随机变量及其分布列经典例题教程文件
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
随机变量及其分布列
中装有3个红球、2个白球、
中装有3个红球、2个白球、
5个黑球，它们大小形状
5个黑球，它们大小形状完
完全相同。现从10个球中
全相同。现从10个球中任
有放回的抽取3次，并做
意抽取3个。
好记录。
(1)求抽取的3个球是来自2
(1)求抽取的3个球中恰有2
种不同颜色球的概率；
个球是黑色的概率；
所以抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率 P＝C25
3312 135
＝
.
512
4 4
返回
(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问
题， 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部
门作进一步抽样检测，并规定：若抽到的是黄色汽车，则将
其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝
，
125
8
3 2 3
P(X＝3)＝C3 5 ＝
，
125
∴X的分布列为
X
0
1
2
27
54
36
P
125
125
125
27
54
36
8
6
∴E(X)＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝ .
125
125
125
125 5
3
8
125
返回
2
法二：∵随机变量X～B3，5，
k 2 k 3 3－k
3n－1 1
3n
＋…＋(n－1)×4
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
专题66 离散型随机变量及其分布列(解析版)
专题66离散型随机变量及其分布列最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单的应用.基础知识融会贯通1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N (k ＝0,1,2，…，m )．即其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．重点难点突破【题型一】离散型随机变量的分布列的性质【典型例题】设离散型随机变量X的概率分布如下：则m的值为【解答】解：由离散型随机变量X的概率分布的性质得：1，解得m．故答案为：．【再练一题】已知随机变量ξ的分布列为：若，则实数x的取值范围是（）A．4＜x≤9B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9D．x≤4或x＞9 【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P（ξ2＝0），P（ξ2＝1），P（ξ2＝4），P（ξ2＝9），∵P（ξ2＜x），∴实数x的取值范围是4＜x≤9．故选：A．思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【题型二】离散型随机变量的分布列的求法命题点1与排列、组合有关的分布列的求法【典型例题】装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X＞0时）的概率．【解答】解：（1）从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X＝﹣2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝﹣1；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；当取到2个黄球时，随机变量X＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；当取到2个黑球时，随机变量X＝4；所以随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4…P（X＝﹣2），P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝4）∴X的概率分布列如下：…（2）P（X＞0）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝4）．…【再练一题】某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X服从超几何分布，分布列如下：即（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到命题点2与互斥事件有关的分布列的求法【典型例题】已知随机变量X的分布列为P（X＝i）（i＝1，2，3，4），则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．【解答】解：依题意1，解得a＝5．所以P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）．故选：B．【再练一题】设离散型随机变量ξ的分布列如表，则p＝（）A．1 B．C．D．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：（1﹣2p）1，且0＜P＜1，解得p＝1．故选：B．命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法【典型例题】国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A ，B ，C ，D ，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M ．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C ．所以（Ⅱ） X 的可能取值为1，2，3，，X 的分布列为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C ，方差最小的家庭是E ．44．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5，设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），∴．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X＝4）＝0.22＝0.04，P（X＝5）＝2×0.2×0.5＝0.2，P（X＝6）＝0.52+2×0.2×0.3＝0.37，P（X＝7）＝2×0.3×0.5＝0.3，P（X＝8）＝0.32＝0.09，∴X的分布列为：X的数学期望E（X）＝4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09＝6.2．【再练一题】一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，基本事件总数n＝24＝16，至少有1人选作第23题的对立事件无有人选择第23题，∴至少有1人选作第23题的概率P＝1．故选：D．思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．【题型三】题型三超几何分布【典型例题】有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解答】解：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布．故选：B．【再练一题】某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【解答】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生， 即P （X ≥3）＝P （X ＝3）+P （X ＝4）．思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．基础知识训练1．某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【答案】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨−>∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N≤∈⎧=⎨−>∈⎩ .（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.2．某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型0.08y bt =+拟合当地该商品销量y （千件）与返还点数t 之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值x 的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（2）将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（Ⅱ）（1）均值x 的估计值为6, 中位数的估计值为5.7；（2）详见解析. 【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====，因为线性回归模型为0.08y bt =+，所以1.0430.08b =+，解得0.32b =； 故y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，当6t =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x 的估计值为：20.140.360.380.15100.1120.056x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数的估计值为10020602525 5.7603−−+⨯=+≈.（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为206430⨯=， “欲望膨胀型”消费者人数为106230⨯=. 由题意X 的可能取值为1,2,3，所以1242361(1)5C C P X C ===, 2142363(2)5C C P X C ===, 3042361(3)5C C P X C === 故随机变量X 的分布列为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.3．已知正四棱锥P ABCD −的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积.（1）求概率(2)P X =的值；（2）求随机变量X 的概率分布及其数学期望()E X . 【答案】（1）25（2）见解析 【解析】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有3510C =种取法.其中2X =的三角形如ABD ∆， 这类三角形共有344C =个. 因此42(2)105P X ===. （2）由题意，X，2，12x x .其中X =的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中X =的三角形有两个，PAC ∆和PBD ∆.因此2(5P X ==，1(5P X ==. 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望221()2555E X =+⨯+=4．某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为23，面试两科每科优秀的概率均为34. （1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）512（2）见解析 【解析】解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关. 所以P=3223221335[()+()]=3334412C （2）易得ξ的可能取值为3 ,5(=3)=1-P ξ∴3223221207[()+()]=1-=3332727C或(=3)=P ξ31231127()+()=33327C 20(=5)=1-(=3)=27P P ξξ∴或(=5)=P ξ322322120()+()=327C720121=3+5=272727E ξ∴⨯⨯ 5．甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）23196；（2）①见解析，②若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A，则P（A）=325350CC=23196．（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=6t,t407t40,t40≤⎧⎨−>⎩，则X的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：∴E （X ）=228×101+234×15+240×15+247×25+254×101=241.8． ②设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为μ，则Y=4μ+80， 则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：E （Y ）=131123223624024451055⨯+⨯+⨯+⨯+248×101=238.8．由E （X ）＞E （Y ），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．6．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
随机变量及分布.pptx
y 0, FY ( y) 0 fY ( y) 0
FY ( y) P{Y y} P{2ln X y} P{ X e y/ 2 }
1 P{ X e y / 2 } 1 FX (e y / 2 )
fY ( y) FY( y) f X (e y/ 2 )(e y/ 2 ) 1 e y / 2
W X Y 0 -2 -3 3 1 0 M max( X ,Y ) 1 1 2 2 2 2 N min( X ,Y ) 1 -1 -1 -1 1 2
第11页/共37页
合并后可得各变量的分布律如下：
Z=X+Y P
-2 0
134
5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
W=X-Y P
- 3 -2 0 1 3 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
X\Y
-1 2
解: 将(X,Y)及各函数值列表如下：
-1 5/20 3/20
12 2/20 6/20 3/20 1/20
（X，Y）
(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
P
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
Z X Y 2 0 1 1 3 4
FM(z) =P(M≤z)=P(max(X,Y) ≤z) =P(X≤z,Y≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) = FX(z)FY(z)
即 FM(z)= FX(z)FY(z)
FN(z) =P(N≤z)=P(min(X,Y) ≤z) =1-P(min(X,Y) >z) =1-P(X>z,Y>z) =1- P(X>z)P(Y>z)
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量
一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标 解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验 结果“前4次均未击中目标”． 答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现 哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机 的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机 的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结 果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其 中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的 值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向 上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次 品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.
随机变量及其分布列
第三节课：随机变量及其分布列典型例题一、教学目标这是一堂复习课，通过本节课的学习，希望学员达到以下三个目标： 1、学员能够深刻理解随机变量的概念，会计算随机变量的期望和方差2、学生熟练掌握随机变量的分布列、分布模型及相应解题方法，并能够熟练运用这些方法来解题3、学员能系统地理解和掌握随机变量与概率之间的联系二、考纲解读随机变量及其分布列是高考必考的内容之一，在每年的理科高考卷中，一般都以解答题的形式出现（少数时候也会以填空、选择的形式出现）。
题目难度不是很大，分值12分左右。
主要以借助分布列考查概率计算、期望、方差的计算为主。
故在高二的学习中，需要真正理解掌握好这一章的内容。
三、教学过程（一）检查上周的作业，抽查上节课所学的内容，若有问题，当场解决掉 （二）带领学生回顾知识结构图及重要知识点 结构图：重要知识点：（1）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量。
分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ξ 1x 2x … i x …P 1p 2p … i p …有性质① ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. （2）期望：][)(22111n n i i ni ii P x P x P x P x Px X E +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++==∑=b X aE b aX E +=+)()( 方差：∑=-=ni i i P X E x X D 12))(()(随机变量 离散型随机变量分布列 方差均值 两点分布 二项分布超几何分布 条件概率两事件独立正态分布正态分布密度曲线 3σ原则)()(2X D a b aX D =+（3）两点分布：如果随机变量的分布列具有下列列表的形式：X 0 1p k1-p p则称，X 服从参数为p 的0-1分布（也叫两点分布或伯努利分布）。
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-2离散型随机变量的分布列
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ3
4
5
6
P
1 20
3 20
3 10
1 2
[规律方法] 1.确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是 要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组 合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或 无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过 程．
2．一般分布列的求法分三步：(1)首先确定随机变量ξ的 取值有哪些；(2)求出每种取值下的随机事件的概率；(3)列 表对应，即为分布列．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课前预习
1．抛掷一个骰子，用X表示骰子向上一面的点数． [问题1] X的可能取值是什么？ [提示] X＝1、2、3、4、5、6. [问题2] X取不同值时，其概率分别是多少？ [提示] 都等于16.
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3 只，以ξ表示取出的3只球中的最小号码．
特别提醒： 两点分布的试验结果只有两个可能性，且 其概率之和为1.
2．解决超几何分布问题的关注点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公 式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求 解，但不能机械地记忆； (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式 求出X取不同m的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
课堂练习
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
A. X －1
0
1
P －0.1 0.5 0.6
B. X －1
0
1
P 0.3 0.7 －0.1
C. X
－1
0
专题离散型随机变量及其分布列（三）——比赛问题-讲义
专题：离散型随机变量的概率分布(三)——比赛问题一、甲乙二人进行乒乓球比赛，已知打一局比赛甲胜乙的概率是.23(1)分别计算三局两胜制和五局三胜制下，甲获胜的概率并指出比赛局数对甲乙二人的影响；(2)设随机变量X 表示三局两胜制下甲获胜的局数，求X 的分布列及期望.二、甲、乙两队各派5名选手参加围棋擂台赛，假设各队参赛选手的出场顺序确定.(1)求甲队的主将出场且甲队取得了擂台赛胜利的概率；(2)设甲队出场人数为X ,求X 的分布列及其期望.三、亚洲杯足球赛共有16支球队参赛，这16支球队先分成4个小组循环赛，每个小组4支球队，根据以往战绩先选定4支球队为种子队，分别担任A、B、C、D4个小组的种子球队，中国队没有成为种子球队.(1)求这16支球队分组的总方法数；(2)求中国队与日本队分在同一小组的概率(日本队是种子球队)(3)除4个种子球队外，中国队不希望与甲、乙、丙这3支球队分在同一组，设X表示甲、乙、丙这三支球队与中国队分在同一组的个数，求X的分布列与期望.四、6名奥运会志愿者全部参加A、B、C、D4个场馆的活动，每个场馆至少有1人参加，任意一人只能参加一个场馆的活动(1)求甲乙二人在同一场馆的概率；(2)场馆A的活动有两名志愿者参加的概率；(3)记参加场馆A活动的志愿者人数为X，求X的分布列.课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到ξ过的通道，直至走完迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时间.ξ(1)求的分布列；ξ(2)求的数学期望.题二题面：某市某房地产公司售楼部，对最近100位采用分期付款的购房者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b已知分3期付款的频率为0.2，售楼部销售一套某户型的住房，顾客分1期付款，其利润为10万元；分2期、3期付款其利润都为15万元；分4期、5期付款其利润都为20万元，用表示销售一套该户型住房的利润.η(1)求上表中a ,b 的值；(2)若以频率分为概率，求事件A ：“购买该户型住房的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P (A )；(3)若以频率作为概率，求的分布列及数学期望E .ηη题三题面：某人居住在城镇的处,准备开车到单位处上班,若该地各路段发生堵车事A B 件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如算作两个路段：路段发生堵车事件A C D →→AC 的概率为,路段发生堵车事件的概率为).15CD 18(Ⅰ)请你为其选择一条由到的最短路线(即此人只A B 选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生 堵车事件的概率最小；(Ⅱ)若记路线中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望.A C FB →→→ξξE ξACDB FE 121101415181316讲义参考答案金题精讲题一答案：(1)三局两胜制下，甲获胜的概率为；五局三胜制下，甲获胜的概率为，20276481因此，比赛局数越多对甲越有利E (X )=4427题二答案：(1)518E (X )=143题三答案：(1) 8870400 (2)14(3) X 的分布列为X 012P28552455355E (X ) =611题四答案：(1)(2)213926(3) X 的分布列X 123P1526926226E (X )=3926详解：(1)分组情况1、1、1、3；1、1、2、2总分法： 311141122463214654243223221560C C C C A C C C C A A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯甲乙在同一场馆的分法：11114211343214421332324240C C C C A C C C A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∴所求概率P 1=2402=156013(2)场馆A 有2人：211324213622540C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=∴所求概率P 1=5409156026=(3)X 的可取值为1、2、3P (X =1)=113123154354362222(900151560156026C C A C C A C A A ⋅⋅⋅⋅⋅+==P (X =2)=5409156026=P (X =3)=336312021560156026C A ⋅==X 的分布列X 123P1526926226E (X )=15+18+6392626=课后拓展练习题一答案：(1) 的分布列ξξ1346p13161613(2)72详解：由已知：可以取的值有1,3,4,6.ξ，，∴1(1)3p ξ==111(3)326p ξ==⋅=111(4)326p ξ==⋅=11111(6)32323p ξ==⋅+⋅=的分布列为：∴ξξ1346p13161613的数学期望(小时).∴ξ11117134636632E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=题二答案：(1) (2) 20,10a b ==()0.896P A =(3) 的分布列ηη101520P 0.40.40.2E =14η详解：(1)由得0.2100a=20a =40201010010a b b ++++=∴= (2)“购买该户型住房的3位顾客中至多有1位采用了3期付款”的概率：3123()0.80.2(10.2)0.896P A C =+⨯-=(3)记分期付款的期数为，则=1，2，3，4，5.且有ξξ40(1)0.4,(2)0.2,(3)0.2100(4)0.1,(5)0.1P P P P P ξξξξξ=========== 的可能取值为：10，15，20η 且()()()()()()()()1010.415230.420450.2P P P P P P P P ηξηξξηξξ=======+=====+==故的分布列为ηη101520P0.40.40.2(万元)100.4150.4200.214E η∴=⨯+⨯+⨯=题三答案：(Ⅰ) 路线发生堵车事件的概率最小A C FB →→→ (Ⅱ) 3760E ξ=详解：(Ⅰ)由到的最短路线有条,A B 3即为：,,.A C DB →→→AC F B →→→A E F B →→→；47264()1583120P A C D B →→→=-⨯⨯=；43560()1546120P A C F B →→→=-⨯⨯=.1207565109211)(=⨯⨯-=→→→B F E A P 故路线发生堵车事件的概率最小.A C FB →→→(Ⅱ)路线中遇到堵车次数可取值为.；AC F B →→→ξ0,1,2,34331(0)5462P ξ==⨯⨯= ；135********(1)546546546120P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；11513141112(2)546546546120P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=η101520P0.40.40.2. 1111(3)546120P ξ==⨯⨯=故.147121370123212012012060E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
新人教A版选修2-3离散型随机变量及其分布列(二)-16页精选文档
0
1
2
3
p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有
0.16aa2a0.31解得：a 10 5
9
1
（舍）或
0
a
3 5
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42
练习2 已知随机变量 的分布列如下：
(3)列成表格。
明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件
作业:课本 P56 A 组第 4 题、 P57 A 组第 5 题
选做作业:
1.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、
5、6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出球的最 大号码，求 的分布列．
3
4
5
6
1
3
3
1
P
20
20
10
2
作业:课本 P56 A 组第 4 题、 P57 A 组第 5 题
1.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、
3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以 表示
取出球的最大号码，求 的分布列．
解： 的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3”
表 另示两其个中都比一“个3球”小号码等于“3∴”，P(3)
C
1 1
C
C
3 6
2 2
1 20
“ 4” “ 5”
表 另 表 另示 示两 两其 其个 个中 中都 都比比一 一““个个45球球””小小号号码码等等于于““∴45∴””，，PP((45))CCCC1111CC63633242
第53讲-离散型随机变量及其分布列(解析版)
第53讲离散型随机变量及其分布列一、考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.二、知识梳理1.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X.(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3.常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量p的二点分布.(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n 件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝C m M C n－mN－MC n N(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.三、经典例题考点一 离散型随机变量分布列的性质【例1】 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5).(1)求a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710. 解 (1)由分布列的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.考点二 超几何分布的应用 典例迁移【例2】 (经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X的分布列为【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列. 解由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则P(X＝1)＝C16C44C510＝142，P(X＝2)＝C26C34C510＝521，P(X＝3)＝C36C24C510＝1021，P(X＝4)＝C46C14C510＝521，P(X＝5)＝C56C510＝142.因此X的分布列为【迁移探究2】用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X 的分布列.解由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，则P(X＝3)＝C44C16C510＝142，P(X＝1)＝C34C26C510＝521，P(X＝－1)＝C24C36C510＝1021，P(X＝－3)＝C14C46C510＝521，P(X＝－5)＝C56C510＝142，因此X的分布列为规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 考点三求离散型随机变量的分布列【例3】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝C120C1100C2200＋C1100C180C2200＝100199，P(X＝2)＝P(C)＝C120C180C2200＝16199，P(X＝0)＝P(D)＝C220＋C2100＋C280C2200＝83199，∴X的分布列为规律方法求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.[方法技巧]1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.四、 课时作业1．（2020·浙江高三二模）已知随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-，若203x <<，则随x 增大（ ） A ．()E ξ增大()D ξ增大 B ．()E ξ减小()D ξ增大 C ．()E ξ减小()D ξ减小 D ．()E ξ增大()D ξ减小【答案】C【解析】解：随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-， 124()012()333E x x x ξ∴=⨯+⨯+-=-，. 若203x <<，则随x 增大，()E ξ减小，()D ξ减小. 2．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【解析】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，.3．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ） A ．10 B ．32 C ．34 D ．37【答案】B【解析】设测试成绩为ξ，则()2~120,N ξσ，又，所以()()18411013022525P P ξξ≤=≥=⨯=， 所以成绩不低于130分的职工人数大约为42003225⨯=．4．（2020·新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现解析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( ) A ．85 B ．85.5C ．86D ．86.5【答案】A【解析】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是，故选：A ． 5．（2020·黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量，则该变量的方差()D ξ=（ ） A ．43B ．C ．89D ．【答案】C 【解析】1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的方差公式可得()11841339D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.6．（2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由条件可知 所以()411645525D X =⨯⨯=. 7．（2020·四川宜宾·高三其他（理））某同学投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，他投篮3次，至少连续2次命中的概率是（ ） A ．0.504 B ．0.524 C ．0.624 D ．0.648【答案】A【解析】由题可知：若连续两次命中概率为：()220.610.60.288⨯⨯-=若连续三次命中概率为：30.60.216=所以他投篮3次，至少连续2次命中的概率是0.2880.2160.504+=8．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量X 服从正态分布，且，则()4P X >=（ ） A ．0.6 B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】∵随机变量X 服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是2x =， ∵， ∴.9．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量ξ服从正态分布，若(3)0.84ξ<=P ，则(1)P ξ≤=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】A 【解析】由，因为正态分布的对称轴为：2x =， 所以(1)(3)0.16P P ξξ≤=≥=.10．（2020·湖南高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）． A ．34B ．C ．2137D ．542【答案】B【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ， 满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”， 所以，故选：B.11．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A ．150B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 12．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8【答案】D【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=， 所以，故选：D13．（2020·浙江高三月考）袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是13，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，则ξ的数学期望()E ξ=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，ξ能取的值为0，1，2，3， 则，，()232511802133243P C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ， ，则ξ的数学期望()32808051131012324324324324381E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. 14．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（ ） A ．60 B ．70C ．80D ．90【答案】C【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.15．（2020·全国开学考试（理））宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm 的圆，正中间有一边长为1cm 的正方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则两次油滴均落入孔中的概率为（ ） A ．2116π B ．116πC ．214π D ．14π【答案】A【解析】解：圆的面积为22=4ππ⨯ 2cm ，正方形的面积为21cm ， 则一滴油滴落入孔中的概率14πP =， 所以两滴油滴均落入孔中的概率.16．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知随机变量ξ服从二项分布，则（ ） A ． B ．8C ．D ．5【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从二项分布，所以()22651555D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，故选：C. 17．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布()2453,99N ，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）(附：()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)A ．36014B ．72027C ．108041D ．168222【答案】B 【解析】()2453,99ZN ，453,99μσ∴==，()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=，()()()2556513545525526512P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=，这些考生成绩落在的人数约为.18．（多选题）（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布2(,30)N μ和2(280,40)N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 【答案】ABD【解析】对于选项A ：+30=280，=250μμ，正确；对于选项B C ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确； 对于选项D ：，正确.19．（多选题）（2020·广东珠海·高三月考）已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ）A ．()(2)E X g =B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f =【答案】CD 【解析】解：因为， 则， ，令1x =时，，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811()16161616161616f x x x x x x x x =++++++故选项B 错误；选项D 正确.20．（多选题）（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）下列命题中正确的是（ ） A ．命题p ：，1x e x ->的否定：0x ∀≥，1x e x -≤B ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=；C ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.3y x m =-，若样本中心点为，则4m =D ．若随机变量()100,X B p ，且()20E X =，则()12D X =【答案】BC【详解】对于选项A ，命题p ：，1x e x ->的否定为：0x ∀<，1x e x -≤，所以A 不正确；对于选项B ，因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线关于1x =对称，所以(2)(4)10.790.21P P ξξ≤-=≥=-=，所以B 正确； 对于选项C ，因为回归直线一定经过样本中心点，所以， 即4m =，所以C 正确； 对于选项D ，因为()100,XB p ，且()20E X =，所以10020p =，即0.2p =，所以()1000.20.816D X =⨯⨯=，所以D 不正确.21．（2020·云南师大附中高三月考（理））华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近.小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.附：.（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出9个人，再随机抽3人，其中年轻用户的人数为X ，求X 的分布列和期望. 【详解】（1）易得由列表可得()210036122824 1.042 2.70640603664⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系. （2）利用分层抽样抽取9个购买华为手机的用户， 易知其中有3个年轻用户，6个非年轻用户.现在其中随机抽取3人，设抽到的年轻用户人数为X ， 则X 可能的取值为0，1，2，3，易得()()336390,1,2,3i i C C P X i C i -===， 故分布列为.22．（2020·云南高三月考（理））某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为34，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的． （1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，Y ，求随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 和方差()D X ，()D Y ，并由此解析由哪个班级代表学校参加大赛更好？ 【详解】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率； （2）甲班级能正确回答题目人数为X ，X 的取值分别为1，2，()121341112C C P X C ===，()2432122C P X C ===，则()11312222E X =⨯+⨯=，()22313111222224D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 乙班级能正确回答题目人数为Y ，Y 的取值分别为0，1，2， ∵，∴()33242E Y =⨯=，()3132448D Y =⨯⨯=， 由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．23．（2020·河南洛阳·月考（理））为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass （通过）与Fail （失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为13，且各关卡之间是否通过相互独立．（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费． （ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额X 的数学期望：（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.【详解】解：（1）买家通过三关的概率为33311327C⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，买家参加复活环节并闯关成功的概率为，所以买家闯关成功的概率．（2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率581 P=，设这8100名买家中闯关成功的人数为Y，则，且，所以Y的数学期望为()5 810050081E Y=⨯=，所以该日所有买家所获红包总金额X的数学期望为元．（ⅱ）设电商该日剔除红包款后盈利Z元，则元，由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算．。
随机变量及其分布列(全)
离散型随机变量1．理解随机变量的定义； 2．掌握离散型随机变量的定义．5052 复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是 ，出现偶数点的可能性是 ．复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是 ， 两个事件．二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？ 我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种 关系下，数字随着试验结果的变化而变化新知1：随机变量的定义：像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 …表示．思考：随机变量与函数有类似的地方吗？新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种 ， 试验结果的范围相当于函数的 ， 随机变量的范围相当于函数的 ． 试试： 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个 ，其值域是 ． 随机变量{0=X 表示 ； {}4=X 表示 ；{}3<X 表示 ；“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示． 新知3：所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量．思考：① 电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？ ※ 典型例题例1．某林场树木最高可达36m ，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．※ 动手试试练1．下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差． 练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ． （1）写出ξ可能取的值；（2）写出1=ξ所表示的事件三、总结提升 ※ 学习小结1．随机变量； 2．离散型随机变量．※ 知识拓展 概率论起源故事： 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
《随机变量及其分布列(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
PLeabharlann 解：由古典概型的知识，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表所示：
X
0
1
P
随机变量X只取两个可能值0和1
0-1分布、两点分布
X～0-1分布、X～两点分布
X
0
1
P
C
B
解：设黄球的个数为n，则绿球的个数为2n，红球的个数为4n，盒中小球的总个数为7n.
由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
随机变量的取值X(ω)随着试验结果(样本点)ω的变化而变化，其取值依赖于样本点，并且所有可能取值是明确的．随机变量是建立在Ω到R的对应，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同的是Ω不一定是数集．
(1) 一个实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2) 明天的降雨量L(单位：mm)；(3) 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.
认真读题、理解题意，正确写出随机变量可能的取值．
X＝6，表示“取出标有数字2, 4或1, 5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有数字3, 4或2, 5或1, 6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有数字2, 6或3, 5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有数字3, 6或4, 5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有数字4, 6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有数字5, 6的两张卡片”．
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随机变量及其分布列
经典例题
随机变量及其分布列典型例题
【知识梳理】
一．离散型随机变量的定义
1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.
2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．
3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
二．离散型随机变量的分布列
1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：
为离散型随机变量X P
(X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11
=∑=n
i i
p
．
三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X
若随机变量X p =P (X =1)为成功概率．
2.超几何分布),,(~n M N H X
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=
n
N
k n M
N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.
三．二项分布
一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )
n －
k
，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．易得二项分布的分布列如下;
【典型例题】
题型一、随机变量分布列的性质
【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)3
2
()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为____. 【例2】 随机变量ξ的分布列如下
题型二、随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．
【例4】安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．
（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．
【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；
（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，
求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．
【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：
项目生产成本检验费/次调试费出厂价
金额（元） 1000 100 200 3000
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．
【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.。