2001-2002学年第一学期高等数学(B)Ⅱ重修课考试试卷答案

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大一高数b期末考试题及答案

大一高数b期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C5. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用（）。

A. lim(x→0) (x^2/x) = lim(x→0) (2x/1) = 0B. lim(x→0) (1/x) = lim(x→0) (0/0) = 1C. lim(x→0) (sin(x)/x) = lim(x→0) (cos(x)/1) = 1D. lim(x→0) (x^3/x^2) = lim(x→0) (3x^2/2x) = 06. 函数f(x)=x^3-3x的极值点是（）。

A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=27. 以下哪个选项是正确的二重积分计算（）。

A. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = πB. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = 2πC. ∬(x^2+y^2) dxdy = πD. ∬(x^2+y^2) dxdy = 4π8. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开（）。

A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的计算（）。

第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案

5 ⎛2 3 4 2 1 3 1 4⎞ 1 2 =⎜ x − x − x + x ⎟ = ⎜3 ⎟ 5 3 2 ⎠ 30 ⎝ 0 G G G G G 4．设向量场为 A = (2 z − 3 y ) i + (3 x − z ) j + ( y − 2 x ) k ，试求 rot A ． 1
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分）， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦）．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ．解：先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对

高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2)

高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2)___高等数学A（上）测试班级：29级工科各班测试方式：闭卷一。

填空题（将正确答案填在横线上。

本大题共3小题，每小题3分，总计9分）1、f'(x)是可导函数f(x)在x点处取得极值的必要条件。

2、设确定函数，则t^2dx+y=tan(1+e)-etcottsec^2(1+et)。

3、∫dx/(x^2+2x+5)=arctan(1/x+1)+C。

二。

单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。

本大题共3小题，每小题3分，总计9分）1、设f(x)=(4x^2+3ax+b)/(x-1)，若lim f(x)=1，则a=（B）。

A。

1.B。

2.C。

3.D。

42、下列结论正确的是（A）。

A。

初等函数必存在原函数；B。

每个不定积分都可以表示为初等函数；C。

初等函数的原函数必定是初等函数；D。

A,B,C都不对。

3、若∫f(t)dt=e^x，则f(x)=（A）。

A。

e^(-x)。

B。

-e^(-x)。

C。

e^x。

D。

-e^x三。

解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分）1、求极限lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x]。

解：(3分)lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x]lim(x→0) [(1/√(1-x^2))-1/(sin x)^2]/3lim(x→0) [(1-x^2)/(√(1-x^2)(sin x)^2)]/6lim(x→0) [(1-x^2)/(x^2)]/61/6所以，lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x] = 1/6.(7分)2、y=ln(tan x)，求dy/dx。

解：(3分)dy/dx = d/dx[ln(tan x)]1/tan x * sec^2 xsec^2 x/sin x1+cos^2 x)/sin x1/x) * (sin x/cos x + cos x/sin x)1/x) * (1/cos x * tan x + cos x/sin x)1/x) * (1/tan x + cos^2 x/sin xcos x)1/x) * (1/tan x + cos x)1/x) * (1/sin xcos x + cos x)1/x) * (1/sin 2x + cos x) (5分)四。

2001-数二真题、标准答案及解析

= − 1 lim 1 2 x→1 x + 2
=− 2⋅ 6
(2)设函数 y = f (x) 由方程 e2x+ y − cos ( xy) = e −1 所确定,则曲线 y = f ( x) 在点 (0,1) 处的
法线方程为 .
【答】 x − 2 y + 2 = 0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos ( xy ) = e −1两边对 x 求导,得
(5)设方程 ⎢⎢1
a
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
有无穷多个解,则
a
=
.
⎢⎣1 1 a⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦
【答】 -2
【详解】方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
⎡a 1 1 M 1 ⎤ ⎡1 1 a M −2 ⎤
A = ⎢⎢1
a
1M
1
⎥ ⎥
→
⎢⎢0
a −1
1− a
1 4
sin 2
2xdx
∫ = 1 8
π
2 −π
(1
−
cos
4
x
)dx
2
=π. 8
(4)过点
⎛ ⎜⎝
1 2
,
0
⎞ ⎟⎠
且满足关系式
y'
arcsin
x
+
y = 1的曲线方程为 1− x2
.
【答】 y arcsin x = x − 1 . 2
【详解】方法一:
原方程 y' arcsin x + y = 1可改写为 1− x2

(整理)2001—年江苏专转本高等数学真题(附答案) (2).

江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。

（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）把握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。

重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。

重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。

（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。

（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。

（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。

2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算lim n →∞-2、计算0ln(1)limcos 1x x x x →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算d xxe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d yx te t t t =⎰⎰，求xy d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)xy x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算3arctan limln(12)x x x x →-+ 2、计算12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、计算积分：21arctanx d xx +∞⎰4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos tx t uduy t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，试求：d d y x，22d |d t y x的值。

02届,普通高等学校招生全国统一考试(数学)文及答案(Word最新版)

02届,普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案通过整理的02届,普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线与圆相切，则的值为（A）（B）（C）1（D）（2）复数的值是（A）（B）（C）（D）1 （3）不等式的解集是（A）（B）且（C）（D）且（4）函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝（A）（B）2（C）4（D）（5）在内，使成立的的取值范围是（A）（B）（C）（D）（6）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（7）椭圆的一个焦点是，那么（A）（B）1（C）（D）（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）（B）（C）（D）（9），则有（A）（B）（C）（D）（10）函数（）是单调函数的充要条件是（A）（B）（C）（D）（11）设，则二次曲线的离心率取值范围（A）（B）（C）（D）（12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种第II卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。

我国农村人均居住面积如图所示，其中，从年2000年的五年间增长最快。

（14）函数（）图象与其反函数图象的交点为（15）展开式中的系数是（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为。

2001年全国高中数学联赛试题(2)

2001年全国高中数学联赛试题(2)【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（）．Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（）．Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（）．Ａ．Ｂ．0＜ｋ≤12Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤12或5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．Ａ．3333Ｂ．3666Ｃ．3999Ｄ．320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１•ｚ２＝______________．9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．11．函数的值域为______________．图312．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设｛ａｎ｝为等差数列，｛ｂｎ｝为等比数列，且ｂ１＝ａ１２，ｂ２＝ａ２２，ｂ３＝ａ３２（ａ１＜ａ２＝．又试求｛ａｎ｝的首项与公差．14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a< 时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【第二试】一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE；(2) OH⊥MN．二．（本题满分50分）设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值．三．（本题满分50分）将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．参考答案一．选择题：1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A二．填空题：7．8．9．10．11．12．732三．解答题：13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得化简得：解得：………………………………………………………5分而，故a1＜0若，则若，则………………………………10分但存在，故| q |＜1，于是不可能．从而所以………………………………20分14．解：(1)由消去y得：①设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………10分(2)△OAP的面积∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，由唯一性得显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴．当时，xp＝－a2，yp＝，此时．下面比较与的大小：令，得故当0＜a≤时，≤，此时．当时，，此时．………20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R i＝a i，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小………………………………………5分证明如下：1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R¬2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD若记，则S1、S2为定值，于是只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小 (15)分4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ①∵BE⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ②∵DA⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③∵OB⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④∵OC⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤……………………………………30分①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH⊥MN ……………………………………………………………………50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由得E点坐标为E( )同理可得F( )直线AC的垂直平分线方程为直线BC的垂直平分线方程为由得O( )∵∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，)∴直线DF的方程为由得N ( )同理可得M ( )∴∵kOH •kMN ＝－1，∴OH⊥MN．二．解：先求最小值，因为≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴最小值为1．……………………………………………………………10分再求最大值，令∴①设，令则①⇔…………………………………………………… 30分令＝0，则由柯西不等式得：等号成立⇔(k=1，2，…，n)由于a1≥a2≥…≥an，从而，即xk≥0所求最大值为……………………………………………50分三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数…………………………………………10分事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n －(m，n)当用m＝1时，命题显然成立．假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n) …………………………20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap 不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap 的正方形，由归纳假设a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)．…………………………………………50分。

2002川大高等代数及答案

2002川大高等代数及答案四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分24分，每小题8分) 解答下列各题.51. 证明多项式f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约.证明：由s a n =1、r a 0=1，又(s , r ) =1r有的可能值为±1，带入验证有f (1) =-3、f (-1) =5s故f (x ) 不含有理根，则f (x ) 只能分解为二次多项式和三次多项式的乘积232232有f (x ) =(x +a 1x +1)(x +b 1x +c 1x +1) 或f (x ) =(x +a 2x -1)(x +b 2x +c 2x -1)⎧a 1+b 1=0⎧a 2+b 2=0⎪a b +c +1=0⎪a b +c -1=0⎪111⎪222 得方程⎨a 1c 1+b 1+1=0和⎨a 2c 2-b 2-1=0，两方程无解⎪⎪⎪⎩a 1+c 1+5=0⎪⎩a 2+c 2-5=05故f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约22. 设A 为n 阶方阵且A +A =2E . 其中E 为n 阶单位矩阵. 证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =n ，其中r (A ) 表示矩阵A 的秩.证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =r (E -A ) +r (A +2E ) ≥r [(E -A ) +(A +2E )]=r (3E ) =n 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≥n ①2由A +A =2E ，得(A -E )(A +2E ) =O有A +2E 的列向量全部是方程(A -E ) X =θ的解，有r (A +2E ) ≤n -r (A -E ) 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≤n ②由①、②，得r (A -E ) +r (A +2E ) =n23. 设n 维线性空间V 上的线性变换T满足：T=T. 证明：T+E可逆，其中E为恒等变换.证明：取V 的一组基ε1, ε2, , εn令T在这组基下的矩阵为T ，有T+E在这组基下的矩阵为T +E2由T =T ，得T 的特征值为1、0，有T +E 的特征值为2、1，则T +E ≠0故T +E 可逆，则T+E可逆⎡-13-10⎤2002A 二（本题满分12分）设A =⎢，求. ⎥2116⎣⎦λ+1310=(λ-1)(λ-2) =0 ，有A 的特征值为1、2 解：λE -A =-21λ-1410=当λ=1时，有E -A =-21-00基础解系有n -r (E -A ) =1个向量构成，α1=(5, -7)’151010=当λ=2时，有2E -A =-21-00基础解系有n -r (2E -A ) =1个向量构成，α2=(2, -3)’-12002-1=P -1A 2002P =Λ2002 令可逆矩阵P =(α1, α2) ，有P AP =Λ，有(P AP )2002A 有200352132⎡15-7⋅2⎡⎤⎡⎤⎡⎤=P Λ2002P -1=⎢=⎢⎥⎢⎥2002⎥⎢2002-7-32-7-5-21+21⋅2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣10-5⋅22003⎤⎥-14+15⋅22002⎦三、（本题满分12分）设V 是数域F 上的三维线性空间. 证明：不存在V 的线性变换T使⎡01-2⎤⎡110⎤⎢-12-2⎥B =⎢011⎥A =得T在V 的两组基下的矩阵分别为：⎢⎥和⎢⎥⎢⎢⎣001⎥⎦⎣001⎥⎦证明：反证法，设存在这样的矩阵A 、B .由A 、B 为同一线性变换T在V 的两组基下的矩阵，则有A ≅Bλ-1022=(λ-1) 3，有A 的特征值为1、1、1 λ-11-121-12000 0λE -A =1λ-2当λ=1时，有E -A =1-12=00000故特征值1对应n -r (E -A ) =2个线性无关的特征值向量①λ-1λE -B =0-10-1=(λ-1) 3，有B 的特征值为1、1、1 λ-0-10-1 0λ-1当λ=1时，有E -B =0000故特征值1对应n -r (E -B ) =1个特征向量②由①、②与A ≅B 矛盾，则假设矛盾故不存在V 的线性变换T使得T在V 的两组基下的矩阵分别A 、B4443四(本题满分12分) 设α, β, γ是三次方程x +3x -1=0的根，求α+β+γ的值.4444解：令x 1=α、x 2=β、x 3=γ，x 1+x 2+x 3的首项为x 1，有x 14322x 20121x 300010-00-00-0→σ14-0σ2σ3σ4=σ141-00-00-0→σ13-1σ2σ3σ4=σ12σ2σσσσ=σ→σσσσ=σ1σ3→2-22-00-00-012342-11-11-00-0123422444422有x 1+x 2+x 3=σ1+a σ1σ2+b σ2+c σ1σ3取x 1=1、x 2=1、x 3=0，有σ1=2，σ2=1，σ3=0 有4a +b =-14 ①取x 1=1、x 2=2、x 3=0，有σ1=3，σ2=2，σ3=0 有18a +4b =-64 ②取x x ，有σ121=2=x 3=11=C 3=3，σ2=C 3=3，有9a +3b +c =-26 ③由①、②、③，得a =-4、b =2、c =4有x 4444221+x 2+x 3=σ1-4σ1σ2+2σ2+4σ1σ3由方程x 3+3x -1=0根与系数的关系得，σ1=0、得α4+β4+γ4 =18五、（本题满分16分）利用正交变换将实二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3化为标准形. 并写出相应的正交变换和标准形. ⎡⎢011⎤⎢22⎥解：二次型矩阵为A =⎢1⎢201⎥2⎥⎢11⎥⎢⎣220⎥⎥⎦σC 33=3=1σ2=3、σ3=1λλE -A =-121-2-1212λ-1λ-12111-=-λ-222-λ001211-=(λ+) 2(λ-1)221λ+2-11A 的特征值为-、-、122111--22211-E -A =000当λ=-时，有22000-1n -r (-E -A ) =2个线性无关的向量构成，α1=(1, -1, 0)’ 、α2=(1, 0, -1)’ 基础解系由21当λ=1时，有-E -A =-121-212121-111-2213-=024001-123-4 0-基础解系由n -r (E -A ) =1个向量构成，α3=(1, 1, 1)’ 把α1、α2、α3正交化β1=α1=(1, -1, 0)’ β2=α2-(α2, β1) 111β1=α2-β1=(, , -1)’(β1, β1) 222(α3, β1) (α3, β2)β3=α3-β1-β2=α3=(1, 1, 1)’(β1, β1) (β2, β2)γ1=β12β3β6113=(1, -1, 0)’ 、γ2=2=(, , -1)’ 、γ3==(1, 1, 1)’ β12β2222β3312122f (x , x , x ) =-y -y +y C =(γ, γ, γ) 令正交矩阵123123 123，有X =CY ，即有22-1六、（本题满分12分，每小题6分）设A 、B 是n 阶实正交矩阵，t 为矩阵A B 的特征根-1的重数. 证明：（1）det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数. （2）A +B 的秩r (A +B ) =n -t .证明：（1）由A 、B 是n 阶实正交矩阵，有AB (AB )’ =ABB ‘ A ‘ =E ，则AB 为实正交矩阵-1-1由AA ‘ =E ，得A =A ‘ ，即A B =A ‘ B由A 与A ‘ 对应相同的特征值，则AB 与A ‘ B 对应相同的特征值-1有det(AB ) =det(A ‘ B ) =det(A B )实正交矩阵的特征值只能是1和-1 故det(AB ) =1n -t⋅(-1) t =(-1) t ，则有det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数-1-1（2）由A 可逆，有r (A +B ) =r [A (A +B )]=r (E +A B ) =n -t七、（本题满分12分）设α1, α2, , αm 为欧氏空间V 的一组线性无关向量，而β1, β2, , βm 和γ1, γ2, , γm 为V 的两组正交向量组. 假设对每个1≤i ≤m ，βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出. 证明：存在m 个实数a 1, a 2, , a m 使得βi =a i γi 1≤i ≤m .证明：令W =L (α1, α2, , αm ) ⊆V取W 两组标准正交基ε1, ε2, , εm 、e 1, e 2, , e m有(ε1, ε2, , εm ) =(β1, β2, , βm ) Λ1、(e 1, e 2, , e m ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2 则Λ1、Λ2为对角矩阵，有Λ1、Λ2为对角矩阵-1-11(ε1, ε2, , εm ) =(e 1, e 2, , e m ) A ，有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ-1 ①则A 为正交矩阵由βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出，有(β1, β2, , βm ) =(α1, α2, , αm ) B 、(γ1, γ2, , γm ) =(α1, α2, , αm ) C-1则B 、C 为上三角矩阵，有C B 为上三角矩阵有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) C B ②-1-1-1-1由①、②，得Λ2A Λ1=C B ，则A =Λ2C B Λ1有A 为上三角矩阵，则A 为上三角矩阵③-1-1-1-1-1-1由A ‘ =A =(Λ2C B Λ1)’ =Λ1’ B ‘ (C )’ (Λ2)’ ，有A 为下三角矩阵④-1由③、④，得A 为对角矩阵，则A 为对角矩阵-1有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ1=(γ1, γ2, , γm ) Λ-1令Λ=diag (a 1, a 2, , a m ) ，即证βi =a i γi 1≤i ≤m。

高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

同济大学2001、2002年数学分析试题及答案

V1
a a 4π 4 5π 4 dxdydz = a 。 (a − ( ) 4 ) = ∫∫∫ 2 V2 3 2 4
六、（14 分）计算 I
= ∫ ( x cos < v, x > + y cos < v, y >)ds ，其中 Ω ⊂ R 2 为有界区域，v 为
∂Ω
∂Ω 的外法线方向，<v,x>为 v 与 x 轴的夹角。 r 解：设 k 表示沿 Z 轴的单位矢量， ∂Ω 的方向为逆时针方向，则 r r r r r r I = ∫ ( x cos < v, x > + y cos < v, y >)dS = ∫ − r ⋅ (k × dS ) = ∫ (k × r ) ⋅ dS = ∫ r 2 dθ = 2S
2002 年同济大学数学分析科目代码：355
一、（14 分）设 x 0 >0， x n +1
= 2+
1 xn
，求：
n → +∞
lim x n 。
解：由题设易知 2< x n <3 ( n ≥ 2 )，令 c=
3+ 5 1 ，则 c = 2 + ，于是 2 c ≤ 1 xn − c 2
（n ≥ 2），而
n → +∞
lim
∫
x
0
sin tdt x
1 t cos dt 0 t 。， lim 2 n → +∞ x
∫
x
解：因
∫
x
0
sin tdt ≤ 2 ， lim
x
1 ∫ sin tdt = 0 。 = 0 ，故 lim 0 x → +∞ x x → +∞ x 1 x cos

02届,普通高等学校招生全国统一考试(数学)文及答案

《02届,普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案》摘要：2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，（14）函数（）图象与其反函数图象的交点为（15）展开式中的系数是（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上，（22）（本小题满分12分，附加题满分4分）（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线与圆相切，则的值为（A）（B）（C）1 （D）（2）复数的值是（A）（B）（C）（D）1 （3）不等式的解集是（A）（B）且（C）（D）且（4）函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝（A）（B）2 （C）4 （D）（5）在内，使成立的的取值范围是（A）（B）（C）（D）（6）设集合，，则（A）（B）（C）（D）（7）椭圆的一个焦点是，那么（A）（B）1 （C）（D）（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）（B）（C）（D）（9），则有（A）（B）（C）（D）（10）函数（）是单调函数的充要条件是（A）（B）（C）（D）（11）设，则二次曲线的离心率取值范围（A）（B）（C）（D）（12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种第II卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。

2001年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)试题及答案

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4 (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是 ( ) (A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg是 ( )(A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x(D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减．其中，正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = (16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）15 （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k = 2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得 ()25502212=⋅-+⋅k k k ，整理得 k 2＋k －2550 = 0，解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k = 50． ——6分（Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分 ∴ 1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ．——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面 43131⨯⨯= 41=． ——4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ——10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tg ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ——12分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cos A ，在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C = 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C ∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°，∴ 38120sin 16=︒=S ． ——12分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2pmy x +=； ——4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840．设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10)= λ x 2＋(16λ＋10) x ＋160， ——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ． ——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S 取得最小值． ——8分此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ——2分 ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，2)1(=f ，∴ f (21)212=． ——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=，f (21)212=，∴ f (41)412=． ——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称，故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ——11分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ——14分。

2001年高考数学试题(全国理)及答案

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是 (A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 (A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y(B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π(C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为 (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8)若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b(A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°(10)设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x )单调速增，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递增; ②若f (x )单调速增，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递增; ③若f (x )单调速减，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递减;④若f (x )单调速减，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递减; 其中，正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26； (B)24； (C)20； (D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_________。

高等数学重修课考试试卷(B)答案及评分标准

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B ）答案及评分标准一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1． ()()()=++-∞→5028020152312limxx x x _________．2．曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 3．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=2sin x xdt t f x F ，则()='0F _________． 4．已知()x xe x f =2，则()=⎰-11dx x f ________________．5．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________．答案： ⒈ 508020532⋅； ⒉ 012=-+y x ； ⒊ 2-；⒋ ee 34--；⒌()613a +．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．指出下列函数中，当0+→x 时，_____________为无穷大量．（A ）．12--x ；（B ）．xx s e c 1s i n +；（C ）．xe -；（D ）．x e 1-．2．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=113223x xx x x f ，则()x f 在点1=x 处的______________ ．（A ）．左右导数都存在；（B ）．左导数存在，但右导数不存在；（C ）．左导数不存在，但右导数存在；（D ）．左、右导数都不存在． 3．已知函数()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0='x f 有______________ ．（A ）．分别位于区间()21，，()31，，()41，内的三个根；（B ）．分别位于区间()21，，()32，，()43，内的三个根；（C ）．四个实根，分别位于区间()10，，()21，，()32，，()43，内；（D ）．四个实根，它们分别为11=x ，22=x ，33=x ，44=x ． 4．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰dx x xf ___________ ．（A ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+ln 41212；（B ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln 21412；（C ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛-ln 41212；（D ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 21412． 5．设区间[]b a连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰badx x f ，则________ ．（A ）．在区间[]b a的某个小区间上有()0=x f ；（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ；（C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ；（D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．答案：⒈ （D ）； ⒉ （A ）； ⒊ （B ）； ⒋ （B ）； ⒌ （C ）．三．（本题满分6分）讨论函数()x x x x f nnn 2211lim+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型．解： ()⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=→∞110111lim22x x x x x x x x x f nnn ……3 由于 ()()1l i m l i m 11=-=---→-→x x f x x ()1l i m l i m 11-==++-→-→x x f x x 因此1-=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． (4)由于 ()1l i m l i m 11==--→→x x f x x ()()1lim lim 11-=-=++→→x x f x x 因此1=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． ......5 ()x f 除1±=x 外处处连续． (6)四．（本题满分6分）设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ．解：()x x xx x x x aa a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅----= ()xxx a aa a a r c c o s1ln 22--= ……4 所以，()dx a a aa dx y dy x xx arccos 1ln 22--='= (6)五．（本题满分6分）设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ．解：()()()C x d x f x f +++'=+⎰2c o s 2c o s 2c o s (2)()()C x d x x ++=⎰c o s t a n s i n 22()C x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰c o s 1c o s 1c o s 122()C x d x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰c o s c o s c o s 122 C x x +--=3c o s 31c o s 1 ……4 所以，()()C x x x f +----=32213 (6)六．（本题满分7分）计算定积分⎰---222324dx x x ．解：令t x sec 2=，则dt t t dx tan sec 2=，当2-=x 时，π=t ；当22-=x 时，43π=t ．并且由于t tan 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43上取负值，因此t t t t x x 23232c o s s i n 41s e c 84s e c 44-=-=- (3)⎰⎰⋅-=---43222232t a n s e c 2c o s s i n 414ππdt t t t t dx x x ⎰=ππ432s i n 21dt t162-=π (7)七．（本题满分7分）设函数()x y y =由方程()y y f e xe=所确定，其中函数f 具有二阶导数，且1≠'f ，试求22dxy d ．解：两端取对数，得()y y f x =+ln 上式两端对x 求导，得 ()y y y f x'=''+1所以，()()y f x dx dy '-=11 ……3 因此，()()()()()()()()()32222221111y f x y f y f y f x y y f x y f dx y d '-''-'-='-'''-'-= (7)八．（本题满分7分）研究函数()1--=x e x x f 的极值．解：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-=---1100111x xe x xex xe x f xx x ， ()x f 在()∞+∞-，上处处连续．所以，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-<<+<+-='---1110101111x e x x e x x e x x f xx x在点0=x 及1=x 处，()x f 不可导．再令()0='x f ，得()x f 的驻点1-=x ． (4)因此，()x f 有极大值()21-=-e f ，()11=f ；极小值()00=f ． (7)九．（本题满分7分）求由圆()16522=-+y x 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积．解：因为，2165x y -±= ()44≤≤-x ，而所求环体的体积是由半圆2165x y -+=与半圆2165x y --=绕x 轴旋转生成的旋转体的体积之差，即 ()()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=442222165165dx xx V π (4)⎰--=4421620dx x π2160π= (7)十．（本题满分8分）证明：当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x．解：令()()()221ln 1---=x x x x ϕ，则()01=ϕ， (2)()xx x x x 12ln 2-+-='ϕ令()0='x ϕ，得1=x ，即1=x 是函数()x ϕ在区间()∞+，0上的唯一驻点． (4)()211ln 2x x x -+=''ϕ，所以()11>''ϕ，故1=x 是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的最小值点． (6)即当0>x 时，()()()()011ln 122=≥---=ϕϕx x x x因此，当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x ． (8)十一．（本题满分8分）设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰000sin 12002x x xdtdu u t x f x t ϕ ，其中()u ϕ为连续函数，试讨论()x f 在0=x 点处的连续性与可导性．解：()()()xdt du u t x f xt x x 20000sin 1lim lim 2⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→→ϕ， ()()200021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ ()()xduu x x x 21lim2⎰-=→ϕ()()()221lim22xx x du u xx ⋅-+=⎰→ϕϕ()00f ==因此函数()x f 在0=x 点处连续． (4)()()()()xx dt du u t x f x f xt x x 0sin 1lim 0lim 200002-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰→→ϕ ()()300021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ()()()xx x x du u x x 621lim22⋅-+=⎰→ϕϕ()()()x xx x x duu x xx 621lim6lim2002⋅-+=→→⎰ϕϕ ()()03162l i m 20ϕϕ-⋅=→x x x()031ϕ-=所以，函数()x f 在在0=x 点处可导，且()()0310ϕ-='f (8)十二．（本题满分8分）已知平面曲线L 的方程为()x y x 8222=+ ，考虑把曲线L 围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形中的最小值．解：由()x y x 8222=+，知0≥x ，所以228x x y -=，因此082≥-x x ，由此得2≤x ．故定义域为[]20，．又曲线关于x 轴对称，令0=y ，得01=x ，2=x ；令0=x ，得0=y ．因此曲线与x 轴的交点为()00，与()02，；与y 轴的交点只有()00，．对曲线方程的两端求导，得()()822222='++y y x y x 即 x yx y y -+='228．得驻点321=x ，对应的323±=y ．又 ()()12222222-+'+⋅-=''+'yxy y x y y y ，因此在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，处，0<''y ；在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332321，处，0>''y ．即函数()x y y =的最大值为323，最小值为323-．过点()00，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332321，，()02，作平行于坐标轴的直线所围成的矩形即为所求，该矩形的面积为3234．。

2001年高考.全国卷.文科数学试题及答案.docx

2001 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

第 I 卷 1 至 2 页。

第 II 卷 3 至 9 页。

共 150 分。

考试时间 120 分钟。

第 I 卷（选择题 60 分）注意事项：1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式sin cos1sinsin2cos sin1sinsin2cos cos1 coscos2sin sin1coscos2正棱台、圆台的侧面积公式S 台侧 1 c lc2其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长台体的体积公式1V 台体 S S S S h其中 S 、 S 分别表示上、下底面积， h 表示高一、选择题：本大题共 12 小题；第每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1） tg 300 ° ctg 405 °的值为（ A ） 1 3（B ） 13 （C ） 1 3（D ） 1 3（ 2）过点 A 1, 1 、 B 1,1 且圆心在直线 xy 2 0 上的圆的方程是（ A ） x 3（ C ） x 122y 1 y 1224 （ B ） x 34（D ） x122y 1 y 12244（ 3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的全面积是（ A） 3（ B）3 3（C） 6（D） 9（ 4）若定义在区间1，0 内的函数 f x log 2a x 1 满足 f ( x)0 ，则 a 的取值范围是（ A）（0，1）（B）（0，1]（C）（1，+）（D）（0，+）221 是2(5)已知复数z26i ，则arg（B）11z（ D）5（A）（C）3663（ 6）函数y 2 x1(x 0) 的反函数是（ A）y log2x 11,x(1,2)（B）y log 2x11, x(1,2)（ C）y log 2x 11,x(1,2]（D）y log 2x1, x(1,2]1（ 7）若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2 (3,0) ，则其离心率为（ A）3（ B）2（C）1（D）1 4324（ 8）若04， sin cos a ，sin cos b ，则（ A） a b（ B） a b （ C） ab 1 （D） ab 2（ 9）在正三棱柱ABC A1 B1C1中，若 AB2BB1，则 AB1与 C1 B 所成的角的大小为（ A）60°（B） 90°（C）105°（ D）75°（ 10）设f (x)、g( x)都是单调函数，有如下四个命题：1 若f ( x)单调递增，g( x)单调递增，则f ( x)g (x)单调递增；○2 若f ( x)单调递增，g( x)单调递减，则 f ( x)g (x) 单调递增；○3 若f ( x)单调递减，g( x)单调递增，则f ( x)g (x)单调递减；○4 若f ( x)单调递减，g( x)单调递减，则f ( x)g (x)单调递减；○其中，正确的命题是（ A）1 3（B）1 4（C） 2 3（D）2 4○○○○○○○○（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2 双向倾斜；○3四向倾斜 .记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3 .①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ A ） PPP （B ） PPP （C ） PPP （D ） PPP321321321321（ 12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001-2002高数上试卷及答案

x (1 + ln x)2
dy
=
−2 x(1 + ln
x)2
dx
4. 设y = sin2(tg2x)，求dy
=
−2 x(1 + ln
x)2
解 y = 2sin(tan 2x) cos(tan2x) sec2(2x) 2
dy = 2sin(2tan 2x) sec2(2x) dx
5. 求 (sin5 x + cos3 x)dx
x
+
cos4
x)d
cos
x
+
sin
x
−
1 3
sin3
x
= −(cos x − 2 cos3 x + 1 cos5 x) + sin x − 1 sin3 x + C
3
5
3
二、试解下列各题（28分）
1. 设f ( x)为可导函数， ( x) = f 2( x) e f ( x)，求'( x) 解 ( x) = 2 f ( x) f ( x)e f ( x)
2001级《高数》上试题解答
一、1.
ln(1 + sin2 x)
lim
x→
ex2 − 1
0 0
型
解
原式
=
lim
x→0
sin2 x2
x
=1
2.讨论极限 lim x→0 解
2 − 2cos x
x
lim x→0
2 − 2 cos x x
= lim x→0
4sin 2 x
2sin x
x
2 = lim x→0
(12分).
解需耗材最省，只需断面周长最小

2001—江苏专转本高等数学真题附答案11

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是（）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（） A 、0)('<x f ,0)(''<x fB 、0)('<x f ,0)(''>x fC 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示（） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos )21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim 202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12.16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解. 18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程；（2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学(新课程卷)理(附解答)

2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（理工农医）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．曲线()　为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是21)(A 22)(B 1)(C 2)(D 2．复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛i ＋的值是 i A -)( i B )( 1)(-C 1)(D 3．已知n m ,为异面直线，α平面⊂m ，β平面⊂n ，l ＝βα ，则l 都相交与n m A ,)( 中至少一条相交与n m ,)B (都不相交与n m ,)C (中的一条相交至多与n m ,)D ( 4．不等式()()011>-+x x 的解集是（）{}10)(<≤x x A {}10)(-≠<x x x B 且 {}11)(<<-x x C {}11)(-≠<x x x D 且 5．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛45,2,4)(ππππ A ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4)(B⎪⎭⎫⎝⎛45,4)(ππC ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4)(ππππ D 6．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214则（） N M A =)( M B )(N NC )(M ∅=N M D )(7．正六棱柱111111F E D C B A ABDCEG -底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（）o A 90)( o B 60)( o C 45)( oD 30)( 8．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是（）0)(≥b A 0)(≤b B 0)(>b C 0)(<b D 9．已知10<<<<a y x ，则有（）()0l o g)(<xy A a ()1log 0)(<<xy B a ()2l o g1)(<<xy C a ()2log )(>xy D a 10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1,1,3-B A ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中有R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )01123)(=-+y x A ()()521)(22=-+-y x B02)(=-y x C 052)(=-+y x D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( )11500)(A 亿元120000)(B 亿元 127000)(C 亿元 135000)(D 亿元二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．函数()()+∞-∈+=,112x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁ 14．椭圆5522=-ky x 的一个焦点是()2,0 ，那么=k ▁▁▁▁▁▁ 15．直线2,0,0===x y x 与曲线()22=y 所围成的图形绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁16．已知函数()221xx x f +=，那么()()()()=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++4143132121f f f f f f f ▁▁▁▁▁▁三．解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）已知22,534cos αππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值18．注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分（甲）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2（1）建立适当的坐标系，并写出点11,,,C A B A 的坐标；（2）求1AC 与侧面11A ABB 所成的角（乙）如图，正方形ABEF ABCD ,的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ,互相垂直点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(20<<==a a BN CM（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小19．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 20．（本题满分12分）已知0>a ，函数()(+∞∈-=,0,1x x axx f 设ax 201<<，记曲线()x f y =在点()()11,x f x M 处的切线为l（1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(0,2x 证明：（ⅰ）a x 102≤<；（ⅱ）若a x 11<则ax x 21<< 21、（本题满分12分）已知两点()()0,1,0,1N M -，且点P 使∙，PM ∙，∙成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为()00,y x ，记θ为PM 与PN 的夹角，求θtan22、（本题满分14分）已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足01=a ，32=a ，()(),5,4,3,22211=++=--+n a a a a n n n n(1)求3a ；(2)证明 ,5,4,3,22=+=-n a a n n ； (3)求{}n a 的通项公式及其前n 项和S2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（文史类）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若直线()011＝+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 1,1)(-A 2,2)(-B 1)(C 1)(-D2.已知n m ,为异面直线，α平面⊂m ，β平面⊂n ，l ＝βα ，则l 都相交与n m A ,)( 中至少一条相交与n m ,)B (都不相交与n m ,)C (中的一条相交至多与n m ,)D ( 3.不等式()()011>-+x x 的解集是（）{}10)(<≤x x A {}10)(-≠<x x x B 且 {}11)(<<-x x C {}11)(-≠<x x x D 且 4.函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（）21)(A 2)(B 4)(C 41)(D 5.在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛45,2,4)(ππππ A ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,4)(B⎪⎭⎫⎝⎛45,4)(ππC ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4)(ππππ D6.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214则（）N M A =)( M B )(N NC )(M ∅=N M D )(7.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是()2,0，那么=k （）1)(-A 1)(B 5)(C 5)(-D8.正六棱柱111111F E D C B A ABDCEG -底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（）oA 90)( oB 60)( oC 45)( oD 30)( 9．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是（）0)(≥b A 0)(≤b B 0)(>b C 0)(<b D 10．已知10<<<<a y x ，则有（）()0l o g)(<xy A a ()1log 0)(<<xy B a ()2l o g1)(<<xy C a ()2log )(>xy D a 11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D12．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1,1,3-B A ，若点C 满足βα+=，其中有R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )01123)(=-+y x A ()()521)(22=-+-y x B02)(=-y x C 052)(=-+y x D 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从▁▁▁▁年到▁▁▁▁年的五年间增长最快14．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππααα,2sin 2sin ，则=αcot ▁▁▁▁▁▁15．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）:其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁▁▁▁（复查至此） 16．设函数()x f 在()+∞∞-,内有定义，下列函数()()x f y -=1；()()22x xf y = ；()()x f y --=3； ()()()x f x f y --=4中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）三．解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知64,245356==-a a a a ，求{}n a 前8项的和S18．（本题满分12分）已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=-+2,0,12cos cos 2sin 2sin 2πααααα，求ααt a n s i n 与的值19．（本题满分12分）（注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以下（甲）计分）（甲）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2（1）建立适当的坐标系，并写出点11,,,C A B A 的坐标；（2）求1AC 与侧面11A ABB 所成的角（乙）如图，正方形ABEF ABCD ,的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ,互相垂直点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(20<<==a a BN CM（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小 20．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？21．（本题满分12分）已知0>a ，函数()()+∞∈-=,0,3x a x x f ，设01>x ，记曲线()x f y =在点()()11,x f x 处的切线为l（1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为(0,2x 证明：（ⅰ）312a x ≥；（ⅱ）若312a x >则231x x a <<22．（本题满分14分）已知两点()()0,1,0,1N M -，且点P 使∙，PM ∙，NP NM ∙成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为()00,y x ，记θ为PM 与PN 的夹角，求θtan2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理）参考答案一、1、D 2、（文）B ，（理）C 3、（文）D ，（理）B 4、（文）B ，（理）D 5、C 6、B 7、B 8、（文）B ，（理）A 9、（文）A ，（理）D 10、D 11、B 12、（文）D ，（理）C 二、填空题13、（文）1995，2000；（理）（0,0），（1,1）； 14、（文）33-，（理）－1； 15、（文）甲种，（理）2ln 3π； 16、（文）（2），（4），（理）27；三、解答题17、（文）设数列{}n a 的公比为q ，依题意，()()()().8511,1,2,25511,1,2.2,31,)1(8,2,31)1(88,64)1..(.........., (241818181812312)231312315323146=--=-=-==--===±==-=-=-=--=±=∴===-=-q q a S a q q q a S a q q q q a q q q a q a q a a a q q a a a 当当得式代入到将舍去。