、组合及简单计数问题古典概型及其概率计算公式【解析】选项考查了排列组合的内容；选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；选项利用条件概率的公式代入求解；选项利用二项分布的公式求解．【解答】解：甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有(种)，故错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故正确；已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以在甲不选择课程“御”的条件下，{\{a_{n}}}{an}{= = \, \{a_{n}}}(0)f ′x 0(0)=⋯=(=f ′a 1a 2a 3a 8a 1a 8)4212C A B C D =21663A ==A 356312021659B 56=5363125216125乙丙也不选择“御”的概率为，故正确；设三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，故正确．故选．10.【答案】B,C【考点】条件概率与独立事件【解析】直接利用相互独立事件的概率，逐个判断即可.【解答】解：根据题意，假设台车床生产的零件总数为，则第台车床的零件数为，第台车床的零件数为，第台车床的零件数为，，第台加工的次品率为%，则第台车床生产的次品数为，则任取一个零件是第台生产出来的次品概率， 故错误；，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为×%，则一共有次品，则任取一个零件是次品的概率为，故正确；，任取个零件，如果是第台生产出来的次品，其概率，而任取一个零件是次品的概率为，则如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，故正确；，任取个零件，如果是第台生产出来的次品，其概率，而任取一个零件是次品的概率为，则如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，故错误．故选．11.【答案】A,B,C【考点】=125216562536C ξξξ∼B (3,)16Eξ=3×=1612D BCD 3100a 125a 230a 345a A 161 1.5a 1P ==0.0151.5a100aA B 1 1.5a 230a ×5%=1.5a 345a 5=2.25a 5.25a 0.0525B C 12==0.015P 1 1.5a100a0.05252P ==0.0150.052527C D 13==0.0225P 2 2.25a100a0.05253P ==0.02250.052537D BC二项式系数的性质【解析】【解答】解：当时，所有系数和为：，故选项正确；当时，常数项为：，故选项正确；∵，∴，故选项正确，选项错误.故选.12.【答案】B,C,D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴切线方程为.，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令除切点外，，，所以在必存在另一个点使得，所以不符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则，.x =2(1+2)(1−2×2=)637A x =1(1+1)(1−2=2)6B (1+x)(1−2x =[(x −1)+2]⋅[2(x −1)+1)6]6=×+2×=380a 3C 2622C 3623C D ABC f (x)=−8+6x e 2x e x (x)=2−8+6f ′e 2x e x y =(2−8+6)(x −)+−8+6e 2x 0e x 0x 0e 2x 0e x 0x 0A A (−ln 2,−−6ln 2)154y =x −ln 2−5272154g(x)=f(x)−y g(0)=1−8+ln 2+72154=ln 2−<072134g(1)=−8e +6−+ln 2+>0e 25272154(0,1)f(x)=y A B B (ln 2,6ln 2−12)y =−2x +8ln 2−12g(x)=f(x)−y (x)=g ′2−8+8e 2x e x g(x =4)′′e x (−2)e x (ln 2)=0′(x)≥0′又因为，所以恒成立，所以单调递增，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则.又因为，所以，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令，则，.又，所以在小于，在大于，所以，只有一个交点，所以符合题意.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】恰有一件商品的位置不变,从件不同商品中选件,有种方法,剩余件不同商品不在原位置,共有种方法,共有种方法.【解答】解：恰有一件商品的位置不变，从件不同商品中选件，有种方法，恰有一件商品的位置不变的摆放方法数有.故答案为：.14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】(ln 2)=0g ′(x)≥0g ′g(x)B C C (ln 4,6ln 4−16)y =6x −16g(x)=f(x)−y (x)=g ′2(−4)e x e x g(ln 4)=0g(x)≥g(ln 4)=0C D D (ln 5,6ln 5−15)y =16x −15−10ln 5g(x)=f(x)−y (x)=2−8−10g ′e 2x e x (x)=4(−2)g ′′e x e x (ln 5)=0g ′(x)g ′(−∞,ln 5)0(ln 5,+∞)0g(x)≥g(ln 5)=0D BCD 4551=5C 15495×9=4551=5C 15[3+2(1+2)]=45C 1545−480此题暂无解析【解答】解：依题意，所求系数为．故答案为：．15.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】提示先求 ，再利用 ，求【解答】解：因为，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】利用函数的导数判断的单调性，求出极值，以及时的函数值，根据零点个数判断在各单调区间端点的函数值的符号，列出不等式解出的范围．【解答】解：函数则时，，在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值： ；时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，时，函数取得极大值：，时， .∵有三个不同的零点，可能是时有一个零点，时有两个零点或者时有两个零点，时有一个零点，⋅⋅=−15×4×8=−480C 26C 14(−2)3−4803E (ξ)E (η)=−2E (ξ)+3E (η).E (ξ)=−1×+140×+1×=01214E (η)=−2E (ξ)+3=33(−1,0)∪[1,4)y =f(x)x =0y =f(x)a f(x)={−3x +1−a,x >0,x 3+3−a,x ≤0,x 3x 2x >0(x)=3−3f ′x 2(0,1)(1,+∞)x =1−a −1x =0−3x +1−a =1−a x 3x <0(x)=3+6x f ′x 2(−∞,−2)(−2,0)x =−24−a x =0f(0)=−a f(x)x ≤0x >0x ≤0x >0 −a ≤0,∴ 或 解得或．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：分三个步骤：第一步：百位可放个数；第二步：十位可放个数；第三步：个位可放个数．根据分步计数原理，可以组成（个）数．【考点】分步乘法计数原理【解析】首先要明确题目求可组成不同的三位数的个数，故可以考虑分三步骤，先取百位数，再取十位数，再取个位数，且百位数不能为．求出每步的种数，相乘即可得到答案．【解答】解：分三个步骤：第一步：百位可放个数；第二步：十位可放个数；第三步：个位可放个数．根据分步计数原理，可以组成（个）数．18.【答案】解：，，所以. ，所以 .因为，所以.因为 −a >0,1−a >0,−1−a <0 −a ≤0,4−a >0,1−a ≤0,−1<a <01≤a <4(−1,0)∪[1,4)8−1=7647×6×4=16808−1=7647×6×4=168(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!⋅k!(2020−k)!(2021−k +k +1)，所以原式，，所以的值为.【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】【解答】解：，，所以.，所以 .因为，所以.因为，所以原式=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 202010101011(1)f (0)=1=a 0f (1)=0=+++⋯+a 0a 1a 2a 2020+++⋯+=f (1)−f (0)=−1a 1a 2a 3a 2020(2)(x)=−2020f ′(1−x)2019=+2x +3+⋯+2020a 1a 2a 3x 2a 2020x 2019+2+3+⋯+2020=(1)=0a 1a 2a 3a 2020f ′(3)=(0≤k ≤2020)a k C k 2020(−1)k+++⋯+1a 11a 21a 31a 2020=−+−+⋯+1C 120201C 220201C 320201C 20202020=1C k 2020k!(2020−k)!2020!=⋅20212022k!(2020−k)!(2021−k +k +1)2021!=⋅20212022(2021−k)!k!+[2021−(k +1)]!(k +1)!2021!=[−+]202120221C k 20211C k+12021=[−(+)+(+)202120221C 120211C 220211C 220211C 32021−(+)+...+(+)]1C 320211C 420211C 202020211C 20212021[−]，，所以的值为. 19.【答案】设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则所求的概率为：…所以＝＝＝，…所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是． …依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：，，，…其中：＝＝＝＝；＝＝＝＝；＝＝＝＝，…所以男生人数的分布列为：…由已知可得：则：＝＝＝，＝＝＝，所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.=[−]202120221C 202120211C 12021=10101011+++⋯+1a 11a 21a 31a 202010101011A B P(B |A)P(B |A)X 012P(X 0)P(X 1)P(X 2)X X 018P Y ∼B(20,0.08)E(Y )np 20×0.08 4.6D(Y )np(1−p)20×8.08×0.92 1.472Y 2.6 1.472【答案】解：函数的定义域为，．①当时，，此时函数单调递减，减区间为，没有增区间；②当时，令，有，可得函数的增区间为，减区间为．证明：不等式可化为，①当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，令（），有，由可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得当时，，又由，故有，由上可知当时，不等式成立；②当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，又由，故有，由上可知当时，不等式成立，由①②可知，当时，不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为，．①当时，，此时函数单调递减，减区间为，没有增区间；②当时，令，有，可得函数的增区间为，减区间为．证明：不等式可化为，①当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，令（），有，由可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得当时，，又由，故有，由上可知当时，不等式成立；②当时，由，得，若证，只需证，不等式可化为，(1)f (x)(0,+∞)(x)=a −f ′e x a ≤0(x)<0f ′f (x)(−∞,+∞)a >0(x)>0f ′x <ln a f (x)(−∞,ln a)(ln a,+∞)(2)f (x)≤+1x 2ax ≤++1e x x 2x ≥0−2≤a ≤e +2−2x ≤ax ≤(e +2)x ax ≤++1e x x 2(e +2)x ≤++1e x x 2−ex +(x −1≥0e x )2g(x)=−ex e x x ≥0(x)=−e g ′e x (x)>0g ′x >1g(x)(1,+∞)(−∞,1)g(x)≥g(1)=0x ≥0−ex ≥0e x ≥0(x −1)2−ex +≥0e x (x −1)2x ≥0f (x)≤+1x 2x <0−2≤a <e +2(e +2)x ≤ax ≤−2x −2x ≤++1e x x 2++2x +1≥0e x x 2+(x +1≥0e x )2≥0(x +1)2+≥0e x (x +1)2x <0f (x)≤+1x 2−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 2(1)f (x)(0,+∞)(x)=a −f ′e x a ≤0(x)<0f ′f (x)(−∞,+∞)a >0(x)>0f ′x <ln a f (x)(−∞,ln a)(ln a,+∞)(2)f (x)≤+1x 2ax ≤++1e x x 2x ≥0−2≤a ≤e +2−2x ≤ax ≤(e +2)x ax ≤++1e x x 2(e +2)x ≤++1e x x 2−ex +(x −1≥0e x )2g(x)=−ex e x x ≥0(x)=−e g ′e x (x)>0g ′x >1g(x)(1,+∞)(−∞,1)g(x)≥g(1)=0x ≥0−ex ≥0e x ≥0(x −1)2−ex +≥0e x (x −1)2x ≥0f (x)≤+1x 2x <0−2≤a <e +2(e +2)x ≤ax ≤−2x −2x ≤++1e x x 2++2x +1≥0e x x 2+(x +1≥0e x )2≥02+≥0x 2又由，故有，由上可知当时，不等式成立，由①②可知，当时，不等式成立．21.【答案】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，所以，，所以，故在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是．【考点】条件概率与独立事件【解析】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，则，分别求出和即可【解答】记第一个人为型血为事件，第二人为型血为事件，所以，，所以，故在第一人是型血的条件下，第二人是型血的概率是．22.【答案】解：由已知，有.当时，，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.所以在上有最小值≥0(x +1)2+≥0e x (x +1)2x <0f (x)≤+1x 2−2≤a ≤e +2f (x)≤+1x 2A A O B P(AB)=⋅C 13C 19A 218P(A)=⋅C 13C 117A 218P(B |A)==P(AB)P(A)917A O 917A A OB P(B |A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)A A O B P(AB)=⋅C 13C 19A 218P(A)=⋅C 13C 117A 218P(B |A)==P(AB)P(A)917A O 917(1)(x)=−=f ′1x a x 2x −a x2a ≤0f ()=−ln 2+a <012f(x)≥0a >0x ∈(0,a)(x)<0f ′f(x)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f(x)f(x)(0,+∞)(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a1.由题意，所以.令，所以.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以在上有最大值.所以.所以.所以，所以，综上，当时，实数取值的集合为.证明：由知，当时，，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令，则.由，得.当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，所以，使得.当时，单调递增；当时，单调递减；f(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a1af(x)≥0ln a +1−a ≥0g(x)=ln x −x +1(x)=−1=g ′1x 1−x xx ∈(0,1)(x)>0g ′g(x)x ∈(1,+∞)(x)<0,g(x)g ′g(x)(0,+∞)g(1)=0g(x)=ln x −x +1≤0ln a −a +1≤0ln a −a +1=0a =1f(x)≥0a {1}(2)(1)a =1f(x)≥0ln x ≥1−1xx ∈(0,+∞)+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1xx 2x >0−−(e −2)x −1≥0e x x 2h(x)=−−(e −2)x −1(x ≥0)e x x 2(x)=−2x −(e −2)h ′e x u(x)=−2x −(e −2)e x (x)=−2u ′e x (x)=0u ′x =ln 2x ∈[0,ln 2)(x)<0,u(x)u ′x ∈[ln 2,+∞)(x)>0,u(x)u ′(x)h ′(0,ln 2)([ln 2,+∞)(0)=1−(e −2)=3−e >0,(ln 2)<(1)=0h ′h ′h ′∃∈(0,ln 2)x 0()=0h ′x 0x ∈(0,)x 0(x)>0,h(x)h ′x ∈(,1)x 0(x)<0,h(x)h ′x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′当时，单调递增.又，所以对恒成立，即.综上所述，成立.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知，有.当时，，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.所以在上有最小值.由题意，所以.令，所以.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以在上有最大值.所以.所以.所以，x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′h(0)=1−1=0,h(1)=e −1−(e −2)−1=0∀x >0,h(x)≥0−−(e −2)x −1≥0e x x 2+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2(1)(x)=−=f ′1x a x 2x −a x 2a ≤0f ()=−ln 2+a <012f(x)≥0a >0x ∈(0,a)(x)<0f ′f(x)x ∈(a,+∞)(x)>0f ′f(x)f(x)(0,+∞)f(a)=ln a +a (−1)=ln a +1−a 1af(x)≥0ln a +1−a ≥0g(x)=ln x −x +1(x)=−1=g ′1x 1−x x x ∈(0,1)(x)>0g ′g(x)x ∈(1,+∞)(x)<0,g(x)g ′g(x)(0,+∞)g(1)=0g(x)=ln x −x +1≤0ln a −a +1≤0ln a −a +1=0所以，综上，当时，实数取值的集合为.证明：由知，当时，，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令，则.由，得.当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，所以，使得.当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以对恒成立，即.综上所述，成立.a =1f(x)≥0a {1}(2)(1)a =1f(x)≥0ln x ≥1−1xx ∈(0,+∞)+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2x >0−−(e −2)x −1≥0e x x 2h(x)=−−(e −2)x −1(x ≥0)e x x 2(x)=−2x −(e −2)h ′e x u(x)=−2x −(e −2)e x (x)=−2u ′e x (x)=0u ′x =ln 2x ∈[0,ln 2)(x)<0,u(x)u ′x ∈[ln 2,+∞)(x)>0,u(x)u ′(x)h ′(0,ln 2)([ln 2,+∞)(0)=1−(e −2)=3−e >0,(ln 2)<(1)=0h ′h ′h ′∃∈(0,ln 2)x 0()=0h ′x 0x ∈(0,)x 0(x)>0,h(x)h ′x ∈(,1)x 0(x)<0,h(x)h ′x ∈(1,+∞)(x)>0,h(x)h ′h(0)=1−1=0,h(1)=e −1−(e −2)−1=0∀x >0,h(x)≥0−−(e −2)x −1≥0e x x 2+≥2−ln x ++(e −2)x e x 1x x 2。
高二数学下学期模块考试期中试题理新人教A版
高二模块考试（三） 数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3、第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
4、保持卡面清洁，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数21i i--（i 为虚数单位）等于 A ．2－2i B ．i C ．2＋i D ．12. 1xy x =-的导数为 A ．21(1)x -- B ．21(1)x - C ．221(1)x x --- D ．221(1)x x -- 3. 复数32ii -+的实部为A ．iB ．i -C ．1D ．1-4.设复数113z i =-，232z i =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限5. 在空间直角坐标系中，若向量13(2,1,3)(1,1,1)(1,)22a b c =-=-=--，，，，则它们之间的关系是A ．a b ⊥且a c ⊥B ．a b ⊥且//a cC ．//a b 且a c ⊥D ．//a b 且//a c6. 若()y f x =的图象如图所示，定义0()(),[0,1],xF x f t dt x =∈⎰则下列对()F x 的性质描述正确的有①()[0,1]F x 是上的增函数， ②12()(1)2F F =，③()[0,1]F x 是上的减函数， ④122()()33F F >A ．②B ．①②C ．①②④D ．①④7. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为A ．1010B ．1030C ．1060D ．10103 8．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3,a <-或6a >D ．1,a <-或2a > 9．若(12)1ai i bi +=-，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．52 B ．5 C ．12i + D ．5410．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是A.0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<- B.0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< C.0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D.0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<11. 在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为A ．131(,,)243 B ．133(,,)224 C ．448(,,)333 D ．447(,,)33312．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若0.30.33(3),(13)(13),a f b og f og ππ==3311(1)(1)99c og f og =，则,,a b c 的大小关系是A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)xOy1二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设函数2()6,()0f x x x f x x =-=则在处的切线斜率为14．记复数122ω=-+，则2ωω+等于 15．已知四面体四个顶点分别为(2,3,1)A 、(4,1,2)B -、(6,3,7)C 和(5,4,8)D --，则顶点D 到平面ABC 的距离为16．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。
2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 函数在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.2. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.3. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为( )A.B.C.D. f(x)=+x x 3x =14x −y +2=04x −y −2=04x +y +2=04x +y −2=0A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅X P(x =i)=a(，i =1,2,312)i a 877812134. 新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有，，，，，六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）A.种B.种C.种D.种5. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么的图象可能是A. B. C.D.6. 被除所得的余数为，则( )A.B.A B C D E F A D E 20567240f(x)f'(x)f(x)()220219t (t ∈,1≤t ≤10)N ∗t =45C.D.7. 已知函数，点集构成正方形区域，实数 A.B.C.D.8. 等比数列中，，，函数，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字，，，，，．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，．假定每次闯关互不影响，则（ ）A.直接挑战第关并过关的概率为B.连续挑战前两关并过关的概率为C.若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则D.若直接挑战第关，则过关的概率是10. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）67f (x)=(a >0)a ln x e 2x {(s,f(t))|s ∈[2,],t ∈[2,]}e 2e 2a =()−2e 2e −2−2e 2e2−4e 2ln 2−4e 22−4e 22e −ln 2e 2{}a n =2a 1=4a 8f(x)=x(x −)(x −)⋯a 1a 2(x −)a 8(0)=f ′()26292122151234564n n n +n 2n n n =1,2,3,427125243A =15B =5P (A|B)=1134351296523433,,A 1A 2A 3B (B)=2A.B.C.事件与事件相互独立D.、、两两互斥11. 已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法正确的有A.，B.C.D.是，，，…，是最大值12. 设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 将摆放在编号为，，，，五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为________．（用数字作答）14. 若，则________；________. 15. 已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________．P (B)=25P (B|)=A 1511B A 1A 1A 2A 3=+x ++…+(1+x +)x 2n T 0n T 1n T 2n x 2T 2n n x 2n n ∈N ∗T i n (1+x +)x 2n x i i =0,1,2,...,2n ( )=T i 7T 14−i 7i =0,1,2,...,14+=T 27T 37T 38=2∑i=114T i 7∑i=063iT 77T 07T 17T 27T 147f (x)=−8+6x e 2x e x y =f (x)P (,f ())x 0x 0P x 0ln 4ln 2−ln 2ln 5123455=+x +⋯+(x ∈R)(1−2x)2017a 0a 1a 2017x 2017=a 0++⋯+=a 122a 223a 201722018ξη=−2ξ+3E (η)=ξ−101P 141214(x)+x (x)=116. 定义在的函数满足，，则的零点是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知，均是由数字，，，，，，组成的三位数，且满足，求实数对()表示平面上不同点的个数．18. 若，且．求实数的值；求的值． 19. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现，双方参加比赛，方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．（1）当＝时，求方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若方在每一场获胜的概率为，设比赛场数为．ⅰ试求的分布列及数学期望；（用，表示）ⅱ求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议． 20. 已知函数和函数.求函数的单调区间；若不等式对于任意的恒成立，求实数的最大值．21. 证明：若＝，则事件与是独立的．22. 已知函数.讨论函数的单调性；若在上恒成立，求的最小正整数值．注：.(0,+∞)f (x)f (x)+x (x)=f ′1xf (1)=1f (x)m n 1234567m +n =636m,n (2x −a =+x ++⋯+)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7=−560a 4a +++⋯+a 1a 22a 322a 726A B A p(0<p <1)p A B q ξ()ξE(ξ)p q ()E(ξ)f (x)=xlnx +a g(x)=lnx −ax (1)h (x)=g(x)+x 2(2)f (x)+g(x)>0x >1a P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯A B f (x)=a +ax −6ln x (a ∈R)x 2(1)f (x)(2)f (x)>0(0,+∞)a ln ≈0.40432参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵∴∴容易求出切线的斜率为当时，利用点斜式，求出切线方程为故选．2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】Af(x)x =1f(x)=+xx 3f'(x)=3+1x 24x =1f(x)=24x −y −2=0B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：，，.故选.4.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，将除外的个班级安排在后面的个位置即可，由此分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，②在个空位中选出个，安排班、班，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，班必须排在第一位，剩下个班级安排在后面的个位置即可，分步进行分析：①将，，三个班级全排列，排好后有个空位，有种排法，②在个空位中选出个，安排班，班，有种排法，则有种不同的方案.故选．5.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象【解析】++=1a 2a 4a 8a =178a =87A A 552B C F 442D E A 552B C F 4=6A 3342D E =12A 246×12=72C此题暂无解析【解答】解：由导函数图象可知，在，上单调递减，在上单调递增，故选．6.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】，利用二项展开式的通项进行求解即可.【解答】解：，∵能被整除，除以的余数为，∴被除所得的余数为，∴.故选.7.【答案】A【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】利用导数研究函数的单调性以及函数最值，利用构成区域为正方形建立方程求解得到答案.【解答】解：由题意得.f(x)(−∞，−2)(−1，+∞)(−2，−1)B =4×=4×2202123×673(9−1)673=4×=4×2202123×673(9−1)673=4(−++⋯+−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 673673=4(−++⋯−)+4(−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 67267391C 6736734(−++⋯−)C 06739673C 16739672C 26739671C 6726739194(−)=4(673×9−1)=24224C 67267391C 673673952202195t =5B (x)=a f ′e 21−ln x x 2(x)=0f ′令函数可得.因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减.，，，所以值域为.因为构成正方形区域，所以，所以.故选8.【答案】C【考点】等比数列的性质导数的运算【解析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握等比数列的基本性质(为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键．【解答】解：考虑到求导中，含有项均取，得．故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】古典概型及其概率计算公式相互独立事件的概率乘法公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析(x)=0f ′x =e a >0f(x)[2，e][e ，]e 2f(e)=ae f()=2a e 2f(2)=ln 2>f()ae 22e 2[2a,ae]ae −2a =−2e 2a =−2e 2e −2A.{\{a_{n}}}{an}{= = \, \{a_{n}}}(0)f ′x 0(0)=⋯=(=f ′a 1a 2a 3a 8a 1a 8)4212C【解答】解：对于项， ，所以两次点数之和应大于，即直接挑战第关并过关的概率为，故正确；对于项， ，所以挑战第一关通过的概率，则连续挑战前两关并过关的概率为，故错误；对于项，由题意可知，抛掷次的基本事件有，抛掷次至少出现一个点的共有种，故，而事件包括：含，，的种，含的有种，共种，故，所以，故正确；对于项，当时， ，基本事件有个，而“次点数之和大于”包含以下种情况：含，，，的有种，含，，，的有种，含的有种，含的有种，含，，，的有种，含，，，的有种，含的有种，所以，故正确．故选．10.【答案】B,D【考点】条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，，，是两两互斥的事件，，，，，，，而A +2=62262=P 11+2+3+4+5+66×6==2136712A B +1=321=P 212P ==×=P 1P 212712724B C 3=2166335−=216−125=916353P (B)=91216AB 55514,5,667P (AB)=7216P (A|B)==×=P (AB)P (B)721621691113C D n =4+n =+4=202n 24644203555564556666,6,6,614,6,6,64566644566123,6,6,64==P 4356×6×6×6351296D ACD A 1A 2A 3P()==A 151012P()==A 221015P()=A 3310P(B |)==A 1×1251112511P(B |)=A 2411P(B |)=A 3411P(B)=P(B)+P(B)+P(B)A 1A 2A 3=P()P(B |)+A 1A 1P()P(B |)+P()P(B |)A 2A 2A 3A 3×+×+×151434，则.由此知不正确，正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】.【解答】解：.令得：；令得：，故.又，所以正确；，，，故，所以错误；，，，，，显然，且是最大值.故选．12.【答案】A,B,D【考点】=×+×+×1251115411310411=922P()P(B)=×=A 112922944≠P(B)A 1AC BD BD (1+x +=+x ++⋯+x 2)7T 07T 17T 27x 2T147x 14x =0=1T 07x =1+++⋯+=T 07T 17T 27T 14737=−1∑i=114Ti 7372=2⋅=−1∑i=063i 1−371−337C =+=28==+T27C 17C 27T 127C 67C 57=+=77T 37C 37C 17C 16==+T 117C 47C 57C 12=+=112T 38C 38C 18C 17+≠T 27T 37T 38B ===1T07T 147C 77=++T 47C 27C 17C 26C 47==++T 107C 57C 47C 23C 37=++T57C 57C 27C15C17C36==++T 97C 47C 13C 37C 34C27=+++T 67C 67C47C 13C 27C 25C 37==+++T 87C 67C 47C 23C 27C 35C47=+++T 77C 77C 37C 14C 27C 35C 17C 56=T i 7T14−i 7T 77ACD利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴切线方程为.，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则.又因为，所以，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为，令，则，.又因为，所以恒成立，所以单调递增，只有一个交点，所以符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令除切点外，，，所以在必存在另一个点使得，所以不符合题意；，倘若符合题意，则切点为，切线方程为.令，则，.又，所以在小于，在大于，所以，只有一个交点，所以符合题意.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.f (x)=−8+6x e 2x e x (x)=2−8+6f ′e 2x e x y =(2−8+6)(x −)+−8+6e 2x 0e x 0x 0e 2x 0e x 0x 0A A (ln 4,6ln 4−16)y =6x −16g(x)=f(x)−y (x)=g ′2(−4)e x e x g(ln 4)=0g(x)≥g(ln 4)=0A B B (ln 2,6ln 2−12)y =−2x +8ln 2−12g(x)=f(x)−y (x)=g ′2−8+8e 2x e x g(x =4)′′e x (−2)e x (ln 2)=0g ′(x)≥0g ′g(x)B C C (−ln 2,−−6ln 2)154y =x −ln 2−5272154g(x)=f(x)−y g(0)=1−8+ln 2+72154=ln 2−<072134g(1)=−8e +6−+ln 2+>0e 25272154(0,1)f(x)=y C D D (ln 5,6ln 5−15)y =16x −15−10ln 5g(x)=f(x)−y (x)=2−8−10g ′e 2x e x (x)=4(−2)g ′′e x e x (ln 5)=0g ′(x)g ′(−∞,ln 5)0(ln 5,+∞)0g(x)≥g(ln 5)=0D ABD【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】恰有一件商品的位置不变,从件不同商品中选件,有种方法,剩余件不同商品不在原位置,共有种方法,共有种方法.【解答】解：恰有一件商品的位置不变，从件不同商品中选件，有种方法，恰有一件商品的位置不变的摆放方法数有.故答案为：.14.【答案】,【考点】二项式定理的应用【解析】利用赋值法，构造已知代数式，即可得到答案.【解答】解：令，可得.令得，，所以，所以．故答案为：；．15.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差4551=5C 15495×9=4551=5C 15[3+2(1+2)]=45C 15451−12x =0=1a 0x =12+++⋯+=0a 0a 12a 222a 201722017++⋯+=−1a 12a 222a 201722017++⋯+=a 122a 223a 201722018−121−123提示先求 ，再利用 ，求【解答】解：因为，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】构建函数，依据条件可知，进一步可得，最后令可得结果．【解答】解：令，则，又，所以,则函数为常函数，又,所以,令，所以．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】个【考点】分步乘法计数原理E (ξ)E (η)=−2E (ξ)+3E (η).E (ξ)=−1×+140×+1×=01214E (η)=−2E (ξ)+3=331eF (x)=xf (x)−ln xF (x)=1f (x)f (x)=0F (x)=xf (x)−ln x(x)=f (x)+x (x)−F ′f ′1x f (x)+x (x)=f ′1x (x)=f (x)+x (x)−=0F ′f ′1x F (x)F (1)=1×f (1)−ln 1=1F (x)=xf (x)−ln x =1⇒f (x)=1+ln x x f (x)=0x =1e 1e90【解析】此题暂无解析【解答】第一步，考虑，的个位数字的种数，有：和，和，和，和，和，共种；第二步，考虑，的十位数字的种数，分为两类：①若，的十位数字与，有：和，和，共种；这时，的百位数字的种数，有：和，和，和，和，和，共种；由分步乘法原理得，有种．②若，的十位数字与，有：和，和，共种；这时，的百位数字的种数，有：和，和，和，和，共种；由分步乘法原理得，有种．∴实数对表示平面上不同点的个数为个．18.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，，，即项的系数为，则有；解得：；根据题意，在中，当时，，当时，，则有，即．19.【答案】方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：m n 155********m n m n 1212212m n 155124423355×2×5=50m n 6767762m n 1441233245×2×4=40(m,n)50+40=9012=+x ++⋯+(2x −a)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7=−560a 4x 4−560=××=−35×16=−560a 4C 3724(−a)3a 3a =1=+x ++⋯+(2x −a)7a 0a 1a 2x 2a 7x 7x =0=−1a 0x =12++++⋯+=0a 0a 12a 222a 323a 7272(−1++++⋯+)=0a 12a 222a 323a 727+++…+=2a 1a 22a 322a 726A A A＝＝．由题意知＝，的取值为，，，＝＝．＝＝＝，＝＝＝，∴的概率分布列为：的数学期望为：＝＝．＝＝），∵＝，，∴在＝，＝＝时，最大值为：（）＝，由数学期望的表达式可知当，]时，∴接近时，即当，也就是，或者，比赛场数的数学期望相对较小，故建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，由此能求出方恰在比赛四场后赢得比赛的概率．由题意知＝，的取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布列和数学期望．＝＝），推导出在＝＝时，取得最大值，最大值为：（）＝，从而建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．【解答】方恰 在比赛四场后赢得比赛，则方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：＝＝．由题意知＝，的取值为，，，＝＝．＝＝＝，P (i)p +q 1ξ545P(ξ5)+p 3q 3P(ξ8)3q +2p p 3q 3P(ξ5)3q +2p p 3q 3ξξ325P +p 3q 23q +5p p 3q 36+6p 5q 2p 6q 3ξE(ξ)3(+)+4(6q +3p )+5(6+6)p 5q 3p 3q 6p 7q 2p 2q 36+3pq +4p 6q 2(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 37(pq++8p +q 15<P <1E(ξ)pq p q 6+2pq ∈(0pq 0p p →0p →3A B A A A (2)(i)p +q 1ξ345ξ(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 26(pq++2E(ξ)p q 6+2A B A A A P (i)p +q 1ξ545P(ξ5)+p 3q 3P(ξ8)3q +2p p 3q 3＝＝＝，∴的概率分布列为：的数学期望为：＝＝．＝＝），∵＝，，∴在＝，＝＝时，最大值为：（）＝，由数学期望的表达式可知当，]时，∴接近时，即当，也就是，或者，比赛场数的数学期望相对较小，故建议，双方扩大与对方每一场获胜的概率．20.【答案】解：的定义域为，令，则，，当即时，∴函数的单调增区间为：．当即或时，有两个不等的实数根：，，当时，，，∴，函数单调增区间为，当时，，，令，则或，令，则，∴单调递增区间为，，单调递减区间为，综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调增区间为 ，，单调递减区间为.令，则，记，则，P(ξ5)3q +2p p 3q 3ξξ325P +p 3q 23q +5p p 3q 36+6p 5q 2p 6q 3ξE(ξ)3(+)+4(6q +3p )+5(6+6)p 5q 3p 3q 6p 7q 2p 2q 36+3pq +4p 6q 2(ii)E(ξ)6+3pq +3p 2q 37(pq++8p +q 15<P <1E(ξ)pq p q 6+2pq ∈(0pq 0p p →0p →3A B (1)h (x)=lnx −ax +x 2(0,+∞)(x)==0h ′2−ax +1x 2x2−ax +1=0x 2Δ=−8a 2Δ=−8≤0a 2−2≤a ≤22–√2–√(x)≥0h ′h (x)(0,+∞)Δ=−8>0a 2a <−22–√a >22–√2−ax +1=0x 2=x 1a −−8a 2−−−−−√4=x2a +−8a 2−−−−−√4a <−22–√<0x 1<0x 2(x)>0h′h (x)(0,+∞)a >22–√>0x1>0x 2(x)>0h ′0<x <x 1x >x 2(x)<0h′<x <x 1x 2h (x)(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4h (x)(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4a ≤22–√(0,+∞)a >22–√(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4(2)F (x)=f (x)+g(x)=xlnx +lnx −ax +a (x)=lnx ++1−aF ′1x φ(x)=lnx ++1−a 1x (x)=−=>0φ′1x 1x 2x −1x 2(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′所以在上单调递增，故.当，，故在上单调递增，所以，符合题意．当时，，故，又在上单调递增，所以存在唯一的实数，使得.列表如下：极小值则当时，，这与恒成立矛盾.综上，实数的最大值为.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】无无【解答】解：的定义域为，令，则，，当即时，∴函数的单调增区间为：．当即或时，有两个不等的实数根：，，当时，，，∴，函数单调增区间为，当时，，，令，则或，令，则，∴单调递增区间为，，单调递减区间为，综上所述，当时，单调递增区间为；当时，单调增区间为 ，，单调递减区间为.令，(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′a ≤2(x)>0F ′F (x)(1,+∞)F (x)>F (1)=0a >2()=1+>0F ′e a 1e a ()⋅(1)<0F′e a F ′(x)F ′(1,+∞)∈(1,+∞)x0()=0F ′x 0x (1,)x 0x 0(,+∞)x 0(x)F ′−0+F(x)↘↗x ∈(1,)x 0F(x)≤F(1)=0F(x)>0a 2(1)h (x)=lnx −ax +x 2(0,+∞)(x)==0h ′2−ax +1x 2x2−ax +1=0x 2Δ=−8a 2Δ=−8≤0a 2−2≤a ≤22–√2–√(x)≥0h ′h (x)(0,+∞)Δ=−8>0a 2a <−22–√a >22–√2−ax +1=0x 2=x 1a −−8a 2−−−−−√4=x 2a +−8a 2−−−−−√4a <−22–√<0x 1<0x 2(x)>0h ′h (x)(0,+∞)a >22–√>0x 1>0x 2(x)>0h ′0<x <x 1x >x 2(x)<0h ′<x <x 1x 2h (x)(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4h (x)(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4a ≤22–√(0,+∞)a >22–√(0,)a −−8a 2−−−−−√4(,+∞)a +−8a 2−−−−−√4(,)a −−8a 2−−−−−√4a +−8a 2−−−−−√4(2)F (x)=f (x)+g(x)=xlnx +lnx −ax +a x)=lnx ++1−a 1则，记，则，所以在上单调递增，故.当，，故在上单调递增，所以，符合题意．当时，，故，又在上单调递增，所以存在唯一的实数，使得.列表如下：极小值则当时，，这与恒成立矛盾.综上，实数的最大值为.21.【答案】因为，，又因为＝，所以，则，所以＝，所以事件与是独立的．【考点】条件概率与独立事件【解析】利用条件概率计算公式分别表示出，，根据条件证明即可．【解答】因为，，又因为＝，所以，则，所以＝，(x)=lnx ++1−a F ′1x φ(x)=lnx ++1−a 1x (x)=−=>0φ′1x 1x 2x −1x 2(x)F ′(1,+∞)(x)>(1)=2−a F ′F ′a ≤2(x)>0F ′F (x)(1,+∞)F (x)>F (1)=0a >2()=1+>0F ′e a 1e a ()⋅(1)<0F ′e a F ′(x)F ′(1,+∞)∈(1,+∞)x 0()=0F ′x 0x (1,)x 0x 0(,+∞)x 0(x)F ′−0+F(x)↘↗x ∈(1,)x 0F(x)≤F(1)=0F(x)>0a 2P(A |B)=P(AB)P(B)P(A |)=B ¯¯¯¯P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯=P(AB)P(B)P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯==P(B)P()B ¯¯¯¯P(B)P(A)P()P(A)B ¯¯¯¯P(AB)P(A )B ¯¯¯¯P(AB)P(A)P(B)A B P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯P(A |B)=P(AB)P(B)P(A |)=B ¯¯¯¯P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯P(A |B)P(A |)B ¯¯¯¯=P(AB)P(B)P(A )B ¯¯¯¯P()B ¯¯¯¯==P(B)P()B ¯¯¯¯P(B)P(A)P()P(A)B ¯¯¯¯P(AB)P(A )B ¯¯¯¯P(AB)P(A)P(B)A所以事件与是独立的．22.【答案】解：由题得，函数的定义域为，．当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．依题意，在上恒成立．令，则．令，则．令，由于，因此在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在上单调递减．由于，而，故，由于，因此，，A B (1)f (x)(0,+∞)(x)=2ax +a −f ′6x =(x >0)2a +ax −6x 2x a ≤0(x)f ′(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >0(x)>0f ′x >−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (x)<0f ′0<x <−a ++48a a 2−−−−−−−√4a f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a +a2+48a −−−−−−−√4aa ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a(2)a >6ln x +x x 2(0,+∞)g(x)=(x >0)6ln x +x x 2(x)=g ′(+x)−6(2x +1)ln x 6x x 2(+x)x 22=(x +1−2x ln x −ln x)(x >0)6(+x)x 22h (x)=x +1−2x ln x −ln x (x >0)(x)=−1−2ln x −h ′1x φ(x)=−1−2ln x −(x >0)1x (x)=−=φ′1x 22x 1−2x x 2φ(x)(0,)12(,+∞)12x =12φ(x)2ln 2−3<0φ(x)(x)h ′h (x)(0,+∞)h ()=−4ln >0325232h (2)=3−5ln 2<0(,2)32x 0h (x)h ()=0x 0g(x)(0,)x 0(,+∞)x 0g(x)≤g()=x 06ln x 0+x 20x 0ln =x 0+1x 02+1x 0g(x)≤g()=x 062+x 20x 0∈(,2)x 0322+∈(6,10)x 20x 0g()∈(,1)x 035所以，因此的最小正整数值为【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得，函数的定义域为，．当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．依题意，在上恒成立．令，则．令，则．令，由于，因此在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，，可知在区间上必存在，使得函数满足，a ≥1a 1.(1)f (x)(0,+∞)(x)=2ax +a −f ′6x =(x >0)2a +ax −6x 2x a ≤0(x)f ′(0,+∞)f (x)(0,+∞)a >0(x)>0f ′x >−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (x)<0f ′0<x <−a ++48a a 2−−−−−−−√4a f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a +a2+48a −−−−−−−√4aa ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a (,+∞)−a ++48a a 2−−−−−−−√4a(2)a >6ln x +x x 2(0,+∞)g(x)=(x >0)6ln x +x x 2(x)=g ′(+x)−6(2x +1)ln x 6x x 2(+x)x 22=(x +1−2x ln x −ln x)(x >0)6(+x)x 22h (x)=x +1−2x ln x −ln x (x >0)(x)=−1−2ln x −h ′1x φ(x)=−1−2ln x −(x >0)1x (x)=−=φ′1x 22x 1−2x x 2φ(x)(0,)12(,+∞)12x =12φ(x)2ln 2−3<0φ(x)(x)h ′h (x)(0,+∞)h ()=−4ln >0325232h (2)=3−5ln 2<0(,2)32x 0h (x)h ()=0x 0g(x)(0,)(,+∞)且在上单调递增，在上单调递减．由于，而，故，由于，因此，，所以，因此的最小正整数值为g(x)(0,)x 0(,+∞)x 0g(x)≤g()=x 06ln x 0+x 20x 0ln =x 0+1x 02+1x 0g(x)≤g()=x 062+x 20x 0∈(,2)x 0322+∈(6,10)x 20x 0g()∈(,1)x 035a ≥1a 1.。
安徽省2022学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.2.己知()()tan ,'f x x f x =为()f x 导数，则'3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 4B. 2D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】 先转化为()f x ═sin cos xx，再根据导数的运算法则求导，并代入数值计算即可. 【详解】sin ()tan cos xf x x x==，2222cos sin 1()cos cos x x f x x x'+∴==， 14134f π'⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 故本题选A.【点睛】本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值，属于基础题.3.若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A. (,1)(3,)-∞-+∞B. ()1,3-C. (0，3)D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果. 【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >， 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==， 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.4.用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B.【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表：那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ ） A. ① B. ② C. ④ D. ③或⑤【答案】C 【解析】 【分析】将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度，从而得到答案.【详解】①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快；②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快；③④用6小时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快；④⑤用3小时，⑤①用19小时，④比①进水速度快；①②用两个小时，⑤①用19个小时，所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③；④>②；⑤>③；④>①；②>⑤. 所以最快的是④. 所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，每两个横向比较，找到最快的.6.函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据排除法可令x =1，排除C ，D ，且当0x <时，2()(2)0xf x x x e =-<，排除B ，从而得到答案.【详解】令x =1，则f (1)=e >0，所以排除C ，D ，令2()(2)0x f x x x e =-<，解得0x <或2x >， 则0x <时，2()(2)0xf x x x e =-<，排除B ，选A. 所以本题选A.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般采用排除法，可利用赋值，求函数奇偶性等进行排除，属基础题.7.用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先将阴影部分的面积用定积分()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以③，⑤，⑥是正确的. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.8.已知111()12f n L n n n n=++++++，用数学归纳法证明：对于任意的*n N ∈，13()14f n <，由n k =的归纳假设证明1n k =+，若()()1()k f k k f g +=+，则()g k =（ ） A. 122k + B. 112122k k +++ C. 11221k k -++ D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】【分析】 根据111()12f n L n n n n =++++++，可知111()122f k k k k =++⋯+++，11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++，从而可得n k =到1n k =+变化了的项. 【详解】111()122f k k k k =++⋯+++， 11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++，11111(1)()212212122f k f k k k k k k ∴+-=+-=-+++++，(1)()()f k f k g k +=+，11()2122g k k k ∴=-++. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中的推理，确定n k =到1n k =+变化了的项是解题的关键，属基础题.9.己知函数()()2f x x x c =-，在2x =处取得极大值，则实数c 的值是（ ） A.23B. 2C. 2或6D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得(2)0f '=，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.【详解】函数2()()f x x x c =-的导数为2()()2()f x x c x x c '=-+-()(3)x c x c =--，由()f x 在2x =处有极大值，即有(2)0f '=，即(2)(6)0c c --=， 解得2c =或6，若2c =时，()0f x '=，可得2x =或23， 由()f x 在2x =处导数左负右正，取得极小值，若6c =，()0f x '=，可得6x =或2 ， 由()f x 在2x =处导数左正右负，取得极大值. 综上可得6c =. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.10.设ABC ∆的三边长分别为,,,a b c ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c，类比这个结论可知：四面体A BCD -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为R ，四面体A BCD -的体积为V ，则R =（ ） A.1234+++VS S S SB.12342+++VS S S SC. 12343+++VS S S SD. 12344+++VS S S S【答案】C 【解析】 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【详解】设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， 则四面体的体积为 ()123413A BCD V S S S S R -=+++， ∴12343VR S S S S =+++故本题正确答案C ．【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.11.函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A. y x =B. 32y x =-C. 23y x =-+D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程. 【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--. 2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. 所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.己知函数()()()()21ln 10f x a x x x ax a =++-->是减函数，则实数a =（ ）A. 2B. 1C.2e D.12【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f (x )是定义域内的减函数转化为f ′(x )=a ln(x +1)-2x 恒成立．再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a 值.【详解】f (x )的定义域为(-1，+∞)，f ′(x )=a ln(x +1)-2x ．由f (x )是减函数得，对任意的x ∈(-1，+∞)，都有f ′(x )=a ln(x +1)-2x ≤0恒成立． 设g (x )=a ln(x +1)-2x ．∵212()1a x g x x '⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+，由a >0知，112a->-， ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，g '(x )>0；当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，g '(x )<0， ∴g (x )在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴g (x )在12ax =-时取得最大值． 又∵g (0)=0，∴对任意的x ∈(-1，+∞)，g (x )≤g (0)恒成立， 即g (x )的最大值为g (0)． ∴102a-=，解得a =2. 所以本题答案为A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.己知34n n A C =，则n =________.【答案】27【解析】 【分析】根据排列组合的公式化简求解可得结果.【详解】由34n n A C =得，(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯，解得，27n =. 所以本题答案为27.【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14.设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，，则12()f x dx π-=⎰________.【答案】14π+ 【解析】 【分析】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，可得1表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求2cos xdx π-⎰，最后相加即可得到结果.【详解】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故1214x dx π-=，又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰， 所以102022()cos 114f x dx xdx x dx πππ--=+-=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.15.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：①当有一位医生时，有1224C C ⋅种；②当有两位医生时，有2124C C ⋅种，最后相加即可得到答案.【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，所以当有一位医生时，有122412C C ⋅=种， 当有两位医生时，有21244C C ⋅=种，故共有12416+=种. 故本题正确答案为16.【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.16.若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.【答案】1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--， 故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.三、解答题：共70分。
2022-2023学年人教A版高二下数学期中试卷(含解析)
6
6
14. 已知a ∈ R,若函数f(x) = x3 + ax(−1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为M ，则M 的最小值为________．
15. (x2 + 2)(x − 1 )6 的展开式中常数项为________． x
16. 若直线2x + by − 4 = 0 平分圆x2 + y2 − 2x + 4y + √ 3– = 0 的周长，则b的值为________. 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
（1）求边际利润函数P ′(n) ；
（2）求n的值，使P ′(n) ＝0：
（3）解释（2）中n的值的实际意义． 19. 如图，等腰直角三角形ABE 所在的平面与梯形BCDE 所在的平面互相垂直，BC//DE ， ∠AEB = ∠BCD = 90∘ ，AB = BC = 2CD = 2DE = 2√ 2– ．
(2) 若从中选派4人分别去两个地方支援抗疫一线，每个地方要求医生和护士均有，求不同的选派方案
数．
21. 已知椭圆C : x2 + y2 = 1 (a > b > 0)
且MN
a2 b2 的中点坐标为(1，
√
2–
)
.
2
的右焦点为F(2，0) ，过点F 的直线交椭圆于M，N 两点
(1) 求C 的方程；
(2)设直线l不经过点P (0，b)且与C相交于A，B 两点，若直线P A 与直线P B 的斜率的和为1，试判断直 线l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由. 22. 已知函数f (x) = ex ，g (x) = 2 (x − ln x) .
【解析】
安徽省寿县一中2020学年高二数学下学期返校测试试题新人教A版【会员独享】
安徽寿县一中2020年高二下学期返校数学测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、集合2{|0},{|2}M x x x N x x =-<=<，则（ ）A ．M N =∅IB ．M N M =IC ．M N M =UD ．M N R =U 2、一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么 该几何体的体积为（ ）A ．3π BCD3、对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是（ ）A630个 B640个C650个 D660个4、若向量(3,1),(2,1)AB n =-=u u u r r，且7AC n ⋅=u u u r r ，则n BC ⋅=r u u u r（ ）A.0B.2C. 2-D.2或2-5、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且(1)0f -=，若对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+成立，则2010()2k kf =∑的值是（ ）A 1 B12 C 0 D 526、如果函数3cos(2)y x θ=+的图像关于点4(,0)3π对称，那么θ的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7、数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且6915,,a a a 依次是等比数列{}n b 的连续三项， 若数列{}n b 的首项为112b =，则数列{}n b 的前5项和是（ ）h ）A ．312 B ．3132C ．31D ．32 8、下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）①“直线,a b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线,a b 不相交” ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α” ③“直线//a 直线b ” 的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”④“直线//a 平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于α内一条直线” A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④9、设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，若直线2(a x c c==上存在点P 使线段1PF 中垂线经过2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. (0,]2B.C. [2D. 10、在R 上定义运算⊗：(1)(1)x y x y ⊗=-+,若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是什么（ ）A ．11a -<<B ．20a -<<C ．21a -<<D ．3122a -<< 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。
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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E 是A B ''的中点，则E 到平面ABC D ''的距离是（ ）A.2 B.2 C.12D. 3 2.已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则0(1)(1)lim3x f x f x x→--+=（ ）A ．3B ．23-C ． 13D ．32-3.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）A.1B.C.2D. 4.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0g =。
则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是（ ） A.(3,0)(3,)-+∞ B. (3,0)(0,3)- C. (,3)(3,)-∞-+∞ D.(,3)(0,3)-∞-5.数列2,5,11,20,,47,x 中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．276.函数3()63f x x kx k =-+在区间(0,1)内有最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．102k <<B ．0k <C ．12k >D ． 12k >或0k <7.已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ( )A ．14 B ． 12C ．2D ．28.函数2cos 2y x x =-在下列哪个区间上是增函数（ ）A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．54(,)63ππ D ．5(,)1212ππ9.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J10.正方体ABCD A B C D''''-中，E、F、G分别是,,DD DB DC'的中点，则EF与C G'所成角的余弦值是A．．14C11.平行六面体ABCD A B C D''''-中，4,3,5,90,60AB AD AA BAD BAA DAA'''===∠=∠=∠=,则AC'=（）A．85 B．．50与（）A=>．无法判断二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。
）13.已知函数23()23(0,1,)nf x x x x nx x x n N*=++++≠≠∈，则(2)f=；（化简）14.已知0,0x y>>，且21x y+=，则11x y+的最小值是；15.31lim()nniin n→∞=⋅=∑；16.若函数32()25f x x ax x=+-+在区间11(,)32上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）17.（本题12分）求由曲线22y x=+与3,0y x x==所围成的平面图形的面积（画出图形）。
18.（本题12分）如图所示，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD且⊥PD 底面ABCD ，PD DC =，,E F 分别为,AB PB 的中点. （1）求证：EF CD ⊥;（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值。
19.（本题12分）如图所示，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为a。
（1）求二面角A AB C '''--大小的余弦值；（2）在棱上A C ''上确定一点D ，使//BC '平面DAB '，说明理由。
20.（本题12分）已知函数()ln(1)1xf x x x =+-+。
（1）求()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有ln ln 1b a b a-≥-。
CABA 'B 'C '21.（本题12分）统计表明，某种型号的汽车行驶中每小时耗油量y （升）关于行使速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤。
已知甲乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少？22.（本题14分）设数列{}n a 满足211,1,2,3,n n n a a na n +=-+=。
（1）当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2）当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+ ②1211111112n a a a +++≤+++参 考 答 案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
） 13、2(23)23nn n -+- 14、3+、14 16、55(,)42三、解答题（本大题共6小题，共74分）17、12221(23)(32)1S x x dx x x dx =+-+--=⎰⎰18、（1）略；（2）619、（1）10；（2）D 为11A C 的中点 20、（1）单调增区间(0,)+∞，单调减区间(1,0)- （2）切线方程为44ln 230x y -+-= （3）所证不等式等价为ln 10a bb a+-≥ 而1()ln(1)11f x x x =++-+，设1t x =+，则1()ln 1F t t t=+-，由（1）结论可知， ()F t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，由此，min ()(1)0F t F ==，所以，()(1)0F t F ≥=,即1()ln 10F t t t =+-≥，记at b=代入得证。
21、（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行使了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 （2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行使了100x小时，设耗油量为()h x 升，依题意得32131001800158)(0120)1280008012804()(x x x x x h x x -+⨯=-<≤=+，3322180080(0120)640640()h x x x x x x'--=<≤=，令()0h x '=，得80x = 当(0,80)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(80,120)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数 所以，当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =因为，()h x 在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
22、（1）由12a =，得221113a a a =-+=由23a =，得2322214a a a =-+=由34a =，得2433315a a a =-+=，由此，猜想{}n a 的一个通项公式：1(1)n a n n =+≥（2） ①用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，1312a ==+，不等式成立； （ⅱ）假设当n k =时，不等式成立，即2k a k ≥+，那么1()1(2)(22)13k k k a a a k k k k +=-+≥++-+≥+，也就是说，当1n k =+时，1(1)2k a k +≥++ 综合（ⅰ）、（ⅱ），对于所有1n ≥，有2n a n ≥+ ②由1()1n n n a a a n +=-+及①，对2k ≥，有1111(1)1(121)121k k k k k a a a k a k k a ----=-++≥-+-++=+，…， 1211122212(1)1k k k k a a a ---∴≥++++=+-，于是11111,2112k k k a a -≤⋅≥++ 112112111111111111221111112121132n n k k k k n a a a a a a a --==∴+++≤+=≤≤=++++++++∑∑。