高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学教师用书选修4-4坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. (2)极坐标①极径：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ. 由极径的意义知ρ＞0时,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0,极角可取任意角.②极角：以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记为M (ρ,θ).一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. ④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性. 3.极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.4.简单曲线的极坐标方程[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1,－3),则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2 D.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4 解析：选A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1), ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1), ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.2.在极坐标系中,圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C.(1,0)D.(1,π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ,得ρ2＝－2ρsin θ,化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ,化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1,圆心坐标为(0,－1),其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 3.在极坐标系中,已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6,则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3解析：选A 先将极坐标化成直角坐标表示,P ⎝⎛⎭⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3,y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1,即(3,1),过点(3,1)且平行于x 轴的直线为y ＝1,再化为极坐标为ρsin θ＝1.4.若点P 的直角坐标为(3,－3),则点P 的极坐标为______.解析：因为点P (3,－3)在第四象限,与原点的距离为23,且OP 与x 轴所成的角为－π6,所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6 5.在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3,B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________.解析：法一：(数形结合)在极坐标系中,A ,B 两点如图所示,|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：∵A ⎝⎛⎭⎫2，－π3,B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1,－3),B (－2,23).∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6. 答案：6考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关][题组练透]1.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.解：(1)设点A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎨⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1,－1).(2)设P ′(x ′,y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ,得2y ′＝6×x ′3＝2x ′,即y ′＝x ′,∴y ＝x 为所求直线l ′的方程.2.将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy(λ,μ＞0),求λ,μ的值.解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1,把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ,μ＞0)代入上式,得λ2x 225＋μ2y 216＝1,即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1, 与x 2＋y 2＝1比较系数,得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.[名师微点]伸缩变换后方程的求法及注意点(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x ),整理得y ′＝h (x ′)即为所求.(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P (x ,y )与变换后的点P ′(x ′,y ′)的坐标关系,用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关][典例精析]在极坐标系下,已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π). (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ,即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ, 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0, 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22,即ρsin θ－ρcos θ＝1, 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程,将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1), 转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2, 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [解题技法]1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.2.极角的确定方法由tan θ确定角θ时,应根据点P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当x ≠0时,θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定.当x ＝0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理：当x ＝0,y＝0时,θ可取任何值；当x ＝0,y ＞0时,可取θ＝π2；当x ＝0,y ＜0时,可取θ＝3π2.[过关训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2, 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2, 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1, 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.M 为曲线C 1上异于极点的动点,点N 在射线OM 上,且|ON |·|OM |＝20,记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程,判断曲线C 1,C 2的位置关系. [解] (1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4, 即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入,得ρ2＝4ρsin θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ,θ),M (ρ1,θ),由|ON |·|OM |＝20, 即ρ·ρ1＝20,得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ,所以20ρ＝4sin θ,所以ρsin θ＝5. 故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54,无实数解,因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点,易知曲线C 1是圆,曲线C 2是直线,所以C 1与C 2相离.[解题技法]利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时,只需联立曲线的极坐标方程得方程组,判断方程组解的情况即可.[提醒] 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.[过关训练](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.解：(1)由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以|－k ＋2|k 2＋1＝2,故k ＝－43或k ＝0.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k ＋2|k 2＋1＝2,故k ＝0或k ＝43.经检验,当k ＝0时,l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[课时跟踪检测] 1.在平面直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.解：(1)因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2,C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点,点P 在线段O Q 上,且满足|O Q |·|OP |＝4,动点P 的轨迹为C 2.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3,点B 在曲线C 2上,求△AOB 面积的最大值. 解：(1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ＞0),Q 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1＞0), 由题意知,|OP |＝ρ,|O Q |＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.由|O Q |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6(ρ＞0),化简得ρ＝3cos θ＋sin θ,因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1,但不包括点(0,0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB ＞0), 由题意知,|OA |＝2,ρB ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6, 于是△AOB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32. 当α＝0时,S 取得最大值32.所以△AOB 面积的最大值为32.3.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数,a ＞0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中, 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0, 由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0, 从而1－a 2＝0,解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a ＝1.4.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ,使它到直线l 的距离最小,并求点A 的极坐标. 解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0,因为ρ2＝x 2＋y 2,ρsin θ＝y ,所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ,即ρ＝2sin θ. ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5, 因为ρcos θ＝x ,ρsin θ＝y ,所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心,1为半径的圆.设圆上点A (x 0,y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小,所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行.即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1, 即y 0－1x 0×(－3)＝－1.① 因为点A 在圆上,所以x 20＋(y 0－1)2＝1,②联立①②可解得x 0＝－32,y 0＝12或x 0＝32,y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12或⎝⎛⎭⎫32，32. 又因为圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小, 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32,点A 的极径为 ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3,极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角,则可取θ＝π3. 所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3. 5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6,l 2：θ＝π3,若l 1,l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ,B 两点,求△AOB 的面积.解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25, 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6,B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ1＝4＋33,∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ,得ρ2＝3＋43,∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12()4＋33()3＋43sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534. 6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数),直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ,B 两点,求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数),得曲线C 1的普通方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1,则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C 2过原点,且倾斜角为π3,故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3， 得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0, 设A ,B 对应的极径分别为ρ1,ρ2, 则ρ1＋ρ2＝23＋2,ρ1ρ2＝7, ∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 7.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数),曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1,C 2分别交于点A ,B (且A ,B 均异于原点O ),当0＜α＜π2时,求|OB |2－|OA |2的最小值.解：(1)易知曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1, 所以C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ, C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α, 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α,则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8 ≥281＋sin 2α×4(1＋sin 2α)－8＝82－8, 当且仅当sin α＝2－1时取等号,所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中,已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数),在极坐标系中,直线l 1的方程为α1＝θ,直线l 2的方程为α2＝θ＋π2. (1)写出曲线M 的普通方程,并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ,C 两点,l 2与曲线M 交于B ,D 两点,求四边形ABCD 面积的取值范围.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数),消去参数β,得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8,∴曲线M 是以(1,1)为圆心,22为半径的圆. (2)设|OA |＝ρ1,|OC |＝ρ2, ∵O ,A ,C 三点共线,则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2(*),将曲线M 的方程化成极坐标方程,得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝2(sin θ＋cos θ)，ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ. 用θ＋π2代替θ,得|BD |＝28－4sin 2θ,又l 1⊥l 2,∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12(28＋4sin 2θ)(28－4sin 2θ) ＝249－sin 22θ,∵sin 22θ∈[0,1],∴S 四边形ABCD ∈[83,14].第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F (x ,y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ),则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一,即如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程[熟记常用结论]经过点P (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ,B为直线l 上的两点,其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ,点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ,y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0,y 0),倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点,任一点M (x ,y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t ＝π3,点O 为原点,则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心,1为半径的圆,所以对称中心为(－1,2),在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切,则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数),得直线l ：2x ＋y －1＝0,由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数),得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5,因为直线l 与曲线C 相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即|m －1|22＋12＝5,解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中,若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数),则其普通方程为____________.解析：依题意,消去参数可得x －2＝y －1,即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R ),则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ,表示抛物线,联立两方程,可知两曲线有一个交点,解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，2555.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数),则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ,得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0, 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4,解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25,2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数),设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ), 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45,当s ＝2时,d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征,灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f (t )和g (t )的值域,即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α＝k ,则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1, 解得k ＜－1或k ＞1, 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P ＝t A ＋t B2,且t A ,t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α,t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1,直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|,其中α为锐角,且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时,|PA |取得最大值,最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时,|PA |取得最小值,最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,弦MN 的中点为P ,求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1,将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1,即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6, 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ, 又ρ2＝x 2＋y 2,x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以x 2＋y 2＝23y －2x , 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ,曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4,得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3,所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数),代入x 29＋y 24＝1可得,314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0, 设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝－32＋72331,t 1t 2＝6431,所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ,B 两点,若|PA |＋|PB |＝5,求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2,故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),代入圆的方程,有t 2－2t sin α－1＝0,设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝2sin α, t 1t 2＝－1,|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5,解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去),故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数,α为倾斜角),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心,求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点,求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4),而圆C 的圆心是C (1,－1), 所以,当直线l 经过圆C 的圆心时,直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数),得圆C 的圆心是C (1,－1),半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数,α为倾斜角),得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在), 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径, 即|5－2k |k 2＋1＜2,解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x＋2－tan α；当cos α＝0时,l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内, 所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α,故2cos α＋sin α＝0,于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,点P (－2,0),若|PM |,|MN |,|PN |成等比数列,求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得, 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数),消去t ,得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ,得t 2－22at ＋8a ＝0,由Δ＞0得a ＞4,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1＋t 2＝22a ,t 1t 2＝8a , ∵|PM |,|MN |,|PN |成等比数列,∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|,∴(22a )2－4×8a ＝8a ,∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1,C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值,d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时,d (α)取得最小值,最小值为2,此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1,C 2于A ,B 两点(A ,B 异于原点),当k ∈(1,3]时,求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1,即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*),将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式,可得x 2＝y , 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ,B 异于原点,所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ,k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1,3],所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ,B 两点,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4,求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得,曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ可得,曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4,可得点P 的直角坐标为(2,－2),∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2,得9t 2－80t ＋150＝0,设t 1,t 2是点A ,B 对应的参数, 则t 1＋t 2＝809,t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ,且l 过点A ,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ,N 两点,求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ,得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ,故a ＝2, 则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式,得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2,⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233,∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4, 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程, 得72t 2＋72t －5＝0, 设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2＝－107, 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6,直线l 与圆C 交于A ,B 两点. (1)若OA ⊥OB ,求直线l 的普通方程；(2)设P (3,1)是直线l 上的点,若|AB |＝λ|PC |,求λ的值.解：(1)消去参数t ,得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ,将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ,。