数学分析中的归结原理及其应用

(1)
∃{xn },
xn
→
x0 ,
n → ∞ ，使 lim n→∞
f (xn ) 不存在；
(2)
∃{xn '}, {xn "} xn '→ x0 ， xn "→ x0 , n → ∞ .
但 lim n→∞
f
(xn ')
≠.
lim
n→∞
f
( xn ")
2）利用归结原理处理离散变量问题与连续变量问题之间的转化：
1
KEY WORDS Resolution principle; Uniform convergence; Uniform concatenation; Cauchy rule
1.前言
在数学分析中，归结原理揭示了变量离散变化与连续变化之问的内在联系，
在某种条件下，数列极限与函数极限可以互相转换。如果函数在某一点的极限存
（1）将离散变量的数列极限问题转化为连续变量的函数极限问题
（2）归结原理与一致收敛，着重研究了含参量广义积分与函数级数之间的归结
原理。即 ∫
+∞ c
f
(x,
y)dy 关于
x
∈ [a,b]一致收敛的充要条件是任给点列{An }，
∑ ∫ [ ] ∞
A0 = c,{An }单调递增，且 An → +∞ 有函数项级数
between improper integral depending on a parameter and series of function (3) Resolution principle and uniform concatenation 3) Resolution principle uses in proving the Cauchy rule.
数学分析中的归结原理及其应用
俞九娣
摘要：本文主要研究了归结原理在数学分析中的应用，特别是在判断函数极限存在性以 及在处理连续变量问题与离散变量问题之间的转化中的应用。
文章首先给出了归结原理的定义及其证明过程，再根据自变量 x 的 6 种变化和函数值的
4 种变化列举了归结原理的 24 种等价形式的其中 8 种，并对其中的 3 种进行在证明。然后 着重从三方面研究了归结原理在数学分析中的应用：
Biblioteka Baidu
在，那么根据归结原理对于收敛于这一点的任何一个子序列所对应的函数序列必
收敛于同一极限，但是一旦函数在某点的极限不存在，收敛于这一点的各子序列
对应的函数序列就可能出现各种性态，甚至也可能是收敛的。也就是说归结原理
是一座沟通函数极限与数列极限间内在联系的“桥梁”，它有着广泛的作用。
本文主要研究了归结原理在数学分析中的应用，特别是在判断函数极限存在
(1) Transform limit of number sequence into limit of function (2) Resolution principle and uniform convergence, I mainly study the resolution principle
性以及在处理连续变量问题与离散变量问题之间的转化中的应用。
文章首先给出了归结原理的定义及其证明过程，再根据自变量 x 的 6 种变化 和函数值的 4 种变化列举了归结原理的 24 种等价形式的其中 8 种，并对其中的
3 种进行在证明。然后着重从三方面研究了归结原理在数学分析中的应用：
1）证明函数极限的存在性：从归结原理可以得到两种 lim f (x) 不存在的方法： x → x0
THE RESOLUTION PRINCIPLE AND APPLICATIONS
IN MATHEMATICAL ANALYSIS
ABSTRACT：In this paper we mainly study the applications of resolution principle in mathematical analysis. Specially in judging the existence of the limit of function and treating with the translation of continuous variable and discrete variable.
1）证明函数极限的存在性 2）利用归结原理处理离散变量问题与连续变量问题之间的转化： （1）将离散变量的数列极限问题转化为连续变量的函数极限问题 （2）归结原理与一致收敛，着重研究了含参量广义积分与函数级数之间的 归结原理。 （3）归结原理与函数列的一致连续 3）归结原理在函数极限的Cauchy准则证明中的应用 关键词 归结原理 一致收敛 一致连续 Cauchy 准则
First of all we give out the definition and proof of the resolution principle. Because the independent variable has six forms and the function value has four forms, the enumeration equip of resolution principle has twenty-four forms. But here I just enumerate eight forms and prove three forms of the eight. Then I study it from three sides 1) Proving the existence of the limit of function. 2) Treating with the translation of continuous variable and discrete variable
n=1
An f (x, y)dy 在 a, b
An −1
一致收敛。
（3）归结原理与函数列的一致连续，重点研究了归结原理在一致连续证明过程
中的应用以及归结原理在函数一致连续与数列收敛之间的应用。即
设 E 是 R m 中的有界集， f : E ⊂ R m → R1, 则 f 在 E 上一致连续的充要条件
是：对 E 中任意收敛点列{xn },{f (xn )}均收敛