圆锥曲线的定义及其应用

圆锥曲线的定义及其应用

一、教学目标：

1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题；

2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力；

3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入：

问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？

121286PF PF F F +=>=

∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22

1167

x y +

= 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段）

（2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支）

（3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线）

（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）

由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？

（F l ∉，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当

PF

d

为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF

d

为何值时，所求轨迹是双曲线？

(通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别)

由学生总结圆锥曲线的统一定义，。

（二）圆锥曲线定义的应用 1、利用圆锥曲线定义求轨迹

例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：2

2

(3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．

（轨迹为椭圆：

22

1167

x y +=） 探究1：将圆B 的半径改为2，动圆M 与定圆B 内切，则有26MA MB AB -=<=

探究2：将圆B 的半径改为2，动圆M 与定圆B 相切，则有||26MA MB AB -=<= 探究3：动圆M 与圆A ：2

2(3)

1x y ++=外切，与圆B ：22(3)64x y -+=内切，求

动圆圆心M 的轨迹方程.

（通过学生的探究可以进一步熟练利用圆锥曲线在求轨迹中的应用，并且培养学生的探究与联想能力）

（引导学生小结：例1是圆锥曲线的第一定义的应用在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算，但需注意范围）.

2、利用圆锥曲线定义求最值

例2.已知椭圆22

143

x y +=，定点A （1，1），12,F F 是其左右焦点，P 是椭圆上一点。 求：（1）1PF PA +的最大值及最小值； （2）22PA PF +的最小值． 分析：（1）

1PF PA +＝4－2PF ＋PA

＝4＋2()PA PF -

24AF ≤+＝5

1PF PA +＝4－2PF ＋PA

＝4－2()PF PA - 3≥

（2）设P 点到右准线的距离为d ，

21

2

PF e d ==22d PF ⇒=，

22PA PF PA d ∴+=+2

A a x c

≥-=3

探究1：若点A 的坐标为（3，4），F 为抛物线x y 42

=的焦点，点P 是抛物线上一动点，求PF PA +的最小值.

探究2：若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 42=的焦点，点P 是抛物线上一动点，求PF PA +的最小值.

探究3：若点A 的坐标为（3，2），F 为双曲线

112

42

2=-y x 的右焦点，点P 是双曲线右支上一动点，求PF PA +的最小值.

探究4：若点A 的坐标为（3，2），F 为双曲线

112

42

2=-y x 的右焦点，点P 是双曲线右支上一动点，求1

2

PA PF +

的最小值. 五、小结反思

1.正确理解圆锥曲线的定义，注意定义中的限制条件；

2.在求轨迹时先利用圆锥曲线定义判断曲线形状可避免繁琐的计算；

3.利用圆锥曲线的定义求最值问题时，注意圆锥曲线定义的化归；

4.涉及焦点，准线，离心率上的点的问题，常用统一定义解决．