组合数学作业1-8

1.1) 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在

两个点，其距离不大于1/3

证：如图所示：

在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。

2)在边长为1的三角形内放mn个点，则把三角形分割成n-1 个小三角形。

由鸽巣原理可知：mn个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.

2.证：a，a2 ..............................a m m 个数，i=1,2 …..m.

设a^ m i q r i 0

仝

m-1

当r i=0时，存在一个整数可以被m整除。

当「从1…..m-1这m-1个中取值，那么m个°中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j和k，使得rr rk,j>k,即有

a^a^m(q

3证：

•. •有理数可由整数和分数组成。

二当为整数时，存在以0为循环的循环小数。

•••当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。

二若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。

4.证:

设全部由7组成的N+1个数，7, 77, 777,……,7777。。。。77（N+1 个7）

存在整数N，由7组成的数除以N，以ai代表N+1中的数。

即a i=Nq+「i0< ri< N-1

则存在0….N-1这n个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数

a i,a k

使得a^a^N(q r q k)是N的倍数

组合数学第2次作业

2. 5

⑴证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n整除。

解：设任意n+i正整数a1, a2， ....... a n七，任意取两个整数的差为s = a^ a j，i>j.差除以n的余数为。••• 0w w n-1

I i I i

如果存在i，使得|i=0.则a^a j可以被n整除，对所有i，i=1,2。。。。n都有| i丰0

则这n个i中只能取1,2. oooon-1。这n-1种情况。由鸽巢原理可知，必存在i和j使得r=r，

I j r | ‘i>j，则有s k=a i_a j可以被n整除。

⑵证明在任意选取的n+2个正整数中存在着两个正整数，其差能被2n整除或者其和能

被2n整除。

解：设任意n+2正整数g i,g2, ................... a*半，任意取两个整数的差为s=a”a j‘>j.差

除以2n的余数为r i。0W「三2n-1

如果存在i，使得「=0.则a^a j可以被n整除，对所有i, i=1,2。。。。2n都有「丰0 则这2n

r j - r i, i>j，则有个i中只能取1,2.ooo o n-1。这2n-1种情况。由鸽巢原理可知，必存在i和j使得

s=a i- a j可以被2n整除。

2.6某学生有37天的时间准备时间考试，根据她过去的经验至多需要复习60个小时，但每

天至少要复习1小时。证明无论怎样安排都存在连续的若干天，使得她在这些天里恰好复习了13小时。

设a是从第1天到第i天复习的总小时，i=1,2,。。。37.至多复习60个小时。

••• 1< a i 勺2 成°。。。

做序列：

a 13£2 13……a37 13

这个序列也是严格单调上升的，且有a37+13w 60+13。考察下面的序列：

a i，a2，.….a37, a i 13,a2 13,……a37 13

该序列有84个数，每个数都是小于等于73的正整数，由鸽巢原理可知，必存在i和j使得a j二a j 13(i>j)•令n=i-j,该学生在第j+1,j+2,…..j+n=i的连续n天中复习了13个小时。

(P34)3.7把q个负号和p个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有C (p+1, q)种。

证：先把p个正号排在一条直线上，那么就有p+1个间隔，那就可以

把q个负号插进这p+1个位置，则就知道其不同的排法有C(p+1,q) 种。

3.8（1）从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好是7，有多少种不同的选法。

解：从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好

是7 的两个数有 1 和8, 2和9, 3 和10, 4 和11，、、、、、、、、93和100，，则一共有93 种选法。

（2）如果选出的两个数之差小于等于7，又有多少种选法？解：如果选一个数为 1 的话，那另一个数就可以是2,3,4,5,6,7,8 有7 种如果选一个数为 2 的话，那另一个数就可以是3,4,5,6,7,8,9 有7 种、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

如果选一个数是93的话，有94,95,96,97,98,99,100，也是7 种

选94，那就有95,96,97,98,99,100 6 种

选95，那就有96,97,98,99,100 5 种

选96，那就有97,98,99,100 4 种

选97，那就有98,99,100 3 种

选98，那就有99,100 2 种

选99，那就有100 1 种

那把上面所有的选法加起来得：93X 7+6+5+4+3+2+仁672

则从整数1,2，、、、、、、，100中选出的两个数之差小于等于7有672 种选法。

3.20从整数1,2、、、、，1000中选取三个数使得它们的和正好被4 整除，问有多少种选法。

解：将1,2、、、、1000 都除以4，

A、余数为0 的有4,8,12,16,、、、、、1000, 250个

B、余数为1 的有1, 5,9,13,、、、、997, 250 个