第八章第7节方向导数与梯度
合集下载
D8-7方向导数、梯度
方向导数或记为
z l
. ( x0 , y0 )
y
l
P0(•x0, y0 ) P( x0 x, y0 y)
o
x
2．方向导数的计算法
定理 若函数 z = f ( x , y )在 ( x0, y0 ) 可微 , 那末
函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有
f l
( x0 , y0 )
grad f ( x, y) fx( x, y)i f y( x, y) j
2．梯度与方向导数的关系
（1）
z l
grad f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
grad f
l
证：
z l
fx ( x, y)cos
f y( x, y)cos
（3）f 在点P处沿哪个方向的方向导数最小？
其值是多少？
grad f (1,2,1) (1,1,2)
(2) 令 l grad f (1,2,1) (1,1, 2), 则
f l
(1,2,1) grad f (1, 2,1)
6
（3） f 在点P处沿 grad f (1,2,1) (1,1,2)
fx( x, y), f y( x, y) cos ,cos
grad f ( x, y) (cos ,cos ) cos
grad f ( x, y) 1 cos
a b =
（1）
z l
grad
f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
例1 求函数 f ( x, y) x2 y2 在点(0, 0) 处沿方向
江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度
1/29
第七节
方向导数与梯度
一、问题的提出
二、方向导数的定义
三、梯度的录 上页 下页 返回 结束
2/29
一、问题的提出
【回顾】
一元函数
dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向增大 dx dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向减小 dx
y f ( x)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向增大 二元函数 x z f ( x , y ) z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向减小 x
PP0 t
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 考虑 , PP0 t 当P沿l趋于P0 (即t 0 )时的极限是否存在？
1.【定义】函数增量f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )与P 到 P0 间的距离| PP0 | 之比值, 当P 沿着 l 趋于P0 时, 若此比的极限存在 , 则称这极限为函数 在 P0 点沿方向l 的方向导数. 记为 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t
( 3) 但反之，若方向导数存在 、而偏导数未必存在
【反例】
圆锥面 z x y 在顶点O(0,0)沿l i 方向的
2 2
z z 方向导数 1，而偏导数 不存在 l ( 0,0 ) x ( 0,0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 【方向导数的存在及计算】
8/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z f ( x, y)
3/29
第七节
方向导数与梯度
一、问题的提出
二、方向导数的定义
三、梯度的录 上页 下页 返回 结束
2/29
一、问题的提出
【回顾】
一元函数
dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向增大 dx dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向减小 dx
y f ( x)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向增大 二元函数 x z f ( x , y ) z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向减小 x
PP0 t
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 考虑 , PP0 t 当P沿l趋于P0 (即t 0 )时的极限是否存在？
1.【定义】函数增量f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )与P 到 P0 间的距离| PP0 | 之比值, 当P 沿着 l 趋于P0 时, 若此比的极限存在 , 则称这极限为函数 在 P0 点沿方向l 的方向导数. 记为 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t
( 3) 但反之，若方向导数存在 、而偏导数未必存在
【反例】
圆锥面 z x y 在顶点O(0,0)沿l i 方向的
2 2
z z 方向导数 1，而偏导数 不存在 l ( 0,0 ) x ( 0,0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 【方向导数的存在及计算】
8/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z f ( x, y)
3/29
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
2019-D87方向导数与梯度高等数学-文档资料
x ( c x o ) 2 , s ( yy )2 c( o z )2 ,,szco s
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
u 162831 41 11
n P 14
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
fco sfco sfco so()
x
y
z
故
f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
方向导数,梯度
方向导数,梯度方向导数和梯度是数学中两个重要的概念，它们在各个领域都有着广泛应用。
本文将对这两个概念进行介绍和解释。
方向导数是向量值函数在某一点沿着某一方向的导数。
简单来说，方向导数描述了函数在某一点上沿着某一方向变化的速率。
在三维空间中，方向导数可以用以下公式进行表示：$$D_{\vec{u}}f=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{P}+h\vec{u})-f(\vec{P})}{h}$$其中，$\vec{P}$表示函数在某一点的位置，$\vec{u}$表示某一方向，$f(\vec{P}+h\vec{u})$表示函数在点$\vec{P}+h\vec{u}$处的取值。
方向导数可以看作是梯度沿着某一方向的投影，可以用以下公式计算：方向导数在物理学、工程学、经济学等各个领域都有着广泛应用。
例如，在物理学中，方向导数可以用来描述电场、热场等物理量的变化规律。
二、梯度$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$其中，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别表示$x$、$y$、$z$方向的单位向量。
梯度向量的模长表示函数在该点上的变化率最大值，方向与梯度向量相同的方向是函数在该点上变化率最快的方向。
在物理学、计算机图形学、优化等领域中，梯度都有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，梯度可以用来计算图像的边缘和纹理，从而实现图像的特征提取和识别。
总结：方向导数和梯度都是向量值函数中非常重要的概念。
方向导数描述了函数沿着某一方向变化的快慢，可以用来描述物理量的变化规律；梯度表示函数变化最快的方向和速率，可以用来计算图像的特征和优化问题的解。
掌握方向导数和梯度的概念和计算方法，可以为各个领域的学习和应用提供重要的数学工具。
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
8-7 方向导数与梯度
两边同除以 (即t ), 得到
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y ) t
f x
cos
f y
sin
o( ) t
故有方向导数为:
lim
t 0
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y )
f l
( x0 , y0 )
lim
t 0
f ( x0 t cos , y0 t sin ) f ( x0 , y0 ) t
y)在点P沿着x轴正向 i =(1,
.
依定义, 函数z=f(x, 0), y 轴正向 j =(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负向的方向导数分别为 -fx, -fy.
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类 似 地 ,设 曲 面 f ( x , y , z ) c 为 函 数 u f ( x , y , z ) 的 等 量 面 ，此 函 数 在点 P ( x, y, z)的 梯 度 的 方 向 与 过 点 P 的 等 量 面 f ( x, y, z) c 在 这 点 的 法 线 的 一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
lim f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
0
x x 0 t cos l: y y 0 t sin
是否存在？
(t 0)
l 的参数方程为:
P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).
南京航空航天大学《高等数学》8.7方向导数与梯度
小结
1,方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)
2,梯度的概念
(注意梯度是一个向量)
3,方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
思考题
(分清方向导数与一般导数的区别)
梯度与等高线的关系:
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x , y ) = c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.
梯度的概念可以推广到三元函数
同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有
f f f f = cosα + cos β + cos γ . z l x y
n 是曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在点 例4 设 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 = (6 x 2 + 8 y 2 ) 2 在此处沿方向 n 的方向 u z
u u u u 11 故 = ( cosα + cos β + cos γ ) = . 7 n P x y z P
三,梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ,都可
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sin α ,
第七节方向导数与梯度
8; 14
u zP
6x2 8y2
z2
14.
P
u n
P
6283(1)4 1 11
14141414
147
.
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题 函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大
已知方向导数公式 ffcosfcos
f(x,y)c表示一条平面曲线,
所其以参g任数r意形a点式处d：的fxy切向xy(量x)为：1,yfxx f1y,yffxxy
0
1
fx
(
fx fy
)
fy 0 gr afx d ,fyf gradf
所以梯度为曲线 f(x,y)c上点( x, y) 处的法向量.
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
zlP fxPco s fyPcos gr zP a (c d ,c oo s )s grzP al0 d 19
沿梯度方向,
函数的增长最快!
gradzP
f x
,
f y
P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
(1, 3)
(5, 3)
TT(x,y) k x2 y2
(1, 1)
o
(5, 1)
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
课件8-7方向导数梯度
即梯度方向与法向量 相同，此时
P
f(x,y)c
uuuur grad f
f
n
f(x,y)c1
o
c1 cc2
x
梯度方向与等值线线, 梯度的模就等于函数在这个
法线方向的方向导数.
问题：
上山时，如何选择最快的方向？ 梯度
计算方法课程中的一种计算策略： “瞎子下山法”
则 称 这 极 限 为 函 数 在 点P
P 沿 方 向 l的 方 向 导 数 ．o
x
记为 f l i m f(xx,yy)f(x,y)
l 0
f f(x x,y y)f(x,y)
lim l 0
r若偏导 f x 存在,则 f(x,y)在点P沿着x轴正向
i (1,0)的方向导数为
fl lx i m 0 f(xx,y x 0y)f(x,y)
c o ss in 2sin(),
故
4
（1）当
时，方向导数达到最大值 4
2
（2）当 5时，方向导数达到最小值 2 4
（3）当 3和 7时，方向导数等于0.
4
4
推广: 三元函数方向导数的定义
对于三元函数 uf(x,y,z) 它在空间一点P(x,y,z)沿方向 l 的方向导数
可定义为
f
例4 求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y
在点(1,1, 2 ) 处的梯度,并问在何处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u gu ru au d ru(x,y,z)uirurjuk r x y z
u u u u r ( 2 x r 3 ) i r ( 4 y 2 r ) j 6 z k , 故 g r a d u ( 1 ,1 ,2 ) 5 i 2 j 1 2 k .
高数讲义第七节方向导数与梯度
故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
数学分析8-7方向导数和梯度
y
cos α =
2 , cos β = 3 , cos γ = 1 . 14 14 14
Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
u′(0) = lim
t→0
(性质2) 梯度向量的模 等于方向导数的最 大值;
r 称为函数 f在点 M 0沿方向 l 的方向导数 .记作
∂f r ∂l
z = f ( x, y)
L
•
f ( x0 + t cosα , y0 + t cosβ , z0 + t cosγ ) − f ( x0 , y0 ) t
证明
由于函数可微，则增量可表示为 故 = cos α + sin α = 2 sin( α + π ), 4 π 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
5π 时， 方向导数达到最小值 − 2 ; 4
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
设 e = cosϕi + sin ϕj 是任意 给定 的 单位 向 量 ，
r
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七节 方向导数 与梯度
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
)
l
i ml
0imf0 (fx(0x 0cosc os, y0,y0 cocsos))f(fx(0x,0y,0y)0)
y
y
Pl
y0 P0
O
x0 x
co sx x 0
x
cos y y 0
3
定理 设与射线 l 同方向的 单位向量l 0 (cos,cos)
y y0
l 0
y x2 1
它在点 P 的切向量为 ( 1 , 2 x ) x 2 (1, 4) l
y
3P
l0 ( 1 , 17
4) 17
o 1
2
x
z l
P
grad f l 0 361 64 17
60 1 78
例3.设 n 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P(1, 1, 1 )处
2. 求出方向 单位化
3. 代入公式
l (a , b , c )
l 0 1 l (cos,cos , cos )
|l |
f gradf l 0 l P0
f
x
cos
f
y
cos
f z cos
6
例1. 求函数 ux 2 y z 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l (2,1,3)
的方向导数 .
二元函数 f (x, y) 在点 P ( x, y) 处的梯度
grad f
f x
i
f y
j
(
f x
,
f y
)
例如 z 3 x 2 y y 2 的梯度 gra d z ( 6 x y , 3 x 2 2 y )
u x 2 y z 的梯度 gra d u ( 2 xy z , x 2 z , x 2 y ) 2
f x
f(x 0 l 与 lxx i m,y 轴0 f 反( x 向y 0) ( f(cxo 0s,, y0,)y02fx)(,x0c,oysfl0)x) fffx y(((xxx000,,,yyy00)0))y
o(f) x
lf l l
与 与(
y
xy0
,
y轴 轴00 ) 同 反向 向ffxx((((xx00,,yy2200,),)ccooss0)),,f fy(yfl(xxfl 00, ,yy0ff0)ycy)((oxxsc00o,,syy00o))(o ()fy)4
u
n 0 ( 12 24
2, 14 1
3 14 11
,
1 )
14
n P 14 14
7
9
92页.4 求函数u x 2 2 y 2 z 在点M 0 (1,2,9) 处 沿过该点 等值面法线方向的方向导数.
解:
grad
u
M
0
(
2
x
,
4
y,1)
(1 ,2 ,9 )
(2,8
,
1)
过点M0 的等值面 x2 2y2 z 0 的法向量
P y
l
P0 x f
若函数 f (x, y) 在点P 0 可微 ,则函数 f (x, y) 在点P 0 沿l 方向的方向导数
fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
l (x0, y0)
O
x0
x
特证别明: l f与(xx, y轴) 同在向点(P0 可0微,
2
)
,
f l
fx(x0,y0)
14
14
14 14
7
例2. 求函数 z 3 x 2 y y 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x 2 1
朝 x 增大方向 的方向导数.
解: z 3 x 2 y y 2 的梯度
grad z ( 6 x y , 3 x 22 y ) ( 2 , 3 )
(36, 6 )
xx
已知曲线 的参数方程为
解: u x 2 y z 的梯度
grad u ( 2 xyz, x 2 z , x 2 y ) ( 1 , 1 , 1 ) (2, 1 , 1 )
| l | 4 1 9 14
l0 ( 2 , 1 , 3 ) 14 1 4 1 4
u l P
grad f l 0 2 2 1
1
1 3
6
二、方向导数 射线 l 的起点为 P 0 , 方向角为
P(x, y)为该射线上一点,| P P 0 |
,, (
0)
x x0cos y y0cos
为射线l参数方程, 设函数 zf(x,y)在 P 0 的某个邻域内 有定义, 若极限 存在, 则此极限 为函数 f (x, y) 在点P 0
沿l方向 的方向导数,记为
n (2x,4
y , 1 )
(2, 8 ,
(1 ,2 ,9 )
1)
n0 ( 2 , 8 , 1 ) 69 69 69
u n
=gradu M0n o M 0
M0
(
4
69
64
69
1 ) 69 69
10
三、方向导数 梯度的意义
函数 f (x, y) 在点 P
沿l方向
的方向导数,Leabharlann f lPf l
l
0
0
P
若函数 f(x,y,z) 在点 P 0 可微
则函数 f(x,y,z)在点P 0 沿方向l 的方向导数
fx(x0,y0,z0)cosfy(x0,y0,z0)cos
0
fz(x0,y0,z0)cos
5
方向导数 的算法
1. 求出梯度 gra d f ( f x , f y , f z ) ( x 0 , y 0 , z 0 )
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
)
l
i ml
0imf0 (fx(0x 0cosc os, y0,y0 cocsos))f(fx(0x,0y,0y)0)
y
y
Pl
y0 P0
O
x0 x
co sx x 0
x
cos y y 0
3
定理 设与射线 l 同方向的 单位向量l 0 (cos,cos)
y y0
l 0
y x2 1
它在点 P 的切向量为 ( 1 , 2 x ) x 2 (1, 4) l
y
3P
l0 ( 1 , 17
4) 17
o 1
2
x
z l
P
grad f l 0 361 64 17
60 1 78
例3.设 n 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P(1, 1, 1 )处
2. 求出方向 单位化
3. 代入公式
l (a , b , c )
l 0 1 l (cos,cos , cos )
|l |
f gradf l 0 l P0
f
x
cos
f
y
cos
f z cos
6
例1. 求函数 ux 2 y z 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l (2,1,3)
的方向导数 .
二元函数 f (x, y) 在点 P ( x, y) 处的梯度
grad f
f x
i
f y
j
(
f x
,
f y
)
例如 z 3 x 2 y y 2 的梯度 gra d z ( 6 x y , 3 x 2 2 y )
u x 2 y z 的梯度 gra d u ( 2 xy z , x 2 z , x 2 y ) 2
f x
f(x 0 l 与 lxx i m,y 轴0 f 反( x 向y 0) ( f(cxo 0s,, y0,)y02fx)(,x0c,oysfl0)x) fffx y(((xxx000,,,yyy00)0))y
o(f) x
lf l l
与 与(
y
xy0
,
y轴 轴00 ) 同 反向 向ffxx((((xx00,,yy2200,),)ccooss0)),,f fy(yfl(xxfl 00, ,yy0ff0)ycy)((oxxsc00o,,syy00o))(o ()fy)4
u
n 0 ( 12 24
2, 14 1
3 14 11
,
1 )
14
n P 14 14
7
9
92页.4 求函数u x 2 2 y 2 z 在点M 0 (1,2,9) 处 沿过该点 等值面法线方向的方向导数.
解:
grad
u
M
0
(
2
x
,
4
y,1)
(1 ,2 ,9 )
(2,8
,
1)
过点M0 的等值面 x2 2y2 z 0 的法向量
P y
l
P0 x f
若函数 f (x, y) 在点P 0 可微 ,则函数 f (x, y) 在点P 0 沿l 方向的方向导数
fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
l (x0, y0)
O
x0
x
特证别明: l f与(xx, y轴) 同在向点(P0 可0微,
2
)
,
f l
fx(x0,y0)
14
14
14 14
7
例2. 求函数 z 3 x 2 y y 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x 2 1
朝 x 增大方向 的方向导数.
解: z 3 x 2 y y 2 的梯度
grad z ( 6 x y , 3 x 22 y ) ( 2 , 3 )
(36, 6 )
xx
已知曲线 的参数方程为
解: u x 2 y z 的梯度
grad u ( 2 xyz, x 2 z , x 2 y ) ( 1 , 1 , 1 ) (2, 1 , 1 )
| l | 4 1 9 14
l0 ( 2 , 1 , 3 ) 14 1 4 1 4
u l P
grad f l 0 2 2 1
1
1 3
6
二、方向导数 射线 l 的起点为 P 0 , 方向角为
P(x, y)为该射线上一点,| P P 0 |
,, (
0)
x x0cos y y0cos
为射线l参数方程, 设函数 zf(x,y)在 P 0 的某个邻域内 有定义, 若极限 存在, 则此极限 为函数 f (x, y) 在点P 0
沿l方向 的方向导数,记为
n (2x,4
y , 1 )
(2, 8 ,
(1 ,2 ,9 )
1)
n0 ( 2 , 8 , 1 ) 69 69 69
u n
=gradu M0n o M 0
M0
(
4
69
64
69
1 ) 69 69
10
三、方向导数 梯度的意义
函数 f (x, y) 在点 P
沿l方向
的方向导数,Leabharlann f lPf l
l
0
0
P
若函数 f(x,y,z) 在点 P 0 可微
则函数 f(x,y,z)在点P 0 沿方向l 的方向导数
fx(x0,y0,z0)cosfy(x0,y0,z0)cos
0
fz(x0,y0,z0)cos
5
方向导数 的算法
1. 求出梯度 gra d f ( f x , f y , f z ) ( x 0 , y 0 , z 0 )