5.1：波动方程与波的能量

YS 可得： k x
该小段杆的弹性势能：
YS k x
2
1 1 YS 1 2 2 YSx W k k 2 2 x 2 x
W p 1 Y 势能密度 w p S x 2 x
棒中有纵波时
2
2 A cos ( t 2 x u
ｕ为波速
x ) u
比较，可得：
1 2 2 2 x u t
2 2
一维简谐波的表达式 就是此波动方程的解
平面波的波动方程
二、媒质中的波速
u纵
1.一般固体
Y

G
Y — 杨氏弹性模量 — 体密度
G — 切变模量
u横
-1
§5.2 波动方程与波速(Wave Equation and Wave Speed)
一、平面波波动方程（Wave Equation of Plane Wave） 平面简谐波的波函数：
对 t 和 x 求偏导数：
( x , t ) A cos ( t
x ) u
2 2
x ) u
2 A cos ( t 2 t
• 横波(Transverse Wave) • 纵波(Longitudinal Wave)
3) 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·t = T/2 · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·t = T · · · · · · · · · · ·· ·
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴正方向传播的波的波函数
xd xd p (t , x ) a (t , a ) f (t ) u u
沿x轴负方向传播的波的波函数
2 . 一维简谐波表达式 (简谐波的波函数) （Wave Function for a sinusoidal Wave) 已知: 参考点a 做简谐振动， 其振动表达式为
同一频率的波在不同媒质中具有不同的波长
3. 波是相位的传播 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后 b点比a点的振动时间落后： t 图中b点比a点的相位落后：
t x
u
x u
传播方向
a
·
u
b

u
x
2 2 x x Tu
x
2
·
x

4. 波形曲线(波形图)
表明该质元做简谐振动；
2) 固定 t, (t = t0 )
( x , t 0 ) A cos( t 0 kx )
表明同一时刻各质元的振移随它们 的平衡位置坐标作余弦变化； 3) 如 看定某一相位 , 即令 ( t - kx)=常数 相速度为
dx u dt k
(x,t) cos( t-kx)
可求得经过原点的时刻：t
例2 一平面简谐波沿x轴正向传播 波长 = 4m,周期T = 4s,已知x = 0处 质点的振动曲线如图所示。求： (1) 写出x=0处质点的振动表达式； (2) 写出波的表达式； (3) 画出t =1s时时刻的波形曲线。 解：1)由已知可得：
y/m
1 0.5
解： （1）沿x负方向传播的平面简谐波的波函数一般式：
x t x y( x , t ) A cos ( t ) A cos 2 ( ) u T
t
Hale Waihona Puke Baidu
而已知的平面简谐波的波函数表达式： 二式相比较，即可得：
A 0.02m; T
x y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02 cos 2 ( ) 5 3
G<Y 2. 弦上横波

u横波< u纵波
T — 绳的初始张力 — 绳的线密度
u横
T

3. 流体纵波
k u纵 0
k —容变弹性模量
三、三维平面波波动方程
2 2 2 2 2 u ( ) 2 2 2 2 t x y z
四、固体棒中纵波的波动方程 1. 某截面处的应力、应变关系
4) 表达式也反映了波是振动状态的传播
o
x
x
x ( t , x ) ( t , 0) u
或： (x+ x, t+ t) = (x,t) x=u t
即同一振动状态从原点传 到 x 处需经历x / u 时间。
其中 x=u t u

o t

t+ t
x
(x,t) cos( t-kx)
5) 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性
T 时间周期性
空间周期性
u T k
4. 波的几何描述 波线 波阵面(同相面)
波面
波前(波阵面)
波 线
平面波
球面波
平面波
球面波
例1 有一平面简谐波，其波函数为 y 0.02cos(10t 6 x ) (m) 试求：(1) 周期、频率、波长和波速；(2) 波谷经过原点的时刻； (3) t = 6s 时，各波峰的位置。

x

u
t
o

x
• 不同时刻对应有不同的波形曲线 • 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况
二、 一维简谐波的表达式(波函数) 1.波函数（Wave Function)
媒质中各质点位移随时间与空间的变化规律的表达式 ------波函数 (t ,x)
讨论: 沿+x方向传播的一维简谐波(u ,) 假设: 媒质无吸收(质元振幅均为A )
( x , t ) A cos[ t
2

( x d ) a ]
o d
波速ｕ
参考点 a
任一点ｐ
一维简谐波的波的表达式
选:原点为参考点,初相a为零,则
·
x
·
x
( x , t ) A cos( t
2

x)
k u
2
称作角波数 (波矢)
x ( x , t ) A cos( t kx ) A cos ( t ) u
动能
1 1 2 W k m Sx t 2 2

2
动能密度
W k 1 wk S x 2 t
2
F Y 由： S x
又：
可得：一段质元所受的弹性力 F Y S x
F k
第五章 波动 (Wave)
振动在空间的传播过程叫做波动,机械振动在媒质的传播 形成机械波(Mechanical Waves)。 媒质中一质点做振动，通过弹性作用迫使邻近质点也在各自 的平衡位置附近振动起来。由此，一个质点的振动将由近而 远地在媒质中传播开，这就是弹性波。 §5.1 简谐波（Simple Harmonic Wave) 一、 波的产生和传播 1.机械波的产生 1) 产生条件: 波源 媒质 2) 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播
波速ｕ
参考点 a
o
·
任一点ｐ
·
x
a( t, a )=Acos( t a)
P 点振动表达式：
d x
xd xd p (t , x ) a (t , a ) A cos [ ( t ) a ] u u
P : A, 均与a 点的相同, 但相位落后
2

(x d)
波速ｕ
参考点 a
o
d
·
任一点ｐ
·
x
x 已知: 参考点a 的振动表达式为 a(t，a )= f ( t ) ( f(t)为已知函数)
考虑p点:
a(t，a )= f ( t ) 波速ｕ
a点的振动传到p点 xd 所经历的时间为： t u o
参考点 a
d
·
任一点ｐ
·
x
x 平衡位置在 p 点的质点，在 t 时刻的位移等于平衡位 置在 a 点的质点在( t – (x-d) / u ) 时刻的位移，即：

5 0.63s; v 1 1.6 Hz; 1.05m; u 1.67m / s T 3 T
（2）波谷为：y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02
2k 1 ( s) (k 0,1,2,3...) 10 y 0.02 cos(10t 6 x ) 0.02 （3）波峰为： k 10(m ) (k 0,1,2,3...) t = 6s 时波峰的位置： x 3
1 3 4 3 7 3 10 3 13 3
o
-1
t/s
2 (rad/s) T 2 u 1m/s A 1m 初位相为： 由振动曲线可得： 3 相速度为： T x = 0处质点的振动表达式为： y cos( t ) (m) 2 3 x 2）波的表达式为：y cos[ ( t ) ] (m) 2 u 3 y/m 整理后得： y cos( t x ) (m) 1 2 2 3 3）t =1s 的波形曲线为整个上面的波 t/s 8 o 2 形向前(右)传播/4空间距离。 3 3
x 0
u

2 Y 2 2 1 2 2 2 2 比较波动方程 2 x u t2 x t
§5.3 波的能量 (Total Mechanical Energy of Wave)
一、弹性波的能量 能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 1.弹性波的能量密度 (以细长棒中传播的平面简谐波为例)
2
1 wp Y 2 x
2
能量密度
1 1 w能 w k w p Y 2 t 2 x
2
2
2.平面简谐波的能量密度
x ( x, t ) A cos (t ) u
1 1 • 能量密度 w能 w k w p Y 2 t 2 x
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” ，波的传播不是媒质质元的传播； (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动； (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出 现---波是振动状态的传播； (4) 同相点----质元的振动状态相同。 相邻 波长 相位差2

x
o
x
x+x
x
自由状态 t 时刻
x截面
x+x截面
(x,t)
(x+x, t)
x段的平均应变: [(x+ x,t) - (x,t)] / x
x处截面 t 时刻 : 长应变为 /x；正应力为 F(x,t)/S 正应力 、长应变关系：
F Y S x
虎克定律
2. 波动方程
2. 波的特征量 1) 波长 : 两相邻同相点间的最小距离；
2) 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率， 即单位时间传过媒质中某点的完整波的个数；
3) 波速u : 单位时间波所传过的距离。
u

T

波速 u又称相速度 (相位传播速度)
波速取决于媒质的性质；而在波源相对媒质静止的情 况下，波的频率是由波源的频率决定的。
o
x1
x
x2
x
F1
F Y S x x
F2 x2截面
· ·
(x,t)
截面S
2 ( Sx ) 2 F2 F1 , t
将应力、应变关系代入
2
x1截面
2 F2 F1 2 S S t

x
Y
( / x ) 2 ( / x )1 2 Y x t
t x 或 ( x , t ) A cos 2 ( ) T
简谐波的表达式 (或称波函数)
3. 一维简谐波表达式的物理意义
由(x, t) cos( t-kx)从几方面讨论: 1) 固定 x, (x= x0)
( x 0 , t ) A cos( t kx 0 )