高考数学专题5平面向量37平面向量的应用理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 37 平

面向量的应用 理 训练目标 (1)向量知识的综合应用；(2)向量与其他知识的结合.

训练题型 (1)向量与三角函数；(2)向量与三角形；(3)向量与平面解析几何.

解题策略 (1)利用向量知识可将和三角函数有关的问题“脱去”向量外衣，转化为三角函数问题；(2)向量和平面图形的问题往往借助三角形，结合正弦、余弦定理

解决；(3)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法.

1．(2015·珠海调研)设向量a ＝(sin x ，cos 2x )，b ＝(3cos x ，2

)，函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)若0<α<π3，f (α2)＝45

，求cos α的值． 2.

.b ＝OB →，a ＝OA →，设M 交于点BC 与AD ，OB →12

＝OD →，OA →14＝OC →中，OAB △如图，在 ；

OM →表示b 、a 用(1) ＝

OF →，OA →p ＝OE →点，设M 过EF ，使F 上取一点BD ，在线段E 上取一点AC 已知在线段(2) 1.＝37q

＋17p ，求证：OB →q ，－

x (2cos ＝n ，)x sin 3，x (3cos ＝m 已知向量)福建三明高中联盟校期末(2015·．32cos x )，函数f (x )＝m ·n .

(1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；

，45

＝A cos ，2＝b 且0＝)B ( f ，若c ，b ，a 的对边分别为C ，B ，A 中，角ABC △在锐角(2)求a 的值．

4．(2015·长沙一模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )．

(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后

抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；

(2)若x ，y ∈[1,6]，求满足a ·b >0的概率．

5．(2015·西安第二次质检)

，且O 过椭圆的中心BC 是长轴的一个端点，弦(2,0)A ，>0)b >a 1(＝y2b2

＋x2a2如图：已知椭圆|.

BA →－BC →2|＝|OB →－OC →|，0＝BC →·AC → (1)求椭圆的方程；

.

BCA ∠平分CF ，求证：0＝OF →3＋OA →2－BO →满足F 上的一点AB 若(2)

答案解析

，)π6

＋x sin(2＝x cos 212＋x sin 232＝x cos 212＋x cos x sin 3＝)x ( f (1) ．解1 π.＝2π2

＝T 所以最小正周期 .925

＝)π6＋α(2cos ，所以45＝)π6＋αsin(，得45＝)α2( f 由(2) .35

＝)π6＋αcos(，所以π2<π6＋α<π6，所以π3<α0<因为 12×45＋32×35＝π6)·sin π6＋αsin(＋π6)cos π6＋αcos(＝)π6－π6＋αcos(＝αcos 所以.33＋410

＝ .b 12

＋a ＝－AD →，b n ＋a 1)－m (＝AM →，则b n ＋a m ＝OM →设 解(1)．2 共线，

AD →与AM →∴共线，D 、M 、A 点∵ 1.①＝n 2＋m ∴，0＝n 1)×－(－1)－m (12∴ .b ＋a 14

＝－CB →，b n ＋a )14－m (＝OC →－OM →＝CM →而 共线，

CB →与CM →∴共线，B 、M 、C ∵ 1.②＝n ＋m 0.∴4＝)14

－m (－n 14－∴ ，37

＝n ，17＝m 可得①②联立 .b 37

＋a 17＝OM →∴ ，b q ＋a p ＝－EF →，b 37

＋a )p －17(＝EM → 证明(2) 共线，

EM →与EF →∵ 0.＝)p －×(37

－q )p －17∴(

1.＝37q ＋17p ，即p 37＝－pq －q 17∴ x cos x sin

32－x 2

6cos ＝n ·m ＝)x (f (1) ．解3 3

＋x sin 23－x 3cos 2＝x sin 23－)x cos 2＋3(1＝ π.＝2π2

＝T 的最小正周期为)x ( f ∴，3＋)π6＋x cos(232＝ ．)Z ∈k (π12

－πk 12＝x ，得对称轴方程为)Z ∈k π(k ＝π6＋x 2由 .32

＝－)π6＋B cos(2，得0＝)B ( f 由(2) .π3

＝B ，5π6＝π6＋B ∴2，7π6<π6＋B <2π6∴为锐角，B ∵ .35＝1－452 ＝A ∴sin ，π)，∈(0A ，45＝A ∵cos .435＝a ，即435＝2×353

2

＝bsin A sin B ＝a 中，由正弦定理得ABC △在 4．解 (1)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，

(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．

用A 表示事件“a ·b ＝－1”，即x －2y ＝－1.

则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．

.112

＝336＝)A (P ∴ (2)用B 表示事件“a ·b >0”，即x －2y >0.

试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，构成事件B 的区域为{(x ，

y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}，如图所示．

.425

＝12×4×25×5＝)B (P 所以所求的概率为 90°.

＝ACB ∠，BC →⊥AC →∴，0＝BC →AC →∵ 解(1)．5