5.1：波动方程与波的能量

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大学物理波动方程和波的能量

经过 △t 时刻后波以速度 u 向右移动了 u△t
位于x处的质点做简谐振动，时间上比 x=0 点迟
△t=x/u
y
y(x,t)
u△t
·==·A·Ac·c·oo·s·sω·ω·((·tt--·△x··/·ut·)）·······0···x··································X ···
16
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
已知： 1.5102 kg / m , F 6N , t=0的波形如图所示
求：振幅，波长，波速和波的周期、波函数及质元振动速度表达式
由图可见：A=0.04m、λ=0.4m、
u
F
6 1.5102
20m / s
波前—某时刻处在最前面的波面。
在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直. 球面波、平面波见右图。
五、波长、波速、频率和周期
波线波面
波线波面
先看一个波的传播过程：设振源的振动方程
y=Acos(ωt -π/2)
7
y=Acos(ωt -π/2)
·0 ··4····8····1·2···1·6···20 ···t = 0 ·······u ·····················t = T/4
当振源的初位相不为0时
12
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 ,
T
代入
y
A cos 2 Tt
x
Tu
1
T
y
A
cos2
t
x
y Acos[2t 2x ]
其中2πx/λ表 y 示由于坐标产 ut

波的能量

• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动，由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能，同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。从中可以看出，初始时刻，质点没有能量，当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量，而能量显然来源于波源。因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过程的一个重要特征。我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波

高二物理竞赛课件：波动方程和波的能量

平面波波面
障碍物
平面波
12
惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于其它波，如电磁波等。
例：在波线上有相距2.5 cm的A、B两点，已知点B
的振动相位比点A落后30，振动周期为2.0 s ，求波速和波长。
解：因在波线上相距l两点的相位差为2
所以波速为
l 2π 2.5 102m 0.30m
π
6
P wuS 1 A2 2uS
2 能流密度单位时间内通过垂直于波线的单位面积的
平均能流称为能流密度，也称波强度。
I P wu 1 A2 2u
S
2
w 1 A22
28
能量密度介质中单位体积的波动能量
w E E A2 2 sin 2 (t x )
ΔV SΔx
u
1. 能量密度随时间做周期变化，变化周期为波动周期的1/2
w 1 T wdt 1 A22
T0
2
w
o
t
波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。
7
二、波的能流和能流密度 (energy flux density)
能流：单位时间内通过介质中某面积的能量
如图，单位时间内通过S 面的能量，等于体积 uS 中的能量
S u
平均能流在一个周期内通过S面的能流的平均值
波动方程和波的能量
1
一、波的能量
波源振动
介质介质质元运动波动介质弹性形变
动能势能
能量来自波源。波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
现以平面简谐纵波在均匀直棒中的传播为例，讨论介质中的能量传播
2
纵波 u
a
b
动能

大学物理波的能量惠更斯原理

u = Y
由于：由于：势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大，最大，当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。最小。
Ek、EP
同时达到最大平衡位置处同时达到最小最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械振动能量中E 相互转换，能守恒。能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时波动能量中E 同时达到最大，波动能量中为零，总能量随时间周期变化。为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量波的动能、
在波传播的过程中，在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。波动传播的过程也是能量传递的过程。波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例：以均匀细棒中传播的纵波为例：取一体积元 dV，，质量为ρdV, 质量为质元振动速度为v。质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2

波的特性与波动方程

波的特性与波动方程波是一种能量以振荡或传播的方式传递的物理现象。

它们可以是机械波，例如通过介质传播的声波或水波，也可以是电磁波，例如光波或无线电波。

波的特性与波动方程密切相关，通过波动方程我们可以描述波的行为和性质。

一、波的特性1. 频率和周期波的频率是指在单位时间内波所振动的次数，通常以赫兹（Hz）来衡量。

而波的周期是指波所振动完成一次周期所需要的时间，周期的倒数即为频率。

频率和周期是波的基本特性，对于同一类型的波，频率越高，周期越短。

2. 波长和波速波长是指波的一个完整振动周期所对应的距离，通常用λ表示，单位是米。

波长与频率成反比，即波长越短，频率越高。

而波速是指波传播的速度，它等于波长乘以频率。

在给定介质中，波速是恒定的，而波长和频率可以相互改变。

3. 幅度和能量传播波的幅度是指波的振动幅度的最大值或偏离平衡位置的最大距离。

幅度与波的能量传播有关，波的振幅越大，能量传播越强。

例如，在水波中，波浪的高度就是波的振幅，波浪越高，能量传播越远。

二、波动方程波动方程是用来描述波的运动和传播的数学公式。

具体形式和解法取决于波的类型和条件。

1. 一维波动方程一维的波动方程通常用于描述沿一条直线传播的波，其一般形式为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波在时刻t和位置x的位移；v是波的传播速度。

这个方程描述了波的传播过程中，位移随时间和位置变化的关系。

2. 二维和三维波动方程二维和三维的波动方程通常用于描述在平面或空间中传播的波，其形式更为复杂。

例如，在二维情况下，波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是波在时刻t和位置(x, y)的位移。

在三维情况下，波动方程还会多出一个偏导数项。

三、波的类型波可以分为多种类型，包括机械波和电磁波。

波动方程与波速波的能量惠更斯原理波的反射与折射

波速小的媒质（光密媒质）波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时，折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势能：质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2

波动基本概念-波函数-波的能量

波长周期波速
波传播方向
波速
波长周期频率波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于孤立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t

量子力学中的波动方程与波函数解

量子力学中的波动方程与波函数解量子力学是描述微观世界中粒子行为的一套理论体系。

在量子力学中，波动方程与波函数解是非常重要的概念和工具。

本文将就量子力学中的波动方程以及如何求解波函数进行探讨。

一、波动方程的引入在量子力学中，波动方程用于描述粒子在时间演化过程中的行为。

波动方程的基本形式是薛定谔方程，也叫薛定谔波动方程。

它的一般形式如下：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，Ψ是波函数，t是时间，H是系统的哈密顿算符。

二、波函数的物理意义波函数Ψ是量子力学中描述粒子的状态的函数。

它包含了关于粒子位置、动量等物理量的所有信息。

波函数的模的平方|Ψ|²表示了在某个位置上找到粒子的概率密度。

三、定态薛定谔方程在某些情况下，系统的哈密顿算符H并不显含时间变量。

这时，薛定谔方程可以简化为定态薛定谔方程。

定态薛定谔方程的形式如下：HΨ = EΨ其中，E是能量本征值，Ψ是相应的能量本征函数或波函数。

四、波函数的求解方法对于简单的量子系统，我们可以通过求解薛定谔方程来得到波函数的解析表达式。

但对于一般的复杂系统，解析解往往难以获得，只能通过近似方法或数值计算来获得波函数的解。

数值方法主要包括薛定谔方程的数值求解和量子力学算符的数值模拟。

常见的数值方法有蒙特卡洛法、矩阵对角化方法、微扰理论等。

五、波函数解的物理意义和应用波函数解提供了关于粒子在量子力学体系中的行为的丰富信息。

通过波函数解，我们可以计算系统的能谱、态密度、相干性等物理量，并进一步研究系统的特性。

波函数解的应用非常广泛。

它在原子物理、凝聚态物理、量子信息等领域都有重要的应用。

例如，在原子物理中，通过求解氢原子的薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数，从而计算能级和跃迁概率等物理量。

在凝聚态物理中，波函数解可用于研究晶体结构、电子能带等问题。

在量子信息领域，波函数解是研究量子计算和量子通信等问题的基础。

六、总结波动方程与波函数解是量子力学中的重要概念和工具。

二、波动方程和波的能量

u
沿X轴负方向传播： y Acos(t x )
u
波动方程的推论
y Acos(t x )
u
(1)当x为某一定值时，设x=x0，方程可变为：
y Acos(t x0 ) Acos(t 2πx0 )
u

反映：x0点处质点的振动方程
y Acos(t x )
• 波动方程解题
简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。这种波在无吸收的均匀介质中传播时振幅保持恒定，不随时间也不因距离波源的远近而改变。
描述波线上质点在每一位置、每一时刻的位移的函数称为波的波函数或波动方程。
y f (x,t)
设一平面简谐波以速度v 沿 x 轴正方向无衰减地传播。
设 t 时刻 O 点振动表 o 达式为，
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
ห้องสมุดไป่ตู้
求：A、f、、u。
解：
y

Acos
t

x u

0

y

2
10
3
cos
400
t

x 20

m
u 20m/s 400 A 2103m
机械波的产生和传播
复习简谐振动
机械振动
简谐振动
共振
动力学描述
振动方程
矢量描述
振动能量
振动合成
数学描述
微分方程
三角函数
F kx 动力学方程
d2x dt 2

2
x

0
运动学方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动方程

4_2_2波动方程、波的能量、声波

引子：引子：悬浮的小动物究竟是什么力量使小动物悬浮在空中的？动物悬浮在空中的？答案在本次讲课中。答案在本次讲课中。
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程简谐波的波函数为：简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度势能密度
--- 与弹性（形变）有关与弹性（形变）
考虑一棒的线变，考虑一棒的线变，棒长：截面：棒长：l ，截面：S 两端拉力：两端拉力：由0 → F 相应形变：增至，应变。相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2

简谐波波方程

3、周期T: 波传播一个波长的时间.亦即振源振动的周期
4、频率: 周期的倒数为频率 =1/T
5、波数k: 在2π长度内所包含的完整波的个数波速、波长、周期、频率、波数之间的关系
u , k 2
T
u
2014/4/11
DUT 常葆荣
6
6、波函数：介质中各点位移随时间和空间坐标变化规律的数学表达式
v
A
0
A
x
1
2
0
A
(A)
v
v
A
A
0
A
1
2x
0
A
(C)
2014/4/11
DUT 常葆荣
u
t 1 x
12
x
1
2
(B)
2
1
x
(D)
28
y
u
A
t 1
0
A
x
1
2
设简谐波的波函数为 t=1时各质点的位移和速度为
t=1时坐标原点处的质点，y=0, v>0
2014/4/11
y x,t
平移与衡时位由一间置于个的在质波关原点是系点的振为的振动质动状点即态振可的动知传位道播其，它所质以y(点只t,的要0振知) 动道波f线上t
平衡位置在x 处的质点 t 时刻相对自己平衡位置的位移
yu
u i
yx,t f t x
u
o
x
x
y(0,
5T
)

4 A
4
4

y( , 5T ) 0
y

44
t=T u
t =5T/4

大学物理波动方程波动能量

• 不同波长、相同振幅反向波的叠加不同波长、
ch6
4.平均能流密度平均能流密度质元不断从前一质元接收能量，质元不断从前一质元接收能量，又向后一质元传递能量 ⇒ 波动是一种能量传递方式 ⇒ 能量流平均能流密度：单位时间内通过垂直于波线方向的平均能流密度：单位面积的平均能量
1 I = w u = ρ ω 2 A2 u 2
单位：单位：W/m2
ch6Βιβλιοθήκη §6-5 驻波一、驻波的形成和特点
1.驻波的形成驻波的形成 • 相干波：频率相同、振动方向相同、有固定相相干波：频率相同、振动方向相同、位差的两个波源所发出的简谐波 • 干涉：在两相干波交叠处，有些地方波加强而干涉：在两相干波交叠处，有些地方波减弱的现象 •两列振幅相同、传播方向相反的相干波的叠加两列振幅相同传播方向相反的相干波的叠加两列振幅相同、 y2 = Acos(ω t + kx) y1 = Acos(ω t − kx)
波腹与波节间距 λ/4 • 相位分布同一段内各质元相位相同每一波节两侧的质元相位相反
4
处不振动，处不振动，相邻波节间距
2
ch6
• 能量分布 Ep↓ Ek↑ Ep↓ 势能→动能势能动能能量由波节向波腹流动瞬时位移为0，势能为，瞬时位移为，势能为0，动能最大。动能最大。 Ek↓ Ep↑ Ep↑ 动能→势能动能势能能量由波腹向波节流动
ch6
的声波 • 次声波 10－4 < ν < 20Hz的声波特点：衰减小，特点：衰减小，可用于远距离传播次声波的波源大气湍流、火山爆发、地震、大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、石落地、雷暴、磁暴等大规模自然活动中，都有次声波产生。然活动中，都有次声波产生。次声波的用途科学研究：科学研究：研究地球、海洋、大气等大规模运动； ①研究地球、海洋、大气等大规模运动；② 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等）对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等）进行预报，深入认识自然规律。进行预报，深入认识自然规律。军事应用：军事应用：军事侦察；次声波有杀伤性。 ①军事侦察；②次声波有杀伤性。

波动方程和能量

x u
u
6
dEp
1Y 2
2 A2
u2
sin 2
t
x u
dV
又 u Y Y u2
dEp
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
比较动能
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
结论：在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且同相位变化。
7
波的能量
现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
因棒元x很小，略去上式中x的高次项，
得纵波的波动方程
2y Y 2y
t 2 x2
1
横波的情形
如图棒元的剪应变为 y ，无限缩小时为 y ，
在 x 处受弹性力为 x
x
f1
GS ( y x
)x
(G剪切模量)
在x+x处所受弹性力
f2
y GS ( x )xx
棒元所受合力
y
y
2 y
f2 f1 GS[( x )xx ( x )x ] GS x2 Δx
。后面我们将直接应用这一结论。8
质元的机械能：
dE
d Ek
d Ep
A2 2
sin 2 t
x dV u
能量密度：单位体积介质中的波动能量。
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。
在波动中，各体积元产生不同程度的弹性形变，
上
下
形变最小

波动方程的能量方法

波动方程的能量方法波动方程是描述自然界中运动的物体所产生的波动现象的一种基本方程。

它在物理学、工程学和应用数学等领域中广泛应用。

为了解决波动方程的解法和性质，数学家们提出了多种方法，其中能量方法是一种重要的解法方法。

能量方法的主要思想是根据物理学原理，将波动系统的能量视为一个重要的物理量，利用能量和能流对波动方程进行分析和解决问题的方法。

能量方法主要包括两个方面：能量守恒和能量估计。

能量守恒考虑一维弦上的波动问题。

假设一个质点以$v(x,t)$速度沿着一条固定的弦运动，在时刻$t$时位于$x$处。

弦的振动会产生能量，因此我们可以用振动的能量来描述这个系统的状态。

设$u(x,t)$为弦在时刻$t$时在$x$处的位移，则该位置的能量密度为$$ dE=\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$其中，$\rho(x)$为材料的密度，$T(x)$为材料的张力。

整个弦的能量密度可以看作$dE$在所有长度上的积分。

设$L$为弦的总长度，则整个系统的总能量为$$ E=\int_0^LdE=\int_0^L\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$我们现在来考虑能量守恒。

设$t_0$时刻系统的总能量为$E_0$，在$t$时刻其总能量为$E$。

那么前后两时刻之间能量差可以写成$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(E-E_0)&=\frac{d}{dt}\int_0^L\frac{1}{2}\left[\rho(x)u_x^2(x,t)+T(x)u_t^2(x,t)\right]dx\\&=\int_0^L\left[\rho(x)u_xu_{xt}+T(x)u_tu_{tt}\right]dx\\&=\int_0^L u(x,t)(\rho(x)u_{xt}+T(x)u_{tt})dx \end{aligned} $$根据波动方程$u_{tt}=c^2u_{xx}$，可以将式子化简为$$ \frac{d}{dt}(E-E_0)=\int_0^Lcu_{tt}^2(x,t)dx\ge0 $$在$t_0$时刻能量守恒，即$E_0=E$，因此有$$ E-E_0=\int_{t_0}^t\frac{d}{dt}(E-E_0)dt=\int_{t_0}^t\int_0^Lcu_{tt}^2(x,s)dxds\ge0 $$这说明系统的总能量在某一时刻不会增加。

Gao05_波动

真空中：
c 1 0 0 2.9979667 108 m/s
介质中：
u
1

3、电磁波能量密度和能流密度（1）电磁波能量密度单位体积中电场能量密度
1 we 0 E 2 2 wm 1 0 H 2 2
单位体积中磁场能量密度
理论和实验均证实，在任何时刻，空间中任何一点，两者相等
若 x 一定，波线上该处质元的 d E 随 t 周期变化；若
t 一定，此时波线上各质元的 d E
随 x 周期变化。
(3) 各质元 dE 随 x 、t 变化，说明能量不断流过质元。结论：波的能量特征 — 介质中参与波动的各质元的动能与势能同相且相等，机械能不守恒。每一质元不断地从前一质元吸收能量而向后一质元释放能量。能量以波动形式传播，波动是能量传播的一种方式。
u
那么
1 T 1 T x 1 I S EHdt E0 H 0 cos 2 [ (t ) ]dt E0 H 0 T 0 T 0 u 2
4、电磁波谱
ν
1020
γ 射线
λ
10－12 1A 10－9 1nm 10－6 1 μ m
○
X射线 1015 1 THz
1
(m)
(2) 以I1表示单个士兵喝声的声强，则
I1 90 10 lg I0
解上式，得 I1 = 10-3 (W/m2)
由于
I 100 3 10,0000 I1 10
即飞将军大喝一声相当于10万士兵同时齐声大喊。
三、次声波和超声波
1、次声波（频率低于20 Hz的声波）
产生：自然界中，海上风暴、火山爆发、陨石坠落、海啸、电闪雷鸣、波浪击岸、水中漩涡、龙卷风、极光、地震；

波动方程波的能量声波

声波的传播特性
声波在介质中传播时，会受到介质的阻尼作用，导致能量逐渐衰
减。
声波的传播速度与介质的密度和弹性有关，通常在固体介质中传
播速度较高。
声波在传播过程中会发生折射、反射和干涉等现象，这些现象会影响声波的传播路径和能量分布。
声波的能量分布与传播方向
01
声波的能量分布与声波的频率和波形有关，通常高频声波具有较大的能量密度。
声音传播的预测
声音在介质中传播时，会受到介质的物理性质、温度、压力等因素的影响。为了准确预测声音传播的轨迹和强度，需要建立声音传播的数学模型，并进行数值模拟和实验验证。
声音传播的控制
在某些场合，我们需要控制声音的传播方向、强度和频率等参数，以达到特定的效果。例如，在建筑声学中，通过对建筑结构的特殊设计，可以控制室内声音的传播；在噪声控制工程中，采用消声器、隔音墙等手段降低噪声的传播。
THANKS
感谢观看
03
声波
声波的产生与传播
声波的产生
声波是由物体的振动产生的。当物体振动时，它周围的介质（如空气、水或固体）中的质点会受到挤压，形成密部，并从周围吸收能量；同时，这些质点会远离中心，形成疏部，并向周围释放能量。这种周期性的挤压和疏散过程形成了声波。
声波的传播
声波在介质中传播时，会使得介质中的质点按照声波的频率振动。声波的传播速度取决于介质的性质，如温度、压强和密度等。在标准大气压和室温下，声波在空气中的传播速度约为343米/秒。
声波的性质
声波的频率
声波的频率是指单位时间内质点振动的次数，单位为赫兹（Hz）。人耳能听到的声波频率范围大约在20Hz到20000Hz之间。不同频率的声波有不同的音调，频率

大学物理第五章波动

y
u
o
Px
x
O点简谐运动方程：y0 Acos(t 0)
由P 点的振动得到波动表示式：
y( x,
t)
Acos[(t
x u
)
0
]
y
( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
沿 x轴正向，波线上
各质点的振动时间和相位依次超前。
17
2. 波动方程
y Acost x u 0
求 x 、t 的二阶偏导数
移。即表示振动状态的传播，给出波形随时间而变化的
情况。
y
u
A
t 时刻波形
0 t+t 时刻波形
行
x x x x 波
x=u t
23
请指出你认为是对的答案以波速 u 沿 x 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B
A B
C
D
C
D
(1) A点的速度大于零；
v 振动速度
y t
(2) B点静止不动；
4
u
S
P
x x0
x
x
解： 2
xSP
2
(x
x0
)
S
(t
)
t
3
p (t) S (t)
t
3
2
(x x0)
y( x, t )
Acos[
t
3
2
(x
x0 )]
b点比a点的相位落后：
2 x
重要结论！
19
例:已知
ys
(t
)
A
cos(
t

波的能量、多普勒效应

k
y2
dEp
1 2
k(dy)2
yAcos (t x)
u
dEp
1k(dy)2 2
Y FS kdySkdx dydx dydx S
1 YS(dy)2 2 dx
k YS dx
1Y(y)2Sdx 2 x
1 2Yu 2A 22si2n(tu x)dV u Y
1 2 A2s i2n (tx)dV
2
u
对细棒状介质中的纵波适用
A随r的增加而减小
球面波波函数 A0cos(t[r)]
r
u0
A随r的增加而减小
平面简谐波波函数 Ψ(x,t)Acos(t [u x)0]
A为常数
本节内容回顾：
一、介质元振动能量：
d E d E k d E p
2A 2si2n (tx)d V u
二、能量密度：单位体积内的振动能量。
wdEA22si2n (tx)
解：取半径分别为 r1 , r2 , 高 h 的柱面 S1, S2
单位时间内通过S1和S2能量相等
w1uS1w2uS2
1 2A 1 22uS11 2A 2 22uS2
A1 S2 2r2h r2 A2 S1 2r1h r1
I1
A2 1
r2
I2
A2 2
r1
柱面波波函数 Ar0 cos(t[u r)0]
汽车超速行驶。
练习2：主动脉内血液的流速一般是0.32m/s，今沿血流方向发射4.0MHz的超声波，该红血球反射回的波与原发射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内传播速度为1.54×103 m/s 。
解：
v
v1
uvO uvO
v 2vO uvO