分式和分式方程 专题复习讲义设计(含答案)

分式和分式方程 专题复习讲义

中考考点知识梳理： 一、分式

1、分式的概念

一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成

B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B

A

就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质 （1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则

（1） ;;bc ad

c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯

（2）);()(为整数n b a b

a n n

n =

（3）

;c b a c b c a ±=± （4）

bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程

的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

考点典例

一、分式的值

【例1】当x= 时，分式

x－2

2x＋5的值为0．

【答案】2. 【解析】

试题分析：∵x－2

2x＋5

的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.

【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】

1.使分式

1

1

x-

有意义的x的取值范围是（）

A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A．

考点：分式有意义的条件．

2.若分式

21

1

x

x

-

+

的值为0，则x＝

【答案】1 【解析】

试题分析：根据题意可知这是分式方程，

21

1

x

x

-

+

＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，

解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解. 答案为1.

考点：分式方程的解法 考点典例 二、分式的化简

【例2】化简

2

(1)1

a a a -+-的结果是（ ） A ．

11a - B ．11a -- C ．211a a -- D ．211

a a --- 【答案】A ． 【解析】

试题分析：原式=22(1)1a a a ---=11

a -，故选A ．

考点：分式的加减法．

【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】 1.化简：

÷

= ．

【答案】x 1

.

【解析】

试题分析：原式=x

x x x x x 1

)3()2()2(322

=+-⋅-+. 考点：分式的化简. 2.计算：

= ．

【答案】

3

25a c . 【解析】

试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=

3225125a

c a a c =⋅.

考点：分式的运算.

3.计算： = ．

【答案】3

2

5

a

c

.

【解析】

试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=

3

22

5

1

2

5

a

c

a

a

c

=

⋅.

考点：分式的运算.

考点典例

三、分式方程

【例3】方程

53

2

x x

-=

-

的解为．

【答案】x=﹣3．

考点：解分式方程．

【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

【举一反三】

1.方程

12

＝

2x x－3的解是 .

【答案】x=-1.

【解析】

试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.

考点：解分式方程.

2.用换元法解方程x x 122-

﹣122-x x =3时，设x

x 12

2-=y ，则原方程可化为（ ）

A ．y=

y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y

4

+3=0 【答案】B ． 【解析】

试题分析：∵设x

x 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ．

考点：换元法解分式方程． 考点典例

四、分式方程的应用

【例5】穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）

A.4804804160x x -=+

B.4804804160x x -=+

C.4804804160x x -=-

D.

480480

4

160x x -=- 【答案】B ． 【解析】

考点：由实际问题抽象出分式方程．

【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 【举一反三】

1. A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）

A.120080040x x =+

B.120080040x x =-

C.120080040x x =-

D.1200800

40x x =

+