贝叶斯定理以及有条件期望共18页文档
概率论贝叶斯公式
概率论贝叶斯公式概率论是研究随机事件的数学分支，它是一种量化不确定性的工具。
在概率论中，贝叶斯公式是一种重要的工具，它可以帮助人们在已知一些信息的情况下，对未知的情况进行推断和预测。
本文将介绍贝叶斯公式的概念、原理和应用。
一、概念贝叶斯公式是一种基于贝叶斯定理的公式，它是一种用于计算条件概率的方法。
条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
例如，如果我们知道某个人是男性，那么他是左撇子的概率是多少？这就是一个条件概率问题。
二、原理贝叶斯公式的核心是贝叶斯定理。
贝叶斯定理是指，在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率可以通过已知的信息来计算。
贝叶斯定理的公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知B发生的情况下，A发生的概率；P(B|A)表示在已知A发生的情况下，B发生的概率；P(A)表示A发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
三、应用贝叶斯公式在许多领域都有广泛的应用，包括统计学、机器学习、人工智能和自然语言处理等。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 垃圾邮件过滤垃圾邮件过滤是贝叶斯公式的一个经典应用。
在垃圾邮件过滤中，我们需要判断一封邮件是垃圾邮件还是正常邮件。
我们可以通过邮件的主题、发件人、内容等信息来判断。
假设我们已经有一些正常邮件和垃圾邮件的样本，我们可以利用这些样本来训练一个分类器，然后用这个分类器来对新邮件进行分类。
分类器的核心是贝叶斯公式，它可以根据已知的信息来计算一个邮件是垃圾邮件的概率。
2. 医学诊断贝叶斯公式也可以用于医学诊断。
在医学诊断中，医生需要根据病人的症状和检查结果来判断病人是否患有某种疾病。
假设我们已经有一些病人的症状和检查结果的样本，我们可以利用这些样本来训练一个分类器，然后用这个分类器来对新病人进行诊断。
分类器的核心仍然是贝叶斯公式，它可以根据已知的信息来计算一个病人患有某种疾病的概率。
第9讲 贝叶斯公式
例3如图，从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球取自1号箱的概率.解设A i =“球取自i 号箱”，i = 1,2,3. B =“取到红球”，123求P (A 1|B )例3如图，解设Ai=“球取自i 号箱”，i = 1,2,3. B =“取到红球”，则所求概率为12311()(|)=()P A B P A B P B 1123()=()()()++P A B P A B P A B P A B 运用全概率公式计算P (B )1131()(|)=()()k k k P A P B A P A P BA =∑｜例3如图，解设Ai=“球取自i 号箱”，i B =“取到红球”，则所求概率为12311131()(|)(|)=()()k kk P A P B A P A B P A P B A =∑｜1/31/210=.1/3(1/23/51/4)27⋅=++1A 2A 3A B定理设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,(i =1,2,…,n )若对任一事件B , 有(A 1＋A 2＋… ＋A n )B ，且P (B ) > 0, 则⊃=1,,i n （）1()(|)(|)=,()()i i i n j j j P A P B A P A B P A P B A =∑｜4A 5A 6A A 2A 3A 1BS 1()()(|)=()()i i i n j j P A B P A B P A B P B P A B ==∑定理设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,(i =1,2,…,n )若对任一事件B , 有(A 1＋A 2＋… ＋A n )B ，且P (B ) > 0, 则⊃=1,,i n （）贝叶斯公式是英国数学家Bayes 于1763首先提出的. 由此思想形成了后来的“Bayes 方法”.1()(|)(|)=,()()i i i nj jj P A P B A P A B P A P B A =∑｜例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B=“产品是合格品”,所求概率为P(A|B).例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B =“产品是合格品”,()(|)()P AB P A B P B =()=()()P AB P AB P AB +()(|)=()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A +例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B =“产品是合格品”,()0.75,P A =(|)0.3,P B A =(|)0.9,P B A =()(|)(|)=()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +0.750.90.9.0.750.90.250.3⨯==⨯+⨯.)()()()()|(1∑==n j j j i i i A B P A P A B P A P B A P ｜｜P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的验前概率和验后概率.谢谢！。
数学中的贝叶斯定理及其应用
数学中的贝叶斯定理及其应用在数学领域，有一条重要的定理被称为贝叶斯定理。
贝叶斯定理是由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它在概率论和统计学中有广泛的应用。
贝叶斯定理是一种基于条件概率的理论，它描述了当我们已经拥有一些先验信息时，如何根据新的证据更新我们对某一事件发生概率的估计。
首先，让我们了解一下条件概率。
条件概率指的是两个事件相关性的概率。
用P(A|B)表示，在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理的基本形式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
现在我们来看一个简单的实例来说明贝叶斯定理如何应用于实际问题。
假设有一个罐子里面有30个红球和20个蓝球。
现在我们想知道在摸出一个球之前，红球的概率与摸出一个红球之后，再次摸到红球的概率之间的关系。
首先，我们可以根据先验信息得知，在还没有摸球之前，红球的概率是30/50=0.6，蓝球的概率是20/50=0.4。
这就是我们的初始估计。
现在，假设我们第一次摸出了一个红球，我们想知道在第二次摸球之前，摸到红球的概率。
根据贝叶斯定理，我们可以计算如下：P(第二次摸到红球|第一次摸到红球) = P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) * P(第一次摸到红球) / P(第二次摸到红球)根据先验信息，P(第一次摸到红球) = 0.6，P(第二次摸到红球) =29/49（第一次摸到红球后，总共剩下红球29个，总共剩下球49个）。
因此，我们可以得到：P(第二次摸到红球|第一次摸到红球) = P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) * 0.6 / (29/49)现在，P(第一次摸到红球|第二次摸到红球)可以通过简单的条件概率计算得出。
在已经摸出红球的条件下，第一次摸到红球的概率是1，因此P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) = 1。
贝叶斯公式
贝式定理
对于变量有二个以上的情况，贝式定理亦成立。例如： 这个式子可以由套用多次二个变量的贝氏定理及条件机率的定义导出。
意义
意义
贝叶斯定理公式(3张)例如：一座别墅在过去的 20年里一共发生过 2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平 均每周晚上叫 3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
假设已经抽出红球为事件 B，选中容器 A为事件 A，则有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10， 按照公式，则有：P(A|B) = (7/10)(1/2) / (8/20) = 0.875
贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。在采样之前，经济主体对各种假设有 一个判断（先验概率），关于先验概率的分布，通常可根据经济主体的经验判断确定（当无任何信息时，一般假 设各先验概率相同），较复杂精确的可利用包括最大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定先验 概率分布。
博弈开始时，B认为A属于高阻挠成本企业的概率为70%，因此，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率 为：
0.7×0.2+0.3×1=0.44
0.44是在B给定A所属类型的先验概率下，A可能采取阻挠行为的概率。
当B进入市场时，A确实进行阻挠。使用贝叶斯法则，根据阻挠这一可以观察到的行为，B认为A属于高阻挠成 本企业的概率变成A属于高成本企业的概率=0.7（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市 场的企业进行阻挠的概率）÷0.44=0.
贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。 其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。为完备事件组，即 在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称： Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。 Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。 Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。 Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。
贝叶斯公式PPT学习教案
k1
故
(1-p)4=0.41
1-p=0.8
p=0.2
A至多出现一次的概率为：
P4(0)+P4(1) (1 p)4 C14p(1 p)3
0.84 C14 0.20.83 =0.82
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例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？
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例4 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。
解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3
=1-0.1×0.2 =0.98
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例2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求： (1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。 (2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99％？
解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)＝0.004
(1)P(A1 ... A250) 1 P(A1)...P(A250) 1 0.996250 0.63
P(B)
P(B)
=P(A)
即A与B独立。
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(2)若事件A与B独立，则A与B，A与B，A与B中的 每一对事件都相互独立。 证：P(AB) P(A AB)
P(A) P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) P(A)P(B) 由(1)可知，A与B独立。 类似可证其它两对事件独立。
111115 35 32 38
贝叶斯定理
贝叶斯定理所谓贝叶斯定理，是指当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。
也就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。
但行为经济学家发现，人们在决策过程中往往并不遵循贝叶斯规律，而是给予最近发生的事件和最新的经验以更多的权值，在决策和做出判断时过分看重近期的事件。
面对复杂而笼统的问题，人们往往走捷径，依据可能性而非根据概率来决策。
真正的高手，都懂“概率权”，每一个决策点都是独立的，并且都会冷静地寻找“当下”的最大获胜概率。
创业上的快速试错，也是希望通过贝叶斯更新，不断优化商业模式上的概率，直至发现正期望值的机会。
如何当一个成功的创业公司 CEO？霍洛维茨分享过一条重要的经验：创业公司的 CEO 不应该计算成功的概率。
创建公司时，你必须坚信，任何问题都有一个解决办法。
而你的任务就是找出解决办法，无论这一概率是十分之九，还是千分之一，你的任务始终不变。
不过，在我们的一生中，面对不确定性，我们大多时候扔骰子的次数都是有限的，并且是消耗资源的。
永不放弃，指的是你的斗志，而非押完你钱包里的最后一块钱。
以下，Enjoy：什么是概率权？概率权是我创造的一个词。
概率权，是基于概率计算的未来选择权。
塔勒布和交易员劳伦共进晚餐，两人掷硬币决定由谁付账，塔勒布输了，只好乖乖掏出腰包。
劳伦本来想道声谢，却突然改口说：“看了你的书，我想你一定会说，在概率上，这顿饭我付了一半的钱。
”理解这一点并不容易，有些人宁可追求比被雷劈概率还小的中奖机会，也不愿意去做有50%把握成功的事情。
概率权与未来有关。
2020年3月份爆赚30倍的基金经理斯皮茨纳格尔在《资本的秩序》里写道：资本具有跨期特征：它的定位和在未来不同时点的优势是核心。
时间是资本的生存环境--定义它、塑造它、帮助它、阻碍它。
我先给概率权搭个简单的框架：1、基于期望值计算的（与空间有关的）概率权。
贝叶斯 条件概率
贝叶斯条件概率（原创版）目录1.贝叶斯公式与条件概率的定义2.条件概率的性质及应用3.全概率公式4.贝叶斯公式的应用5.贝叶斯网络正文贝叶斯公式与条件概率的定义：贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，它可以用于计算条件概率。
条件概率指的是在某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的性质及应用：条件概率具有两个性质，即：P(A|B) = 1 - P(A"|B) 和 P(A|B) = P(B|A) * P(A) / (P(B) - P(B|A) * P(A))。
这些性质可以帮助我们计算和理解条件概率。
条件概率在实际应用中非常重要，例如在医学诊断、统计推断和机器学习等领域都有广泛的应用。
全概率公式：全概率公式是概率论中另一个重要的公式，它可以用于计算多个事件的概率。
全概率公式可以表示为：P(A) = ΣP(A|B) * P(B)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(A|B) 表示在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
贝叶斯公式的应用：贝叶斯公式在实际应用中非常重要，它可以用于计算各种条件概率。
例如，在医学诊断中，我们可以使用贝叶斯公式来计算在某些症状出现的情况下，患者患有某种疾病的概率。
在统计推断中，贝叶斯公式可以用于计算在某些数据已经观测到的情况下，某个参数的概率。
贝叶斯网络：贝叶斯网络是一种用于表示概率关系的图形模型，它可以用于表示多个变量之间的条件概率。
贝叶斯网络中，节点表示变量，边表示条件概率。
通过贝叶斯网络，我们可以方便地表示和计算各种条件概率。
条件概率和贝叶斯公式-图解概率03
条件概率和贝叶斯公式-图解概率03
条件概率与贝叶斯公式
给定条件 B 发生时, A 的条件概率:
现在用文氏图直观来看什么是条件概率, 下面图形中有事件 A 和 B :
当事件 B 已经发生时候的文氏图表示如下:
A,B 同时发生的概率, 即下图P(A∩B) 为红色相交部分面积:
在 B 发生时候, 任何事件 A 发生也就是A∩B 的概率为下面文氏图:
还可以从上面图形观察得到, 由于条件概率所关心的事件都是事件B 的子事件, 所以可以把事件 B 看作新的全空间Ω .Ω
贝叶斯公式
类似, 我们从事件 A 出发可推导出下面条件概率等式:
经过推导可以得到下面著名的贝叶斯公式:
关于贝叶斯公式可以查看(点击跳转»)《核电灾难的概率与辛普森案》一文中有趣示例.
利用序贯树形图来分析条件概率
这里来看(点击跳转»)《数学女孩的恋爱事件簿》中的一个例子, 剧中最开始男主角伴田一度有轻生的想法, 他告诉女主角胡桃: "他得了10000 个人才会有一个的不治之症, 医生告诉他检查的准确度是 99.9%. " . 用序贯树形图来解释就是如下图所示:
根据贝叶斯公式可得:
也可以看下电视剧中女主角胡桃如何用非常浅显的说法解释给数学小白伴田: (向左滑动图片查看胡桃给出的解释)。
贝叶斯定理
贝叶斯定理（重定向自后验概率）贝叶斯定理（Bayes theorem ），是概率论中的一个结果，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。
在有些关于概率的解说中，贝叶斯定理（贝叶斯更新）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。
通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。
作为一个规范的原理，贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中，概率如何被赋值，有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。
一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。
本文深度讨论了这些争论。
贝叶斯定理的陈述贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
在贝叶斯定理中，每个名词都有约定俗成的名称：.P(A)是A的先验概率或边缘概率。
之所以称为恍验"是因为它不考虑任何B方面的因素。
•P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A 的后验概率。
•P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B 的后验概率。
•P(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量(normalized constant).按这些术语，Bayes定理可表述为：后验概率二(相似度*先验概率”标准化常量也就是说，后验概率与先验概率和相似度的乘积成正比。
另外，比例P(B| A)/P( B)也有时被称作标准相似度(standardisedlikelihood ) ，Bayes定理可表述为：后验概率二标准相似度*先验概率从条件概率推导贝叶斯定理根据条件概率的定义.在事件B发生的条件下事件A发生的概率是P(A n B)同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率I ”阳)=雹胆.|整理与合并这两个方程式，我们可以找到P(A\B) P(B) = P(A D B) = P(B\A)P(A).这个引理有时称作概率乘法规则•上式两边同除以P(B),若P(B)是非零的，我们可以得到贝叶斯定理：网时嗥纠I 二中择一的形式贝叶斯定理通常可以再写成下面的形式：P(B) = P(A'B)+P(A C, B) = P(B\A)P(A) | P(B\A C)P(A C) I其中A是A的补集(即非A)。
贝叶斯定理以及有条件的期望
首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。 不妨假设村民过去对这个小孩的印象为 PB 0.8 PB 0.2 PA B 0.1 P A B 0.5
第一次村民山上打狼，发现狼没来，即小孩说了谎(A)， 村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为 PB PA B PB A PB PA B PB P A B
i 1
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的证明
P ABi 由条件概率的定义 PBi A P A
对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式
P A PB j P A B j
n j 1
P ABi PBi PA Bi
即得
PBi A
Selten’s Game的扩展
2 0.5,0.5 假设 1 1 3 , 2 3 ， 对于player1的expected payoff
如果是从player2的information set开始，player1的 payoff
同理，我们可得player2的payoff
那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？ 只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但 player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响 到player2的决策，那么在什么情况下player1会选择U或者D 呢？
PB PA B
n j 1 j j
PBi PA Bi
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的实例
伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山 上放 羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊 “狼来了，狼来了”，山下的村名闻声便去打狼， 可到山上，发现狼没来；第二天仍是如此；第三天， 狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救 他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他。
贝叶斯定理的深入理解
贝叶斯定理的深入理解贝叶斯定理是概率论中的一项重要定理，它能够帮助我们在已知某些条件下，计算出另一事件发生的概率。
贝叶斯定理的应用非常广泛，涉及到统计学、机器学习、人工智能等领域。
在本文中，我们将深入理解贝叶斯定理的原理和应用。
一、贝叶斯定理的原理贝叶斯定理是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它是基于条件概率的推导而来。
贝叶斯定理的数学表达式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
贝叶斯定理的核心思想是通过已知的条件概率来计算未知的条件概率。
它通过将事件A和事件B的条件概率相乘，再除以事件B的概率，得到事件A在事件B发生的条件下的概率。
二、贝叶斯定理的应用1. 统计学中的应用贝叶斯定理在统计学中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，我们可以利用贝叶斯定理来计算某种疾病的患病率。
假设某种疾病的患病率为1%，而某种检测方法的准确率为99%。
那么，当一个人通过该检测方法得出阳性结果时，他真正患病的概率是多少？利用贝叶斯定理，我们可以计算出该患病概率为约9.1%。
这个例子说明了贝叶斯定理在统计学中的重要性。
2. 机器学习中的应用贝叶斯定理在机器学习中也有着广泛的应用。
例如，在垃圾邮件过滤中，我们可以利用贝叶斯定理来判断一封邮件是否为垃圾邮件。
通过已知的垃圾邮件和非垃圾邮件的条件概率，我们可以计算出一封邮件是垃圾邮件的概率。
如果这个概率超过了一个设定的阈值，我们就可以将该邮件判定为垃圾邮件。
这个例子展示了贝叶斯定理在机器学习中的实际应用。
3. 人工智能中的应用贝叶斯定理在人工智能领域也有着重要的应用。
例如，在语音识别中，我们可以利用贝叶斯定理来判断一个语音信号对应的是哪个词语。
通过已知的词语和语音信号的条件概率，我们可以计算出一个语音信号对应每个词语的概率。
通俗地理解贝叶斯公式（定理）
通俗地理解贝叶斯公式（定理）朴素贝叶斯（Naive Bayesian algorithm）是有监督学习的一种分类算法，它基于“贝叶斯定理”实现，该原理的提出人是英国著名数学家托马斯·贝叶斯。
贝叶斯定理是基于概率论和统计学的相关知识实现的，因此在正式学习“朴素贝叶斯算法”前，我们有必要先认识“贝叶斯定理”。
贝叶斯定理贝叶斯定理的发明者托马斯·贝叶斯提出了一个很有意思的假设：“如果一个袋子中共有 10 个球，分别是黑球和白球，但是我们不知道它们之间的比例是怎么样的，现在，仅通过摸出的球的颜色，是否能判断出袋子里面黑白球的比例？”上述问题可能与我们高中时期所接受的的概率有所冲突，因为你所接触的概率问题可能是这样的：“一个袋子里面有 10 个球，其中 4 个黑球，6 个白球，如果你随机抓取一个球，那么是黑球的概率是多少？”毫无疑问，答案是 0.4。
这个问题非常简单，因为我们事先知道了袋子里面黑球和白球的比例，所以很容易算出摸一个球的概率，但是在某些复杂情况下，我们无法得知“比例”，此时就引出了贝叶斯提出的问题。
在统计学中有两个较大的分支：一个是“频率”，另一个便是“贝叶斯”，它们都有各自庞大的知识体系，而“贝叶斯”主要利用了“相关性”一词。
下面以通俗易懂的方式描述一下“贝叶斯定理”：通常，事件 A 在事件 B 发生的条件下与事件 B 在事件 A 发生的条件下，它们两者的概率并不相同，但是它们两者之间存在一定的相关性，并具有以下公式（称之为“贝叶斯公式”）：看到上述公式，你可能一头雾水，不过不必慌张，下面我们来了解一下“贝叶斯”公式。
符号意义首先我们要了解上述公式中符号的意义：•P(A) 这是概率中最基本的符号，表示A 出现的概率。
比如在投掷骰子时，P(2) 指的是骰子出现数字“2”的概率，这个概率是六分之一。
•P(B|A) 是条件概率的符号，表示事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，条件概率是“贝叶斯公式”的关键所在，它也被称为“似然度”。
概率论与数理统计全概率和贝叶斯公式18页PPT
谢谢！
36、自己是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
概率论与数理统计全概率和贝叶斯公 式
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
贝叶斯公式(BayesTheorem)
贝叶斯公式王社英2015年11月7日摘要贝叶斯公式原来没搞懂，据说它很重要，用的很广，自己重新看看书，总结了一下计算的方法，理解定理含有的意义。
目录1贝叶斯公式1 2计算方法2 3意义3 1贝叶斯公式定理1.1.设E是随机实验，若B,A1,A2,···,A n是E中的事件，且满足：质贱贩P质A i贩>贰贬i贽贱,贲,···,n贻质贲贩事件A1,A2,···,A n是样本空间的一个分割贻质贳贩P质B贩>贰贮则P质A i|B贩贽P质A i B贩P质B贩贽P质A i贩P质B|A i贩nj=1P质A j贩P质B|A j贩,i贽贱,贲,···,n.质贱贩利用条件概率公式和全概率公式易证式质贱贩.称式质贱贩为贝叶斯公式(Bayes formula),又称之为逆概率公式.它是概率论中一个著名的公式，由英国学者贝叶斯首先提出。
贱2计算方法贝叶斯公式的计算可以画一个图，或者叫做概率树贱P 质A 2贩P 质贖B|A 2贩P 质B |A 2贩P 质A 1贩P 质贖B|A 1贩P 质B |A 1贩贝叶斯公式的计算就是两层贮•第一层的子树数目不定，最常见的是两个；•第二层的子树是确定的，就是两个；•要把第二层的位置放整齐贬含有B 全部放在上面贮那么，贝叶斯公式的计算，就可以流程化了。
P 质A i 贩P 质B |A i 贩 n j =1P 质A j 贩P 质B |A j 贩,i 贽贱,贲,···,n.质贲贩可以把P 质A i 贩P 质B |A i 贩视为根节点P 质A i 贩与子节点P 质B |A i 贩的乘积。
把P 质A i 贩从上到下依次计算。
当我们计算时，•如果计算事件B 发生了，那么所有出现贖B的项可以全部忽略贻•如果计算事件贖B发生了，那么所有出现B 的项可以全部忽略如果我们定义向量•x 贽质P 质A 1贩,P 质A 2贩,···,P 质A n 贩贩贻•y 贽质P 质B |A 1贩,P 质B |A 2贩,···,P 质B |A n 贩贩贻•¯y 贽质P 质贖B|A 1贩,P 质贖B |A 2贩,···,P 质贖B |A n 贩贩贮那么贝叶斯公式的计算可以用向量表示如下贺贲•事件B已经发生的情况下，事件A i发生的概率更新为贺P质A i贩贽x i·y ix·y,i贽贱,贲,...,n.•事件贖B已经发生的情况下，事件A i发生的概率更新为贺P质A i贩贽x i·贖y i x·¯y3意义赛贱贬走赡赧赥赳贲贰购贲贳赝在全概率公式和贝叶斯公式中，如果我们把事件B看成“结果”，而把事件A1,A2,···,A n看成导致结果发生的可能“原因”，则可以形象的把全概率公式看成“由原因推结果”贻而贝叶斯公式恰好相反，其作用在于“由结果找原因”贮在贝叶斯公式中，称P质A i贩为事件A i的先验概率，称P质A i|B贩为事件A i的后验概率，贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的贮也就是说，在没有更多的信息质不知事件B是否发生贩的情况下，人们对诸事件A i,A2,···,A n发生的可能性有一个最初的认识贮当有了新的信息质知道事件B已经发生贩贬人们对A i,A2,···,A n发生的可能性大小就有了新的估计贮下面的例子很好的说明了这一点贮例3.1.伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没贮有一天，他闲得无聊在山上喊：“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可是到了山上发现并没有狼贮第二天仍是如此贮第三天狼真的来了，可是无论小孩怎么叫喊，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了贮现在用贝叶斯公式来分析寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的贮首先记A贽{小孩说谎}贬B贽村民相信小孩的话质即小孩可信贩贮不妨设村民过去对这个小孩的印象为P质B贩贽贰.贸,P质贖B贩贽贰.贲，现在用贝叶斯公式来求P质B|A贩，即小孩说了一次谎后，村民对他可信程度的改变贮在贝叶斯公式中我们要用到概率P质A|B贩和P质A|贖B贩贬这两个概念的含义是：前者为“可信”的孩子说谎的可能性，后者为“不可信”的孩子说谎的可能性贮在此不妨设P质A|B贩贽贰.贱,P质A|贖B贩贽贰.贵.第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎贮村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为质由贝叶斯公式贩P质B|A贩贽P质B贩P质A|B贩P质B贩P质A|B贩贫P质贖B贩P质A|贖B贩贽贰.贸×贰.贱贰.贸×贰.贱贫贰.贲×贰.贵贽贰.贴贴贴,贳这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的贰.贸调整为贰.贴贴贴贬即P质B贩贽贰.贴贴贴,P质贖B贩贽贰.贵贵贶,在此基础上，我们再一次利用贝叶斯公式来计算P质B|A贩贬即小孩第二次说谎后，村民对他的可信度改变为P质B|A贩贽贰.贴贴贴×贰.贱贰.贴贴贴×贰.贱贫贰.贵贵贶贽贰.贱贳贸,这表明村民经过两次上当，对这个小孩的可信程度由原来的贰.贸下降到了贰.贱贳贸贬如此低的可信度，村名们听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢贮贝叶斯公式解释了一种直观的现象，一个说谎的人真的说谎了，他的可信度更低，一个被检测有病的人真的有病了，那么以后就对诊断结果会更相信。
贝叶斯公式算法讲课文档
求P(C|A).
现在十七页，总共二十九页。
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得:
P(C｜A)= 0.1066
试求在一个夏季中发生暴雨不超过4次的概率 （利用泊松近似公式）
现在二十九页，总共二十九页。
由全概率公式:
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
p 1 (1 p) 4 p 1
5
现在十五页，总共二十九页。
5
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
例如，若 p 1 2
则 P(A | B) 5 6
这说明老师们依据试卷成绩来衡量学生平 时的学习状况还是有科学依据的.
现在来分析一下结果的意义.
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
现在十八页，总共二十九页。
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反 应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概 率为 P(C｜A)= 0.1066
现在十三页，总共二十九页。
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以
帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能 原因.
“Thomas Bayes，一位伟大 的数学大师，他的理论照亮 了今天的计算领域，和他的 同事们不同：他认为上帝的 存在可以通过方程式证明， 他最重要的作品被别人发行 ，而他已经去世241年 了”。
概率与事件的分析条件概率与贝叶斯公式
概率与事件的分析条件概率与贝叶斯公式概率与事件的分析-条件概率与贝叶斯公式概率是概念用来描述事件发生的可能性的数学工具。
而事件是我们对某个结果或者一系列结果的称呼。
在概率理论中，我们研究了不同事件之间的关系，特别是条件概率与贝叶斯公式的应用。
一、概率的基本概念和性质1.1 定义：概率是描述某个事件发生可能性的数学工具。
在数学上，我们用一个实数来表示概率，概率的取值范围是0到1之间。
1.2 性质：（1）对于任何事件E，P(E)>=0；（2）对于样本空间S，P(S)=1；（3）对于两个互斥事件E1和E2，P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)。
二、条件概率条件概率是指某个事件在已经发生另一个事件的条件下发生的概率。
条件概率的计算可以通过公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来得到。
三、独立事件独立事件指的是两个事件之间互不影响的关系。
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A) 和 P(B|A) = P(B)。
四、加法法则加法法则是指对于两个事件E1和E2，它们的并集事件的概率可以通过P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2)得到。
五、乘法法则乘法法则是指对于两个事件E1和E2，它们同时发生的概率可以通过P(E1∩E2) = P(E1) * P(E2|E1)得到。
六、贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率求解逆向概率的工具。
如果事件A和事件B是两个不相交事件并且P(B)>0，那么根据贝叶斯公式，我们可以计算出P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
七、应用实例假设在一个班级中，有60%的学生喜欢数学，40%的学生喜欢英语，而且有25%的学生既喜欢数学又喜欢英语。
我们可以根据这些信息回答一些特定问题，比如：（1）一个随机选中的学生既喜欢数学又喜欢英语的概率是多少？（2）一个随机选中的学生喜欢数学或者喜欢英语的概率是多少？（3）已知一个随机选中的学生喜欢数学，那么他也喜欢英语的概率是多少？通过条件概率和贝叶斯公式的应用，我们可以得出上述问题的解答，进一步分析和理解事件之间的关系和概率的性质。
贝叶斯 条件概率
贝叶斯条件概率摘要：1.贝叶斯公式与条件概率的定义2.贝叶斯公式与条件概率的关系3.贝叶斯公式在实际应用中的例子4.条件概率在实际应用中的例子5.贝叶斯公式与条件概率的优点与局限性正文：贝叶斯公式与条件概率是概率论中两个重要的概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
贝叶斯公式是指在给定某些已知条件下，求解某个事件的概率。
而条件概率则是指在某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式与条件概率有着密切的关系。
贝叶斯公式可以看作是条件概率的一种扩展，它不仅考虑了某个事件的概率，还考虑了其他事件对该事件发生的影响。
而条件概率则是贝叶斯公式的基础，它只考虑了某个事件发生后，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学诊断中，医生可以根据病人的症状和检查结果，利用贝叶斯公式计算出病人患有某种疾病的概率。
在工程领域中，贝叶斯公式也可以用于计算某个设备的故障概率，从而及时进行维护和修理。
条件概率在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在保险领域中，保险公司可以根据某个客户的年龄、性别、职业等信息，利用条件概率计算出该客户发生某种保险事故的概率，从而制定出合理的保费。
在金融领域中，条件概率也可以用于计算某个股票在未来一段时间内上涨或下跌的概率，从而帮助投资者做出正确的决策。
贝叶斯公式与条件概率虽然有着优点，但也存在一些局限性。
例如，在实际应用中，贝叶斯公式需要假设某些事件之间是独立的，这并不总是成立。
此外，贝叶斯公式与条件概率的计算也需要有足够的数据支持，否则计算结果可能会出现偏差。
综上所述，贝叶斯公式与条件概率是概率论中两个重要的概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
贝叶斯定理以及有条件的期望
全概率公式
B1 , B2 设 B1 , B2 … Bn 是样本空间 Ω 的一个分割，即 n Bi ，如果 PBi > 0,i 1,2,....,n … Bn 互不相容，且 iU 1
则 P A PBi PA Bi
n i 1
贝叶斯定理(Bayes' rule )
Selten’s Game的扩展
2 0.5,0.5 假设 1 1 3 , 2 3 ， 对于player1的expected payoff
如果是从player2的information set开始，player1的 payoff
同理，我们可得player2的payoff
那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？ 只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但 player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响 到player2的决策，那么在什么情况下player1会选择U或者D 呢？
策略方式
可以得出(GG,N)和(NN,N)均为一个纳什均衡
Updated Belief
在上面这个例子中，p为player2的initial belief(期望收到 的书为GT的概率)，q为player2的conditional belief(updated belief，即他已经收到GT的时候对这个礼 物接受的概率) 举例说明updated belief，假设player2预料到player1的策 略是NG，那么player2就会updated belief并且做出接受 礼物的决策，获得效用为1。当然如果player2预料 player1的策略是GG，那么player2的updated belief和之 前没有什么区别，因为他还是不确定player1到底要送什 么，即player1’s behavior是什么。
条件概率 贝叶斯公式
0.25 0.05 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
0.362
甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白 球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱 中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取 出白球的概率是多少？
( k =1 , 2 , … , n)
P( Ak )P(B Ak )
P( A ) P( B
i 1 i
n
Ai )
例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它 是由甲车间生产的概率． 解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车 间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%, Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2% Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝
B
A
B
A
Sample space
Reduced sample space given event B
P( AB)
P( A | B)
概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系
联系：事件A，B都发生了
区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，
B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
很明显这张卡片不可能是黑点---黑点卡，因此，它要 么是圆圈---圆圈卡，要么是黑点---圆圈卡，二者必居 其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，就是圆 圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和我赢的机 会均等，都是。