2017-2018上海静安区数学一模试卷与答案
2017年上海市静安区高考数学一模试卷
2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a 的值为．4．（5分）二项式展开式中x的系数为．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．（精确到小时）8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为．10．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．（5分）在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A ．B ． C．（0，1） D．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A． B． C．D．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（11分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（18分）由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣12017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可．【解答】解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．2．（5分）函数的最小正周期为π．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．则实数a的值为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）二项式展开式中x的系数为10．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．，【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，则T r+1令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体体积的求法，关键是明确圆锥剪展前后的量的关系，是中档题．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin （α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过8小时方可驾车．（精确到小时）【分析】先求出e r=，再利用89•e xr≤20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr≤20，∴x≥8，故答案为8．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为4019．【分析】设设x7=x，则x8=x+2，则f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）．得到通项x n=2n﹣15．由此能求出x2011的值．【解答】解：设x7=x，则x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：4019【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为12．【分析】建立坐标系，设M （），则=（），，【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M （），则=（），，，故答案为：12．【点评】本题考查了圆的参数方程、三角函数的单调性、数量积坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【分析】根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了恒成立的问题的转化以及基本不等式的性质的运用，属于基础题．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑．熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．12．（5分）在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，则=，a1=∈（0，）∪（，1）．故选：D．【点评】本题考查数列的极限的求法，等比数列的应用，考查计算能力．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【分析】由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C1的左焦点到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px （p＞0），则有=2p（x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左焦点（，0），C1的左焦点到C2的准线之间的距离﹣1，故选：B．【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用，考查计算能力，属于中档题．15．（5分）已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A． B． C．D．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及二次函数、对数函数的性质，是一道中档题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（11分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【分析】（1）连接A1C1，由E，F分别是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步得到EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F分别是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A 1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．【点评】本题考查异面直线所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），，左焦点，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF 1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF 1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．18．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【分析】（1）建立直角坐标系，…（1分），则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，…（1分）则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，此时台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…（5分）∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．…（1分）（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…（5分）解得12≤t≤24…（1分）∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．…（1分）【点评】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）综上：…（1分）【点评】本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（18分）由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n 时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+﹣1）﹣p1不构成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．＞0．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，，…a1中，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n﹣1逆序数为．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、新定义逆序数，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018年上海市静安区中考一模数学试卷(解析版)
18． （4 分）如图，矩形纸片 ABCD，AD＝4，AB＝3，如果点 E 在边 BC 上，将 纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，联结 FC，当△EFC 是直角三角形时， 那么 BE 的长为 ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19． （10 分）计算： 20． （10 分）解方程组： ﹣tan60°×sin60°． ．
第 3 页（共 22 页）
（2）在 B 点又测得∠NBA＝53°，求 MN 的长． （结果精确到 1 米） （参考数据： ≈0.75） ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°
23． （12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BD，AD⊥DB，点 E 是腰 AD 上一点，作∠EBC＝45°，联结 CE，交 DB 于点 F． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）如果 ，求 的值．
6． （4 分）将抛物线 y1＝x2﹣2x﹣3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位 后， 与抛物线 y2＝ax2+bx+c 重合， 现有一直线 y3＝2x+3 与抛物线 y2＝ax2+bx+c 相交，当 y2≤y3 时，利用图象写出此时 x 的取值范围是（
第 1 页（共 22 页）
）
A．x≤﹣1
25． （14 分）已知：如图，四边形 ABCD 中，0°＜∠BAD≤90°，AD＝DC， AB＝BC，AC 平分∠BAD．
第 4 页（共 22 页）
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果点 E 在对角线 AC 上，联结 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线于点 F（点 F 可与点 D 重合） ，∠AFB＝∠ACB，设 AB 长度是 a（a 是常数，且 a＞0） ，AC＝x，AF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义 域； （3）在第（2）小题的条件下，当△CGE 是等腰三角形时，求 AC 的长（计算结 果用含 a 的代数式表示）
2018年上海市静安区中考数学一模试卷(有答案)
2018年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a102．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm4．（4分）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）A．B．C．D．36．（4分）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，则的值是．8．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP长为厘米．9．（4分）已知△ABC的三边长是、、2，△DEF的两边长分别是1和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是．10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是．11．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a0．（填“＜”或“＞”）12．（4分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是．13．（4分）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB′的长度是米．14．（4分）在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G是重心，联结BG，那么∠CBG的余切值是．15．（4分）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=．16．（4分）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和点F分别在两腰AB和DC上，且EF是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量=．（用向量表示）17．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC，且分别交边AB，AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积相等的两部分．如果将线段AM绕着点A旋转，使点M 落在边BC上的点D处，那么BD=．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣tan60°×sin60°．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC 的面积．22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG的长．25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）2018年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a10【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7，故选B2．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．【解答】解：A、由题意=﹣1＜0，方程没有实数根；B、去分母得到：x2﹣x+1=0，△＜0，没有实数根；C、由题意x4=﹣＜0，没有实数根，D、去分母得到：x=﹣1，有实数根，故选D．3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选B．4．（4分）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，【解答】解：A、如果k=0或，那么，正确；B、设m为实数，则，正确；C、如果，那么或，错误；D、在平行四边形ABCD中，，正确；故选C5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）A．B．C．D．3【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=．故选：A．6．（4分）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0【解答】解：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y=x2，解方程组得或，所以当﹣1≤x≤3．故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，则的值是．【解答】解：由等比性质，得==，故答案为：．8．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=AB=2×=（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．9．（4分）已知△ABC的三边长是、、2，△DEF的两边长分别是1和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是．【解答】解：设第三边为x，∵：=1：，∵与1是对应边，与是对应边，∵△ABC与△DEF相似，∴==，解得x=，即△DEF的第三边应该是．故答案为：．10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是y=．【解答】解：将x=1代入y=2x，得y=2，∴点A（1，2），设反比例函数解析式为y=，∵一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，2），∴2=．解得，k=2，即反比例函数解析式为y=，故答案为：y=．11．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a＜0．（填“＜”或“＞”）【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a＜0．故答案为：＜．12．（4分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是2．【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m﹣2）2．其对称轴为：x=2﹣m=0，解得m=2．故答案是：2．13．（4分）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB′的长度是6米．【解答】解：∵斜坡AB 的坡度i=1：4，∴=，∵从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，∴=，解得：AC=24，则斜坡AB 的长为： ==6（米）．故答案为6．14．（4分）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG ，那么∠CBG 的余切值是． 【解答】解：：∵AB=AC=5，BC=8，点G 为重心，∴AD ⊥BC ，CD=BC=×8=4，∴AD===3，∴GA=2， ∴DG=1，∴BG=，∴∠CBG 的余切值=，故答案为：15．（4分）如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠C ，AD=9，DC=7，那么AB= 12 ．【解答】解：∵∠ABD=∠C 、∠BAD=∠CAB ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴，即AB 2=AC•AD ，∵AD=9，DC=7 ∴AC=16， ∴AB=12， 故答案为：1216．（4分）已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量=．（用向量表示）【解答】解：∵EF 是梯形的中位线，∴EF=（A D +BC ），∵AD ：BC=3：4， =，∴BC=AD ，∴=（+）=（+）=．故答案为17．（4分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线MN ∥BC ，且分别交边AB ，AC 于点M 、N ，已知直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处，那么BD= 3 ．【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，∴AB=cos45°×BC=3，∵直线MN ∥BC ， ∴△AMN ∽△ABC ，∵直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分， ∴S △AMN ：S △ABC =1：2，∴==，即=，解得AM=3，如图，过A作AD⊥BC于D，则AD=BC=3，∴将线段AM绕着点A逆时针旋转45°，可以使点M落在边BC上的点D处，此时，BD=BC=3．故答案为：3．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为 1.5或3．【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=4，∴BC=AD=4，在Rt△ABC中，AC===5，设BE=x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=5﹣3=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，即BE=1.5；②当∠CEF=90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=3，综上所述，BE的长为1.5或3．故答案为：1.5或3．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣tan60°×sin60°．【解答】解：原式=+﹣×=2+﹣=1．20．（10分）解方程组：．【解答】解：由②得：（x﹣y﹣3）（x﹣y+1）=0∴x﹣y=3或x﹣y=﹣1∴或∴或．21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5，（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3∴B（5，3），令x=0，y=﹣（x﹣3）2+5=，则C（0，），△ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵MD⊥AB，∴∠MDA=∠MDB=90°，∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，∴在Rt△ADM中，；在Rt△BDM中，，∴，∵AB=600m，∴AD+BD=600m，∴，∴，∴，∴点M到AB的距离．（2）过点N作NE⊥AB于点E，∵MD⊥AB，NE⊥AB，∴MD∥NE，∵AB∥MN，∴四边形MDEN为平行四边形，∴，MN=DE，∵∠NBA=53°，∴在Rt△NEB中，，∴，∴．23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．【解答】证：（1）∵∠ADB=90°，AD=BD，∴∠A=∠DBA=45°，又∵DC∥AB，∴∠CDB=∠DBA=45°=∠A，又∵∠CBE=∠DBA=45°，∴∠EBA=∠CBD，∴△CBD∽△EBA；（2）∵△CBD∽△EBA，∴，∵∠CBE=∠DBA，，∴．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG的长．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴顶点C（2，﹣3）（2）方法一：设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（﹣1，0）和C（2，﹣3）代入得：解得：则直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），同理可得直线BD：y=x﹣1，∴∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH∴△BPG∽△CPH，∴∴△HPG∽△CPB，∴，∴，∴；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，∵，，，∴BD2=CD2+BC2，∴∠BCD=90°，=BD•CH=BC•CD，∵S△BCD∴，∵∠ABD=∠HCG，∴△OBD∽△MCH，∴，∴，，∴，由勾股定理得：GH=∴，方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），直线BD：y=x﹣1，∵CH⊥BD，∴k BD•k CH=﹣1，∴直线CH：y=﹣5x+7，联立解析式：，解得：，∴∴．25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）【解答】（1）证明：∵AD=DC，AB=BC∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA又AC平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，∴AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD为平行四边形又AD=DC∴四边形ABCD是菱形（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AF∥BC，AB=BC∴∠AFB=∠CBF，∠FAC=∠ACB，∠ACB=∠BAC∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB∴△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC∴∴BC2=EC•AC∴a2=EC•x∴，∴AE=AC﹣EC=x﹣，∵△AEF∽△ABC∴，即∴（）；（3）解：∵△CEG是等腰三角形，①当CG=EG时，∴∠CGE=∠ECG，∵∠ECG=∠CBF，∴∠CGE=∠CBF，∵∠CGB=∠ABF，∴∠ABF=∠CBF，此时，点F，G和点D重合，∴AF=AB，∴y=a，即∴，②当CG=CE时，∴∠CEG=∠CGB，∵∠CEG=∠AC B+∠CBF=2∠ACB=∠BCD，∴∠CGB=∠BCD，∵∠FDG=∠BAD=∠BCD，∴∠FDG=∠FGD，∴FG=FD，∴AF=BF，∵∠EBCC=∠ECB，∴BE=CE，∵∠EAF=∠EFA，∴AE=EF，∴FB=AC∴y=x即∴（负值已舍），③当EG=CE时，∴∠CEG=∠ACD，∵∠ACD=∠CBF，∴∠CEG=∠CBF，∵∠CEG=∠CBF+∠ACB，∴此种情况不存在．综上所述：或时，△CEG为等腰三角形．。
2018年上海市静安区中考数学一模试卷
2018 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中， 有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）化简（﹣a2）•a5 所得的结果是（ ） A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10 【分析】根据同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7， 故选：B．
3．（4 分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构 成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使 螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，则 AB 的长为（ ）
么∠CBG 的余切值是
．
15．（4 分）如图，△ABC 中，点 D 在边 AC 上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么
AB=
．
16．（4 分）已知梯形 ABCD，AD∥BC，点 E 和点 F 分别在两腰 AB 和 DC 上，且
EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设 h ，那么向量 t= 表示）
第 3页（共 25页）
（2）在 B 点又测得∠NBA=53°，求 MN 的长．（结果精确到 1 米） （参考数据： ≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）
23．（12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点 E 是腰
B、设 m 为实数，则 t
h
，正确；
2017-2018上海静安区数学一模试卷与答案
O
x
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分）
已知：如图，四边形 ABCD 中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果点 E 在对角线 AC 上，联结 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线 于点 F（点 F 可与点 D 重合），∠AFB =∠ACB，设 AB 长度是 a （ a 是常数，且 a 0 ）， AC= x ，AF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当△ CGE 是等腰三角形时， F 求 AC 的长．（计算结果用含 a 的代数式表示）
（A） 2 2 ； （B） 2 2 ； （C） 2 ；
3
4
（D） 3 ．
大力数学工作室 | 李老师
1
6．将抛物线 y1 x2 2x 3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线
y2 ax2 bx c 重合，现有一直线 y3 2x 3与抛物线 y2 ax2 bx c 相交，当 y2
bd3
bd
8．已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2 =AB ·BP，那么 AP 长
为 ▲ 厘米．
9．已知△ ABC 的三边长分别是 2 、 6 、2 ，△ DEF 的两边长分别是1和 3 ，如果△ ABC
与△ DEF 相似，那么△ DEF 的第三边长应该是 ▲ ．
（D） a10 ．
2．下列方程中，有实数根的是
（A） x 1 1 0 ； （B） x 1 1； （C） 2x4 3 0 ；（D） 2 1．
2017年上海市静安区中考数学一模试卷含答案解析
2017年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1．a（a＞0）等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣43．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）二．填空题（每个小题4分，共48分）7．16的平方根是．8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．9．方程+=1的根为．10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为．11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是．12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为．14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为．15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=（用，的式子表示）16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于．18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为．三、解答题（共78分）19．计算：．20．解方程组：．21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE（1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．2017年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）1．a（a＞0）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】分数指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．【解答】解：a===，故选：C．2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【考点】实数范围内分解因式．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可【解答】解：只有选项D正确，理由是：∵AD=2，BD=4，=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选D．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cosA=，AC=AB•cosA=m•cosα，故选：B．5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜45°，故选：C．6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），故选：A．二．填空题（每个小题4分，共48分）7．16的平方根是±4．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．9．方程+=1的根为x=2．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x=1或x=2，经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，故答案为：x=210．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为m＜2．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答．【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，∴图象一定与y轴的负半轴有交点，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是（4，﹣6）．【考点】二次函数的性质．【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，∴顶点坐标为（4，﹣6），故答案为：（4，﹣6）．12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得m=3，故答案为：3．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比=（）2=1：16．故答案为：1：16．14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为2．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形．【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．【解答】解：∵AB=AC=10，∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高∵cosB=，∴在BC边的高=6，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是2．故答案为：215．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=﹣（用，的式子表示）【考点】*平面向量；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△ADF∽△CEF得=，根据==﹣=﹣（）可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，∴BC∥AD，BC=AD=2EC，∴△ADF∽△CEF，，∴==2，则=，∴==﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣，故答案为：﹣．16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，∴==，即==，解得DE=，AE=，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于3：2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，推出∠EDC=∠BCD，=，由△BDC∽△CED，推出===，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，=∵∠BDC=∠DEC，∴△BDC∽△CED，∴===，∴=．故答案为3：2．18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为13．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，∴DC=DB=AB=12，∴∠DCB=∠B，由题意得，EF是CD的垂直平分线，∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，∴∠OEC=∠B，设CF=2x，则CE=3x，由勾股定理得，EF=x，×2x×3x=×x×6，解得，x=，∴EF=×=13，故答案为：13．三、解答题（共78分）19．计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式===．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由②得：（x﹣3y）2=4，x﹣3y=±2，由①得：x（x﹣y+2）=0，x=0，x﹣y+2=0，原方程组可以化为：，，，，解得，原方程组的解为：，，，．21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，将点A（2，4）代入，得：k=8，∴反比例函数的解析式y=；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，∵cot∠ACB==，∴AF=3，∴EF=1，∴点C的坐标为（0，1）；（3）当y=1时，由1=可得x=8，∴点B的坐标为（1，8），∴BF=BC﹣CF=6，∴AB==3，∴cos∠ABC===．22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，∴∠AO′C=65°，∵cos∠CO′A=，∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵∠AOB=115°，∴∠BOD=65°，∵sin∠BOD=，∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，∴∠FEA=∠BOA=115°，∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE（1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得，即可得证；（2）先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．【解答】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，∴DE•AB=AC•BE；（2）∵AC2=AD•AB，∴，∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD=∠B，∵，∠B=∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的性质定理得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）设AC=m，根据正切的定义得到DC=3m，根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴=，又∠BED=∠CEA，∴△BDE∽△CAE；（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，∵tan∠DAC=3，∴=3，设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），∵△BDE∽△CAE，∴∠DBA=∠DCA=90°，∴BD2+BC2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，解得，m=2，则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），∴，解得，，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到=，再根据题意AC=BC，即可证明．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得=，由此即可解决问题．（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC ﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，∴△DAC∽△CEB，∴=，∴BC•AC=CD•BE，∵AC=BC，∴BC2=CD•BF．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，∴AB=6，在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，∵AD∥BC，DH=AG，∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，∵AG∥DH，∴GH=AD=x，∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，∴CD===，∵△CEB∽△DAC，∴=，∴=，∴y=，∴y=（x＞0且x≠9）．（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，∴OB=OC，∵AD∥BC，∴=，∴AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，∵∠AGB=∠DHC=90°，∴△ABG≌△DCH，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．∴CE=y=．2017年2月12日21。
2017届静安区高三一模数学(附答案)
上海市静安区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共10题，共50分）1. “0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是2. 函数2()13sin ()4f x x π=-+的最小正周期为3. 若复数z 为纯虚数，且满足(2)i z a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为4. 二项式251()x x+的展开式中，x 的系数为 5. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米 6. 已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α= 7. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫克的行为属 于饮酒驾驶，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫克，经过x 个小时，酒精含 量降为p 毫克/100毫克，且满足关系式0rx p p e =⋅（r 为常数）若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫克，2小时后，测得其血液中酒精含 量降为61毫克/100毫克，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车8. 已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足78()()0f x f x +=，则2017x 的值为9. 直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为10. 已知()xf x a b =-（0a >且1a ≠，b R ∈），()1g x x =+，若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为二. 选择题（本大题共5题，每题5分，共25分）11. 若空间三条直线a 、b 、c 满足a b ⊥，b c ⊥，则直线a 与c （ ） A. 一定平行 B. 一定相交C. 一定是异面直线D. 平行、相交、是异面直线都有可能 12. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是（ ）A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. (0,1)D. 11(0,)(,1)2213. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加， 那么不同的发言顺序有（ ）A. 336种B. 320种C. 192种D. 144种14. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲 线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215. 已知()y g x =与()y h x =都是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，2,01()(1),1x x g x g x x ⎧<≤=⎨->⎩，2()log h x k x =（0x >），若()()y g x h x =-恰有4个零点， 则正实数k 的取值范围是（ ）A. 1[,1]2B. 1(,1]2C. 31(,log 2]2D. 31[,log 2]2三. 解答题（本大题共5题，共11+14+14+18+18=75分）16. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，AB a =，12AA a =，E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点；（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小； （2）求四面体1CA EF 的体积；17. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程；18. 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东 偏南θ角方向（cos θ=），300km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北45︒方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半 径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大； （1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由；（2）城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19. 设集合{()|a M f x =存在正实数a ，使得对定义域内任意x 都有()()}f x a f x +>； （1）若2()2x f x x =-，试判断()f x 是否为1M 中的元素，并说明理由；（2）若31()34g x x x =-+，且()a g x M ∈，求a 的取值范围； （3）若3()log ()kh x x x=+，[1,)x ∈+∞，k R ∈，且2()h x M ∈，求()h x 的最小值；20. 由m (2)m ≥个不同的数构成的数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅中，若1i j n ≤<≤时，j i a a <（即 后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数 称为该数列的逆序数；如对于数列3、2、1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第 二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3、2、1的逆序数为2103++=，同理，等比数列1111,,,248--的逆序数为4； （1）计算数列219n a n =-+*(1100,)n n N ≤≤∈的逆序数；（2）计算数列1(),3,1nn n a n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数*(1,)n k n N ≤≤∈的逆序数；（3）已知数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅的逆序数为a ，求11,,,n n a a a -⋅⋅⋅的逆序数；参考答案一. 填空题1. 0a >2.π 3.12 4. 10 5. 6. 107. 8 8. 4019 9. 12 10. 4二. 选择题11. D 12. D 13. A 14. B 15. C三. 解答题16.（1）；（2）312a ；17.（1）[2)+∞；（2）22194x y +=；18.（1）160d =>，否；（2）1224t ≤≤，12小时； 19.（1）否；（2）1a >；（3）当1k ≤，min 3()(1)log (1)h x h k ==+；当13k <<，min 3()log h x = 20.（1）4950；（2）当k 为偶数，(32)8k k -；当k 为奇数，(1)(31)8k k --； （3）2n C a -；友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。
2017年上海市静安区初三一模数学试卷
2017年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 等于A. B. C. D.2. 下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是A. B.C. D.3. 在中，点，分别在边，上，，要使，还需满足下列条件中的A. B. C. D.4. 在中，，如果，，那么的长为A. B. C. D.5. 如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是A. B. C. D.6. 若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是A. B. C. D.二、填空题（共12小题；共60分）7. 的平方根是 .8. 有意义，那么的取值范围为．9. 方程的根为．10. 如果一次函数的图象一定经过第三、第四象限，那么常数的取值范围为．11. 二次函数的图象的顶点坐标是．12. 如果点，在抛物线上，那么的值为．13. 如果，且与相似比为，那么与的面积比为．14. 在中，如果，，那么的重心到底边的距离为．15. 已知平行四边形中，点是边的中点，与相交于点，设，，那么（用，的式子表示）．16. 在中，点，分别在边，上，，如果，，，，那么的周长为．17. 如图，在中，点，分别在边，上，，，如果，，那么等于．18. 一张直角三角形纸片，，，（如图），将它折叠使直角顶点与斜边的中点重合，那么折痕的长为．三、解答题（共7小题；共91分）19. 计算：．20. 解方程组：21. 已知：如图，第一象限内的点，在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点的坐标为，且求：（1）反比例函数的解析式；（2）点的坐标；（3）的余弦值．22. 将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏与底板夹角为（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架后，电脑转到的位置（如图3），侧面示意图为图 4，已知，，垂足为．参考数据：（，，，）（1）求点的高度；（精确到）（2）显示屏的顶部比原来升高了多少?（精确到）（3）如图4，要使显示屏与原来的位置平行，显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度?23. 已知：如图，在中，点，分别在边，上，．（1）求证：；（2）如果，求证：．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上，点在此抛物线上，轴，且，与相交于点．（1）求证：；（2）已知，，求此抛物线的表达式．25. 如图，在梯形中，，与相交于点，，点在的延长线上，，已知，．（1）求证：；（2）设，，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果，求的长．答案第一部分1. C2. A3. D4. B5. C6. A第二部分7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.第三部分原式19.20.由得：由得：原方程组可以化为：解得，原方程组的解为：21. （1）设反比例函数解析式为，将点代入，得：，反比例函数的解析式．（2）过点作轴于点，与交于点，则，，，，点的坐标为．（3）当时，由可得，点的坐标为，，，．22. （1），垂足为，，，，．（2）如图 2，过作交的延长线于，，，，，，显示屏的顶部比原来升高了．（3）如图 4，过作交于，，，显示屏应绕点按顺时针方向旋转度．23. （1），，又，，，．（2），，，，，，，，，，，，．24. （1），，，，又，；（2）抛物线与轴相交于点，点的坐标为，即，，，设，则，，则点的坐标为，点的坐标为，，，，即，解得，，则点的坐标为，点的坐标为，解得，抛物线的表达式为．25. （1），，，，，．（2）过点作于，过点作于，过点作于．在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，（且）．（3），，，，由（1）得，，，，，，，四边形是等腰梯形，，，，，，．．，，，，．。
2018届静安区高考数学一模(含详细答案)
2
……5 分
m n A B ………………………………………………6 分
2
（2）由 x sin Asin B sin A sin B 可得 sin A sin B sin A cos A ………………8 分 x sin A sin B sin A cos A 设 sin A cos A t ，则 t 2 sin( A ) ，
3
．
（1）求正三棱柱 ABC A1B1C1 的体积； （2）求直线 BC1 与平面 AAC ． 1 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） A1 B1 A B C C1
第 2 页
18． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在 △ ABC 中 ， 角 A、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a、 b 、 c ， 设 向 量 m ( a, cosB ) n , ( b, cosA ) , 且
（2）过 B 作 BD AC，D 为垂足，则 BD 平面 AAC 1 1C ， BC 1 D 是直线 BC1 与平面 AAC 1 1C 所
成的角，………………8 分
BD 6,BC 1 8 ， （ DC1 2 7 ） ，
所以直线 BC1 与平面 AAC 1 1C 所成的角为 arcsin
2 t 2
实数 x 的取值范围为( [2 2, ) (开区间)………………………………14 分
19． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） D
Q
C
P
45
解： （1） PAB , tan t ，所以 BP t ， CP 1 t ； A 因为点 C、P、Q 不共线，所以 0 t 1 ， DQ tan(45 )
2018年上海静安区初三一模数学试卷答案
）．
A. x ⩽ −1
B. x ⩾ 3
C. −1 ⩽ x ⩽ 3
D. x ⩾ 0
答案 C
解析
左移1,上移4
， y1
=
(x
−
3)(x
+
1)
−−−−−−−−−→
y2
=
(x
−
2)(x
+
2)
+
4
=
2 x
当 时，令 ，解得 ， ． y2 = y3
2 x
=
2x
+
3
x1 = −1 x2 = 3
则 时， ． y2 ⩽ y3
∴ ． AB = 12
−−→
16. 已知梯形ABC ， D AD//BC ，点E和F分别在两腰AB和DC 上，且EF是梯形的中位线，AD = ， 3 BC = 4，设AD = a，⃗ 那
−−→
么向量EF =
．（用向量a表⃗ 示）
答案 7
6
解析
， 1
7
EF = AD + (BC − AD) =
2
6
． 7
A. 7.2cm
B. 5.4cm
答案 B
解析
∵ ， ， OA = 3OC OB = 3OD
∴ ， OA : OC = OB : OD
又∵ ， ∠AOB = ∠C OD
∴ ． △AOB ∽ △C OD
∴ ， AB
OA
=
=3
CD
OC
∵ ， C D = 1.8m
∴ ． AB = 3C D = 5.4m
4. 下列判断错误的是（ ）．
y=1
y=3
21. 已知：二次函数图象的顶点坐标是(3, 5)，且抛物线经过点A(1, ． 3) （1） 求此抛物线的表达式．
2017年上海静安区初三一模数学试卷答案
2 y = a(x − 1) + h
得(−1, 与 4) (m, 4)关于对称轴x = 1对称，
， m − 1 = 1 − (−1)
解得m = 3 ．
13. 如果△ABC ∽ △DEF ，且△ABC 与△DEF相似比为1 : 4，那么△ABC 与△DEF的面积比为
．
答 案 1 : 16
解析
∵ ， △ABC ∽ △DEF
式子表示）
．（用a，⃗ b的⃗
答案
1 b⃗ −
2 a⃗
3
3
目录
选择题（本大题共6题，每题4分，满分2… 填空题（本大题共12题，每题4分，满分… 解答题（本大题共7题，满分78分）
解析
学生版
∵四边形ABC D是平行四边形，点E是边BC 的中点，
教师版
答案版
∴ ， ， BC //AD BC = AD = 2EC
y3 = −2
y4 = 0
解 析 由（1）得x = 或 0 x − y + 2 = 0 ，
由（ ）得 或 ， 2
x − 3y = 2 x − 3y = −2
原方程组可化为{ x = 0
， x=0 {
，
x − 3y = 2
x − 3y = −2
2018/12/04 ， ， x − y + 2 = 0
{
11.
二次函数y
=
2 x
−
8x
+
10的图像的顶点坐标是
．
答案
(4, −6)
解析
∵ ， 2
2
y = 2x − 8x + 10 = 2(x − 4) − 6
∴顶点坐标为(4, ． −6)
2017年上海市静安区中考数学一模试卷_3406
2017 年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每题 4 分，共 24 分）1．（4 分） a （a＞0）等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（4 分）以下多项式中，在实数范围不可以分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣ y2+4x+4yD．x2﹣ y2+4y﹣43．（4 分）在△ ABC中，点D，E 分别在边AB，AC 上，=，要使DE∥ BC，还需知足以下条件中的（）A．= B．= C．= D．=4．（ 4 分）在Rt△ABC中，∠C=90°，假如AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m?sin α B．m?cosα C．m?tanα D．m?cotα5．（4 分）假如锐角α的正弦值为，那么以下结论中正确的选项是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜60°6．（4 分）将抛物线 y=ax2﹣1 平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线 y=ax2 ﹣ 1 上的点 A（2，3）同时平移到 A′，那么点 A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）二．填空题（每个小题 4 分，共 48 分）7．（4 分） 16 的平方根是．8．（4 分）假如代数式存心义，那么 x 的取值范围为．9．（4 分）方程+ =1 的根为．10．（ 4 分）假如一次函数y=（ m﹣3）x+m﹣ 2 的图象必定经过第三、第四象限，那么常数 m 的取值范围为．11．（ 4 分）二次函数 y=x2﹣8x+10 的图象的极点坐标是．．（分）假如点A（﹣1， 4）、B（m， 4）在抛物线 y=a（x﹣1）2+h 上，那么12 4m 的值为．13．（ 4 分）假如△ ABC∽△ DEF，且△ ABC 与△ DEF 相像比为 1： 4，那么△ ABC 与△ DEF的面积比为．14．（ 4 分）在△ ABC中，假如 AB=AC=10，cosB= ，那么△ ABC的重心究竟边的距离为．15．（ 4 分）已知平行四边形ABCD中，点 E 是边 BC的中点， DE 与 AC订交于点F，设= ，= ，那么=（用，的式子表示）16．（ 4 分）在△ ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，△ ADE∽△ ABC，假如AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ ADE的周长为．17．（ 4 分）如图，在△ ABC中，点 D，E 分别在边 AB， AC上， DE∥ BC，∠ BDC= ∠ CED，假如 DE=4，CD=6，那么 AD：AE 等于．18．（ 4 分）一张直角三角形纸片ABC，∠ C=90°，AB=24，tanB= （如图），将它折叠使直角极点 C 与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为．三、解答题（共78 分）19．（ 10 分）计算：．20．（ 10 分）解方程组：．21．（ 10 分）已知：如图，第一象限内的点 A， B 在反比率函数的图象上，点 C在 y 轴上， BC∥ x 轴，点 A 的坐标为（ 2，4），且 cot∠ACB=求：（ 1）反比率函数的分析式；（2）点 C 的坐标；（3）∠ ABC的余弦值．22．（10 分）将笔录本电脑搁置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图 1），侧面表示图为图2；使用时为了散热，在底板下边垫入散热架O′AC后，电脑转到 AO′B的′地点（如图 3），侧面表示图为图4，已知 OA=0B=20cm，B′O′⊥ OA，垂足为 C．（1）求点 O′的高度 O′C；（精准到 0.1cm）（2）显示屏的顶部 B′比本来高升了多少？（精准到 0.1cm）（3）如图 4，要使显示屏 O′B与′本来的地点 OB 平行，显示屏 O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参照数据：（ sin65 °=0.906， cos65°=0.423，tan65 °=2.146． cot65 °=0.446）23．（12 分）已知：如图，在△ ABC中，点 D，E 分别在边 AB，BC上，BA?BD=BC?BE （1）求证： DE?AB=AC?BE；（2）假如 AC2=AD?AB，求证： AE=AC．24．（ 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴订交于点 A，与 y 轴订交于点 B，点 C 在线段 OA 上，点 D 在此抛物线上， CD ⊥x 轴，且∠ DCB=∠DAB，AB 与 CD 订交于点 E．（ 1）求证：△ BDE∽△ CAE；（ 2）已知 OC=2， tan∠ DAC=3，求此抛物线的表达式．25．（ 14 分）如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， AC 与 BD 订交于点 O， AC=BC，点 E 在 DC的延伸线上，∠ BEC=∠ ACB，已知 BC=9，cos∠ABC= ．2（ 1）求证： BC=CD?BE；（ 2）设 AD=x，CE=y，求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出定义域；（ 3）假如△ DBC∽△ DEB，求 CE的长．2017 年上海市静安区中考数学一模试卷参照答案与试题分析一、选择题（每题 4 分，共24 分）1．（4 分）（2017?静安区一模）a （ a＞ 0）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【剖析】依据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．【解答】解： a== =，应选： C．【评论】本题考察了负整数指数幂，利用负整数指数幂、分数指数幂是解题重点．2．（ 4 分）（ 2017?静安区一模）以下多项式中，在实数范围不可以分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2C．x2﹣ y2+4x+4yD．x2﹣ y2+4y﹣4【剖析】各项利用平方差公式及完整平方公式判断即可．【解答】解： A、原式不可以分解；B、原式 =（x+y）2﹣ 2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式 =（x+y）（ x﹣ y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式 =x2﹣（ y﹣2）2=（ x+y﹣ 2）（x﹣y+2），应选 A【评论】本题考察了实数范围内分解因式，娴熟掌握因式分解的方法是解本题的重点．3．（ 4 分）（ 2017?静安区一模）在△ ABC中，点D，E 分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需知足以下条件中的（）A．= B．= C．= D．=ADE∽△ ABC，依据相【剖析】先求出比率式，再依据相像三角形的判断得出△似推出∠ ADE=∠ B，依据平行线的判断得出即可【解答】解：只有选项 D 正确，原因是：∵ AD=2，BD=4，=，∴= = ，∵∠ DAE=∠BAC，∴△ ADE∽△ ABC，∴∠ ADE=∠B，∴DE∥BC，依据选项 A、B、C 的条件都不可以推出DE∥ BC，应选 D．【评论】本题考察了平行线分线段成比率定理，相像三角形的性质和判断的应用，能灵巧运用定理进行推理是解本题的重点．4．（4 分）（2017?静安区一模）在Rt△ ABC中，∠ C=90°，假如 AB=m，∠ A=α，那么 AC的长为（）A．m?sin α B．m?cosα C．m?tanα D．m?cotα【剖析】依据余角函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cosA=，AC=AB?cosA=m?cosα，应选： B．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，利用余角函数的定义是解题重点．5．（4 分）（2017?静安区一模）假如锐角α的正弦值为，那么以下结论中正确的是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜60°【剖析】正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜45°，应选： C．【评论】本题考察了锐角三角形的增减性，当角度在 0°～90°间变化时，①正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值跟着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考察了互余两角的三角函数之间的关系．6．（4 分）（2017?静安区一模）将抛物线y=ax2﹣1 平移后与抛物线 y=a（x﹣1）2 重合，抛物线 y=ax2﹣1 上的点 A（2，3）同时平移到 A′，那么点 A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）【剖析】依据两个抛物线的平移规律获得点 A 的平移规律，易得点A′的坐标．【解答】解：∵抛物线 y=ax2﹣1 的极点坐标是（ 0，﹣ 1），抛物线 y=a（x﹣1）2的极点坐标是（ 1，0），∴将抛物线 y=ax2﹣1 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位获得抛物线 y=a （ x﹣1）2，∴将点 A（2，3）向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位获得点 A′的坐标为（3，4），应选： A．【评论】本题主要考察了函数图象的平移，要求娴熟掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数分析式．二．填空题（每个小题 4 分，共 48 分）7．（4 分）（2017?恩施州） 16 的平方根是± 4 ．【剖析】依据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（± 4）2=16，∴ 16 的平方根是±4．故答案为：± 4．【评论】本题考察了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负数没有平方根．8．（4 分）（2017?静安区一模）假如代数式存心义，那么x 的取值范围为x＞﹣ 2．【剖析】依据二次根式存心义的条件、分式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得， x+2＞0，解得， x＞﹣ 2，故答案为： x＞﹣ 2．【评论】本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数一定是非负数是解题的重点．9．（4 分）（2017?静安区一模）方程+=1 的根为x=2．【剖析】分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获得 x 的值，经查验即可获得分式方程的解．【解答】解：去分母得： x﹣ 5+2x+2=x2﹣1，整理得： x2﹣3x+2=0，即（ x﹣ 2）（x﹣1）=0，解得： x=1 或 x=2，经查验 x=1 是增根，分式方程的解为x=2，故答案为： x=2【评论】本题考察认识分式方程，利用了转变的思想，解分式方程注意要查验．10．（ 4 分）（2017?静安区一模）假如一次函数 y=（m﹣3）x+m﹣2 的图象必定经过第三、第四象限，那么常数m 的取值范围为m＜2．【剖析】依据一次函数的性质，一次函数 y=（m﹣ 3）x+m﹣2 的图象必定经过第三、第四象限，那么图象必定与 y 轴的负半轴有交点，即可解答．【解答】解：∵一次函数 y=（ m﹣3）x+m﹣ 2 的图象必定经过第三、第四象限，∴图象必定与 y 轴的负半轴有交点，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为： m＜2．【评论】本题考察的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k ≠ 0）中，当 k＞0，b＜0 时，函数的图象经过一、三、四象限是解答本题的重点．11．（4 分）（2017?静安区一模）二次函数 y=x2﹣8x+10 的图象的极点坐标是（4，﹣6）．【剖析】将二次函数化为极点式后即可确立其极点坐标．2 2 【解答】解：∵ y=2x ﹣ 8x+10=2（ x﹣4）﹣6，∴极点坐标为（ 4，﹣ 6），【评论】本题考察二次函数的性质，将分析式化为极点式 y=a（x﹣h）2+k，极点坐标是（ h， k），对称轴是 x=h．12．（ 4 分）（2017?静安区一模）假如点 A（﹣ 1，4）、 B（ m，4）在抛物线y=a （ x﹣1）2 +h 上，那么 m 的值为 3 ．【剖析】依据函数值相等两点对于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点 A（﹣ 1，4）、B（m，4）在抛物线 y=a（x﹣1）2+h 上，得（﹣ 1，4）与（ m，4）对于对称轴x=1 对称，m﹣ 1=1﹣（﹣ 1），解得 m=3，故答案为： 3．【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点，利用函数值相等两点对于对称轴对称得出 m﹣1=1﹣（﹣ 1）是解题重点．13．（ 4 分）（2017?静安区一模）假如△ ABC∽△ DEF，且△ ABC 与△ DEF 相像比为 1：4，那么△ ABC与△ DEF的面积比为 1：16 ．【剖析】直接依据相像三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ ABC∽△ DEF，且△ ABC与△ DEF相像比为 1： 4，∴△ ABC与△ DEF的面积比 =（）2=1：16．故答案为： 1：16．【评论】本题考察的是相像三角形的性质，熟知相像三角形的面积的比等于相像比的平方是解答本题的重点．14．（ 4 分）（ 2017?静安区一模）在△ ABC中，假如 AB=AC=10，cosB= ，那么△ABC的重心究竟边的距离为2．【剖析】依据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC 边的高上．依据勾股定理求得该高，再依据三角形的重心到极点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍，求得 G 到 BC的距离．【解答】解：∵ AB=AC=10，∴△ ABC是等腰三角形∴三角形的重心G 在 BC边的高∵cosB= ，∴在 BC边的高 =6，依据三角形的重心性质∴G 到 BC的距离是2．故答案为： 2【评论】本题考察了三角形的重心，熟记三角形的重心到极点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的重点．15．（4 分）（ 2017?静安区一模）已知平行四边形 ABCD中，点 E 是边 BC的中点，DE与 AC 订交于点 F，设= ，= ，那么=﹣（用，的式子表示）【剖析】依据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△=，依据= =﹣=﹣（）可得答案．ADF∽△ CEF得【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，点E 是边 BC的中点，∴BC∥AD，BC=AD=2EC，∴△ ADF∽△ CEF，，∴= =2，则 = ，∴==﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣，故答案为：﹣．【评论】本题主要考察平行四边形的性质、相像三角形的判断与性质及向量的基本运算，娴熟掌握向量的运算法例是解题的重点．16．（ 4 分）（2017?静安区一模）在△ ABC中，点 D， E 分别在边 AB，AC上，△ADE∽△ ABC，假如 AB=4， BC=5， AC=6， AD=3，那么△ ADE的周长为．【剖析】依据题意画出图形，依据相像三角形的性质求出DE 及AE 的长，从而可得出结论．【解答】解：如图，∵△ ADE∽△ ABC，∴= =，即= =，解得DE=，AE=，∴△ ADE的周长 =AD+AE+DE=3+ + =；故答案为：．【评论】本题考察的是相像三角形的性质，熟知相像三角形的对应边成比率是解答本题的重点．17．（ 4 分）（2017?静安区一模）如图，在△ ABC中，点 D， E 分别在边 AB，AC 上， DE∥ BC，∠ BDC=∠CED，假如 DE=4，CD=6，那么 AD：AE 等于 3：2 ．【剖析】由 DE∥ BC，推出∠ EDC=∠ BCD，=，由△ BDC∽△ CED，推出== = ，由此即可解决问题．【解答】解：∵ DE∥BC，∴∠ EDC=∠BCD，=∵∠ BDC=∠DEC，∴△ BDC∽△ CED，∴= ==，∴= ．故答案为 3：2．【评论】本题考察相像三角形的判断和性质、平行线分线段成比率定理等知识，解题的重点是灵巧运用相像三角形的性质，属于中考常考题型．18．（4 分）（ 2017?静安区一模）一张直角三角形纸片ABC，∠ C=90°，AB=24，tanB= （如图），将它折叠使直角极点 C与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为13．【剖析】依据直角三角形的性质求出 CD，获得∠ DCB=∠B，依据垂直的定义、等量代换获得∠ OEC=∠ B，依据正切的定义、勾股定理计算即可．【解答】解：∵ CD是斜边 AB 上的中线，∴DC=DB= AB=12，∴∠ DCB=∠B，由题意得， EF是 CD的垂直均分线，∴∠ OEC+∠OCE=90°，又∠ DCB+∠ OCE=90°，∴∠ OEC=∠B，设 CF=2x，则 CE=3x，由勾股定理得， EF= x，×2x×3x= ×x× 6，解得， x=，∴ EF=×=13，故答案为： 13．【评论】本题考察的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等是解题的重点．三、解答题（共78 分）19．（ 10 分）（ 2017?静安区一模）计算：．【剖析】依据特别角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式 ===．【评论】本题考察了特别角三角函数值，熟记特别角三角函数值是解题重点．20．（ 10 分）（ 2017?静安区一模）解方程组：．【剖析】由②得出 x﹣3y=±2，由①得出 x（x﹣y+2）=0，构成四个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由②得：（x﹣3y）2=4，由①得： x（x﹣y+2）=0，x=0，x﹣y+2=0，原方程组能够化为：，，，，解得，原方程组的解为：，，，．【评论】本题考察认识高次方程组，能把高次方程组转变二元一次方程组是解本题的重点．21．（ 10 分）（ 2017?静安区一模）已知：如图，第一象限内的点A，B 在反比率函数的图象上，点 C 在 y 轴上，BC∥ x 轴，点 A 的坐标为（2，4），且cot∠ACB= 求：（ 1）反比率函数的分析式；（2）点 C 的坐标；（3）∠ ABC的余弦值．【剖析】（1）待定系数法求解可得；（ 2）作 AE⊥x 轴于点 E，AE 与 BC交于点F，则CF=2，依据cot∠ACB= = 得AF=3，即可知 EF，从而得出答案；（ 3）先求出点 B 的坐标．既而由勾股定理得出 AB 的长，最后由三角函数可得答案．【解答】解：（1）设反比率函数分析式为y=，将点 A（2，4）代入，得： k=8，∴反比率函数的分析式y=；（ 2）过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，AE与 BC交于点 F，则 CF=2，∵cot∠ ACB= = ，∴AF=3，∴EF=1，∴点 C 的坐标为（ 0， 1）；（3）当 y=1 时，由 1= 可得 x=8，∴点 B 的坐标为（ 1， 8），∴BF=BC﹣CF=6，∴AB==3，∴ cos∠ ABC= ==．【评论】本题主要考察反比率函数的应用，娴熟掌握待定系数法求函数分析式是解题的重点．22．（ 10 分）（ 2017?河南模拟）将笔录本电脑搁置在水平桌面上，显示屏 OB 与底板 OA 夹角为 115°（如图 1），侧面表示图为图 2；使用时为了散热，在底板下边垫入散热架 O′AC后，电脑转到 AO′B的′地点（如图 3），侧面表示图为图 4，已知 OA=0B=20cm，B′O⊥′OA，垂足为 C．（ 1）求点 O′的高度 O′C；（精准到 0.1cm）（ 2）显示屏的顶部 B′比本来高升了多少？（精准到 0.1cm）（ 3）如图 4，要使显示屏 O′B与′本来的地点 OB 平行，显示屏 O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参照数据：（ sin65 °=0.906， cos65°=0.423，tan65 °=2.146． cot65 °=0.446）【剖析】（1）解直角三角形即可获得结论；（2）如图 2，过 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延伸线于 D，依据三角函数的定义即可获得结论；（3）如图 4，过 O′作 EF∥ OB 交 AC 于 E，依据平行线的性质获得∠ FEA=∠BOA=115°，于是获得结论．【解答】解：（1）∵ B′O⊥′OA，垂足为 C，∠AO′B=115，°∴∠ AO′C=65，°∵cos∠ CO′A=，∴O′C=O′A?cos∠CO′A=20?cos65°=8≈.468.5（ cm）；（2）如图 2，过 B 作 BD⊥ AO 交 AO 的延伸线于 D，∵∠ AOB=115°，∴∠ BOD=65°，∵ sin∠BOD= ，∴BD=OB?sin∠BOD=20× sin65 °=18.12，∴O′B+O′′C﹣ BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），∴显示屏的顶部 B′比本来高升了 10.3cm；（3）如图 4，过 O′作 EF∥OB 交 AC于 E，∴∠ FEA=∠BOA=115°，∠ FO′B′=∠EO′C=∠ FEA﹣∠ O′CA=115﹣°90°=25°，∴显示屏 O′B应′绕点 O′按顺时针方向旋转 25 度．【评论】本题考察认识直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出协助线是解题的重点．23．（ 12 分）（ 2017?静安区一模）已知：如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边AB ，BC 上， BA?BD=BC?BE（ 1）求证： DE?AB=AC?BE ；（ 2）假如 AC 2=AD?AB ，求证： AE=AC ．【剖析】（1）由 BA?BD=BC?BE 得，联合∠ B=∠B ，证△ ABC ∽△ EBD 得，即可得证；（ 2）先依据 AC 2 证△∽△ ACB 得∠ ∠ ，再由证△ BAE=AD?AB ADC ACD= B ∽△ BCD 得∠ BAE=∠BCD ，依据∠ AEC=∠ B+∠BAE ，∠ ACE=∠ACD+∠BCD 可得∠AEC=∠ACE ，即可得证．【解答】 证明：（1）∵ BA?BD=BC?BE ， ∴，又∵∠ B=∠B ， ∴△ ABC ∽△ EBD ， ∴，∴ DE?AB=AC?BE ；（ 2）∵ AC 2=AD?AB ，∴，∵∠ DAC=∠CAB ，∴△ ADC ∽△ ACB ，∴∠ ACD=∠B ，∵，∠ B=∠B ，∴△ BAE ∽△ BCD ，∴∠ BAE=∠BCD ，∵∠ AEC=∠B+∠ BAE，∠ ACE=∠ACD+∠ BCD，∴∠ AEC=∠ACE，∴AE=AC．【评论】本题主要考察相像三角形的判断与性质，娴熟掌握两边对应成比率且夹角相等的两三角形相像是解题的重点．24．（ 12 分）（2017?静安区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴订交于点A，与 y 轴订交于点 B，点 C 在线段 OA 上，点 D 在此抛物线上， CD⊥x 轴，且∠ DCB=∠DAB，AB 与 CD订交于点E．（ 1）求证：△ BDE∽△ CAE；（ 2）已知 OC=2， tan∠ DAC=3，求此抛物线的表达式．【剖析】（1）依据相像三角形的判断定理获得△ BEC∽△ DEA，依据相像三角形的性质定理获得 = ，依据相像三角形的判断定理证明即可；（ 2）设 AC=m，依据正切的定义获得DC=3m，依据相像三角形的性质获得∠DBA=∠DCA=90°，依据勾股定理列出算式，求出 m 的值，利用待定系数法求出抛物线的分析式．【解答】（1）证明：∵∠ DCB=∠DAB，∠ BEC=∠ DEA，∴△ BEC∽△ DEA，∴ = ，又∠ BED=∠ CEA，∴△ BDE∽△ CAE；（2）解：∵抛物线 y=ax2+bx+4 与 y 轴订交于点 B，∴点 B 的坐标为（ 0， 4），即 OB=4，∵ tan∠DAC=3，∴=3，设 AC=m，则 DC=3m，OA=m+2，则点 A 的坐标为（ m+2， 0），点 D 的坐标为（ 2， 3m），∵△ BDE∽△ CAE，∴∠ DBA=∠DCA=90°，∴BD2 +BA2=AD2，即 22+（3m﹣ 4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，解得， m=2，则点 A 的坐标为（ 4，0），点 D 的坐标为（ 2，6），∴，解得，，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．【评论】本题考察的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数分析式的一般步骤、掌握相像三角形的判断定理和性质定理是解题的重点．25．（ 14 分）（2017?静安区一模）如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，AC=BC，点 E 在 DC的延伸线上，∠BEC=∠ACB，已知 BC=9，cos∠ABC= ．2（ 1）求证： BC=CD?BE；（ 2）设 AD=x，CE=y，求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出定义域；（ 3）假如△ DBC∽△ DEB，求 CE的长．【剖析】（1）只需证明△ DAC∽△ CEB，获得=，再依据题意AC=BC，即可证明．（2）过点 C 作 CF⊥ AB 于 F，AG⊥BC于 G，DH⊥BC于 H．由△ CEB∽△ DAC，得=，由此即可解决问题．（3）第一证明四边形 ABCD是等腰梯形，再证明△ ABG≌△ DCH，推出CH=BG=2，推出 x=GH=BC﹣ BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（ 2）中即可即可解决问题．【解答】解：（ 1）∵∠ DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，∴∠ ACD=∠EBC，∵ AD∥BC，∴∠ DAC=∠ACB=∠CEB，∴△ DAC∽△ CEB，∴ = ，∴BC?AC=CD?BE，∵AC=BC，2∴ BC=CD?BE．（2）过点 C 作 CF⊥AB 于 F，AG⊥BC于 G， DH⊥ BC于H．在 Rt△CBF中， BF=BC?cos∠ABC=9× =3，∴AB=6，在 Rt△ABG中， BG=AB?cos∠ABC=6× =2，∵AD∥BC，DH=AG，∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，∵ AG∥DH，∴GH=AD=x，∴CH=BC﹣ BG﹣GH=7﹣ x，∴CD===，∵△ CEB∽△ DAC，∴=，∴=，∴ y=，∴ y=（x＞0且x≠9）．（3）∵△ DBC∽△ DEB，∠ CDB=∠BDE，∠ CBD＜∠DBC，∴∠ DBC=∠DEB=∠ACB，∴OB=OC，∵ AD∥BC，∴= ，∴AC=BD，∴四边形 ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠ ABC=∠DCB，∵∠ AGB=∠DHC=90°，∴△ ABG≌△ DCH，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC﹣BG﹣ CH=9﹣2﹣2=5．∴CE=y= ．【评论】本题考察相像三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判断和性质等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会增添常用协助线，属于中考压轴题．。
2017年上海市静安区中考数学一模试卷
2017年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共24分）丄1. （4 分）a （a>0）等于（）A. 匚B.-匚C.丄D.-土a a2. （4分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）22 22 22 22A. x +y +2x+2yB. x +y +2xy- 2C. x - y +4x+4yD. x - y +4y - 43. （4分）在厶ABC中，点D, E分别在边AB, AC上，* =，要使DE// BC,还BD 2需满足下列条件中的（）DE_1 B DE=1 C坐4 D坐_1A.!?；. !?=•.「「= .- 一4. （4 分）在Rt A ABC中，/ C=90°,如果AB=m, / A=a，那么AC的长为（）A. m?sin aB. m?cos aC. m?tan aD. m?cot a5. （4分）如果锐角a的正弦值为…，那么下列结论中正确的是（）A. a =30°B. a =45°C. 30°V aV45°D. 45°V aV60°6. （4分）将抛物线y=ax^- 1平移后与抛物线y=a （x- 1）2重合，抛物线y=a£-1上的点A （2, 3）同时平移到A',那么点A的坐标为（）A. （3, 4）B. （1, 2）C. （3, 2）D. （1, 4）二. 填空题（每个小题4分，共48分）7. __________________________ （4分）16的平方根是 .8. _____________________________________________________ （4分）如果代数式「•-有意义，那么x的取值范围为________________________ .Vx+29. （4分）方程」’+…=1的根为_________ .10. （4分）如果一次函数y= （m - 3）x+m - 2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为_______ .11 . （4分）二次函数y=x2- 8x+10的图象的顶点坐标是______ .12 . （4分）如果点A （- 1, 4）、B （m, 4）在抛物线y=a （x- 1）2+h上，那么m的值为_______ .13. （4分）如果△ AB3A DEF,且厶ABC与厶DEF相似比为1: 4,那么△ ABC 与厶DEF的面积比为________ .14. （4分）在厶ABC中，如果AB=AC=10 cosB主，那么△ ABC的重心到底边的5距离为_______15. （4分）已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点，DE与AC相交于点16. （4分）在厶ABC中，点D，E分别在边AB，AC上, △ ADE^A ABC，如果AB=4, BC=5 AC=6, AD=3,那么△ ADE的周长为_________17. （4 分）如图，在△ ABC中，点D, E分别在边AB, AC上, DE// BC,Z BDC= / CED 女口果DE=4, CD=6 那么AD: AE 等于______ .18. （4分）一张直角三角形纸片ABC, / C=90°° AB=24, tanB=「（如图）,将它'J折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为_________.、解答题（共78 分）在y轴上，BC// x轴，点A的坐标为（2, 4）,且cot/ ACB=求：（1）反比例函数的解析式;（2）点C的坐标；:■ = '■，那么1= ___（用■!，〔的式子表示）19. （10分）计算:tan60° -cot45Q20. （10分）解方程组:（22 0x -6xy+9y -421. （10分）已知：如图，第一象限内的点A, B在反比例函数的图象上，点C F,设，822. （10分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏0B与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2;使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O AC 后，电脑转到AO 的位置（如图3）,侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm B' O 丄0A,垂足为C.（1）求点0'的高度0；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B'比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O与原来的位置OB平行，显示屏O B应绕点0'按顺时针方向旋转多少度？参考数据：(sin65 =0.906, cos65 =0.423，tan65°=2.146. cot65 =0.446)23. （12 分）已知：女口图，在厶ABC中，点D，E分别在边AB, BC上,BA?BD=BC?BE（1）求证：DE?AB=AC?B；（2）如果A&=AD?AB,求证：AE=AC24. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线y=a«+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD 丄x轴，且/ DCB=/ DAB, AB与CD相交于点E.（1）求证：△ BD0A CAE妙3（2）已知0C=2 tan/ DAC=3求此抛物线的表达式.25. （14分）如图，在梯形ABCD中，AD// BC, AC与BD相交于点O, AC=BC 点E在DC的延长线上，/ BEC/ ACB已知BC=9, cos/ ABC=.（1）求证：B E=CD?BE（2）设AD=x, CE=y求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；(3) 如果△ DB3A DEB,求CE的长.2017年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）_丄1. （4分）（2017?静安区一模）a （a>0）等于（）A. ：B.- ：C.丄D.-土a a【分析】根据负整数指数幕与正整数指数幕互为倒数，分数指数幕，可得答案.【解答】解：a 「亠，a故选：C.【点评】本题考查了负整数指数幕，利用负整数指数幕、分数指数幕是解题关键.2. (4分)(2017?静安区一模)下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是 ( ) A 、 x 2+y 2+2x+2y B. x 2+y 2+2xy - 2 C . x 2 - y 2+4x+4yD . x 2- y 2+4y - 4 【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可. 【解答】解：A 、原式不能分解；B 、 原式=(x+y ) 2- 2= (x+y+ .：) (x+y -：);C 、 原式=(x+y ) (x - y ) +4 (x+y ) = (x+y ) (x - y+4);D 、 原式=x -(y - 2) 2= (x+y - 2) (x - y+2), 故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键.3. (4分)(2017?静安区一模)在厶ABC 中，点D , E 分别在边AB, AC 上，=, 要使DE// BC,还需满足下列条件中的( ) 、匹丄 B 理丄 C 坐4 D 坐=1 '.•「= .叽1 .「「=.「「=【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ 似推出/ ADE=/ B ,根据平行线的判定得出即可只有选项D 正确，理由是：•.• AD=2, BD=4, 「JAC 3 .AD 二••一 一 ， •••/ DAE=/ BAC , •••△ ADE^A ABC, •••/ ADE=/ B , ••• DE / BC,根据选项A 、B 、C 的条件都不能推出DE// BC, 故选D .【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用, 能ADE^A ABC ,根据相【解答】解:灵活运用定理进行推理是解此题的关键.4. （4 分）（2017?静安区一模）在Rt A ABC中，/ C=90°,如果AB=m,/ A=a,那么AC的长为（）A. m?sin aB. m?cos aC. m?tan aD. m?cot a【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案.【解答】解：由题意，得cosA=A AB，AC=AB?cosA=m?cos，故选：B.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余角函数的定义是解题关键.5. （4分）（2017?静安区一模）如果锐角a的正弦值为* ，那么下列结论中正确的是（）A. a =30°B. a =45°C. 30°V aV45°D. 45°V aV60°【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案.【解答】解：由I V匕V •，得2 3 230O V aV45°,故选：C.【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°〜90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）•也考查了互余两角的三角函数之间的关系.6. （4分）（2017?静安区一模）将抛物线y=a（- 1平移后与抛物线y=a （x- 1） 2 重合，抛物线y=a£- 1上的点A（2, 3）同时平移到A',那么点A的坐标为（）A. （3, 4）B. （1, 2）C. （3, 2）D. （1, 4）【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A的坐标.【解答】解：•••抛物线y=ax - 1的顶点坐标是（0,- 1）,抛物线y=a （x- 1）的顶点坐标是（1, 0）,•••将抛物线y=a«- 1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a （x-1）2,•将点A（2, 3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A的坐标为（3, 4）,故选：A.【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减•并用规律求函数解析式.二•填空题（每个小题4分，共48分）7. （4分）（2017?恩施州）16的平方根是土4 .【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x,使得x2=a, 则x就是a的平方根，由此即可解决问题.【解答】解：：（土4）2=16,• 16的平方根是土4.故答案为：土4.【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.8. （4分）（2017?静安区一模）如果代数式亠二一有意义，那么x的取值范围为Vx+2x>- 2 .【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.【解答】解：由题意得，x+2> 0,解得，x>- 2,故答案为：x>- 2.【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.9. （4分）（2017?静安区一模）方程亠一+ ' =1的根为x=2 .【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：X- 5+2x+2=x2- 1 ,整理得：X2-3x+2=0,即(x- 2) (x- 1) =0,解得：x=1或x=2,经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2,故答案为：x=2【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.10. (4分)(2017?静安区一模)如果一次函数y= (m - 3) x+m- 2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m 的取值范围为m v2 .【分析】根据一次函数的性质，一次函数y= (m-3) x+m- 2的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答.【解答】解：•一次函数y=(m - 3) x+m - 2的图象一定经过第三、第四象限，•••图象一定与y轴的负半轴有交点，二m - 2v0，• m v 2，故答案为：m v 2.【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b (k 工0)中，当k>0, b v0时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键.11. (4分)(2017?静安区一模)二次函数y=x2- 8x+10的图象的顶点坐标是 _(4,-6) .【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标.【解答】解：•••y=2x2-8x+10=2 (x-4) 2-6,•顶点坐标为(4,- 6), 故答案为：(4,- 6).【点评】此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a(x-h) 2+k,顶点坐标是(h, k),对称轴是x=h.12. (4分)(2017?静安区一模)如果点A (- 1, 4 )、B ( m , 4)在抛物线y=a(x- 1) 2+h上，那么m的值为3 .【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案.【解答】解：由点A (- 1, 4)、B (m, 4)在抛物线y=a (x- 1) 2+h上，得（-1, 4）与（m, 4）关于对称轴x=1对称，m - 1=1 -（ - 1）,解得m=3,故答案为：3.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m - 1=1-（ - 1）是解题关键.13. （4分）（2017?静安区一模）如果△ ABSA DEF且厶ABC与厶DEF相似比为1: 4,那么△ ABC与厶DEF的面积比为1: 16 .【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.【解答】解：•••△ AB3A DEF,且厶ABC与厶DEF相似比为1: 4,•••△ ABC与△ DEF的面积比=C ）2=1: 16.4故答案为：1: 16.【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.14. （4 分）（2017?静安区一模）在厶ABC中，如果AB=AC=10 cosB=，那么△5ABC的重心到底边的距离为 2 .【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上.根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离.【解答】解：：AB=AC=10•••△ ABC是等腰三角形•••三角形的重心G在BC边的高I cosB~5•••在BC边的高=6,根据三角形的重心性质• G到BC的距离是2.故答案为：2【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键.15. （4分）（2017?静安区一模）已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F,设= i，宁二【，那么］=1「Y I （用.，【的式子—3一一3 一—【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC// AD、BC=AD=2EC再证△AD2A CEF得二，根据1匸左-口=汕-2二=汕—：：（左亠匸）可得答案.AC 3 3 3【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，••• BC// AD，BC=AD=2EC•••△ ADF^^ CEF BC=AD = b，一'=2CF T CAF=2•••—* 9 —*八I- ■-■3=- （左*「）T Q —* f='—（+ ■）3lr 2一=■ ■—3 3 '故答案为：丄一…i.3 3【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及向量的基本运算，熟练掌握向量的运算法则是解题的关键.16. （4分）（2017?静安区一模）在厶ABC中，点D，E分别在边AB, AC上, △4RADE^AABC,如果AB=4, BC=5 AC=6 AD=3,那么△ ADE的周长为—拧■_.【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论.【解答】解：如图AD3AABC,' = - ，即二-=「，解得DE=「, AE="AB BC AC 4 5 6 4 2•••△ ADE的周长=AD+AE+DE=3^ ■ + = 一 ;2 4 4【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.17. （4分）（2017?静安区一模）如图，在△ ABC中，点D, E分别在边AB, AC 上, DE// BC, / BDCh CED 女口果DE=4, CD=6,那么AD: AE等于3: 2 .【分析】由DE// BC,推出/ EDCK BCD,'=-，由△ BDC^^ CED,推出AE EC【解答】解：：DE// BC,vZ BDC2 DEC.△BD3A CED型二DC=$=3• 一 _：；故答案为3: 2.BD 二DC」3由此即可解决问题.•••/ EDC W BCD,=hii故答案为：：.4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质，属于中考常考题型.18. （4 分）（2017?静安区一模）一张直角三角形纸片ABC,/ C=90°,AB=24, tanB=|（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为13 .B【分析】根据直角三角形的性质求出CD,得到/ DCB=Z B,根据垂直的定义、等量代换得到/ OEC/ B,根据正切的定义、勾股定理计算即可.【解答】解：：CD是斜边AB上的中线,DC=DB= AB=12 •••/ DCB=/ B,由题意得，EF是CD的垂直平分线, /•/ OE(+/OCE=90,又/ DCB F/OCE=90, •••/ OEC/ B,设CF=2x 则CE=3x由勾股定理得，EF=hx,1 x2x X 3x= - x「X X 6,2 2解得，x= ' ■；,••• EF=〒X「=13,故答案为：13.【点评】本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.三、解答题（共78分）19. （10分）（2017?静安区一模）计算：t an6 0 -cot45【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.V3+V2【解答】解：原式=--V3-1=■ 1 . : ' 1=..匚= 一 .【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键. 20. （10分）（2017?静安区一模）解方程组:出方程组的解即可.【解答】解：由②得：（x- 3y）2=4,x=0, x- y+2=0，^2=0'x2=0十4 ’2，”yr 2，“解得，原方程组的解为:疋q 二-2y4=o i2-Ky+2y=0o oX -6?y+9y -4【分析】由②得出x-3y=±2,由①得出x（x- y+2）=0,组成四个方程组，求x-3y=± 2,由①得：x (x- y+2) =0,原方程组可以化为:x=0主-3y=2,ii上-升-2’\-y+2=0\-y+2=0x-3y=-2 ,E DB【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化二元一次方程组是解此题的关键.21. （10分）（2017?静安区一模）已知：如图，第一象限内的点A, B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC// x轴，点A的坐标为（2,4）,且cot/ ACB=3 求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE丄x轴于点E, AE与BC交于点F,贝U CF=2根据cot/ACB===得3 AF AF=3即可知EF,从而得出答案；（3）先求出点B的坐标.继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案.【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y」,x将点A （2, 4）代入，得：k=8,•••反比例函数的解析式y」；x（2）过点A作AE丄x轴于点E, AE与BC交于点F,贝U CF=2••• EF=1•••点C的坐标为（0, 1）;（3）当y=1时，由仁乂可得x=8,x•点B的坐标为（1, 8）,•BF=BG CF=6•AB= ： . j r=3 ■',•cos/ ABC= = - =_AB玷5【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.22. （10分）（2017?可南模拟）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1）,侧面示意图为图2;使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O' A后，电脑转到AO的位置（如图3）,侧面示意图为图4,已知OA=OB=2Ocm B' OLOA,垂足为C.（1）求点O'的高度O C （精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B'比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O'与原来的位置OB平行，显示屏O' BL绕点O'按顺时针方向旋转多少度？【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2,过B作BD丄AO交AO的延长线于D,根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O'作EF// OB交AC于E,根据平行线的性质得到/ FEANBOA=115,于是得到结论.【解答】解：（1）v B' d OA,垂足为C,Z AO B=115•••/ AO C=65••• cos/ CO A= ,••• O C=O A?cO£O A=20?cos65 =8.4615 (cm);(2)如图2,过B作BD丄AO交AO的延长线于D,v/ AOB=115,•••/ BOD=65,v sin/ BOD二,OB••• BD=OB?si/ BOD=20X sin65 =18.12,••• O' +O‘ G- BD=2O8.46- 18.12=10.34" 10.3 (cm),•••显示屏的顶部B'比原来升高了10.3cm；(3)如图4,过O'作EF// OB交AC于E,• / FEA=/ BOA=115,/ FO B/=O C/ FEA- / O CA=11-90°25°,•显示屏O 应绕点O'按顺时针方向旋转25度.甲F/ 3B【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.23. (12分)(2017?静安区一模)已知：如图，在△ ABC中，点D, E分别在边AB, BC上, BA?BD=BC?BE(1)求证：DE?AB=AC?B；(2)如果A&=AD?AB,求证：AE=AC【分析】(1)由 BA?BD=BC?BE> ； 「，结合/ B=Z B ,证△ ABS A EBD 得BC BD兰一仝！，即可得证； BE ED(2)先根据 A&=AD?AB 证厶AD3A ACB 得/ ACD=Z B ,再由… 证厶BAE BC BD BCD 得/ BAE=Z BCD 根据/ AEC W B+Z BAE / ACE=/ ACD^Z BCD 可得/ AEC 玄ACE 即可得证.【解答】 证明：(1)v BA?BD=BC?BE• iJ ： ■ ■ i二=5BC BD又•••/ B=Z B ,• △ AB3A EBD,• DE?AB=AC?B ； (2)v A&=AD?AB•叮•••/ DAC=/ CAB • △ ADS A ACB • Z ACD=/ B ,• △ BAE^A BCD• Z BAE=/ BCDvZ AEC Z B+Z BAE Z ACE Z ACC+Z BCD • Z AEC Z ACE• AE=AC【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹 角相等的两三角形相似是解题的关键.24. （12分）（2017?静安区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax ?+bx+4与x 轴的正半轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,点C 在线段OA 上, 点D 在此抛物线上，CD 丄x 轴，且/ DCBN DAB, AB 与CD 相交于点EiJ ；'—门Z B=Z B ,DCE（1）求证：△ BD0A CAE（2）已知OC=2 tan/ DAC=3求此抛物线的表达式.【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ BE3A DEA根据相似三角形的性质定理得到"=，根据相似三角形的判定定理证明即可；EC EA（2）设AC=m根据正切的定义得到DC=3m,根据相似三角形的性质得到/ DBA= / DCA=90，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式.【解答】（1）证明：I / DCB=/ DAB, / BEC/ DEA•••△ BE3A DEA•••：=,又/ BED/ CEAEC EA' n•••△ BDE^^ CAE（2）解：•••抛物线y=ax +bx+4与y轴相交于点B,•••点B的坐标为（0, 4）,即OB=4,■/ tan / DAC=3•二=3,AC设AC=m 贝U DC=3m OA=m+2,则点A的坐标为（m+2 , 0）,点D的坐标为（2 , 3m）,•••△ BD0A CAE• / DBA=/ DCA=90 ,••• BD2 3+BA2=AD2, 即卩22+ (3m—4) 2+ (m+2) 2+42=m2+ (3m) 2,解得，m=2,则点A的坐标为(4, 0),点D的坐标为(2, 6),•16时4b+4二0••耳,4a+2b+4=6解得，严1,lb=3•抛物线的表达式为y= - X2+3X+4.【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.25. (14分)(2017?静安区一模)如图，在梯形ABCD中，AD// BC, AC与BD相交于点O,AC=BC点E在DC的延长线上，/ BEC W ACB,已知BC=9, cos Z ABC=.3(1)求证：B6=CD?BE(2) 设AD=x, CE=y求y与X之间的函数解析式，并写出定义域;(3) 如果△ DB3A DEB,求CE的长.2 过点C作CF丄AB于F , AG丄BC于G , DH丄BC于巴由厶CEB^A DAC,得,由此即可解决问题.AD CD3 首先证明四边形ABCD是等腰梯形,再证明△ ABG^A DCH,推出CH=BG=2 推出X=GH=BC— BG- CH=9- 2 —2=5 ,再利用(2)中即可即可解决问题.【解答】解: (1)vZ DCB=/ ACD F Z ACB, Z DCB=/ EBG Z BEC Z ACB=Z BEC • Z ACD=/ EBC ••• AD// BC,,再根据题意AC=BC即可证明.•••/ DAC2 ACBN CEB•••△ DA3A CEB•:厂..__ _ ~~ _CB BE '• BC?AC=CD?BE••• AC=BC• BC 2=CD?BE(2)过点C 作CF 丄AB 于F , AG 丄BC 于G , DH 丄BC 于H . 在 Rt A CBF 中，BF 二BC?co g ABC=9X 「=3,••• AD// BC, DH=AG• DH 2=A G 2=A B 2 - BG F =62 - 22=32,••• AG// DH,• GH=AD=x• CH=BC - BG- GH=7- x ,• CD =「F ='—厶:「= ：「|：「| ,•••△ CEB^A DAC ,• II J :•〒=；〕〕,• 「一・・ =x y 4x+Sl9x• y= ,Vz -14x+81 x -14i+81(3)v^ DBC^A DEB / CDB=/ BDE, / CBC XZ DBC ,• / DBC=/ DEB=Z ACB(x >0 且 X M 9).•AB=6,••• AD// BC,• ,OC 0B••• AC=BD•••四边形ABCD是等腰梯形，••• AB=CD / ABC=/ DCB,vZ AGB=/ DHC=90,•••△ ABG^^ DCH,••• CH=BG=2••• x=GH=BC- BG- CH=9- 2 - 2=5.••• CE=y=圧.2A D【点评】本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.。
2018年上海市静安区中考数学一模试卷
2018年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2018•衢州一模）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a102．（4分）（2018•静安区一模）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．3．（4分）（2018•金华模拟）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm4．（4分）（2018•静安区一模）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，5．（4分）（2018•聊城一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB 的值是（）A．B．C．D．36．（4分）（2018•金华模拟）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2018•金华模拟）已知，则的值是．8．（4分）（2018•静安区一模）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP长为厘米．9．（4分）（2018•静安区一模）已知△ABC的三边长是、、2，△DEF的两边长分别是1和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是．10．（4分）（2018•静安区一模）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是．11．（4分）（2018•静安区一模）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a0．（填“＜”或“＞”）12．（4分）（2018•静安区一模）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是．13．（4分）（2018•静安区一模）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB′的长度是米．14．（4分）（2018•静安区一模）在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG，那么∠CBG的余切值是．15．（4分）（2018•静安区一模）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=．16．（4分）（2018•静安区一模）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和点F分别在两腰AB和DC上，且EF是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量=．（用向量表示）17．（4分）（2018•静安区一模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC，且分别交边AB，AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积相等的两部分．如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么BD=．18．（4分）（2018•铁西区模拟）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E 在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•静安区一模）计算：﹣tan60°×sin60°．20．（10分）（2018•静安区一模）解方程组：．21．（10分）（2018•静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22．（10分）（2018•静安区一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）23．（12分）（2018•静安区一模）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．24．（12分）（2018•静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．25．（14分）（2018•静安区一模）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）2018年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2018•衢州一模）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a10【考点】46：同底数幂的乘法．【专题】11 ：计算题．【分析】根据同底数幂的乘法计算即可．【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7，故选：B．【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．2．（4分）（2018•静安区一模）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．【考点】AG：无理方程；AF：高次方程；B2：分式方程的解．【专题】52：方程与不等式．【分析】A、移项根据二次根式的性质即可判断；B、去分母后，化为整式方程即可判断；C、根据乘方的意义即可判断；D、去分母化为整式方程即可判断；【解答】解：A、由题意=﹣1＜0，方程没有实数根；B、去分母得到：x2﹣x+1=0，△＜0，没有实数根；C、由题意x4=﹣＜0，没有实数根，D、去分母得到：x=﹣1，有实数根，故选：D．【点评】本题考查了无理方程，解题的关键要注意是否有实数根，有实数根时是否有意义，用到的知识点是根的判别式．3．（4分）（2018•金华模拟）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．4．（4分）（2018•静安区一模）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，【考点】LM：*平面向量；L5：平行四边形的性质．【专题】55：几何图形．【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．【解答】解：A、如果k=0或，那么，正确；B、设m为实数，则，正确；C、如果，那么或，错误；D、在平行四边形ABCD中，，正确；故选：C．【点评】本题考查的是向量问题，关键是了解即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．5．（4分）（2018•聊城一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB 的值是（）A．B．C．D．3【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】33 ：函数思想．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=．故选：A．【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．6．（4分）（2018•金华模拟）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H6：二次函数图象与几何变换．【专题】31 ：数形结合．【分析】先利用配方法得到抛物线y1=x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），再利用抛物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2，然后解方程组得或，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线y=x2上方（含交点）所对应的自变量的范围即可．【解答】解：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y=x2，解方程组得或，所以当﹣1≤x≤3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与几何变换．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2018•金华模拟）已知，则的值是．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等比性质：⇒=，可得答案．【解答】解：由等比性质，得==，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．8．（4分）（2018•静安区一模）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【考点】S3：黄金分割．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=AB=2×=（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．（4分）（2018•静安区一模）已知△ABC的三边长是、、2，△DEF的两边长分别是1和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是．【考点】S7：相似三角形的性质．【专题】55D：图形的相似．【分析】设第三边为x，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：设第三边为x，∵：=1：，∵与1是对应边，与是对应边，∵△ABC与△DEF相似，∴==，解得x=，即△DEF的第三边应该是．故答案为：．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10．（4分）（2018•静安区一模）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是y=．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式即可解答本题．【解答】解：将x=1代入y=2x，得y=2，∴点A（1，2），设反比例函数解析式为y=，∵一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，2），∴2=．解得，k=2，即反比例函数解析式为y=，故答案为：y=．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式．11．（4分）（2018•静安区一模）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a＜0．（填“＜”或“＞”）【考点】H3：二次函数的性质．【专题】17 ：推理填空题；535：二次函数图象及其性质．【分析】由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出a＜0，此题得解．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a＜0．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．12．（4分）（2018•静安区一模）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是2．【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H3：二次函数的性质．【专题】33 ：函数思想．【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m﹣2）2．其对称轴为：x=2﹣m=0，解得m=2．故答案是：2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13．（4分）（2018•静安区一模）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB′的长度是6米．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】1 ：常规题型．【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度AC的长，再利用勾股定理得出斜坡AB的长度．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i=1：4，∴=，∵从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，∴=，解得：AC=24，则斜坡AB的长为：==6（米）．故答案为6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理．掌握坡度的定义是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．14．（4分）（2018•静安区一模）在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG，那么∠CBG的余切值是4．【考点】K5：三角形的重心；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．【专题】55：几何图形．【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长，进而得出DG的长，利用勾股定理和三角函数解答即可．【解答】解：：∵AB=AC=5，BC=8，点G为重心，∴AD⊥BC，BD=CD=BC=×8=4，∴AD===3，∴GA=2，∴DG=1，∴BG=，∴∠CBG的余切值===4，故答案为：4【点评】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一．15．（4分）（2018•静安区一模）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=12．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【专题】55：几何图形．【分析】由∠ABD=∠C、∠BAD=∠CAB证△ABD∽△ACB，得，即AB2=AC•AD，据此可得．【解答】解：∵∠ABD=∠C、∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴，即AB2=AC•AD，∵AD=9，DC=7∴AC=16，∴AB=12，故答案为：12【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．16．（4分）（2018•静安区一模）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和点F分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量= ．（用向量表示）【考点】LM ：*平面向量；LL ：梯形中位线定理． 【专题】5 ：特定专题．【分析】利用梯形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵EF 是梯形的中位线，∴EF=（AD +BC ）， ∵AD ：BC=3：4，=， ∴BC=AD ，∴=（+）=（+）=． 故答案为【点评】本题考查平面向量、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．17．（4分）（2018•静安区一模）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线MN ∥BC ，且分别交边AB ，AC 于点M 、N ，已知直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处，那么BD= 3 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．【专题】55D ：图形的相似．【分析】依据直线MN ∥BC ，可得△AMN ∽△ABC ，再根据直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分，即可得到S △AMN ：S △ABC =1：2，进而得出=，解得AM=3，过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=BC=3，故将线段AM 绕着点A 逆时针旋转45°，可以使点M 落在边BC 上的点D 处，此时BD=BC=3．【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，∴AB=cos45°×BC=3，∵直线MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∵直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分，∴S △AMN ：S △ABC =1：2， ∴==，即=， 解得AM=3，如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD=BC=3，∴将线段AM 绕着点A 逆时针旋转45°，可以使点M 落在边BC 上的点D 处， 此时，BD=BC=3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．18．（4分）（2018•铁西区模拟）如图，矩形纸片ABCD ，AD=4，AB=3，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC ，当△EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为 1.5或3 ．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=4，∴BC=AD=4，在Rt△ABC中，AC===5，设BE=x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=5﹣3=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，即BE=1.5；②当∠CEF=90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=3，综上所述，BE的长为1.5或3．故答案为：1.5或3．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•静安区一模）计算：﹣tan60°×sin60°．【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+﹣×=2+﹣=1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）（2018•静安区一模）解方程组：．【考点】AF：高次方程．【专题】1 ：常规题型．【分析】利用②式求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：由②得：（x﹣y﹣3）（x﹣y+1）=0∴x﹣y=3或x﹣y=﹣1∴或∴或．【点评】本题考查二元二次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，把二元二次方程组转化为二元一次方程组．21．（10分）（2018•静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5，（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3∴B（5，3），令x=0，y=﹣（x﹣3）2+5=，则C（0，），△ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22．（10分）（2018•静安区一模）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，易求AD的长，再由BD=MD可得BD 的长，即M到AB的距离；（2）过点N作NE⊥AB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MN=AB﹣AD﹣BE计算即可．【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵MD⊥AB，∴∠MDA=∠MDB=90°，∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，∴在Rt△ADM中，；在Rt△BDM中，，∴，∵AB=600m，∴AD+BD=600m，∴，∴，∴，∴点M到AB的距离．（2）过点N作NE⊥AB于点E，∵MD⊥AB，NE⊥AB，∴MD∥NE，∵AB∥MN，∴四边形MDEN为平行四边形，∴，MN=DE，∵∠NBA=53°，∴在Rt△NEB中，，∴，∴．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键．23．（12分）（2018•静安区一模）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形．【专题】55D：图形的相似．【分析】（1）依据∠CDB=∠DBA=45°=∠A，∠EBA=∠CBD，即可判定△CBD∽△EBA；（2）依据△CBD∽△EBA，可得，再根据∠CBE=∠DBA，，即可得到的值．【解答】证：（1）∵∠ADB=90°，AD=BD，∴∠A=∠DBA=45°，又∵DC∥AB，∴∠CDB=∠DBA=45°=∠A，又∵∠CBE=∠DBA=45°，∴∠EBA=∠CBD，∴△CBD∽△EBA；（2）∵△CBD∽△EBA，∴，∵∠CBE=∠DBA，，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．24．（12分）（2018•静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．【专题】53：函数及其图象．【分析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=﹣x﹣1，直线BD：y=x﹣1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的长；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，先根据勾股定理的逆定理证明∠BCD=90°，利用面积法求CH的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得CM的长，从而可得结论；方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，求CH和BD的解析式，联立方程组可得H的坐标，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴顶点C（2，﹣3）（2）方法一：设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（﹣1，0）和C（2，﹣3）代入得：解得：则直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），同理可得直线BD：y=x﹣1，∴∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH∴△BPG∽△CPH，∴∴△HPG∽△CPB，∴，∴，∴；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，∵，，，∴BD2=CD2+BC2，∴∠BCD=90°，∵S=BD•CH=BC•CD，△BCD∴，∵∠ABD=∠HCG，∴△OBD∽△MCH，∴，∴，，∴，由勾股定理得：GH=∴，方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），直线BD：y=x﹣1，∵CH⊥BD，∴k BD•k CH=﹣1，∴直线CH：y=﹣5x+7，联立解析式：，解得：，∴∴．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、联立方程组求交点坐标等重要知识点，综合性强，能力要求较高．还考查了数形结合的数学思想方法．25．（14分）（2018•静安区一模）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）【考点】LO：四边形综合题．【专题】15 ：综合题．【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出结论；（2）先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论；（3）分三种情况，①当CG=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；③当EG=CE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，判断出此种情况不存在．【解答】（1）证明：∵AD=DC，AB=BC∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA又AC平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，∴AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD为平行四边形又AD=DC∴四边形ABCD是菱形（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AF∥BC，AB=BC∴∠AFB=∠CBF，∠FAC=∠ACB，∠ACB=∠BAC∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB∴△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC∴∴BC2=EC•AC∴a2=EC•x∴，∴AE=AC﹣EC=x﹣，∵△AEF∽△ABC∴，即∴（）；（3）解：∵△CEG是等腰三角形，①当CG=EG时，∴∠CGE=∠ECG，∵∠ECG=∠CBF，∴∠CGE=∠CBF，∵∠CGB=∠ABF，∴∠ABF=∠CBF，此时，点F，G和点D重合，∴AF=AB，∴y=a，即∴，②当CG=CE时，∴∠CEG=∠CGB，∵∠CEG=∠ACB+∠CBF=2∠ACB=∠BCD，∴∠CGB=∠BCD，∵∠FDG=∠BAD=∠BCD，∴∠FDG=∠FGD，∴FG=FD，∴AF=BF，∵∠EBCC=∠ECB，∴BE=CE，∵∠EAF=∠EFA，∴AE=EF，∴FB=AC∴y=x即∴（负值已舍），③当EG=CE时，∴∠CEG=∠ACD，∵∠ACD=∠CBF，∴∠CEG=∠CBF，∵∠CEG=∠CBF+∠ACB，∴此种情况不存在．综上所述：或时，△CEG为等腰三角形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解本题的关键是找出相关角之间关系．考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n=a m+n（m，n是正整数）（2）推广：a m•a n•a p=a m+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．。
2018年上海市静安区中考数学一模试卷--有答案
2018年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a102．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm4．（4分）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）A．B．C．D．36．（4分）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，则的值是 ．8．（4分）已知线段AB 长是2厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足AP 2=AB•BP ，那么AP 长为 厘米．9．（4分）已知△ABC 的三边长是、、2，△DEF 的两边长分别是1和，如果△ABC 与△DEF 相似，那么△DEF 的第三边长应该是 ．10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x 图象有一个公共点A （1，a ），那么这个反比例函数的解析式是 ．11．（4分）如果抛物线y=ax 2+bx +c （其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）12．（4分）将抛物线y=（x +m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是 ．13．（4分）如图，斜坡AB 的坡度是1：4，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，那么斜坡AB′的长度是 米．14．（4分）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG ，那么∠CBG 的余切值是 ．15．（4分）如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠C ，AD=9，DC=7，那么AB= ．16．（4分）已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量= ．（用向量表示）17．（4分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线MN ∥BC ，且分别交边AB ，AC 于点M 、N ，已知直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处，那么BD= ．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣tan60°×sin60°．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC 的面积．22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG的长．25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）2018年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7 C．a10D．﹣a10【解答】解：（﹣a2）•a5=﹣a7，故选B2．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．2x4+3=0 D．【解答】解：A、由题意=﹣1＜0，方程没有实数根；B、去分母得到：x2﹣x+1=0，△＜0，没有实数根；C、由题意x4=﹣＜0，没有实数根，D、去分母得到：x=﹣1，有实数根，故选D．3．（4分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选B．4．（4分）下列判断错误的是（）A．如果k=0或，那么B．设m为实数，则C．如果，那么D．在平行四边形ABCD中，【解答】解：A、如果k=0或，那么，正确；B、设m为实数，则，正确；C、如果，那么或，错误；D、在平行四边形ABCD中，，正确；故选C5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（）A．B．C．D．3【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=．故选：A．6．（4分）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥3 C．﹣1≤x≤3 D．x≥0【解答】解：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），所以抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y=x2，解方程组得或，所以当﹣1≤x≤3．故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，则的值是．【解答】解：由等比性质，得==，故答案为：．8．（4分）已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP长为（﹣1）厘米．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=AB=2×=（﹣1）厘米．故答案为（﹣1）．9．（4分）已知△ABC的三边长是、、2，△DEF的两边长分别是1和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是．【解答】解：设第三边为x，∵：=1：，∵与1是对应边，与是对应边，∵△ABC与△DEF相似，∴==，解得x=，即△DEF的第三边应该是．故答案为：．10．（4分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是y=．【解答】解：将x=1代入y=2x，得y=2，∴点A（1，2），设反比例函数解析式为y=，∵一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，2），∴2=．解得，k=2，即反比例函数解析式为y=，故答案为：y=．11．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a＜0．（填“＜”或“＞”）【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a＜0．故答案为：＜．12．（4分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是2．【解答】解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m﹣2）2．其对称轴为：x=2﹣m=0，解得m=2．故答案是：2．13．（4分）如图，斜坡AB的坡度是1：4，如果从点B测得离地面的铅垂线高度BC是6米，那么斜坡AB′的长度是6米．【解答】解：∵斜坡AB 的坡度i=1：4，∴=，∵从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，∴=，解得：AC=24，则斜坡AB 的长为： ==6（米）．故答案为6．14．（4分）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG ，那么∠CBG 的余切值是． 【解答】解：：∵AB=AC=5，BC=8，点G 为重心，∴AD ⊥BC ，CD=BC=×8=4，∴AD===3，∴GA=2， ∴DG=1，∴BG=，∴∠CBG 的余切值=，故答案为：15．（4分）如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠C ，AD=9，DC=7，那么AB= 12 ．【解答】解：∵∠ABD=∠C 、∠BAD=∠CAB ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴，即AB 2=AC•AD ，∵AD=9，DC=7 ∴AC=16， ∴AB=12， 故答案为：1216．（4分）已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设，那么向量=．（用向量表示）【解答】解：∵EF 是梯形的中位线，∴EF=（A D +BC ），∵AD ：BC=3：4， =，∴BC=AD ，∴=（+）=（+）=．故答案为17．（4分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线MN ∥BC ，且分别交边AB ，AC 于点M 、N ，已知直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处，那么BD= 3 ．【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，∴AB=cos45°×BC=3，∵直线MN ∥BC ， ∴△AMN ∽△ABC ，∵直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分， ∴S △AMN ：S △ABC =1：2，∴==，即=，解得AM=3，如图，过A作AD⊥BC于D，则AD=BC=3，∴将线段AM绕着点A逆时针旋转45°，可以使点M落在边BC上的点D处，此时，BD=BC=3．故答案为：3．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为 1.5或3．【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=4，∴BC=AD=4，在Rt△ABC中，AC===5，设BE=x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=5﹣3=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，即BE=1.5；②当∠CEF=90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=3，综上所述，BE的长为1.5或3．故答案为：1.5或3．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣tan60°×sin60°．【解答】解：原式=+﹣×=2+﹣=1．20．（10分）解方程组：．【解答】解：由②得：（x﹣y﹣3）（x﹣y+1）=0∴x﹣y=3或x﹣y=﹣1∴或∴或．21．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5，（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3∴B（5，3），令x=0，y=﹣（x﹣3）2+5=，则C（0，），△ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．22．（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵MD⊥AB，∴∠MDA=∠MDB=90°，∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，∴在Rt△ADM中，；在Rt△BDM中，，∴，∵AB=600m，∴AD+BD=600m，∴，∴，∴，∴点M到AB的距离．（2）过点N作NE⊥AB于点E，∵MD⊥AB，NE⊥AB，∴MD∥NE，∵AB∥MN，∴四边形MDEN为平行四边形，∴，MN=DE，∵∠NBA=53°，∴在Rt△NEB中，，∴，∴．23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果，求的值．【解答】证：（1）∵∠ADB=90°，AD=BD，∴∠A=∠DBA=45°，又∵DC∥AB，∴∠CDB=∠DBA=45°=∠A，又∵∠CBE=∠DBA=45°，∴∠EBA=∠CBD，∴△CBD∽△EBA；（2）∵△CBD∽△EBA，∴，∵∠CBE=∠DBA，，∴．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG的长．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，∴顶点C（2，﹣3）（2）方法一：设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（﹣1，0）和C（2，﹣3）代入得：解得：则直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），同理可得直线BD：y=x﹣1，∴∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH∴△BPG∽△CPH，∴∴△HPG∽△CPB，∴，∴，∴；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，∵，，，∴BD2=CD2+BC2，∴∠BCD=90°，=BD•CH=BC•CD，∵S△BCD∴，∵∠ABD=∠HCG，∴△OBD∽△MCH，∴，∴，，∴，由勾股定理得：GH=∴，方法三：直线AC：y=﹣x﹣1，∴D（0，﹣1），直线BD：y=x﹣1，∵CH⊥BD，∴k BD•k CH=﹣1，∴直线CH：y=﹣5x+7，联立解析式：，解得：，∴∴．25．（14分）已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）【解答】（1）证明：∵AD=DC，AB=BC∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA又AC平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，∴AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD为平行四边形又AD=DC∴四边形ABCD是菱形（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AF∥BC，AB=BC∴∠AFB=∠CBF，∠FAC=∠ACB，∠ACB=∠BAC∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB∴△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC∴∴BC2=EC•AC∴a2=EC•x∴，∴AE=AC﹣EC=x﹣，∵△AEF∽△ABC∴，即∴（）；（3）解：∵△CEG是等腰三角形，①当CG=EG时，∴∠CGE=∠ECG，∵∠ECG=∠CBF，∴∠CGE=∠CBF，∵∠CGB=∠ABF，∴∠ABF=∠CBF，此时，点F，G和点D重合，∴AF=AB，∴y=a，即∴，②当CG=CE时，∴∠CEG=∠CGB，∵∠CEG=∠AC B+∠CBF=2∠ACB=∠BCD，∴∠CGB=∠BCD，∵∠FDG=∠BAD=∠BCD，∴∠FDG=∠FGD，∴FG=FD，∴AF=BF，∵∠EBCC=∠ECB，∴BE=CE，∵∠EAF=∠EFA，∴AE=EF，∴FB=AC∴y=x即∴（负值已舍），③当EG=CE时，∴∠CEG=∠ACD，∵∠ACD=∠CBF，∴∠CEG=∠CBF，∵∠CEG=∠CBF+∠ACB，∴此种情况不存在．综上所述：或时，△CEG为等腰三角形．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
bd3
bd
8．已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2 =AB ·BP，那么 AP 长
为 ▲ 厘米．
9．已知△ ABC 的三边长分别是 2 、 6 、2 ，△ DEF 的两边长分别是1和 3 ，如果△ ABC
与△ DEF 相似，那么△ DEF 的第三边长应该是 ▲ ．
已知：如图，梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BD ，AD⊥DB，点 E 是腰 AD 上一点， 作∠EBC＝45°，联结 CE，交 DB 于点 F．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）如果 BC 5 ，求 SBCE 的值．
BD 6
S BDA
大力数学工作室 | 李老师
第 23 题图
4
24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分）
（D） a10 ．
2．下列方程中，有实数根的是
（A） x 1 1 0 ； （B） x 1 1； （C） 2x4 3 0 ；（D） 2 1．
x
x 1
3．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成， D C
利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，
…………………………………（2 分）
又∵抛物线经过点 A（1，3），代入解析式 3 a(1 3)2 5 解得： a 1 ……（1 分） 2
∴此二次函数的解析式为 y 1 (x 3)2 5 即 y 1 x2 3x 1
2
，
2
2
……（1 分）
（2）∵B 点是点 A 关于该抛物线对称轴的对称点，∴B（5，3），AB= 5-1= 4，……（2 分）
使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开
两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，
AB 的长是 （A）7.2 cm ；
（B）5.4 cm ；
a
（C）3.6 cm ； （D）0.6 cm ． A
B
第 3 题图
4．下列判断错误的是
在
Rt△NBD
中,∠NBD=53°,cot∠NBD=
BD ND
静安区 2017-2018 学年第一学期期末教学质量调研（一模）
九年级数学试卷
2018.1
考生注意：
（完成时间：100 分钟 满分：150 分 ）
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作
答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明
求△ABC 的面积．
22．（本题满分 10 分，其中第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图，在一条河的北岸有两个目标 M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点 A、B，
已知 AB∥MN，在 A 点测得∠MAB=60°，在 B 点测得∠MBA=45°，AB=600 米．
（1）求点 M 到 AB 的距离；（结果保留根号）
解得，原方程组的解为 x1 4,
y1
1;
x2 2
y2
3
…………………………………（4 分）
∴原方程组的解为 x1 4,
y1
1;
x2 2 ．
y2
3
21．解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标是（3，5）,
∴设二次函数的解析式为 y a(x 3)2 5
3
x
13． 6 17 ； 14． 4； 15．12；
16．
7
a
；
17．3；
18．3 或 3．
6
2
14.
16.
18. (1) 根据翻折，知∠AFE=90° 又 根据题意，最后要达到∠CFE=90° ∴ F 在 AC 直线上。 设 BE=x ，则 EF= x ， FC=AC–AF=5–3=2 ，EC=4–x x2+22=( 4–x)2 ， x =1.5
大力数学工作室 | 李老师
7
答：点 M 到 AB 的距离是 900–300 米．
（2）过点 N 作 ND⊥AB，垂足是点 D，
………………………………………（1 分）
∴∠NDC=∠MCD=90°，∴MC∥ND，又∵AB∥MN，∴四边形 MDBE 是矩形．
∴MN=CD, ND=MC= CB=900–300 ， …………………………………………（1 分）
（A） 2 2 ； （B） 2 2 ； （C） 2 ；
3
4
（D） 3 ．
大力数学工作室 | 李老师
1
6．将抛物线 y1 x2 2x 3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线
y2 ax2 bx c 重合，现有一直线 y3 2x 3与抛物线 y2 ax2 bx c 相交，当 y2
O
x
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分）
已知：如图，四边形 ABCD 中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果点 E 在对角线 AC 上，联结 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线 于点 F（点 F 可与点 D 重合），∠AFB =∠ACB，设 AB 长度是 a （ a 是常数，且 a 0 ）， AC= x ，AF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当△ CGE 是等腰三角形时， F 求 AC 的长．（计算结果用含 a 的代数式表示）
10．如果一个反比例函数图像与正比例函数 y 2x 图像有一个公共点 A（1，a），那么这
个反比例函数的解析式是 ▲ ．
11．如果抛物线 y ax2 bx c （其中 a、b、c 是常数，且 a≠0）在对称轴左侧的部分
是上升的，那么 a ▲ 0．(填“＜”或“＞”)
12．将抛物线 y (x m)2 向右平移 2 个单位后，对称轴是 y 轴，那么 m 的值是 ▲ ．
（A）如果
k
0
或
a
0
，那么
ka
0
；（B）设
m
为实数，则
m(a
b)
ma
mb
；
（C）如果
a
∥
e
，那么 a
a
e
；（D）在平行四边形 ABCD 中， AD AB BD
．
5．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，如果 sinA＝ 1 ，那么 sinB 的值是 3
3 cot 45 cos 30
1 2cos 60
1
tan 60
sin
60
．
20．（本题满分 10 分）解方程组：
x y 5 (x y)2 2(x y) 3 0
① ②
．
大力数学工作室 | 李老师
3
21．（本题满分 10 分, 其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 已知：二次函数图像的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A（1，3）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，
MN
（2）在 B 点又测得∠NBA=53°，求 MN 的长． （结果精确到 1 米）
A
第 22 题图
B
（参考数据： 3 1.732 ，sin53 o 0.8 ，cos53 o 0.6 ，tan53 o1.33 ，cot53 o 0.75 ．）
23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
第 15 题图 16．已知梯形 ABCD，AD∥BC，点 E 和 F 分别在两腰 AB 和 DC 上，且 EF 是梯形的中
位线，AD=3，BC=4．设 AD a ，那么向量 EF ▲ ．（用向量 a 表示）
17．如图，△ ABC 中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线 MN∥BC， 且分别交边 AB、AC 于点 M、N，已知直线 MN 将△ ABC 分为 面积相等的两部分，如果将线段 AM 绕着点 A 旋转，使点 M 落在边 BC 上的点 D 处，那么 BD= ▲ ．
第 17 题图
18. 如图，矩形纸片 ABCD，AD=4，AB=3．如果点 E 在边 BC 上， 将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，联结 FC，当△EFC 是 直角三角形时，那么 BE 的长为 ▲ ．
第 18 题图
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）计算：
(2) 当 B 点翻折，使 AB 边与 AD 边到与 AD 边重合， x=3
三、解答题：
19．解：原式＝
3 1 3
2
1 1
1
3 3 2
2
2
…………………………………（5 分）
＝2 1 3 22
＝1
…………………………………………………（3 分） …………………………………………………（2 分）
大力数学工作室 | 李老师
6
20．解：由②得 (x y 3)(x y 1) 0 , ……………………………………（2 分） 得 x y 3 0 或 x y 1 0 , ………………………………（2 分） x y 5, x y 5,