二次根式教学设计(第一课时)
《二次根式》教案(第一课时)
《二次根式》教案（第一课时）一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念．2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念．它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础．本节课的教学重点是：根据算术平方根的意义了解二次根式的概念教学．二、目标和目标解析1．目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，明白被开方数必须是非负数原因．（2）会用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从具体数的算术平方根出发，过渡到含字母的情况，通过算术平方根的概念得到二次根式的概念，并根据算术平方根的意义得到二次根式被开方数和结果均为非负数的结论．达成目标（2）的标志是：学生能够根据实际问题，利用开平方运算的意义，列出二次根式．三、教学问题诊断分析二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解．教学时，要充分利用教材的“思考”栏目，从生活中的实际问题引入，以激发学生的学习兴趣，让学生体会由特殊到一般的过程，由此给出二次根式的定义．在二次根式的概念中，为什么要强调被开方数大于等于零？引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由以及二次根式的结果的非负性，所以二次根式的双重非负性是本节课的难点．四、教学过程设计（一）创设情景，提出问题电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=其中地球半径，R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之．你能化简这个式子吗？问题１式子表示什么？公式中r=的课题．设计意图：让学生借助已学的数和式子的运算，从数与式子运算的完整性角度引出要研究的问题让学生知道本章将要学习的内容，让学生提前做到心中有数．问题2用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h （单位：m）满足关系h=5t2．如果用含有h的式子表示t，则t为=_____．设计意图：让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．（二）合作探究，形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？教师引导学生说出各式的意义．）概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．叫做二次根式．（学生总结）a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（师生共同总结）（4）提醒学生注意二次根式定义包含的内容．②被开方数a≥0．③a可以是数，也可以是含有字母的式子．（5）在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≥0”？教师引导学生回想4、0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？最后总结只有非负数才有算术平方根．设计意图：采用具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念．（三）初步应用，巩固知识练习：二次根式和算术平方根有什么关系？学生通过小组合作交流得出：二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．【例1】当x在实数范围内有意义，则应满足被开方数x－2≥0．解：由x－2≥0，得x≥2．当x≥2在实数范围内有意义．【例2】当x解：因为2x≥0，所以，当x在实数范围内都有意义．由3x≥0，得x≥0．当x≥0在实数范围内有意义．设计意图：通过练习、例1、例2，加深概念理解．（四）比较辨别，探索性质0的大小．先让学生独立思考，然后教师引导学生根据概念，分a＞0和a=0两种情况进行讨论．当a＞0a＞0；当a=0表示0=0；（a≥0）是一个非负数．设计意图：强化学生对二次根式双重非负性的认识．（五）综合应用，深化提高练习1判断下列各式哪些是二次根式：ax≥-（1（210)；（3（4≤0)．学生先独立完成，后小组展示确定二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于零），所以（2）（3）（4）为二次根式．练习2当x是什么实数时，下列各式有意义．（1（2（3（4解：（1）由3-4x≥0，得x≤34．（2）由xx≥⎧⎨-≠⎩10，得≥0且1．x x≠（3）由x≤2-0，得x=0x≠0（4）由-2≥0且2-≥0x x ，得2x =．设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．（六）课堂小结（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（a ≥0（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？中的a ≥0≥0． 二次根式的双重非负性．（3）二次根式与算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．设计意图：回顾本节课所学的二次根式的概念，再次确定二次根式有意义的条件；理解二次根式的双重非负性以及二次根式与算术平方根的关系．（七）布置作业1x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．2≥x -C ．2≥xD ．2≤x2．已知y 3，则2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ．1523．求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ； （3）y =；（4）2||12--x x ． 4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．求a 、b 、c 的值．作业答案：1．D 202≥得≤x x -．故选D ．2．B 解析：要使有意义，则25≥052≥0x x -⎧⎨-⎩，解得x ＝25，故y ＝3，∴2xy ＝2×25×3＝15．故选B ． 3．（1）322≤≤x -；（2）0≤x 且1x ≠-；（3）0≥x 且1x ≠．（4）12≥x 且2x ≠． 4．∵12-a ≥0，a b 2-≥0，c b a ++≥012-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0∴2a -1=0，b -2a =0，a +b +c =0 ∴13122，，a b c ===-五、目标检测设计1．指出下列哪些是二次根式？（134（5≥2)；（6＜)．a a b设计意图：考查二次根式的概念．2．a 取何值时，下列根式有意义？（1 （23 （45 设计意图：考查二次根式的有意义的条件．3n 的值为___________．设计意图：考查二次根式的有意义的条件．目标检测答案：1．（1）（4）（5）是二次根式．2．解：（1）由a +1≥0，得a ≥-1；（2）由1-2a ＞0，得a ＜１２；（3）由()2-1a ≥0，得a 为任何实数；（4）a 为任何实数；（5）a =1．3．0，3，4．。
二次根式第一课时教案[6篇]
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二次根式第一课时教案[6篇]以下是网友分享的关于二次根式第一课时教案的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
第一篇二次根式教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算。
(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识．教学方法：讨论法教学过程：一.情景创设1．回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2．计算:.(2)如图,在Rt∆ABC中,AB=50m,BC=am,则()2(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为b-3,则边长为 .3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?二、探索与实践1、二次根式的定义.__________________________________________________ ____ 说说对二次根式a 的认识,好吗?__________________________________________________ ______2、练习:说一说,下列各式是二次根式吗? (1)32 (2)6 (3)-12 (4)-m(m≤0) (5)xy(x、y异号) (6)a2+1 (7)53、例1: x是怎样的实数时,式子x-5在实数范围内有意义?4、二次根式性质的探索：22=4，即（4）2= 4；32=9，即（9）2= 9；…… 观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当a≥0时，5、例2。
计算：（1）(3)2；（2）(（3）(a+b)2 （a+b≥0）6、练习.（1）(22)= （2）(-23)2 3a) = a。
222)； 3 三、课堂练习P59页练习1、2.四、课堂小结引导学生总结1. 什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?2. 二次根式有哪两个形式上的特点?3．当a≥0时，五、作业教后感：a) = ？2第二篇二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标1.a≥0）的意义解答具体题目．2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个符号a.这里的a表示什么？a应满足什么条件？当aa表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a是负数时，a没有意义．即：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.二、新知探究a≥0）•的式子叫做二次根式，注意：1. 其中的a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式.2.在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．(这里可以让学生自己举几个二次根式的例子，有助于学生的理解)例1．下列式子，哪些是二次根式，11x>0）x≥0，y•≥0）．xx+y分析二，被开方数是正数或0，即非负数．；第x>0）x≥0，y≥0）1x1．x+y例2．x是怎样的实数时，二次根式x-1在实数范围有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x≥1．所以，当x≥1时，二次根式x-1有意义．例3．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥三、巩固练习1313教材P练习第2题．四、应用拓展例4．当x分析：要使+0和1在实数范围内有意义？x+11在实数范围内有意义，必须同时满足x+11中的x+1≠0．x+1解：依题意，得⎨由①得：x≥-由②得：x≠-1 32⎧2x+3≥0 ⎩x+1≠0当x≥-且x≠-1+321在实数范围内有意义．x+1例5. (1) 已知，求的值．(答案: )(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:2)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业xy251.教材习题中的对应题目.2.导学案中的对应习题. 教学反思：第三篇16.1 二次根式（一）骆诗龙学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数；2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。
二次根式教案(实用7篇)
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
16.1二次根式第一课时教案
（4）当—2≥0时是二次
根式，当—2〈0时不是二次根式；即当≥2是二次根式，当〈0时不是二次根式;
（5)当x—y≥0时是二次根式，当x-y〈0时不是二次根式；即当x≥y是二次根式，当x〈y时不是二次根式。
个式子表示这些有共同特点的式子.
学生观察所得结果的特点
请同学们思考：为什么一定要加上 ≥0这一条件?引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根
练习:
1。 一个矩形的面积是18cm2,它的边长之比为2:3，它的边长应为多少？
2。当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） (2)
3。已知y= - ,求x+y的值。
(1)（2）小题学生自己能够解决。
(3）小题注意符号问题；
(4）小题请学生思考后解答.
学生练习1、2两小题是基础题，学生自己能够完成。
2、下列式子中,不是二次根式的是( ）A．B． C．D．
3、已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ）A．5；B．;C． ；D．以上皆不对；
4、形如________的式子叫做二次根式．5、面积为a的正方形的边长为________．
6、负数________平方根．7、面积为S的圆的半径为;
8、某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是;
使学生回忆平方根和算术平方根的内容
的高度h（单位：m）满足关系h=5t2。如果用含有h的式子表示t，则;
在上面的问题中,结果分别是,，,它们都是表示一些正数的算数平方根。
2、思考下列问题①-1有算术平方根吗？②0的算术平方根是多少？③当a〈0，有意义吗?
3、二次根式是怎样定义的？
苏教版二次根式教案第一课时
苏教版二次根式教案第一课时教案标题：苏教版二次根式教案第一课时教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质。
2. 掌握二次根式的化简和运算方法。
3. 能够应用二次根式解决实际问题。
教学准备：1. 教材：苏教版二次根式教材。
2. 教具：黑板、粉笔、教学PPT等。
3. 学具：练习册、作业本等。
教学步骤：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾一元二次方程的知识，通过问题引入二次根式的概念。
2. 提问：“什么是二次根式？二次根式有哪些特点？”引导学生思考并回答。
Step 2：概念解释与讲解1. 通过教学PPT或板书，对二次根式的定义进行解释，并给出示例。
2. 讲解二次根式的基本性质，如二次根式的分子中不含有平方根、二次根式的和差化简等。
Step 3：化简与运算1. 引导学生通过例题掌握化简二次根式的方法，如合并同类项、有理化分母等。
2. 通过练习题让学生巩固化简二次根式的基本技巧。
3. 引导学生通过例题和练习题掌握二次根式的加减乘除运算方法。
Step 4：应用解决实际问题1. 设计一些与实际生活相关的问题，引导学生运用二次根式解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程，加深学生对二次根式应用的理解。
Step 5：小结与作业布置1. 对本节课所学内容进行小结，强调二次根式的概念、性质和运算方法。
2. 布置相应的课后作业，巩固所学知识。
教学延伸：1. 对于学习较快的学生，可以提供更多的挑战性练习，如复杂的二次根式运算或解决实际问题。
2. 对于学习较慢的学生，可以提供更多的练习机会，加强基本技能的训练。
教学反思：本节课通过引入问题、概念解释、化简与运算、应用解决实际问题等环节，全面培养学生对二次根式的理解和应用能力。
在教学过程中，教师要注重激发学生的学习兴趣，提高课堂互动，使学生能够主动思考和解决问题。
同时，教师还要根据学生的实际情况进行差异化教学，确保每个学生都能够达到预期的学习目标。
二次根式教案(第一课时)
长是宽的2倍，面积为130 ，则它的宽为_____ .
3.一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t，（单位：s）与开始下落的高度h（单位：m） 满足关系 .如果用含有h的式子表示t, 则t=_________.
给学生充分的时间思考和讨论，让他们发现这个式子也是一种运算.
教学重点
二次根式中被开方数的取值范围.
教学难点
二次根式中被开方数的取值范围的产生过程.
教学方法
通过解决实际问题，引出二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳二次根式的被开方数的取值范围要大于等于零.
教学手段
多媒体课件等
课型
新课
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
一、创设情境，提出问题
羊村和狼堡都新建了电视塔.电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到的电视节目的区域就越广.电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r= ，其中，R是地球半径，R≈6400km.如果羊村和狼堡两个电视塔的高分别是 km, km,那么它们的传播半径之比是 .你能帮羊羊将这个式子化简吗？
五、课堂小结，知识梳理
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）利用本节课知识，你能解决什么问题？
（3）你还有什么困惑？还想继续探究什么？
在学生总结后，进行补充，帮助学生形成知识网络.
归纳、总结发言，体会、反思.
六、布置作业
必做题：教材第3页练习—1，2题. 教材第5页习题--1题.
选做题：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
巩固所学知识，分层作业的布置面向全体，有助于每一位学生的进步.
《二次根式(第1课时)》教案 人教数学八年级下册
16.1 二次根式第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.【过程与方法】经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播.半径之比是√2Rh1√2Rh2教师问：式子√2Rh1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意√2Rh2义？（二）探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？学生1答：（1），.学生2答：（2） .学生3答：（3）．教师问：这些式子分别表示什么意义？学生讨论后并回答.的算术平方根．学生1答：分别表示3，S，65，h5教师问：这些式子有什么共同特征？师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.教师强调：（1）a可以是数，也可以是式.（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0考点1：利用二次根式的定义识别二次根式例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）（1）；（2）81；（3）；（4）（5） ;（6）；（7） .师生共同分析过程见课件：解答如下：解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.出示课件9，学生自主练习，教师订正。
《二次根式(第1课时)》精品教案
5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x ＋2；(2)x －1x －2；(3)x 2＋1；(4)－x 2. 解析：(1)要使x ＋2有意义，必须使x ＋2≥0；(2)要使x －1x －2有意义，必须使x －1≥0，且x －2≠0；(3)要使x 2＋1有意义，必须使x 2＋1≥0，显然x 为任何实数；(4)要使－x 2有意义，必须使－x 2≥0，这时x ＝0.解：(1)x ＋2≥0，所以x ≥－2；(2)⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎨⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质【类型一】 计算：(1)(12)2；(2)(23)2；(3)(－323)2. 解析：利用(a )2＝a (a ≥0)及(ab )n ＝a n b n 进行计算．解：(1)(12)2＝12； (2)(23)2＝4×(3)2＝4×3＝12； (3)(－323)2＝(－3)2×(23)2＝9×23＝6. 方法总结：利用(a )2＝a (a ≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．【类型二】 二次根式a 中隐含条件a ≥0的应用 已知y ＝x －2－2－x ＋5，则x y＝________． 解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎨⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25. 方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 利用a 2＝|a |计算计算：(1)22； (2)（－23）2； (3)－（－π）2. 解析：利用a 2＝|a |进行计算．解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 利用a 2＝|a |化简如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b .方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计 二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎪⎨⎪⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．。
八年级数学二次根式第一课时教学设计
3.使 有意义的正整数nБайду номын сангаас。
4.求当二次根式 的值等于4时x的值。
考查二次根式有意义的条件。
考查二次根式概念及其与开平方的关系。
一方面锻炼由具体-抽象的思维方式，另一方面加深对二次根式意义的认识，同时强化对二次根式双重非负性的理解。
应用展示
活动一 完成课本3页的练习。
活动二 “统筹兼顾”
当x是什么实数时，下列各式有意义？
（1） （2）
（3） （视情况而定）
点拨：（1）（2）引导同学们分析问题要顾全，一是看局部，二次根式有意义；二是看整体，分母不能为0.（3）形式特殊，满足条件的实数x只取一个数0，且结果也是0.
重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念。
难点：二次根式有意义的条件。
教学方法
研讨法、学习迁移法
课前准备
教师
Ppt
学生
教学活动过程设计（第1课时）
教 学
环 节
教学活动
设计意图
(或复备建议)
教师活动
预设学生活动
知识回顾，提出问题
我问你答：
（1）平方根：25的平方根是？3的平方根是？ 0的平方根是？ -5的平方根？
x●2x=130，x2=65，x=
（3）t= .
学生动笔思考并进行简单运算，写出表达式。可交流。
师生活动：适当引导和评价，关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根。
学生根据结果特点归纳二次根式的概念，从形式、内容两方面（类比分式概念等）
（1）有二次根号；
（2）被开方数不能小于0。
学校教师备课笔记
年级
二次根式第一课时教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
二次根式第一课时教案教学目标：1.了解二次根式的概念和特点；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题。
教学重点：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的运算规则。
教学难点：1.灵活运用二次根式的运算规则解决实际问题。
教学准备：教师：教材、黑板、粉笔、计算器学生：教材、笔记本、铅笔、直尺、三角板教学步骤：Step 1 热身导入（5分钟）教师可以通过出示一道与二次根式相关的问题引导学生思考，如：如果一个正方形的面积是16平方厘米，那么它的边长是多少？并提醒学生思考如何计算。
Step 2 引入新知（10分钟）教师通过引导学生观察并分析计算正方形边长的方法，引出二次根式的概念。
然后，教师给出二次根式的定义：若a是一个正数且n是一个正整数，则a的n次方根，记作√a，其中根指数n为奇数，被开方数a大于等于零。
Step 3 二次根式的性质和运算规则（20分钟）3.1 二次根式的性质教师通过教材内容介绍二次根式的性质，包括：（1）若a≥0则√a ≥ 0；（2）若a≥0则√a²=a；（3）若a≥0则√a×√a=a；（4）若a≥0，b≥0，则√a±√b不能进行合并成一个根号；（5）若a≥0，b≥0，则√(a×b)=√a×√b。
3.2 二次根式的运算规则教师通过具体的计算例子介绍二次根式的运算规则，包括：（1）同类项的加减运算：根指数、底数相同的二次根式可以进行加减运算，但不能合并成一个根号；（2）乘法运算：根指数相同的二次根式可以进行乘法运算，结果的根指数不变，底数相乘；（3）除法运算：根指数相同的二次根式可以进行除法运算，结果的根指数不变，底数相除；（4）化简运算：对二次根式进行化简，尽量把二次根式的底数写成素数的乘积。
Step 4 练习与讲评（15分钟）教师布置一些二次根式的练习题，要求学生独立完成，并在规定时间内交卷。
然后教师对练习题进行讲评，解释正确答案的求解思路和方法，并指出容易出错的地方。
二次根式教案第一课时
苏科版八年级数学下册二次根式（第一课时）教学目标：1．经历观察、比较的过程，发现二次根式的乘法运算规律，通过推理论证，生成二次根式的乘法法则；2．运用等式的对称性，建构二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的互逆关系；3．正确运用二次根式的乘法运算法则进行简单的计算和化简。
教学重点：1．二次根式乘法法则生成过程2．正确运用二次根式乘法法则进行简单的计算和化简。
教学难点：二次根式乘法法则生成过程教学过程：一、创设情境，引出课题解：ABCD S AB BC =⋅=矩形二、通过计算发现规律（1=_______=_______；（2=_______=_______；1、如图，小正方形的边长为1，格点四边形ABCD 的面积是多少？D==三、由特殊到一般，由具体到抽象，建构二次根式乘法法则1=吗？如何证明？（独立思考，小组研究）全班交流：2223721=⨯=⨯=依据：积的乘方性质()n n n ab a b =23721=⨯=依据：二次根式的性质2a =（0a ≥）∴22=0>0>（二次根式的非负性）=2．全班研究（1）推广为一般情形：=（0a ≥，0b ≥）显然，证明方法同上。
（2）用文字语言叙述二次根式的乘法法则的意义。
等式左边为算术平方根的积（二次根式的积），右边为积（被开方数）的算术平方根。
（3）．根据等式的对称性质：=（0a ≥，0b ≥）=（0a ≥，0b ≥）（4）．概括： （0a ≥，0b ≥）从左到右是二次根式的乘法法则，从右到左是积的算术平方根的性质（即反过来）（5）推广为多项的形式：abc c b a =⋅⋅()0,0,0≥≥≥c b a 五、运用法则计算或化简题组一：1．计算2431⨯……二次根式相乘2431⨯=……被开方数的积的算术平方根8=……被开方数不含开得尽方的因数或因式122=题组二：计算1．714⨯2．3.()10253-⨯ 4.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-632335.862⨯⨯ 6.363b ab ⋅（0a ≥，0b ≥）题组三：化简1．202．38b （0b ≥）3．22b a 4．()22c b a +（0a ≥，0b ≥，0c ≥）题组四：化简1.2243+ 2.⋅-2212133.22245255-4.⋅+24x x (x ≥0)5.y x x 23+(x ≥0,x+y≥0)6.2232xy y x x ++(x ≥0,x+y≥0)六、总结：1⇔（0a ≥，0b ≥）2．二次根式运算或化简的最后结果要注意什么问题？注意：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
7.1二次根式（第1课时）教学设计
7.1⼆次根式（第1课时）教学设计⼆次根式（第1课时）⼀、学⽣起点分析七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘⽅运算，本学期⼜学习了有理数的平⽅根、⽴⽅根，理解了实数．这些都为本课时学习⼆次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是⼀个新的运算，学⽣有⼀个熟悉的过程，运算的熟练⽔准尚有⼀定的差别，在本节课及后两节课的学习中，应针对学⽣的基础情况，控制上课速度和题⽬的难度．⼆、教材任务分析本节分为三个课时。
第⼀课时，理解⼆次根式和最简⼆次根式的概念，探索⼆次根式的性质，并能利⽤⼆次根式的性质将⼆次根式化为最简⼆次根式的形式；第⼆课时，基于⼆次根式的性质得到⼆次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进⽽利⽤它们实⾏⼆次根式的运算；第三课时，进⼀步实⾏⼆次根式的运算，发展学⽣的运算技能，并注重解决问题⽅式的多样化，提升学⽣使⽤法则的灵活性和解决问题的⽔平．为此，确定本节课教学⽬标是：1.理解⼆次根式和最简⼆次根式的概念.2.探索⼆次根式的性质．3.利⽤⼆次根式的性质将⼆次根式化为最简⼆次根式．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第⼀环节：明晰概念；第⼆环节：探究性质；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时⼩结；第⼀环节：明晰概念问题1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式⼦有什么共同特征？(都含有开⽅运算，并且被开⽅数都是⾮负数。
) 介绍⼆次根式的概念。
⼀般地，式⼦)0(≥a a 叫做⼆次根式。
a 叫做被开⽅数．强调条件：0≥a ．问题2：⼆次根式怎样实⾏运算呢？这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．第⼆环节：探究性质（⼀）内容：通过探究得出b a b a ?=?，ba b a =．具体过程如下：（1）94?＝，94?＝；2516?＝，2516?＝； 94＝，94＝； 2516＝，2516＝．（2）⽤计算器计算：76?＝，76?＝；76＝，76＝．问题1：观察上⾯的结果你可得出什么结论？问题2：从你上⾯得出的结论，发现了什么规律？能⽤字母表⽰这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归纳出b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），ba b a =（a ≥0， b ＞0）．说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这个条件是公式的⼀部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481?；（2）625?；（3）95。
《二次根式(第1课时)》优质教案
二次根式（1）【教学目标】1.了解二次根式的意义，掌握二次根式的定义；能根据定义确定被开方数中字母的取值范围.2.理解并掌握二次根式的性质：()20a a =≥()0a a =≥.⒊经历二次根式的定义的形成过程及二次根式性质的探究过程，提高数学探究能力及归纳能力.【教学重点】二次根式的概念和相关性质.【教学难点】运用二次根式的性质：()20a a =≥()0a a =≥进行计算.【教学过程】一、新课引入我们学习了平方根和算术平方根的意义，请同学们思考并回答下面3个问题：的平方根是 ，0的平方根是 ，正实数a 的平方根是 .2. a 需要满足什么条件为什么)0a ≥二、自主探究1.二次根式的概念：⑴我们把.⑵由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.即：被开方数0a ≥.⑶ ))00a a <<是不是二次根式.⑷根据已有的知识，说说你对二次根式的认识.①表示a 的算术平方根.②a 可以是数，也可以是式.③从形式上看，含有二次根号.④0a ≥≥2.二次根式的性质：⑴对于非负实数a a 的一个平方根，因此：()20a a =≥= ，= ，= …结论：当0a ≥=三、应用迁移（一）典例精析例1 当x 在实数范围内有意义例2 计算：⑴2; ⑵(2; ⑷ （二）变式运用.0,=.(三)综合运用已知实数0,0,a b <> 四、归纳小结⑴二次根式的定义：①形如 ②被开方数a= (0)a ≥②2= (0)a ≥五、巩固提升★⒈当x 时，.★★⒉已知2y =，求,x y 的值.★★★⒊在实数范围内，把下列多项式分解因式：⑴213;x-⑵2x-312.六、课后练习A层：教材P159 A组1、2、3B层：学法大视野P75—76课后提升七、教学反思。
二次根式教学设计(第一课时)
二次根式（第一课时）教学设计执教者-------陈利华（株洲市十六中）教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时一、教学目标（1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。
（2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。
（3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。
二、教学重点1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数3、2＝a（a≥0）4a •及其运用．三、教学难点a≥0）是一个非负数的理解122＝a的推导及应用。
四、教学设想：过去老师教，学生被动听。
新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。
课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能力。
让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。
只有这样学生才有可能成为课堂真正的主人。
五、教学环节分析：本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。
2、利用学案，学生分小组在课堂上进行展示。
教师引导学生突破本节课的重点、难点。
六、教学过程：（一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些?2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°，那么AC 边的长是__________．问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____.归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。
（二）探索新知：知识点一: 二次根式的定义师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示生1：一般地，a ≥0）•的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。
《二次根式》第一课时教学过程设计
《二次根式》第一课时教学过程设计《《二次根式》第一课时教学过程设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教师行为学生学习活动设计意图(一)回顾旧知，以旧引新1、复习提问：什么是平方根?什么是算术平方根?2、请说出下列各式的意义，并计算出结果。
,±, ,- , ,学生回答问题并观察上面各式的被开方数的特点。
总结自己观察到的特点。
通过提问和练习，使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念并引导学生对以前学过的平方根的性质的回顾，为下面的学习作好铺垫。
(二)小组合作，探究新知阅读教材2、3页的部分，回答下面的问题：1、用自己的话说出对“形如(a≥0)的式子叫做二次根式”的理解。
2、用自己的话说说二次根式的性质。
(自主思考后，小组交流)教师给予适当的补充和引导。
3、x是怎样的实数时，二次根式有意义。
学生自主学习后，小组讨论，进一步理解概念和性质。
通过自学和小组合作，让学生熟悉教材，先学后讨论，可以加深对二次根式定义的理解和记忆，同时也培养了学生的合作意识。
(三)自我检测，发现问题1、下列式子中，是二次根式的是()A、-B、C、D、x2、下列二次根式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?，，,,-,3、计算(1)(2)(3)(4)4、x是怎样的实数时，下列二次根式有意义。
(1)(2)(3)学生独立完成，大部分同学完成后，进行小组讨论，把有疑问的题目写在展示区。
通过自我检测了解学生自主学习后好存在的问题，并进行小组合作，找出疑问，以便下个环节合作突破，从而突破难点。
(四)展示交流，巩固提高1、上面问题中的共性问题进行突破。
例如x是怎样的实数时，二次根式有意义2、等于什么?(思考)3、与是一样的吗?说说你的理由，并与同学交流。
4、有等式=3-5x学生讨论展示1、2、3题。
最后得出二次根式的第二个性质。
4题自己完成。
通过展示，发现学生的思维痕迹，全班讨论，辨析最后得出结论。
这样学生更容易理解且记忆深刻不容易遗忘，同时体会学习的乐趣，学习分类思考的数学思想。
华东师大版九年级上册 数学 教案 21.1 二次根式
华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。
本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。
它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。
（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。
3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。
（2）上课环境为多媒体教室。
二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
(2) 掌握二次根式有意义的条件。
(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。
高效课堂《二次根式(第1课时)》精品教案 (省一等奖)
16.1 二次根式〔第1课时〕教学内容本节课主要学习二次根式的概念及其运用教学目标一、知识技能理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围。
二、数学思考理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。
三、解决问题培养根据条件处理问题的能力及分类讨论问题。
四、情感态度经历观察比拟总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
重难点、关键重点：会求二次根式中，被开方数所含字母的取值范围。
难点：理解二次根式的概念。
关键：利用“a〔a ≥0〕〞解决具体问题教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程情境引入【问题情境】1、面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为；2、要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径为 m〔π取〕；3、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，那么它的宽为；4、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t〔单位：s〕与开始落下时的高度h〔单位：m〕满足关系h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t = 。
【活动方略】学生根据所学知识答复以下问题。
【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫。
一、探索新知【提出问题】1、所填的结果有什么特点？2、平方根的性质是什么？3、如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？教师提出问题。
学生总结出二次根式的概念。
【设计意图】使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯穿的。
二、 范例点击例1当x 是怎样的实数时，2x -在实数范围内有意义？ 例2当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，掌握解答二次根式取值范围的习题，防止一些常见错误。
《二次根式》第1课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
《二次根式》教学设计第1课时一、教学目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.二、教学重难点重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式化简为最简二次根式.难点：对二次根式的性质的探究.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计(2)如图②长方形的土地，若宽是长的35，面积为13 m2，则它的长为_____m．预设答案：(1)8；s；(2)65 3.①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a ≥0. 【做一做】1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？()()23(1)18(2)9(3)0.2(4)0(5)(6)1(7)7.m m xy x y x --+异号；；；≤；，；；分析：答案：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x 2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.2.(1) 使二次根式2m - 在实数范围内有意义的m 的取值范围是__________.解：由m -2≥0，得m ≥2.当m ≥2时，2m - 在实数范围内有意义. 答案：m ≥2.总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.(2) 使式子12-a 在实数范围内有意义的a 的取值范围是_______.解：由 a -1≥0，得a ≥1.又∵1a - 为分母，10a -≠ ∴ ∵ a -1≠0 ，即 a ≠1 ∵当a ＞1时，12-a 在实数范围内有意义.a b=a ba a=b b根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证一下吧a b=a b(a≥教师强调：a，b必须都是非负数！商的算术平方根，等于算术平方根的商a a(a≥0，b＞=b b根式.【归纳】将二次根式化成最简二次根式的方法：【课堂练习】a b3⨯）32=-⨯。
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二次根式（第一课时）教学设计
执教者-------陈利华（株洲市十六中）
教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时
一、教学目标
（1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。
（2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。
（3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。
二、教学重点
1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数
3、2＝a（a≥0）4a •及其运用．
三、教学难点
a≥0）是一个非负数的理解
1
22＝a的推导及应用。
四、教学设想：
过去老师教，学生被动听。
新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。
课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能
力。
让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。
只有这样学生才
有可能成为课堂真正的主人。
五、教学环节分析：
本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。
2、利
用学案，学生分小组在课堂上进行展示。
教师引导学生突破本节课
的重点、难点。
六、教学过程：
（一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容
问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些?
2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°，
那么AC 边的长是__________．
问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____.
归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根
是0，负数没有平方根。
（二）探索新知：
知识点一: 二次根式的定义
师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什
么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示
生1：一般地，a ≥0）•的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。
师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 ) 必须有二次根号；
( 2 ) 被开方数不能小于0 。
师：当a ＜0，有意义吗？
第二小组展示例1、例2、做一做；小组总结。
老师点评:（略）
例1． 下233、
1x x （x>0）0、2、12+x 。
例2．当x 是多少时，13-x 在实数范围内有意义？
做一做： x 取什么实数时，下列各式有意义.
（1）x 34- （2） x x 2412-++； （3）
11+x
（4）2)3(-x （5）x x -+-11
教师点拨：如果一个题中有两个二次根式，则每一个二次根式的
被开方数都必须大于0，式子才有意义。
知识点二、二次根式的性质1： a ≥0（a ≥0）．
学习了二次根式的定义后，二次根式有些什么样的性质？下面由
第三学习小组展示。
生1、=4 ，=9 ，=0 。
它们表示一些非负数的算
术平方根，其结果为 。
议一议：a （a ≥0）表示的意义是什么？其结果又是一个什么数呢？
a a ≥0）（它是指一个非负数的算术平方根，其结果是非负数。
）
归纳得出：二次根式的性质1a 0（a ≥0）．
师小结：二次根式具有双重非负性，被开方数非负，结果非负。
运用此性质解答例3
=0，求a 2009+b 2009的值。
知识点三、二次根式的性质2：
二次根式还有其它的性质吗？下面由第四学习小组进行展示
做一做：根据算术平方根的意义填空：
提示: ① ∵2是4的一个平方根 ∴422= ②∵2是2的一个平方根 ∴2)2(2=
③∵a 是a 的一个平方根 ∴
性质2的运用=2)2(_______=2)3(_______=2)3
1(______ =2)(π_______ =2)0(_______．
例4、 计算
1、2)23(
2、2)53(
3、2)3
7( 4、 )3223)(3223(+- 知识点四、二次根式的性质3
下面由第五学习小组展示
计算下列各式的值：
=_______ =-2)2(
=_______ =-2)3
2( =2)01.0( =-2)01.0(
观察分析：（1）2a 中的a 的取值有没有限制？
（2）当a ＞0时，2a = ；当a =0时，2a = ；
当a ＜0时2a = 。
师生共同归纳怎样化简二次根式2a 。
小试牛刀——化简：
1、25
2、2)6(-
3、2)3(π-
4、x x ()2(2-＞2）
2、选择题：若a a -=-1)1(2，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1 B.a ≥1 C. a ＜1 D. a ≤1
3、说一说：比较二次根式2)(a 与2a 有何区别？
①运算顺序不同 ②a 的取值范围不同。
三、课堂小结（由第六学习小组完成）
学习了本节课后你有哪些收获？有何体会？
四、拓展练习：
1、032532=--+--y x y x 求：x 、y 的值。
2、
.
)(22a b a b a --化简示，
在数轴上的位置如图所、实数0 b
a
板书设计：
二次根式
.0.1）的式子叫做二次根式（形如二次根式的概念：
≥a a .
021.2≥a ）从被开方数来看，（”；
根号“）从形式上看，带二次（二次根式的特征：
二次根式的基本性质：
.3）；
（）（001≥≥a a ()).
0(22≥=a a a ）（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>)0a (a )
0a (00a (a a )3(2）＝。