辅助角公式专题练习

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辅助角公式专题训练

一．知识点回顾

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+=+

=+

其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪

=

⎪⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+；

（3）sin cos αα- （4sin()cos()6363

ππ

αα-+-．

2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π

8

对称，那么a= ( )

（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1

3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域

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4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ

=+∈-的值域

5、求5sin 12cos αα+ 的最值

6．求函数y ＝cos x ＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π3的最大值

7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=

+>，()y f x =的图像与直线2y =的

两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程

( )

A.5[,],12

12k k k Z π

π

ππ-+

∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3

6

k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6

3

k k k Z ππππ++∈ （果

过程

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参考答案

1.（6）

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+==+

其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪

⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

2.[答案] C

[解析] y

＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭

⎫π

6＋x

＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭

⎫π

6＋x

＝cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6(x ∈R )．

∵x ∈R ，∴x ＋π

6∈R ，∴y min ＝－1.

3.答案：B

解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3

x π

-

当3

x π

=

是，函数取得最大值为2. 故选B

4.答案 C

解析 ()2sin()6

f x x π

ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

得，,3

6

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈，故选C

5.解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-π

8

时，y 取得最值±12+a ，即 7. [答案]

3

[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3

＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π

3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3

＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32sin

⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

32

cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6≤ 3.

法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π

3

＝32cos x －32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫

32cos x －12sin x ＝3cos

⎝⎛⎭⎫x ＋π6，

当cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6＝1时，y max ＝ 3.

10.解：

。

)2

x 2sin(4]

6

sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)

x 23sin(32)x 23cos(2)x 23

sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π

+=π

+π+π+π=+π

++π=+π

+-π-π++π+

π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

11.

解:2

1()cos ()sin()cos()23233

h x x x x π

ππ

=+--

+++

=

2

1cos(2)

1233sin(2)2

232

x x ππ++-++ =1212

cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++

=

22[cos(2)sin(2)]222323

x x ππ+-++ =

11

cos(2)2212

x π++ max

()2.2

h x ∴=+

这时1111

22

,.1224

x k x k k Z ππππ+==-∈.

12.如图3,记扇OAB 的中心角为45︒

,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.

解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θ

θ-.

222l MQ PQ =+

=2

2sin (cos sin )θθθ+-

=

31

(sin 2cos 2)22θθ-+ =13sin(2)22

θϕ-+,其中

11

tan 2

ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=.

θ

N

B

M

A

Q

P

O

图3