组合数学作业1-8
组合数学第一章习题解答
k =1 n
2、可分成x与y相同与不相同两种情况来处理 a、相同时与从n+1中选2个，大的作为z,小的作为x与y, b、不相同时与从n+1个中选3个，最大的作为z两个小的排列 作为x与y,排列数为2，两种方式结果相同：
T = ∑k 2 = C(n +1 2) + 2C(n +1 3) , ,
a1
p2
a2
... pm
2a2
am 2am
n2 = p 1
2a 1
p2
... pm
所有的组合数都是偶数，最后再加上1，偶数加1是奇数
1.10 证明任一正整数n可惟一地表示成：
n = ∑a i!,0 ≤ ai ≤ i, i ≥1 1
i≥ 1
先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k! 由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑ai·i!，其中ak≤k-1, n=∑ai·i!+k!，命题成立。
习题：1.15试求从1到1000000的整数中，0出现的次数。 解：先将1到999999的整数都看作6位数,例如2就看作是 000002，这样从000000到999999。0出现了多少次呢？ 6×105，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000000到999999中最左1位的0出现了105次， 000000到099999中左数第2位的0出现了104次， 000000到009999左数第3位的0出现了103次, 000000到000999左数第4位的0出现了102次, 000000到000099左数第5位的0出现了10次, 000000到000009左数第6位的0出现了1次。 因此不合法的0的个数为105+104+103+102+101+1=111111， 不合法的应该去掉，再加整数1000000中的6个0，这样，从1到 1000000的整数中0出现的次数为6×105-111111+6=488895。 问题：在去掉多余的零的过程中，多减去了一部分，例如： 000000这种情况在每次减的过程中都出现。
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≢n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学作业1-8
1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。
证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。
由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。
2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。
由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。
当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。
∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。
∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。
∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。
4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。
77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。
即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。
解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为r i。
∴0≤r i≤n-1如果存在i ，使得r i=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。
组合数学答案
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()ΛΛΛΛ++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x MM母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -Q的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）=25431783xx x--+,求序列{ n a } 解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322Λ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322Λ+-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156xG x x x -=--39(17)(18)x x x -=+-A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A+7B=9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
小学一年级数的排列组合练习题
小学一年级数的排列组合练习题题目1：
请计算出有多少种不同的排列方式，可以用数字1、2、3、4组成
一个三位数。
题目2：
请计算出用数字1、2、3组成一个三位数，使得该数的个位和十位
相同，且百位上的数字比个位和十位上的数字都要大。
题目3：
小明有4个相同的苹果和3个相同的橘子，他想把这些水果分给他
的三个朋友。
每个朋友至少要分到一个水果，请问有多少种不同的分法？
题目4：
请你计算一下，用4个方块组成一个正方形有多少种不同的摆法？
题目5：
班级里有5个男生和3个女生，他们要选出一个同学代表来参加学
校活动。
请计算出有多少种不同的选举结果？
题目6：
班级里有10个小朋友，老师要选出4个小朋友参加一个小组活动。
请计算出有多少种不同的选择方法？
题目7：
小明去超市购买水果，他想买5种不同的水果，请问他有多少种不同的选择方式？
题目8：
有4本不同的书和3个相同的铅笔，小红要从其中选择3样东西，问她有多少种不同的选择方式？
题目9：
请计算一下，从数字1、2、3、4中选择两个数，有多少种不同的选择方式？
题目10：
请你计算一下，小李用数字1、2、3、4组成一个四位数，使得该数的千位上的数字要比个位、十位和百位上的数字都要大。
有多少种不同的结果呢？。
小学四年级数学日常组合练习题
小学四年级数学日常组合练习题1. 爸爸有5种领带，妈妈有3条裙子。
他们每天都会选择一条领带和一条裙子配搭。
那么一周内，他们总共有多少种不同的搭配方式？2. 小明有6种颜色的T恤衫，5种颜色的运动裤。
他每天都会选择一件T恤衫和一条运动裤搭配。
那么一周内，小明总共有多少种不同的搭配方式？3. 小华每天早上选择一种主食（米饭、面条、馒头）和一种配菜（鸡蛋、鱼肉、炒青菜）。
假设他连续吃一周，不重复选择相同的组合，那么他一周内总共会有多少种不同的早餐组合？4. 小杰有4种颜色的铅笔盒，每种颜色都可以装3支不同颜色的铅笔。
他今天要带一只铅笔和一个铅笔盒去学校。
那么他一共有多少种不同的选择方式？5. 小丽喜欢做手工，她有红、黄、蓝、绿四种颜色的丝带和红、黄两种颜色的纸张。
如果她每次选择一种颜色的丝带和一种颜色的纸张制作礼物，那么她总共有多少种不同的制作方式？6. 小刚的家里有6种口味的冰淇淋和4种不同的糖果。
他每天可以选择一种口味的冰淇淋和一种糖果。
那么一周内，小刚总共有多少种不同的甜品组合？7. 小明过生日，他有5种不同的蛋糕口味和3种不同的果汁。
他邀请了5个朋友来庆祝，每人可以选择一种口味的蛋糕和一种口味的果汁。
那么他们一共有多少种不同的庆祝方式？8. 小华去超市买水果，超市里有5种不同的水果（苹果、橙子、香蕉、葡萄、草莓）。
她可以选择3种水果放在篮子里。
那么她一共有多少种不同的购买方式？9. 小明家住在城市，他每天上学可以选择骑自行车或者乘公交车。
在学校里，他可以选择午餐吃面条或者米饭。
那么一周内，小明总共有多少种不同的交通方式和午餐组合方式？10. 小刚爸爸要给小刚买一本书和一件玩具作为奖励。
书店有4本不同的书可供选择，玩具店有3种不同的玩具可供选择。
那么小刚有多少种不同的奖励组合方式？以上是小学四年级数学日常组合练习题，通过解答这些问题，可以锻炼孩子们的组合能力和逻辑思维能力，帮助他们提高数学运算能力。
组合数学第一章答案
组合数学第一章答案组合数学第1章答案１. 1来自哪里？1，2，， 50? 找到两个数字吗？a、 b满足它（1）|a?b|?5；（2） | a？b |？五a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5可得或则有共45种，45种，90种。
（2）根据|a?b|?5得{b?5?a?b?5a,b?(1,2,,50)那么：B什么时候？5点，B？1，1? A.有6种B？2，1? A.有7种B？3，1? A.有8种B？4，1? A.有9种B？5，1? A.10，5时有10？B45:00，B？6，1? A.11，有11种B？7，2? A.12，有11个.........b?45，40?a?50，则有11种当45?b?50时，有b?46，41?a?50，则有10种b?47，42?a?50，则有9种b?48，43?a?50，则有8种b?49，44?a?50，则有7种b?50，45?a?50，则有6种因此：总共40个？11? 2(10?9?8?7?6)? 520种1.2（1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，共有5个方案！× 8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间8个空缺物种中的任何5个，计划总数为7个！×p85（3）应该是a女生x女生y女生zb,或是b女生x女生y女生za的形公式，从5个女孩中选择3个女孩，并安排她们。
这项计划是成功的。
考虑到a和B 可以转置，方案为2×P53，然后将其作为一个整体，与剩余的2个女孩和5个男孩，共7人进行安排。
方案总数为2×81.3m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若（a）男生不相邻（m≤n+1）；（b） N女孩组成一个整体；（c）男孩a和女孩B被安排在一起；讨论有多少种选择。
解决方案：(a)n!p(n+1,m)(b)(m+1)!n!(c)2(m+n-1)!1.426个英文字母排列。
数字的组合与分解练习题及答案
数字的组合与分解练习题及答案组合与分解是小学数学中的重要概念，通过练习题可以帮助学生巩固和加深对数字组合与分解的理解。
以下是一份关于数字的组合与分解的练习题及答案:
一、组合与分解
题1. 将数字7分解为几个连续自然数的和。
题2. 将数字12分解为两个正偶数的和。
题3. 将数字16分解为两个互质的正整数之和。
题4. 将数字20分解为两个质数的和。
题5. 将数字30分解为两个连续自然数的和。
题6. 将数字36分解为三个连续自然数的和。
题7. 将数字48分解为两个能被3整除的数的和。
题8. 将数字50分解为两个相邻的正整数之和。
题9. 将数字60分解为两个偶数的和。
题10. 将数字72分解为两个互质的正整数之和。
二、答案
答案1. 7 = 3 + 4
答案2. 12 = 6 + 6
答案3. 16 = 1 + 15
答案4. 20 = 7 + 13
答案5. 30 = 14 + 16
答案6. 36 = 11 + 12 + 13
答案7. 48 = 9 + 39
答案8. 50 = 24 + 26
答案9. 60 = 28 + 32
答案10. 72 = 1 + 71
以上是一些关于数字的组合与分解的练习题及答案。
这些题目旨在提高学生的逻辑思维能力，加深他们对数字的理解和运用能力。
希望对学生的数学学习有帮助。
组合数学作业.
作业11.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？2.构造一个6阶幻方。
3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。
往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。
确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。
获胜的策略是什么？作业21．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
2．一个学生有37天用来准备考试。
根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。
4．有一个100人的聚会。
每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。
证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。
5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。
(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）(2)顺牌（5张点数相连的牌）(3)同花（5张一样花色的牌）(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）(5)恰好两个对(6)恰好一个对6．15人围坐一个圆桌。
如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
组合数学第一章答案
1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题（王星）解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，（b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺，Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数：C（8，5）×7！×5！（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A，B之间存在0个男生，A，B之间共有3个人，所有的排列应为P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A，B之间存在1个男生，A，B之间共有4个人，所有的排列应为P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学参考答案解析[卢开澄第四版]_修改版
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1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学作业1
作业11.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？2.m×n的棋盘，其中m、n都是奇数。
棋盘的方格涂成黑白相间的颜色，假设左上角的方格被涂成白色。
证明，如果切除棋盘上的任意一个白色方格，剩下的棋盘能被1×2的多米诺骨牌完美覆盖。
3.用1×2的骨牌对6×6的棋盘进行完美覆盖。
证明：无论怎样覆盖，一定存在断层线。
另外，8×8的棋盘呢？4.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
5.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？6.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
当轮到一个游戏人时，他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。
往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。
确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。
获胜的策略是什么？7.证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
8.一个学生有37天用来准备考试。
根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
9.证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。
10.有一个100人的聚会。
每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。
证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。
数阵问题 小学数学 随堂作业
一、填空题
1. 将1-8这8个数分别填入图中，使每个圆圈上五个数和分别为20，21，22。
2. 把 1～14 分别填入下图中的方格内，使“十一” 三笔中每五个方格内的数的和相等。
3. 把 1～12 分别填入下图的空格中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形及四条直线上的四个数之和都为 26。
4. 数字1～9被填入到下面3×3的方格中，其中每个数字都恰好被用了一次。
如果在方格的右边和下边所写的数字代表的是该行或该列中所填数的乘积，则在“*”格
中所填的数字应该是________。
5. 在如图中的“○”里填上适当的数，使每个正方形的四个角的数之和为1。
二、解答题
6. 在图中的A、B、C、D四个圆圈内填入四个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于15，那么圆圈C中应填的数是多少？
7. 在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的
三个数之和都等于12，那么圆圈B中应填的数是多少？
8. 如图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形
的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．
9. 下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？。
一到八填到八个格子里的数学题目
一到八填到八个格子里的数学题目
摘要：
一、引言
二、题目概述
1.题目类型
2.题目难度
三、题目详解
1.第一个题目
2.第二个题目
3.第三个题目
4.第四个题目
5.第五个题目
6.第六个题目
7.第七个题目
8.第八个题目
四、解题技巧与方法
五、总结
正文：
一、引言
在这篇文章中，我们将详细解答八个填空题，帮助大家更好地掌握数学知识。
二、题目概述
1.题目类型：填空题
2.题目难度：中等
三、题目详解
1.第一个题目
（在这里给出第一个题目的具体内容，并进行解答）2.第二个题目
（在这里给出第二个题目的具体内容，并进行解答）3.第三个题目
（在这里给出第三个题目的具体内容，并进行解答）4.第四个题目
（在这里给出第四个题目的具体内容，并进行解答）5.第五个题目
（在这里给出第五个题目的具体内容，并进行解答）6.第六个题目
（在这里给出第六个题目的具体内容，并进行解答）7.第七个题目
（在这里给出第七个题目的具体内容，并进行解答）8.第八个题目
（在这里给出第八个题目的具体内容，并进行解答）
四、解题技巧与方法
1.仔细审题，理解题目要求。
2.分析题目类型，选择合适的解题方法。
3.注意计算过程中的精度，避免粗心导致错误。
4.完成一个题目后，及时检查答案是否正确。
五、总结
通过解答这八个填空题，希望大家能够巩固数学知识，提高解题能力。
组合数学引论课后答案(部分)
组合数学引论课后答案习题一1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。
1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。
1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。
N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）1.13(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为13；(3) 确定n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n ；1.14 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。
1.15从1,2,…,2n中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.16针对1.1节的例6，当m,n不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
部编版小学数学二年级全册 8组合问题
问题2：都是从5、7、9这三个数中选2个，怎么一个能组成6个，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个却只有3种可能啊？
2019/9/8
8
三、运用方法，解决问题
（一）基本应用，巩固方法
每两个人握1次手， 3人一共握几次手？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：每两个人握1次手，3人一共握几次手？请你画一画，
写一写，自己试试。 教师巡视，指导帮助学生。 2019/9/8问题3：一共握几次手？你是怎么知道的？ 9
数学广角
2019/9/8
1
一、复习旧知，回顾方法
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成 两位数，一共能组成几个？
问题1：你都知道了什么？ 问题2：一共能组成几个？你是怎么想的？
2019/9/8
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（一）审读题意，交流理解
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
问题：你都知道了什么？ 追问：“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
问题：解决这个问题，大家可以怎样想呢？我们一起来回顾 刚才同学们的好办法。
2019/9/8
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（五）对比分析，提升认识
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组 成两位数，一共能组成几个？ 6个
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求 和，得数有几种可能？ 3种
问题1：观察我们研究过的两道题，你有什么发现？
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（三）过程交流，渗透方法
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
问题1：你是怎么想的？和小伙伴说一说。 教师巡视倾听，选取典型案例。
问题2：得数有几种可能？你是怎么想的？
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6
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1.1) 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。
由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。
2)在边长为1的三角形内放mn个点，则把三角形分割成n-1 个小三角形。
由鸽巣原理可知：mn个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2.证：a，a2 ..............................a m m 个数，i=1,2 …..m.设a^ m i q r i 0<o仝m-1当r i=0时，存在一个整数可以被m整除。
当「从1…..m-1这m-1个中取值，那么m个°中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j和k，使得rr rk,j>k,即有a^a^m(q<q k)3证：•. •有理数可由整数和分数组成。
二当为整数时，存在以0为循环的循环小数。
•••当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。
二若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。
4.证:设全部由7组成的N+1个数，7, 77, 777,……,7777。
77（N+1 个7）存在整数N，由7组成的数除以N，以ai代表N+1中的数。
即a i=Nq+「i0< ri< N-1则存在0….N-1这n个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数a i,a k使得a^a^N(q r q k)是N的倍数组合数学第2次作业2. 5⑴证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n整除。
解：设任意n+i正整数a1, a2， ....... a n七，任意取两个整数的差为s = a^ a j，i>j.差除以n的余数为。
••• 0w w n-1I i I i如果存在i，使得|i=0.则a^a j可以被n整除，对所有i，i=1,2。
n都有| i丰0则这n个i中只能取1,2. oooon-1。
这n-1种情况。
由鸽巢原理可知，必存在i和j使得r=r，I j r | ‘i>j，则有s k=a i_a j可以被n整除。
⑵证明在任意选取的n+2个正整数中存在着两个正整数，其差能被2n整除或者其和能被2n整除。
解：设任意n+2正整数g i,g2, ................... a*半，任意取两个整数的差为s=a”a j‘>j.差除以2n的余数为r i。
0W「三2n-1如果存在i，使得「=0.则a^a j可以被n整除，对所有i, i=1,2。
2n都有「丰0 则这2nr j - r i, i>j，则有个i中只能取1,2.ooo o n-1。
这2n-1种情况。
由鸽巢原理可知，必存在i和j使得s=a i- a j可以被2n整除。
2.6某学生有37天的时间准备时间考试，根据她过去的经验至多需要复习60个小时，但每天至少要复习1小时。
证明无论怎样安排都存在连续的若干天，使得她在这些天里恰好复习了13小时。
设a是从第1天到第i天复习的总小时，i=1,2,。
37.至多复习60个小时。
••• 1< a i 勺2 成°。
<a37 三6°。
做序列：a 13£2 13……a37 13这个序列也是严格单调上升的，且有a37+13w 60+13。
考察下面的序列：a i，a2，.….a37, a i 13,a2 13,……a37 13该序列有84个数，每个数都是小于等于73的正整数，由鸽巢原理可知，必存在i和j使得a j二a j 13(i>j)•令n=i-j,该学生在第j+1,j+2,…..j+n=i的连续n天中复习了13个小时。
(P34)3.7把q个负号和p个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有C (p+1, q)种。
证：先把p个正号排在一条直线上，那么就有p+1个间隔，那就可以把q个负号插进这p+1个位置，则就知道其不同的排法有C(p+1,q) 种。
3.8（1）从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好是7，有多少种不同的选法。
解：从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好是7 的两个数有 1 和8, 2和9, 3 和10, 4 和11，、、、、、、、、93和100，，则一共有93 种选法。
（2）如果选出的两个数之差小于等于7，又有多少种选法？解：如果选一个数为 1 的话，那另一个数就可以是2,3,4,5,6,7,8 有7 种如果选一个数为 2 的话，那另一个数就可以是3,4,5,6,7,8,9 有7 种、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如果选一个数是93的话，有94,95,96,97,98,99,100，也是7 种选94，那就有95,96,97,98,99,100 6 种选95，那就有96,97,98,99,100 5 种选96，那就有97,98,99,100 4 种选97，那就有98,99,100 3 种选98，那就有99,100 2 种选99，那就有100 1 种那把上面所有的选法加起来得：93X 7+6+5+4+3+2+仁672则从整数1,2，、、、、、、，100中选出的两个数之差小于等于7有672 种选法。
3.20从整数1,2、、、、，1000中选取三个数使得它们的和正好被4 整除，问有多少种选法。
解：将1,2、、、、1000 都除以4，A、余数为0 的有4,8,12,16,、、、、、1000, 250个B、余数为1 的有1, 5,9,13,、、、、997, 250 个C、余数为2 的有2,6,10,14,、、、、、998, 250 个D、余数为3 的有3,7,11,15,、、、、、9999, 250个然后再从A,B,C,D 中选取三个数可被4整除：在 A 中取三个数,则有C(250, 3)在A,B,D 中各取一个数,则有【C(250,1)】3在 A 中取一个,在 C 中取两个；在 B 中取两个和在 C 中取一个；在 C 中取一个,再在 D 中取两个,则有3C(250, 2)C(250, 1) 所以总选法是 C (250,3) +【C (250,1)1 3+3C (250,2) -C (250,1)3.32设S={n1 - a1, n? ................... •a?, , n k •比}，问S的大小不同的各种组合的总数是多少？解：当K=1 时，S1={n1 - a1}, S1 的组合为?, {a1}, {2 - a1},……, {n1 -印}，有m+1 个.当k=2时，S2={n 1 - a1, n2 • a：}，显然S的组合都是S：的组合，如果对S1的组合加入a：,就可以构成S2的含a2的组合。
S1的组合有小+1个，对其中的每一个组合加入a2的方法有匕种，由乘法法则，S2中含a2的组合有(n1+1) g个。
所以S2的组合有(n什1) + ( n什1)化二(E+1)仏+1)个。
由归纳法不难证明S={n1 • a1, n2 - a2, ... , m - a k}的各种组合的总数是(n 1+1) - (n2+1) .... (n k+1).n __ k k(2)、对任意的实数r 求和瓦C n 「k =0 nk k用任意的实数r 求和瓦cn rk =04.7、、丄 ・ kk 4万法一 ：I kC n =nCn41 小2 小 3n」nC n2Cn3。
厂……(T)12n _1 n=nC n 厂 n C n4 n C n4 -……(T)"612n 4 n=n[C n4_C n4G 厂……(- 1) Cn ]knd 乂P62 4.3 解: (1 )、 18 18 k 18 _k k(3x-2y) ；S(3x)(-2y)513•.•要取x y 的系数，贝U k=13.13x y 的系数为： 8913513S3 (-2)kn k 1(2)T 要取X y 的系数，且C n 二[C n 」181818 k 」_,17 1••• (3x -2y)」匸S(3x)「2y)k 占％4.4 解: 则只能取 8k=10,取x 9y 的系数为:18989亦63 (-2)由二项式定理得: n门)、3 =(1 + 2)n=11kT k kC n 2实数r 的和(1 r)「C nrk =0解:又••• C n 厂C nV0 1 2 二:[Cm CmC ：J -=0：： k k ： kk k万法一:;(1-x)八 C ：(—x)八 C ：(—1) xk =0k =0由两边同时微分得：n -1 : k k kAn(1-x)弋C ：(—1)X令x=1时：左边=0，右边=辽C ：(—1)kk =1 乂由二项式定理得：”、：；k k(1+x)=乞 C ：x两边同时积分得：2n 1 n 1 ，： 1右边=7 C k—— (-1)o C ：k 1( 1可证!-1:八 k =1k1C ：k -1k 1(T )一1:=11k Tk1k 1CRT)(1)C ：]123而又一 C^2C ： 3C ：1 n _ k (- 1) : C ：= k C ：C 1)1 23••• c _23C :C:C:4.16：」:(一1) :C ：=0可证!1：卫x):八k =0k1 k 1C：k 1 x令x=-1时：左边=k ・11) -144.22用多项式定理展开(X 1 • X 2 • X 3)4n门 门 门解：(x 「X 2 X 3)八(亠 J x iX 22n33，n in2 n••• n 1, n 2，n 3的取法有：004的3种，112的3种，220的3种和130的6种。
、[/ '^44，Z4 X； 4'^ 44 4 4 4当nv n 2,n 3为 004 时：有X *I + !X 2 +X 3 = X 〔* X 2 * X 3【I 1 II 2II 3i400,X l(040丿X 2i004,X3入1 入2 入3当n i，n 2，n 3为112时：有= 12X 1X 2X ； 12X 1X 2X3 12X 1X 2X 3经计算得:4(X 1 X 2 X 3)44 44“ 2 2222222 =X 1X 2X 3+12(X 1X 2X 3+X 1X 2X 3+ 为 X 2X 3) +6 (X ?X 3为 X ?为3 3 3 33 3+4(X 2X 3X 1X 2X 1X 3X 2X1X 3X 1X 3X 2)5.1在1和10000之间不能被4，5，6整除的数有多少个？ 解：令P i, P2, P 3,分别表示一个整数能被 4,5,6整除的性质.设S={x|x 是整数?1令W 0000} Ai ={x|x € S?x 具有性质 P i }, i=1,2,3.则：|A i|=【10000 / 4] =2500|A 2|=【10000 / 5] =2000 |A 3|=【10000 / 6] =1666 |A1P A 2|=【10000 /(4, 5)】= =【10000 / 20] =500J122 (X 1X 2X3)+J212(X 1X 2X3)+012(X 1X 2X 3)3|= 【10000 / ((4, 6)】= =【10000/12]=833 |知“吐“3| = 【10000 / ((5, 6)】= =【10000/30]=333內“2“3|=【10000 / (4, 5, 6)】=【10000 / 60] =166 由定理得：| A i Q A2 Q A3|=10000 - (2500+2000+1666) + (500+833+333) -166 =5334 5.4 确定S={ a a, 3 b, 5 c,7 d }的10 -组合数.解：令T={ a a, a b, a c, a d }, T的所有10-组合构成集合W.则由定理3.7得F 4+10/ i 门3 \ / 13 x|W|= 10 - 10 - 3 =286任取T的一个10-组合，如果其中b多于3个则称它具有性质P1，如果其中c多于5个则称它具有性质P2，如果其中d多于7个则称它具有性质P3.不难看出所求的10-组合数就是W中不具性质P1，P2，P3的元素个数.令A i={x|x € W?x 具有性质P i }, i=1,2,3.|A1|= 4"T = 6 = 3 =84|A2|= 4 "T = 4 = 3 = 35；2T = 5 =10|A3|=f4^0T \|A1 Q A2|= o =1|A1 Q A3|=0 |A2 Q A3|=0 |A b Q A c Q A d|=0由定理得：| A i A A 2 n A 31=286-(84+35+10)=1585.5 1)确定方程X I+X2+X3=14的不超过8的非负整数解的个数.解：方程不超过8的非负整数解，则0函詬，0$2电0$3詬.|S|= 3严=14 二26M20|A1|= 3“ = 5 = 2 =21|A2|=21 |A3|=21|A1 n A2|=0 |A1 n A3|=0 |A2n A3|=0|A1 n A2n A3|=0由定理得：| A 1n A 2n A 3|=120 -21*3=572)确定方程X1+X2+X3=14的不超过8的正整数解的个数.解：方程不超过8的正整数解，则1$1詬，1$2詣，1$3詬.相当于取值为001筍，002勺,0 $3詔,x1+x2+x3=11|S|= 3严=11 = =78|A1|= 33T = 3 = 2 =10|A2|=10 |A3|=10|A1 n A2|=0 |A1 n A3|=0 |A2n A3|=0|A1 n A2n A3|=0由定理得：| A b n A c n A d|=78-10*3=48P865.7求集合｛1,2,…，n｝的排列数，使得在排列中正好有k个整数在它们的自然位置上(所谓自然位置就是整数 i 排在第i 位上)解：由题意可知，从 n 个数中取n-k 个数后，再将n-k 个数 错位排列，贝U 所求的排列数是：11 1 D — (n- k)!(^ --(-旷-)1! 2!(n - k)!5.8定义D o =1，用组合分析的方法证明 证：n !是对｛ 1,2…….,n ｝进行全排列，n D 「； D 「2 D 2 111 n D。