数学分析3期末测试卷
《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-7
一、填空（每空2分，共20分） 1．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是 。
2．若0),(≠=∂∂a a a y f ，则=--→ax a a f a x f ax ),(),(lim3．若),(y x f 关于x 是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，区域D 关于y 轴对称， 则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(4．设曲面S 为)10,10(0≤≤≤≤=y x z ，下侧为正侧，),(y x f 在S 上连续， 则⎰⎰SdS y x f ),(的计算公式是 ；⎰⎰Sdxdyy x f ),(的计算公式是 ；⎰⎰Sdydz y x f ),(5．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；6．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；二、求偏导数或全微分（共20分） 1．（10分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222222yx y x y x yx y x f 在原点（0, 0）连续且偏导数存在，但在此点不可微.2．（10分）设 ),,(xyz yz z f u =，求22yu ∂∂.三、（10分）求曲面 2132222=++z y x 的切平面，使其平行于平面064=++z y x . 四、（50分）求下列积分 1．（5分）交换积分次序⎰⎰⎰⎰+--122122),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx2．（10分）求⎰Lds y 2其中L 是旋轮线的一拱]2,0[),cos 1(),sin (π∈-=-=t t a y t t a x 3．求⎰++-=Lyx x d y y d x I 22，其中L 是包含原点的任一条分段光滑封闭曲线，逆时针方向为正.4．（15分）以S 表示椭球B ：1222222=++cz by ax的上半部分（0≥z ），αc o s ，βcos ，γcos 表示S 的外法线的方向余弦，计算曲面积分⎰⎰++SdS cz by ax z )cos cos cos (222γβα.5．（10分）求⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.。
数学分析3-期末考试真题
3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。
2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。
试求的值。
222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。
22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。
当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。
23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。
7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。
2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。
L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。
S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。
数学分析研究3期末测试卷
2012–2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案地序号填在括号内，每题2分，共20分）1. 下列数项级数中收敛地是 （ ）A.211n n∞=∑； B. 21n nn ∞=+∑； C. 11n n ∞=∑； D. 0123n n n ∞=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛地是 （）A. 1(1)n n n ∞=-∑B. 1n n ∞=1n n ∞=∑1sin n n n ∞=∑3.函数项级数1nn x n∞=∑地收敛域是 （）A. (1,1)-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,1]-4.幂级数021nn n x n ∞=+∑地收敛半径是 （ ） . A B C D 1．2 ．1 ．025.下列各区域中，是开区域地是（ ）2. {(,)|}A x y x y >. {(,)|||1}B x y xy ≤22.{(,)|14}C x y x y <+≤.{(,)|1}D x y x y +≥6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭地聚点是（ ）A.(){0,0}B.()0,0C.0,0D.{}{}0,07.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续C. 偏导数存在 D.存在方向导数 9.设函数)()(y v x u z =，则zx∂∂等于（ ） A.()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C.()()du x v y dxD.()()u x v y x y ∂∂+∂∂10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微地充分必要条件是( )A.偏导数连续;B.偏导数存在;C.存在切平面;D.存在方向导数.二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）11.若数项级数11np n n ∞=-∑（）绝对收敛，则p 地取值范围是；12. 幂级数0(1)n n n x ∞=+∑地和函数是；13．幂级数201(1)n n x n∞=-∑地收敛域是 .； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤地内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-地极值点是______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）地切平面是 ______________________17．函数y z x =，则zy∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=地方向导数是 ___________；19．设cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩，则x x r y y r ϕϕ∂∂∂∂=∂∂∂∂； 20．若arctany x =，则dydx=______________________.三、判断题（请在你认为正确地题后地括号内打“√”，错误地打“×”，每题1分，共10分）21.绝对收敛地级数一定一致收敛； ( ) 22.条件收敛地级数实质上就是发散地级数； （ ） 23.变号级数一定条件收敛； （ ） 24.收敛地数值级数一定是有界地； （ ）25.若P 是点集E 地界点，则一定有P E ∈； （ ） 26.点集E 地内点一定是E 地聚点；（ ） 27.若函数(,)f x y 在()00,x y 存在偏导数，且0000(,)(,)0f x y f x y x y∂∂==∂∂，则()00,x y 是函数(,)f x y 极值点； ( )28.若()'',xy f x y 和()'',yx f x y 都存在，则()()'','',xy yx f x y f x y =； （ ） 29.任何一个幂级数地收敛域都不是空集； （ ）30.2R 中地有界无限点集E 至少有一个聚点（ ） 四、计算题（请写出必要地步骤或过程，每题8分，共32分） 31.判断数项级数1821nn n n ∞=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑地敛散性；32.求函数22sin()u x y xy =+地偏导数；33.设函数2ln(),,23u x y x ts y t s =+==+，求,u us t∂∂∂∂；34.求曲面222x z y =-在点（2，-1,1）地切平面和法线；五、证明题（请写出必要地步骤或过程，每题9分，共18分）35.证明函数项级数20sin 1n nxn∞=+∑在R 一致收敛；36.证明方程(,)0x y F x y xy e e =+-=在点x=0地某邻域内确定一个隐函数()y x ϕ=，并求'()x ϕ版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2R。
数学分析第三学期期末复习卷两套卷五卷六
数学分析第三学期期末复习卷两套卷五卷六卷五一、选择题（每小题3分，共15分）1．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(263y x y x y x y x y x f ，则它在点 (0, 0) 处是（ ）(A) 连续的； (B) )0,0(),(lim )0,0(),(f y x f y x ≠→(C) 二重极限不存在； (D)),(lim)0,0(),(y x f y x →存在，但)0,0(f 不存在2．),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数x z ∂∂及yz∂∂存在且连续是),(y x f 在该点可微的（ ）(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 以上都不是 3．设22z xy u -=，则u 在点 ( 2, -1, 1 ) 处的方向导数的最大值为（ ） (A) 62 (B) 4 (C) (-2, -4, -2) (D) 6 4．设233y x x z +-=，则它在点 (1, 0) （ ） (A) 取得极大值； (B) 不取得极值；(C) 取得极小值； (D) 不能确定是否取得极值 5．设有空间区域}0,|),,({22221≥≤++=z R z y x z y x V ，}0,0,0,|),,({22222≥≥≥≤++=z y x R z y x z y x V ，则有 (A) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dv x dv x (B) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dv y dv y(C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dv z dv z (D) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=214V V dv xyz dv xyz二、填空（每空2分，共20分） 1．设}2|{2<=x x E ，则 =E sup ；=E inf ；E 的聚点是 。
2．若0),(≠=∂∂a a a y f ，则=--→ax a a f a x f a x ),(),(lim3．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，在直角坐标系下将 下列积分化为三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydzz y x f ),,(4．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为柱面 坐标变换的三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydzz y x f ),,(5．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为球坐标变换的三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydzz y x f ),,(6．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；7．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；8．第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy R dzdx Q dydz P 化成第一类曲面积分是其中γβα,,为有向曲面S 在点 (x , y , z ) 处的 方向角.三、求偏导数或全微分（共15分） 1．（5分）求函数 0)()()(>=x f x f z y g 的全微分。
运城学院数学分析期末试题3-11
运城学院应用数学系2008—2009学年第一学期期末考试《数学分析Ⅲ》试题（B ）适用范围：数学与应用数学专业 0701、0702班 命题人：王文娟，王莲花信息与计算科学专业 0703班 审核人：一、单选题（每题2分，共10分）1、设(,)ln(f x y x =-，(0,0)x y >>其中则(,)f x y x y +-=（ ）A 、ln()x y -B 、C 、1(ln ln )2x y - D 、2ln()x y - 2、(,)z f x y =在00(,)x y 处不连续，则(,)f x y 在该点处 （ ）A 、必无定义B 、极限必不存在C 、偏导数不存在D 、必不可微3、若(,)f x y 与(,)g x y 在曲线L 上满足(,)(,)f x y g x y ≤，则下列说法中成立的是（ ）A 、(,)(,)LL f x y dx g x y dx ≤⎰⎰B 、|(,)(,)||(,)||(,)|L L L L f x y dx g x y dy f x y dx g x y dy +≤+⎰⎰⎰⎰C 、(,)(,)L L f x y ds g x y ds ≤⎰⎰D 、A 、B 、C 都不对4、设域22:1,D x y +≤f 是D上的连续函数，则Df dxdy =⎰⎰（ ）A 、102()r f r dr π⎰B 、104()r f r dr π⎰ C 、1202()f r dr π⎰ D 、04()r r f r dr π⎰ 5、设2()f x x =在[1,1]-的傅立叶级数是22114(1)cos 3nn n x n ππ∞=-+∑，该级数的和函数是()s x ，则（ ）A 、(1)1,(2)4s s ==B 、 1(1),(2)42s s == C 、1(1),(2)02s s == D 、(1)1,(2)0s s == 二、判断题（每题2分，共10分）1、若(,)f x y 在00(,)x y 的两个累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等,则二重极限也必存在. （ ）2、有界的无限点列{}2n P R ⊂必存在收敛子列{}nk P . （ ）3、如果曲面:(,)S z f x y =在000(,,)Q x y z 存在切平面，则(,)z f x y =在000(,)P x y 处可微. （ ）4、若(,)f x y 在点(,)x y 处二阶偏导(,)xy f x y 及(,)yx f x y 都存在, 则(,)xy f x y 与(,)yx f x y 在点(,)x y 处连续的充要条件是(,)(,)xy yx f x y f x y =. （ ）5、若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,且(,)0f x y >,则(,)0Df x y dxdy >⎰⎰.（ ）三、填空题（每空2分，共10分）1、4422(,)4f x y x y x y =+-, 则(1,1)|df =____________2、22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y→+=+ ____________ 3、L 是按逆时针方向绕行圆域:221(1)(1)4x y -+-=,则22L xdy ydx x y -=+⎰ _________4、改变累次积分的顺序220(,)y dy f x y dx =⎰⎰ 5、1210lim (1)x dx ααα→+=⎰________________ 四、解下列各题（每题6分，共36分）1、 xyzu e =, 求3u x y z ∂∂∂∂ 2、22260()0x y z y z x y z ⎧++-=⎪≠⎨⎪++=⎩, 求dz dx ,dy dx3、设2222(2)(2)du x xy y dx x xy y dy =+-+--，求函数(,)u x y4、计算VI zdxdydz =⎰⎰⎰,其中V 由上半球面2224x y z ++=与0z =所围成.5、计算dxdy xz y dzdx x dydz z x y S)()(22+++-⎰⎰,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧.6、计算2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰.其中L 是螺旋线cos ,x t =sin ,y t z t ==从0t =到t π=上的一段.五、应用题（每题7分，共21分）1、用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.2、求arctany z x =在(1,1,)4π处的切平面与法线方程.3、求密度函数为(,)1x y x y μ=--的平面薄板D 的质量，其中D 是xy 平面上0,0,1x y x y ==+=所围.六、证明题（共13分）1、(6分) 证明:230cos (110)t tx dx t x t+∞≤≤+⎰是一致收敛的. 2、(7分) 证明:222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处连续、偏导数存在且可微.。
数学分析(A3)期末考试试题解答与评分标准
6
第六题，10 分
试利用 F ourier 积分公式证明： ∫
0 +∞
π sinx sinπusinux 2 du = 0 1 − u2
|x| ≥ π |x| > π
答案： 令 f (x) 表示要证明的等式右边的函数； (uπ ) 利用 F ourier 积分公式，利用奇偶性可得 a(u) = 0，b(u) = sin 1−u2 ，验证傅里叶积分收敛 到自身的条件，即可得到要证的等式。 注记： 积化和差步骤得 2 分，傅里叶级数指明收敛条件得 1 分，如果只指明了奇函数，直接带入就 得到结果的，得 4 分；
（3）判断无穷乘积
(1 +
（4）研究函数项级数
n=1 +∞ ∑
x2 e−nx 在 [0, +∞) 上的一致收敛性。
∫ 1n=1 lnx （5）判断广义积分 0 √1 dx 的收敛性。 −x2 答案： （1）当 0 ≤ x < e 时，级数收敛；当 x ≥ e 时，级数发散； ∫ +∞ lnx （2）利用 Leibniz 判别法，并注意到积分 2 x dx 发散，可知原级数条件收敛； + ∞ ∑ 1 （3）注意到这是正项级数，结合 收敛，可知原级数收敛； n2 n=1 （4）求导可得到该函数项级数的一个优级数
1 n2 ，结合
+∞ ∑ 1 收敛，利用 W eierstrass 判别 2 n n=1
法可知，原函数项级数一致收敛； ∫1 1 （5）利用 L′ hospital 法则说明 1 不是被积函数的瑕点，在 0 处证明被积函数和 0 √ dx 同 x 敛散即可；或者利用换元，x = sint，原积分可以显式算出，其值为 − π ln 2 ； 2 注记： （1）利用 Cauthy /D′ Alembert 等判别法或 Stirling 公式/Hardamard 收敛半径公式/等均可， 若半径错误，得零分；未讨论断点值，扣 1 分；未讨论大于等于 e，扣 1 分； （2）答案是绝对收敛的，得零分；使用 Leibniz 判别法时，两个条件未指明，各扣一分；结 论正确但是证明错误，得两分；不证明绝对值对应的级数发散，扣 3 分； （3）答案是发散，得零分；只指明通项趋向于零的，得两分； （4）利用优级数，并且求导说明了找到的级数确实是优级数的得满分；只指明结论的，得三 分；未说明级数收敛，仅说明通项一致趋向于零的，零分；直接求和并放缩的，结论正确满分， 有过程错误，扣三分； （5）答案是发散的，得零分；仅答案正确，两分；分别考虑 0 和 1 出两个点，满分；
数学分析第三学期期末测试题
数学分析第三学期期末测试题年级、专业、层次： 本 科 时 量： 120 分钟一、判别题（对的打√,错的打×每小题 3分，共 9分） 1. 二元函数(,)f x y 在(,)o o x y 的重极限存在,则(,)f x y 在(,)o o x y 的两个累次极限都存在且相等. ( ) 2. 二元函数(,)f x y 在(,)o o x y 有定义,且可,则(,)f x y 在(,)o o x y 可微 . ( ) 3. ()222,x y z z z x xy e x y y x +∂∂=+=∂∂∂∂则 ( ) 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 1．221(,)______________x x dx f x y dy ⎰⎰改换积分次序为 2. 1200lim 1cos x dx x ax →+⎰=_____________ 3. 0 (),()x x y F x e dy F x +'=⎰求=_____________ 4. 21()__________1ydx x dy y +++的原函数为 三、 证明题（每小题 8分，共 16 分） 1. 证明：1820ln(1)ln 21x dx x π+=+⎰ 2. 证明:2f(x,y)=xy R ().函数在上可微用定义验证四、计算题（每小题 8 分，共 48分） 1.计算⎰⎰∑++-+dxdy y x ydzdx dydz y x )()(222, 其中22:y x z +=∑在1≤z 部分取外侧.2. . 计算22Vdxdydz x y +⎰⎰⎰,其中V 为由平面x=1,x=2,z=0,y=x 与所围的区域.3. 改变下列积分的积分次序⎰⎰--22933),(x x dy y x f dx 4.求(L ln ,y xy x dy ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤围区域D 的正向边界,. 5. (,)y w g x x =，求：)1,1(22x w ∂∂ 6. 2211441x y z z x y -+=+==-求在某点与垂直的切平面方程.五、讨论题（每小题 7 分，共 7分） (,,),1.f x y z xy x y =+=讨论在条件的极值。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (2)
2
=
2 4− x − y
2 2
d xd y =
2
2 d xd y z
且 D = ( x, y ) | x + y ≤ 4
2
∴
∫∫ (x
S
2
z + y 2 z d S = ∫∫ x 2 + y 2 ⋅ 2 d x d y
D
)
(
)
（4 分）
= 2∫ d θ∫ r 2 ⋅ r d r
0 0
2π
其中S是半球面x2+y2+z2=4,z≥0.
3、求曲面积分
4、计算 rot(r×c),其中 r 为矢径，c={2,1,－3}. 5、设 u = x + y + z ，而 z = x cos y ，求
2 2 2 2
∂u ∂u , 。 ∂x ∂y
四、证明题（10 分）
设函数 u = F ( x , y , z ) 在条件 Φ( x , y , z ) = 0 下有极值为 u0 = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，其中函数
3 2
（6 分） （3 分） （6 分）
u y = 2 y + 2 z ( − x 2 sin y ) = 2 y − 2 x 4 sin y cos y
四、证明题（10 分）
证明：显见曲面 u = F ( x , y , z ) 与 Φ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 相交。 令 L = F ( x, y, z ) + λF ( x, y, z ) 则在点 x 0 , y 0 , z 0 ) 处有 （2 分）
2 2 2
(0,0) 是函数 z 的（
第三学期 数学分析(3)试卷
一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。
5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。
5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
《数学分析三》大学考试试题B卷及参考答案
2021-2022年度大学期末考试试卷 《数学分析三》大学考试试题B 卷及参考答案一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB⎰∞+11dx xC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim yx yx y x +→→ 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于02、设yx e z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+91222)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n n n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x yy x f x （2分）⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x xy x f y (4分）1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分） 3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分）。
数学分析第三学期试题
《数学分析》《第三学期》期末考试试题一．将函数()()2f x x x ππ=-≤≤展开为Fourier 级数（10分） 二．计算（每题9分共54分） 1． 求极限22limx y x yx xy y →∞→∞+-+2． 设()2arctan ,x z x y y e =+=，求x dzdx = 3．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰4． 设函数(),z z x y =是由方程ln x zz y=确定的，求z x ∂∂及z y ∂∂5．求第二型曲线积分()()2211L x dy ydxI x y --=-+⎰ ，其中L 为环绕点()1,0的简单、可求长的闭曲线 6．求三重积分,V其中V 是由曲面222,1x y z z +==所界的区域三．判断反常积分30sin p x dx x +∞⎰关于p 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的一致收敛性（10分） 四．（第1题10分，第2题16分共26分） 1．设()(),,,y f x y f x y 都在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),ba I y f x y dx =⎰在[],c d 上可微，并且在[],c d 上成立()(),b y a dI y f x y dx dy=⎰2．设()22220,0,,0x y f x y x y +≠=+=⎩证明：（1）(),f x y 在()0,0的邻域中连续；（2）(),f x y 在()0,0的邻域中具有有界的偏导函数(),x f x y '，(),y f x y '；（3）(),f x y 在点()0,0不能微分。
《数学分析》《第三学期》期末考试试题一. 概念题（5分）叙述含参变量的无穷积分1(,)f x y dx +∞⎰关于参数y 在数集Y 上不一致收敛的定义.二. 填空题（每题3分，共15分）1. 函数u xyz =在点(1,1,1)沿()2,1,3l =-的方向导数为 .2. 设()x x y =是由方程22221x y a b+=所确定的函数, 则dxdy= . 3. 01sin limx y xyx →→= .4. 设(,)z z x y =是由方程2222221x y z a b c ++=所确定的函数, 则zx∂=∂ . 5. 螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z ct ===上对应3t π=处的切线为 .三. 计算题（每题6分，共30分）1. 求22()()x y D I edxdy -+=⎰⎰的值, 其中()D 是闭圆域2220x y R ≤+≤.2. 设(,)u f x y =, 且其一阶、二阶偏导数都存在且连续. 若cos ,sin x r y r θθ==, 求22u r ∂∂，22uθ∂∂.3. 用柱坐标变换计算()V I zdxdydz =⎰⎰⎰, 其中()V 是上半球体:2221,0x y z z ++≤≥.4. 求函数222u x xy y x y =-+-+的极值.5. 计算333()S x dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰外, 其中()S 为球面222x y z R++=. 四. 解答题（每题10分，共50分） 1. 求224L xdy ydxI x y+-=+⎰, 其中L 为以(1,0)为圆心, R 为半径的圆周(1)R ≠, L +表示 逆时针方向.2. 设函数(,)f x y 在矩形[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,)ba y f x y dxϕ=⎰在[,]c d 上连续. 3.试验证函数(,)h x y =在原点(0,0)点连续, 且两个偏导数都存在, 但在(0,0) 不可微.4. 求22(2sin )(2cos sin )x y x dx y x x y dy -+-的原函数.5. 设平面区域()D 在x 轴和y 轴上投影长度分别为,x y l l , (),αβ为()D 内任一点,证明: 22()1()()4x y D x x dxdy l l αβ--≤⎰⎰.。
数学分析三试卷及答案
函数 y y( x) ，且 y y( x) 在 上连续。
证明：（i ）先证隐函数的存在性。 由条件（ 3）知， F x0 , y 在 y0 b, y0 b 上是 y 的严格单减函数，而由条件（ 2）
解： 取平面 z y 3 上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 ，定
向为上侧，则 的法向量为
cos ,cos ,cos
由 Stokes 公式得 cos
0,
11 ,
。
22
cos cos
3zdx 5xdy 2 ydz
L
x
y
3z 5x
2 dS
dS z 2y
……（3 分) ……（6 分)
《 数学分析 》 ( 三 ) ――参考答案及评分标准
一 . 计算题（共 8 题，每题 9 分，共 72 分）。
1. 求函数 f ( x, y) 3 x sin 1 3 y sin 1 在点 (0,0) 处的二次极限与二重极限 .
y
x
解： f ( x, y)
3 x sin 1
3
1 y sin
3x
3 y ，因此二重极限为 0 . …… (4 分)
2w
2
2w 2w 。
…… (4 分) …… (9 分)
4. 要做一个容积为 1m3的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ? 解： 设圆桶底面半径为 r , 高为 h , 则原问题即为： 求目标函数在约束条件下的 最小值，其中
目标函数 : S表 2 rh 2 r 2 ,
约束条件 : r 2 h 1。 构造 Lagrange 函数： F (r , h, ) 2 rh 2 r 2
x2
y2
…… (9 分 )
《数学分析III》期末考试卷3 参考答案
红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解 首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分） 由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解 记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂， 则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分） 再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解 由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解 引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解 设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。
数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)
第三学期数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。
《数学分析III》期末试卷+参考答案
《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。
三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分∫∫∫，其中。
Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。
六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。
222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。
),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。
九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。
（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。
)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。
《数学分析III》期末考试卷及参考答案05
第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为： ； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等； （ ）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续； （ ）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积； （ ）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò； （ ）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（ ）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)， 则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分） 一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分） 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分） 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。
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2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）
一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分）
1. 下列数项级数中收敛的是 （ ）
A. 211
n n
∞
=∑； B.
2
1n n
n ∞
=+∑； C. 1
1
n n ∞
=∑； D. 0
1
23n n n ∞
=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ）
A. 1(1)n n n ∞
=-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1
sin n n n ∞
=∑
3.函数项级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域是 （ ）
A. (1,1)-
B. (1,1]-
C. [1,1)-
D. [1,1]-
4.幂级数0
21n
n n x n ∞
=+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1
．2 ．1 ．02
5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ）
2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥
6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
的聚点是 （ ）
A. ){0,0}
B.()0,0
C. 0,0
D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
条件
8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则
z
x
∂∂等于 （ ） A.
()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C. ()
()du x v y dx
D. ()()u x v y x y ∂∂+∂∂
10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数.
二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）
11. 若数项级数1
1n
p n n ∞
=-∑（）
绝对收敛，则p 的取值范围是 ；
12. 幂级数0(1)n n n x ∞
=+∑的和函数是 ；
13．幂级数2
01
(1)n n x n
∞
=-∑
的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________
17．函数y z x =，则
z
y
∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=
的方向导数是 ___________；
19．设cos sin x r y r ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩，则 x x r y y r ϕϕ
∂∂∂∂=∂∂∂∂ ；
20．若22arctan
y x y x +=，则dy
dx
=______________________。
三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题
1分，共10
题号 一
二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100
得分 评卷人
得分
得分 得分
分）
21.绝对收敛的级数一定一致收敛； ( ) 22.条件收敛的级数实质上就是发散的级数； （ ） 23.变号级数一定条件收敛； （ ） 24.收敛的数值级数一定是有界的； （ ） 25.若P 是点集E 的界点，则一定有P E ∈； （ ） 26.点集E 的内点一定是E 的聚点； （ ） 27.若函数(,)f x y 在()00,x y 存在偏导数，且
0000(,)(,)
0f x y f x y x y
∂∂==∂∂，则()00,x y 是函数(,)f x y 极值点； ( ) 28. 若()'',xy f x y 和()'',yx f x y 都存在，则()()'','',xy yx f x y f x y =； （ ） 29.任何一个幂级数的收敛域都不是空集； （ ） 30.2R 中的有界无限点集E 至少有一个聚点 （ ） 四、计算题（请写出必要的步骤或过程，每题8分，共32分）
31.判断数项级数1821n
n n n ∞
=+⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑的敛散性；
32. 求函数22
sin()u x y xy =+的偏导数；
33.设函数2
ln(),,23u x y x ts y t s =+==+，求
,u u
s t
∂∂∂∂；
34. 求曲面2
22
x z y =-在点（2，-1,1）的切平面和法线；
五、证明题（请写出必要的步骤或过程，每题9分，共18分）
35. 证明 函数项级数2
sin 1n nx
n ∞
=+∑
在R 一致收敛；
36.证明 方程(,)0x y F x y xy e e =+-=在点x=0的某邻域内确定一个隐函数
()y x ϕ=，并求'()x ϕ。