实际问题与二次函数最大利润问题 专题练习题 含答案
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案一、单选题1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．5米B．10米C．1米D．2米2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．6米B．5米C．4米D．1米3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣ x2D．y= x24．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A．45B．83C．4 D．565．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= √32x2B．y= √3x2C．y=2 √3x2D．y=3 √3x26．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，正方形ABCD的顶点A（0，√22），B（√22，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤√2），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间t（单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题9．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。
26.3_实际问题与二次函数_(含答案)
实际问题与二次函数一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.7l s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速.3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－104.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大?二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.图26－117.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；(2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y是销售价x的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12图26－13表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+2325x，请回答下列问题：图26－14 图26－15（1）花形柱子OA的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?11.《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新，计划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－112.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元.(1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17四、模拟链接1 14、设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－1816.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.(1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折，使点O 落在BC 边，记为G.①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证.图26－19参考答案一、自主学习1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26－9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )A.0.7l sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s图26－9答案：D2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x 2+0.002x ，现该车在限速140km ∠h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速. 答案：是3.有一座抛物线型拱桥(如图26－10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m ，河面距拱顶4 m(1)在如图26－10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只?图26－10答案：(1)y=251-x+4； (2)0.76 m 4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.(1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大? 答案：(1)y=－10x+280x －1600；(2)14y=(x －8)×[l00－(x －10)×10]=(x －8)(100－10x+100) =(x －8)(－l0x+200)=－10x+280x －1600 当x=)10(22802-⨯-=-a b =14，因为y=－10x+280x －1600中的a ＜0，故此时y 有最大值.二、基础巩固5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?答案：(1)y=－4x+64x+30720；(2)增加8台机器，最大生产总量是30976件 y=(80+x)(384－4x)=4x+64x+30720因为y=－4x+64x+30720=－4(x －8)2+30976 所以x=8时，y 最大值=30976.6.如图26－11所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.图26－11(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论. 答案：(1)y=41-x+6;(2)这辆货运卡车能通过隧道. 由图可设抛物线解析式为y=ax+c ，由题可知A(－4，2)，E(0，6)，c=6，代入，得2=(41-)2a+6，a=41-，故解析式为y=41-x+6；当x=2.4时，y=41-×2.42+6=4.56＞4.2，所以这辆货运卡车能通过隧道.7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)且R 、P 与x 的关系式为R=500+30x ，P=170－2x.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少? 答案：(1)日产量为25只；(2)当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元.设生产x 只玩具熊猫的利润为y 元，依题意得y=px －－2x)x －(500+30x)=－2x+140x －500，令y=1750，即－－500=1750，解得x 1=25，x=45，但x=45＞40去，所以当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元. 对于y=－2x+140x －500，a=－2＜0，x=)2(21402-⨯-=-a b =35时，y 最大值=)2(4140)500()2(44422-⨯--⨯-⨯=-ab ac =1950. 8.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表26－2所示.表26－2若日销售量y 是销售价x 的一次函数；(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?答案：(1)9=－x+40； (2)应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.9.图26－12是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到表26－3中的数据.图26－12 表26－3(1)请你以表26－3中的各对数据(x ，y)作为点的坐标，尝试在图26－13所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；图26－13(2)①填写表26－4.表26－4②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：________.(3)当水面宽度为36 m 时，一船吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m 的货船能否在这个河段安全通过?为什么? 答案：(1)略； (2)表略， y=2001x ； (3)这货船不能通过这河段.三、能力提高10.学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线距径落下.且在过OA 的任意平面上的抛物线如图26－14所示，建立平面直角坐标系(如图26－15所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x 2+2325+x ，请回答下列问题：图26－14 图26－15 （1）花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?答案：(1)1.5m ；(2)半径至少是3m ，一段由鹅卵石铺就的小道，小道两旁布满喷水管，每个喷管喷出的水最高达4 m ，落在地上时距离喷水管4 m ，现在设如图26－16是喷泉所经过的路线，与喷头A 和喷泉落地点B 的连线为横轴，AB 垂直平分线为纵轴建立直角坐标系.问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于1.75 m 的游客进入水帘洞时不会被水淋湿?图26－1答案：小道边缘距离喷水管至少应为1 m.由已知，得A(－4，0)，B(4，0)，抛物线的顶点C(0，4). 设抛物线的关系式为y=ax+4，把x=4，y=0代入，得16a+4=0，解得a=41-，故抛物线的关系式为y=41-x+4；为了让身高1.75m 的游客不会被喷泉淋湿，抛物线上的点到小道的边缘的距离应不小于1.75 m 设E 是抛物线上纵坐标为1.75的点，当y=1.75时，41-x+4=1.75，解得x=±3，所以E 点的坐标为(－3，1.75).作ED ⊥x 轴，则D(－3，0)，从而AD=1.12.我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=501-(x －30)2+10万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=308)50(5194)50(50492+-+--x x 万元. (1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法. 答案：(1)10年所获利润的最大值是100万元；(2)3547.5万元； (3)该项目有极大的开发价值.若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=501-(x －30)2+10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M 1=10×10=100万元.若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P=501-(25－30)2+10=9.5万元，则前5年的最大利润M 2=9.5×5=47.5万元.设5年中x 万元是用于本地销售的投资，则Q=5049-(50－x)2+5194(50－x)+308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M 3=[501-(x －30)2+10]×5+(5049-x+5194x+308)×5 =－5(x －20)2+3500，故x=20时，M 3取得最大值为3500万元，所以10年的最大利润为M=M 2+M 3=47.5+3500=3547.5万元，因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值. 13.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图26－17所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5). (1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01 m ，15=3.873)图26－17答案：(1)y=121-x+x+2；(2)13.75m 设二次函数的解析式为y=a(x －h)2+k ，顶点坐标为(6，5) ∴y=a(x －6)2+5， A(0，2)在抛物线上， ∴2=62·a+5∴a=121- ∴y=121-(x －6)2+5，y=121-x+x+2. 当y=0时，121-x+x+2=0， x=6±52(舍6－52).∴x=6+52≈13.75m四、模拟链接14.设抛物线y=2x 2+kx+1－2k(k 为常数)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A 点在原点O 的左侧，B 点在原点O 的右侧，满足(OA+OB)2－OC=429(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线，若存在，求出△ADE 的面积，若不存在，说明理由.答案：(1)y=2x+3x －5；(2)存在抛物线上的D 、E 两点，使AO恰为△ADE 的中线，S △ADE =41015.设x 1，x 是方程2x －kx+1－2k=0的两根. A(x 1，0)，B(x ，0)，x 1＜0＜x. ∴OA=－x 1，OB=x. ∴x 1+x=2k -①x 1·x=221k -＜0②∴k ＞21在抛物线解析式中，令x=0，则y=1－2k.. ∴C(0，1－2k)，∴OC=|1－2k|=2k －1，由(OA+OB)2－OC=429，则(－x+x)2－(2k －1)429∴(x 1+x)2－4x 1 x －(2k －1)=429①②代入得(2k -)2－4×221k -－2k+1=429.∴k 2－8k －33=0 ∴k 1=3或k 2=－11. 但k ＞21， ∴k=－11不合题意，舍去，∴k=3. 则所求抛物线的解析式为y=2x+3x －5.设存在抛物线上的D 、E 两点，使AO 恰为△ADE 的中线. ∴O 是DE 的中点，即D 、E 关于原点对称. 设直线DE 的解析式为y=kx ，联⎩⎨⎧-+==5322x x y kxy∴2x+(3－k)x －5=0 ③设D(x 1，y 1)，E(x ，y 2)，x 1，x 是方程③的解， ∴x 1+x=23k--=0， ∴k=3代入方程③中. ∴2x －5=0，∴x=±210，∴y=±2103. 易求A(25-，0)，B(1，0). ∴S △ADE =2S △AOE =2×21·AO·|y E |=2×21×25×2103=41015 15.已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1(n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)如图26－18所示，设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.图26－18答案：(1)y=x －3x ；(2)① 6 ②存在最大值,A(21，45-) 由已知条件，得n 2－1=0，解这个方程，得n 1=1，n 2=－1 当n=1时，得y=x+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x －3x ，此抛物线的顶点在第四象限， ∴所求的函数关系为y=x －3x.由y=x －3x ，令y=0，得x －3x=0，解得x 1=0，x=3. ∴抛物与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴它的顶点为(49,23-)，对称轴为直线x=23.①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=21×(3－1)=1， ∴B(1，0).∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x －3x 上，∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2， ∴AB=|y|=|－2|=2，∴矩形ABCD 的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6.②∵点A 在抛物线y=x －3x 上，故可设A 点的坐标为(x ，x －3x)，∴B 点的坐标为(x ，0)·(0＜x ＜23) ∴BC=3－2x ，A 在x 轴下方，∴x －3x ＜0， ∴AB=|x －3x|=3x －x.∴矩形ABCD 的周长P=2[(3x －x)+(3－2x)]=－2(x －21)2+213. ∵a=－2＜0，∴当x=21时，矩形ABCD 的周长P 最大值为213，此时点A 的坐标为A(21，45-)16.已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6. (1)如图26－19甲所示，在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CD 所在直线的解析式；(2)如图26－19乙所示，在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF翻折，使点O 落在BC 边，记为G. ①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH ∥AB 交AF 于点H ，若抛物线y=121-x 2+h 过点H ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.图26－19(3)如图26－19丙所示：一般地，在以OA 、OC 上选取适当的点I 、J ，使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ，请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K 作KL ∥AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(1)的情形下分别进行验证. 答案：(1)CD 的解析式为y=－x+6 由折法知：四边形ODEC 是正方形， ∴OD=OC=6 ∴D(6，0)，C(0，6).设直线CD 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+=+=610660b k b b k 解得∴直线CD 的解析式为y=－x+6. (2)①AF ∶y=31-x+310③AF 与抛物线只有一个公共点 在Rt △ABG 中.因AG=AO=10， 故BG=22610-=8，∴CG=2. 没OF=t ，则FG=t ，CF=6－t ， 在Rt △CFG 中，t 2=(6－t)2+22，解得t=310， 则F(0，310) 设直线AF ∶y=k′x+310，将A(10，0)代入，得k′=31- ∴AF ∶y=31-x+310∵GH ∥AB ，且G(2，6)，可设H(2，y F )， 由于H 在直线AF 上， ∴把H 代入直线AF ∶y F =31-×2+310=38，知H(2，38)，又H 在抛物线上，38=121-×22+h ，得h=3. ∴抛物线的解析式为y=121-x+3，再将直线y=31-x+310，代入抛物线y=121-x+3， 得121-x+31x 31-=0∵△=(31)2－4×(121-)×(31-)=0，∴直线AF 与抛物线只有一个公共点. (3)可以猜想以下两个结论： ①折痕所在直线与抛物线y=121-x+3只有一个公共点； ②若作KL ∥AB 与IJ 相交于点L ，则L 一定在抛物线y=121-x+3上. 验证①，在图甲中，将折痕CD ：y=－x+6代入y=121-x+3特殊情形I 即为D,J 即为C ，G 即为E ，K 也是E ，KL 即为ED.L就是D ，得121-x+x －3=0. ∵△=1－4×(－3)×(121-)=0，∴.折痕CD 所在直线的确与抛物线y=121-x+3 只有一个公共点.验证②，在图甲的特殊情况中，I 就是C,J 就是D ， 那么L 就是D(6，0)，当x=6时，y=21-×62+3=0. ∴点L 在这条抛物线上. 。
实际问题与二次函数(利润问题)
1、函数
y 6( x 最____值，其最值 是_______. 4 2、函数
y 3( x 1) 5 中，当
2
小 1 X=______，函数有最____值，其最值 是_______. 5
3.某商品进价600元，售价1000元，则可获利润 400 ________元；
巩固练习
某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元， 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系： 在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500 件，而单价每降低1元，就可以多售出100件.若 设每件商品降价x元，卖出该商品的总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式？ （2）当x取什么值时，获得的利润最大？
提高练习
1、某商品现在的售价为每件60元，每 星期可卖出300件，市场调查反映；如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利 润最大？ 分析：涨价与降价有可能获得最大利润吗？ 需要分类讨论吗？ （1）在涨价的情况下，最大利润是多少？
4.某商品每件零售价是1000元，现在每件降价x 元， 1000-x 降价后每件零售价是_________元；如果该商品 每件的进价为400元，则卖出该商品一件的利润是 ________元。 600-x 利润：在销售商品过程中的纯收入，即 归纳： 利润=商品的售价-商品的进价；
1.某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。 起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来， 根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个 月就少卖出10个。如果设每个书包的涨价x元，卖出书 包获得的总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式？ （2）当x取什么值时，获得的利润最大？
二次函数最大利润应用题(含答案)
二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析1．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．2．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，=513（元）；①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，=741（元）；∴当x=9时，w最大③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w=768（元）；最大综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题意得，w=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），13∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．3．近期，海峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天（1）写出y与x间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？【解答】解：（1）y=60+5x（2）w=（40﹣x﹣20）y=﹣5（x﹣4）2+1280∴下调4元时当天利润最大是1280元（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克得x=40﹣32=8，此时y=60+5x=100，∴m≤100×（30﹣7）=2300，答：一次进货最多2300千克（4）下调4元时当天利润最大，由x=4，y=60+5x=80，m=80×（30﹣7）=1840千克∴每次进货1840千克，售价36元/千克时，销售部利润最大．4．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得，解得．∴y=﹣2x+140．当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得，解得，∴y=﹣x+82，综上所述：y=；（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，∴（48﹣40）×44=106+82a，解得a=3；（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106]≥68400，∴b≥，当40≤x≤58时，∴b≥=，x=﹣时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，∴b，即b≥380；当58＜x≤71时，b=，当x=﹣=61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，∴b，即b≥400．综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．5．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y=﹣x+14；②当x≥8时，y=6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y=；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA +wB﹣3×20=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60=﹣x2+7x+48；当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x∴w=wA +wB﹣3×20=（5x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w=．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA +wB﹣3×m=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64 ∴当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=，m﹣x=；②当x≥8时，wA=6x﹣x=5x；wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12∴w=wA +wB﹣3×m=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m=﹣x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【解答】解：（1）由题意得出：w=（x﹣20）∙y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．解得 x1=25，x2=35．∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．7．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．8．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商x（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？【解答】解：（1）当1≤x≤20时，令30+x=35，得x=10，当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35，经检验得x=35是原方程的解且符合题意即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．（2）当1≤x≤20时，y=（30+x﹣20）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，当21≤x≤40时，y=（20+﹣20）（50﹣x）=﹣525，即y=，（3）当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+612.5，∵﹣＜0，∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5，当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴随x的增大而减小，当x=21时，最大，于是，x=21时，y=﹣525有最大值y2，且y2=﹣525=725，∵y1＜y2，∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．9．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为（1）用x的代数式表示t为：t= 6﹣x ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2= 5x+80 ；当 4 ≤x＜ 6 时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【解答】解：（1）由题意，得x+t=6，∴t=6﹣x；∵，∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；当4≤x＜6时，0＜6﹣x≤2，即0＜t≤2，此时y2=100．故答案为：6﹣x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480；②当2＜x≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480；③当4＜x≤6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600；综上可知，w=；（3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；当2＜x≤4时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时x=4时，w最大=640；当4＜x≤6时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；∵a=﹣5，∴当x＞3时，w随x的增大而减小，∴没有w最大．故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为640千元．10．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（50，10），（70，8），∴，解得，所以，y=﹣0.1x+15；（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，∴，解之得45≤x≤65，①45≤x＜50时，W=（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），=﹣0.2x2+16x+100，=﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，=﹣0.2（x﹣40）2+420，∵﹣0.2＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小，∴当x=45时，W有最大值，W最大=﹣0.2（45﹣40）2+420=415万元；②50≤x≤65时，W=（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），=﹣0.1x2+8x+250，=﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，=﹣0.1（x﹣40）2+410，∵﹣0.1＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小，∴当x=50时，W有最大值，W最大=﹣0.1（50﹣40）2+410=400万元．综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；（3）根据题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，令W=85，则﹣0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．又由题意知，50≤x≤65，根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，即50≤90﹣m≤60，∴30≤m≤40．11．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【解答】解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）；（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43所以，销售单价定为25元或43元，将z=﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512（x＞18），答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∵x最大取32，∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），答：每月最低制造成本为648万元．12．某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）【解答】解：（1）设件数为x，依题意，得3000﹣10（x﹣10）=2600，解得x=50，答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2400）x=600x，当10＜x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y=﹣10x2+700x当x＞50时，y=（2600﹣2400）x=200x∴y=（3）由y=﹣10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=﹣=35时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000﹣10（x﹣10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元．13．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？【解答】解：（1）设w=kx+b，将（70，100），（75，90）代入上式得：，解得：，则w=﹣2x+240；（2）y=（x﹣50）•w=（x﹣50）•（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣9000，因此y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣9000，=﹣2（x﹣85）2+2450，故当x=85时，y的值最大为2450．（3）故第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回，则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250，解这个方程，得x1=75，x2=95；根据题意，x2=95不合题意应舍去．答：当销售单价为每千克75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．14．某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同．（1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？（2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设进价为x万元，则标价是1.2x万元，由题意得：1.2x×0.9×9﹣9x=（1.2x﹣0.2）×4﹣4x，解得：x=10，1.2×10=12（万元），答：进价为10万元，标价为12万元；（2）设该款汽车降价a万元，利润为w万元，由题意得：w=（20+×2）（12﹣10﹣a），=﹣20（a﹣）2+45，∵﹣20＜0，∴当a=时，w最大=45，答：该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大，最大利润是45万元．15．荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y 关于x的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公顷大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．【解答】解：（1）y=7.5x﹣（2.7x+0.9x2+0.3x）=7.5x﹣2.7x﹣0.9x2﹣0.3x=﹣0.9x2+4.5x．（2）当﹣0.9x2+4.5x=5时，整理得：9x2﹣45x+50=0，解得：x1=，x2=，从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z（万元）Z=7.5x﹣（0.9x+0.3x2+0.3x）=7.5x﹣0.9x﹣0.3x2﹣0.3x=﹣0.3x2+6.3x=﹣0.3（x﹣10.5）2+33.075（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．（11分）建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当﹣0.3x2+6.3x=0时，x1=0，x2=21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）（12分）16．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c．（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．（参考数据：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）【解答】解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=﹣+bx+c得解得：，∴5月份y与x满足的函数关系式为y=﹣0.05x2﹣0.25x+3.1；（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W2元．则：W1=（0.2x+1.8）﹣（x+1.2）=﹣0.05x+0.6∵﹣0.05＜0，∴W1随x的增大而减少∴当x=1时，W1最大=﹣0.05+0.6=0.55W2=（﹣0.05x2﹣0.25x+3.1）﹣（﹣x+2）=﹣0.05x2﹣0.05x+1.1∵对称轴为x=﹣=﹣0.5，且﹣0.05＜0，∴当x=1时，W2最大=1∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元，5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．（3）由题意知：[100000（1﹣a%）+2000]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100000，整理，得a2+23a﹣250=0，解得a=∵392=1521，402=1600，而1529更接近1521，∴取≈39∴a≈﹣31（舍去）或a≈8．17．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．（1）当x=1000时，y= 140 元/件，w内= 57500 元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（）．【解答】解：（1）x=1000，y=×1000+150=140，w内=（140﹣20）×1000﹣62500=57500．（2）w内=x（y﹣20）﹣62500=x2+130x﹣62500，w外=x2+（150﹣a）x．（3）当x==6500时，w内最大；由题意在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，得：=，解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．∴a=30．（4）当x=5000时，w 内=337500，w 外=﹣5000a+500000．若w 内＜w 外，则a ＜32.5；若w 内=w 外，则a=32.5；若w 内＞w 外，则a ＞32.5．∴当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．18．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内时间t （天） 1 3 6 10 36 …日销售量m （件） 94 90 84 76 24 …未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1=t+25（1≤t≤20且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 2=﹣t+40（21≤t≤40且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．【解答】解：（1）设一次函数为m=kt+b ，将和代入一次函数m=kt+b 中，有，∴． ∴m=﹣2t+96．经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=﹣2t+96；（2）设前20天日销售利润为p 1元，后20天日销售利润为p 2元．由p 1=（﹣2t+96）（t+25﹣20）=（﹣2t+96）（t+5）=﹣t 2+14t+480=﹣（t ﹣14）2+578，∵1≤t≤20，∴当t=14时，p 1有最大值578（元）．由p 2=（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20） =（﹣2t+96）（﹣t+20）=t 2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16．∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．∴函数p2有最大值为（21﹣44）2﹣16=529﹣16=513（元）．∴当t=21时，p2∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；（3）p=（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）=﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a 1对称轴为t=14+2a．∵1≤t≤20，∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，∴20≤2a+14，又∵a＜4，∴3≤a＜4．。
中考数学总复习《销售问题(实际问题与二次函数)》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《销售问题（实际问题与二次函数）》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某商店销售2022年卡塔尔世界杯吉祥物拉伊卜毛绒钥匙扣，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x 元/件的一次函数，其解析式为2180y x =-+，当售价为50元/件时，周销售利润w 为800元．注：周销售利润＝周销售量×（售价-进价）(1)求该钥匙扣的进价和周销售的最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件，物价部门规定该商品售价不得超过62元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足原来的一次函数关系．若周销售最大利润是1120元，求m 的值．2．某超市经销一种销售成本为每件20元的商品．据市场调查分析，如果按每件30元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件．设销售单价为每件x 元(x≥30),一周的销售量为y 件．(1)写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)该超市想通过销售这种商品一周获得利润8000元，销售单价应定为多少？3．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.（1）每件童装降价多少元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元.（2）为了获得最大利润，应该降价多少？最大利润是多少？4．红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元?(3)今年七月下旬天晴少雨，气温持续在37℃上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元?5．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x元/(千克)满足一次函数关系，对应关系如下表售价x (元/千克)50607080……销售量y (千克)100908070……(1)求y与x的函数关系式；(2)该批发商若想获得3600元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w元最大？此时的最大利润为多少元？6．某超市采购了两批同样的记念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍、且第二批比第一批多购送25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？7．某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)补全下列表格：进价（元/千克）10101010售价（元/千克）121317x涨价（元/千克）01______________________销售量（千克）180_________________________________(2)为让利给顾客，当这种优质水果售价为___________元时，每天可获得利润960元．(3)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润是多少？8．中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把．(1)求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式．(2)当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？9．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？10．某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的部分数据如下表：售价x（元/件）8090100110⋅⋅⋅销售量y（件）800600400200⋅⋅⋅(1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；(2)物价部门规定单件利润率不超过15%．在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．11．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元(1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？(3)求其最大利润．12．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．(1)平均每天的销售量y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．(2)物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？13．唐山世园会期间，游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收31万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx．若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？并求出最大收益．14．为实现脱贫奔小康，景颇新村在驻村工作队的帮扶下，引进种植了褚橙。
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
最大利润问题——典型题专项训练知识点 1 利润最大化问题1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )A．30人B．40人C．50人D．55人2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．36元3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．图2－4－127．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．图2－4－138．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．图2－4－149．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？10．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝\f(1412)t＋48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．详解1．C 2.A3．解：(1)根据题意，得65k＋b＝55，75k＋b＝45，)解得k＝－1，b＝120.)∴一次函数的表达式为y＝－x＋120.(2)根据题意，得W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900.∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，∴当x＝87时，W最大＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．4．95．20 [解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，∴当x＝－b2a＝－1602×（－4）＝20时，y最大，橘子总个数最多．6．解：(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组c＝49，4a－2b＋c＝49，4a＋2b＋c＝41，解得a＝－1，b＝－2，c＝49，∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2－2x＋49.(2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.理由：由(1)可知，当x＝－b2a＝－1时，y取最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC＝BECF，即44－x＝xy，化简得y＝－x2＋4x4＝－14(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.8．解：(1)小华的问题解答：设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.当W＝800时，解得x＝4或x＝6，又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．(2)小明的问题解答：当x＜5时，W随x的增大而增大．所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.当t＝30时，y＝120－60＝60.答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.当1≤t≤24时，W＝(14t＋30－20)(120－2t)＝－12t2＋10t＋1200＝－12(t－10)2＋1250.当t＝10时，W最大＝1250.当25≤t≤48时，W＝(－12t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W＝(14t＋30－20－n)(120－2t)＝－12t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴7≤n<9.。
23.6.1实际问题与二次函数(利润)
基础扫描
求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴ y=x2＋2x－3;
⑵ y=x2＋2x-3(0≤x≤3)
1. 某商场试销一种成本为60元/件的T恤， 规定试销期间单价不低于成本单价，又获利 不得高于40%，经试销发现，销售量y（件） 与销售单价x（元/件）符合一次函数y=kx+b， 且x=70时，y=50；x=80时，y=40； （1）求出一次函数y=kx+b的解析式 （2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w 与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多 少时，商场可获得最大利润，最大利润是多 少？
（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的 单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元， 就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40）， 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌 玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利 润，求该玩具销售单价x应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销 售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售 任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
4. 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按 规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80 元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x （元/件）满足下表中的函数关系．
x（元/件）35 40 45 y（件） 550 500 450 50 400 55 350
二次函数应用-利润(含答案及解析)
二次函数应用一．解答题（共19小题）1．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤．时间x（天）1≤x＜99≤x＜15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x3x2﹣64x+400设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．2．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．3．在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？4．小宝大学毕业后回家乡透行园艺创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后进行统计得知：盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是20元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元：每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均际盆利润始终不变，小宝计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1、W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1、W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉销售完所获得的总利润最大？最大总利润是多少？5．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？6．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．7．商场经营一种新型商品，进价为150元，据市场调查，销售单价是200元时，平均每月销售量是80件，而销售价每降低1元，平均每月就可以多售出2件．为了减少库存，尽快回笼资金，商场打算降价销售．（注：销售利润＝销售收入﹣购进成本）（1）若降价2元，商场每月销售这种商品的利润是多少元？（2）假定每件商品降价x元，商场每月销售这种商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式．（2）每件商品销售价定为是多少元时，商场每月销售这种商品的利润最大？最大利润是多少元？8．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．9．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．（1）求图2中所确定抛物线的解析式；（2）若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？10．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．11．为了扶持大学生自主创业，某市政府提供了50万元无息贷款，用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件20元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用5万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）当销售单价定为25元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有40名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？12．某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：月份x123456789价格y1（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．13．在“春季经贸洽谈会”上，我市某服装厂接到生产一批出口服装的订单，要求必须在12天（含12天）内保质保量完成，且当天加工的服装当天立即空运走．为了加快进度，车间采取工人轮流休息，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样每天生产的服装数量y（套）与时间x（元）的关系如表：时间x（天）1234…每天产量y（套）22242628…由于机器损耗等原因，当每天生产的服装数达到一定量后，平均每套服装的成本会随着服装产量的增加而增大，这样平均每套服装的成本z（元）与生产时间x（天）的关系如图所示．（1）判断每天生产的服装的数量y（套）与生产时间x（元）之间是我们学过的哪种函数关系？并验证．（2）已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元，设车间每天的利润为w（元）．求w （元）与x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该生产车间获得最高利润，最高利润是多少元？（3）从第6天起，该厂决定该车间每销售一套服装就捐a元给山区的留守儿童作为建图书室的基金，但必须保证每天扣除捐款后的利润随时间的增大而增大．求a的最大值，此时留守儿童共得多少元基金？14．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天）13060901981408020每天销售量p（件）（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．15．为加速南充森林建设，市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴，规定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元，随着补贴数字的不断增大，某地苗圃每年育苗规模也不断增加，但每年每亩苗圃的收益会相应下降，经调查每年培植亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x （元）之间有如下关系（政府补贴为100元的整数倍，且每亩补贴不超过1000元）：x（元）0100200300400y（亩）6001000140018002200而每年每亩的收益p（元）与政府每亩补贴数额x（元）之间满足一次函数关系p＝﹣5x+9000（1）请观察题中的表格，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间的函数关系式；（2）当2012年政府每亩补贴数额x（元）是多少元时，该地区苗圃收益w（元）最大，最大收益是多少元？（3）在2012年苗圃取得最大收益的育苗情况下，该地区培植面积刚好达到最大化，要想增收，只能提高每亩收益．经市场调查，培育银杏树苗畅销，每亩的经济效益相应会更好.2013年该地区用去年育苗面积的（30﹣a）%的土地培育银杏树苗，其余面积继续培植一般类树苗，预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了（100+3a）%，由于培育银杏类树苗每亩多支出1000元，2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元．请参考以下数据，通过计算，估算出a的整数值．（参考数据：＝5.916，＝6.082，＝6.244）16．恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？17．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价﹣进价）】18．小丽、小强和小红三位同学到某超市参加了社会实践活动，他们进行某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系；小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．（1）写出以13元/千克的价格销售的销售数量y；（2）①求出y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；②设该超市销售这种水果每天获取的利润为w元，求出w与x的函数关系式；并求当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？．19．已知：某种水果的进价为每千克2元，据市场预测，日销售量y（千克）与售价x（元）的关系是y＝60﹣x（2＜x≤60）．（1）请直接写出售价为10元时的日销售量；（2）在销售期间的累计折损费用z（元）与售价x（元）的关系式为z＝x2+bx+c，若售价为2元时，该种水果的累计折损费用为5元；若售价为3元时，该种水果的累计折损费用为8元．①求z关于x的函数关系式；②设该种水果日销售的总利润为W元，若日销售量y不少于45千克，试求W的最大值．（总利润＝总收入﹣总支出）二次函数应用参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤．时间x（天）1≤x＜99≤x＜15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x3x2﹣64x+400设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润＝（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比．【答案】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2＝8.1，x＝10%或x＝190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，∴y＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，y大＝﹣17.7×1+352＝334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最大值，y大＝380（元），综上所述，第10天时销售利润最大；【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．2．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，若0＜a ＜6，则30a，则当x＝35+a时，w取得最大值，解方程得到a1＝2，a2＝58，于是得到a＝2．【答案】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当x＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去）‘’，∴a＝2．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．3．在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b ≤60时，求得w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w的最小值为700元，于是得到结论．【答案】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意得，，解得：，答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b只，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．【点评】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．4．小宝大学毕业后回家乡透行园艺创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后进行统计得知：盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是20元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元：每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均际盆利润始终不变，小宝计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1、W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1、W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉销售完所获得的总利润最大？最大总利润是多少？【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【答案】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，W2＝20（50﹣x）＝﹣20x+1000；（2）根据题意，得：W＝W1+W2＝﹣2x2+60x+8000﹣20x+1000＝﹣2x2+40x+9000＝﹣2（x﹣10）2+9200，∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9200，答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9200元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．5．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC 的解析式，又分两种情况，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．【答案】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，代入A（4，4），B（6，2）得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8，同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，∵工资及其它费用为：0.4×5+1＝3万元，∴当4≤x≤6时，w1＝（x﹣4）（﹣x+8）﹣3＝﹣x2+12x﹣35，当6＜x≤8时，w2＝（x﹣4）（﹣x+5）﹣3＝﹣x2+7x﹣23；（2）当4≤x≤6时，w1＝﹣x2+12x﹣35＝﹣（x﹣6）2+1，∴当x＝6时，w1取最大值是1，当6＜x≤8时，w2＝﹣x2+7x﹣23＝﹣（x﹣7）2+，当x＝7时，w2取最大值是1.5，∴＝＝6，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．【点评】本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．6．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x2（65﹣x）15乙x x130﹣2x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．【答案】解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，。
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
②T恤衫何时获得最大利润,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.当销售单价为多少元时,可以获得最大利润,最大利润是多少元？
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利润最大：
8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
设销售价为x元(x≤13.5元),利润是y元,则
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
专题22.3.2 实际问题与二次函数(销售最大利润问题)(练习)(解析版)
第二十二章二次函数22.3.2 实际问题与二次函数（销售最大利润问题）精选练习答案基础篇一、单选题（共12小题)1．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A．60元B．70元C．80元D．90元【答案】C【解析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．2．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（）A．11元B．12元C．13元D．14元【答案】D【解析】设利润为w，由题意得，每天利润为：w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．故选D．3．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y=10x2﹣100x﹣160B．y=﹣10x2+200x﹣360C．y=x2﹣20x+36D．y=﹣10x2+310x﹣2340【答案】B【分析】根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【详解】根据题意得：y=（x ﹣2）[50+10（13﹣x ）]整理得：y=﹣10x 2+200x ﹣360．故选：B ．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．4．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ）A ．y =−10x 2+110x +10B ．y =−10x 2+100xC ．y =−10x 2+100x +110D ．y =−10x 2+90x +100【答案】D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x -9）（100-10x ），y=-10x 2+90x+100．故选：D ．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．5．出售某种文具盒，若每个可获利x 元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】y=x (6-x )=-x 2+6x,x =-2b a =32=3.故选C. 6．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）A ．1月份B ．2月份C ．5月份D ．7月份【答案】C【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．【详解】设x 月份出售时，每千克售价为y 1元，每千克成本为y 2元，根据图甲设y 1=kx+b ，∴ {3k +b =56k +b =3， ∴ {k =−23b =7， ∴y 1=﹣23x+7，根据图乙设y 2=a （x ﹣6）2+1，∴4=a （3﹣6）2+1，∴a=13，∴y 2=（13x ﹣6）2+1，∵y=y 1﹣y 2，∴y=﹣23x+7﹣[13（x ﹣6）2+1]， ∴y=﹣13x 2+103x ﹣6．∵y=﹣13x 2+103x ﹣6，∴y=﹣13（x ﹣5）2+73．∴当x=5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B ．y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D ．y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]【答案】C【解析】分析：设销售单价定为每千克x 元,获得利润为y 元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.详解：设销售单价为每千克x 元，此时的销售数量为500−10(x −50)，每千克赚的钱为x −40, 则y =(x −40)[500−10(x −50)].故选C.点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)×销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x 元，则可列方程为（ ）A ．()()8020088450x x -+=B ．()()4020088450x x -+=C ．()()40200408450x x -+=D ．()()402008450x x -+=【答案】B【解析】利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，从而列出方程即可．解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，所以每件售价降价x 元后，利润为每件（40﹣x ）元．每降价1元，每星期可多卖出8件，因为每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，现在的销量为(200+8x )．根据题意得：（40﹣x ）×(200+8x ) =8450.故选B ．点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程.9．某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为2242956y x x =-++，则获利最多为( )．A ．3144B ．3100C ．144D ．2956【答案】B【解析】试题解析：利润y (元)与销售的单价x (元)之间的关系为2242956y x x =-++， 2(12)3100.y x ∴=--+∵−1<0∴当x =12元时，y 最大为3100元，故选B.10．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月【答案】D【分析】知道利润y 和月份n 之间函数关系式，求利润y 大于0时x 的取值．【详解】由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n -24，∴y=-（n -2）（n -12），当n=1时，y ＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故选：D ．【点睛】考查二次函数的实际应用，判断二次函数y ＞0、y=0、y ＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x 轴的交点，结合开口分析，进行判断．11．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( )A ．5000元B ．8000元C ．9000元D ．10000元 【答案】C【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x -100），单件利润为：（x -90），由题意得，W=（x -90）[500-10（x -100）]=-10x2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000，故可得当x=120时，W 取得最大，为9000元，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W 关于x 的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．12．（2019·黑龙江中考真题）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.A ．20%；B ．40%；C ．18%；D ．36%. 【答案】A【分析】可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为()225116x -= 解方程得115x =，295x =（舍） ∴每次降价得百分率为20%故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.二、填空题（共5小题)13．（2018·北京101中学初三月考）数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x （x≥100）元，则月销量是___________件，销售该运动服的月利润为___________元（用含x 的式子表示）.【答案】 2x +400 −2x 2+520x −24000【解析】分析：运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式． 详解：设月销量y 与x 的关系式为y=kx+b ，由题意得，{100k +b ＝200110k +b ＝180， 解得{k ＝−2b ＝400 . 则y=-2x+400；由题意得，y=（x -60）（-2x+400）=-2x 2+520x -24000点睛：本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x 元，可列方程为_________．【答案】(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭【解析】利润=单件利润⨯数量，本题中，单件利润=售价-成本单价 (50)30x =--提升篇5030x =--． 数量100205x =+⨯． ∴利润为1400时，单价利润⨯数量1400=，得到(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⋅= ⎪⎝⎭． 15．（2008·吉林中考真题）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.【答案】70【解析】解：设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则：y=（x -40）[500-（x -50）×10]，=（x -40）（1000-10x ），=-10x 2+1400x -40000，=-10（x -70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元．16．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件，当x=____时才能使利润最大．【答案】70【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设获得的利润为w 元，由题意可得，w=（x ﹣40）（100﹣x ）=﹣（x ﹣70）2+900，∴当x=70时，w 取得最大值，故答案是：70．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高____元可获最大利润。
实际问题与二次函数最大利润问题 专题练习题 含答案
实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )A．150元 B．160元 C．170元 D．180元2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A．50元 B．80元 C．90元 D．100元3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( )A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元．6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－(x －60)2＋41.1100每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 ．7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据： 设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？销售单价x(元/kg)120 130 ... 180 每天销量y(kg) 100 95 (70)9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为元；(用含x的代数式表示)(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？10．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？(3)某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？11．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y ＝{32x （0≤x ≤5），20x ＋60（5<x ≤19）.)(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)答案：1---3 ACC4. (30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6255. 600 24006. 205万元7. 解：设每天的销售利润为y 元，销售单价为x 元，则y ＝(x －50)[50＋5(100－x)]＝－5(x －80)2＋4500，∵a ＝－5<0，50≤x ≤100，∴当x ＝80时，y 最大值＝45008. 解：(1)y ＝－0.5x ＋160(120≤x ≤180)(2)设销售利润为W 元，则W ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝－(x －200)2＋7200，∵a ＝－<0，1212∴当x<200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，W 最大＝－(180－200)2＋7200＝7000，12则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元9. (1) 1500－50x(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y ＝x(1500－50x)－6250＝－50(x －15)2＋5000，∵－15<0，当x ＝15时，租赁公司日收益最大，最大是5000元(3)由题意得－50(x －15)2＋5000>0，解得5<x<25，∵x ≤20，∴5<x ≤20，即当每日租出至少6辆时，租赁公司的日收益才能盈利10. 解：(1)根据题意得y ＝50－x(0≤x ≤50，且x 为整数)(2)W ＝(120＋10x －20)(50－x)＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000，∵a ＝－10<0，∴当x ＝20时，W 最大值＝9000，则当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元(3)由题意得解得20≤x≤40，{－10（x －20）2＋9000≥5000，20（－x ＋50）≤600，)∵房间数y ＝50－x ，又∵－1<0，∴当x ＝40时，y 的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y ＝2(－x ＋50)＝20(人)11. 解：(1)设李红第x 天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x ＋60＝260，解得x ＝10，则李红第10天生产的粽子数量为260只(2)根据图象得当0≤x≤9时，p ＝2；当9<x≤19时，可求解析式为p ＝x ＋，1101110①当0≤x≤5时，w ＝(4－2)·32x ＝64x ，x ＝5时w 的最大值为320；②当5<x≤9时，w ＝(4－2)·(20x ＋60)＝40x ＋120，x ＝9时w 的最大值为480；③当9<x≤19时，w ＝[4－(x ＋)]·(20x ＋60)＝－2x 2＋52x ＋174＝－2(x －110111013)2＋512，x ＝13时w 的最大值为512.综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元。
利用二次函数解决利润问题专项练习附答案
利用二次函数解决利润问题基础题知识点利用二次函数解决利润问题1．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是( )A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)2 2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出(350－10x)件商品，则商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( ) A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350 3．某商店经营某种商品，已知所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的表达式为y＝－x2＋24x＋2 956，则获利最多为( ) A．3 144元B．3 100元C．144元D．2 956元4．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数表达式为( )A．y＝－10x2＋100x＋2 000 B．y＝10x2＋100x＋2 000 C．y＝－10x2＋200x D．y＝－10x2－100x＋2 000 5．某水果店销售一批水果，每箱进价为40元，售价为60元，每天可卖50箱，则一天的销售利润为____________元．由于积压时间不能太长，所以该店决定降价售出，若每降价5元，则每天可多售出10箱．若现在售价为x元(40＜x＜60)，则现在每天可多卖出________箱，每天共卖出_____箱，每箱的利润为_____元，即每天的总利润为________________________元．6．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是____________．7．(沈阳中考)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为____________元．8．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种____________棵橘子树，橘子总个数最多．9．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了获得最大利润，每个售价应定为多少元？中档题10．某体育商店试销一款成本为50元的足球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于50%.经试销发现，每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数y＝－x＋120，那么可求出该超市试销中一天可获得的最大利润为____________元．11．(龙岩中考)小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润＝(销售价－进价)×销售量】(1)(2)价x(元)之间存在怎样的函数关系．并求y(千克)与x(元)(x＞0)的函数表达式；(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x 之间的函数表达式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？综合题12．(莆田中考)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数表达式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．(1)求y2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最大利润是多少？参考答案1．D 2.B 3.B 4.A 5.1 000 (120－2x) (170－2x) (x －40) (x －40)(170－2x) 6.205万元 7.25 8.10 9．设售价在90元的基础上上涨x 元，总利润为y 元， 由题意，得y ＝(10＋x)(400－20x)＝－20(x －5)2＋4 500. ∴当x ＝5时，y 有最大值，最大值为4 500.此时90＋x ＝95. ∴售价为95元时可获得最大利润． 10．1 12511．(1)300 250 150(2)y 是x 的一次函数．设y ＝kx ＋b ，∵当x ＝10时，y ＝300；当x ＝11时，y ＝250， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝300，11k ＋b ＝250.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－50，b ＝800. ∴y ＝－50x ＋800.经检验：x ＝13，y ＝150也适合上述表达式． ∴y 与x 的函数表达式为y ＝－50x ＋800.(3)由题意，得W ＝(x －8)y ＝(x －8)(－50x ＋800)＝－50x 2＋1 200x －6 400＝－50(x －12)2＋800. ∵a ＝－50<0，∴当x ＝12时，W 取最大值，为800.答：当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元． 12．(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7.解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的表达式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)．(2)设y 1＝kx ＋b.∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的表达式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214.答：第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．。
九年级数学： 22.3实际问题与二次函数 最大利润问题练习题含答案
人教版数学九级上册第二十二章二次函数 22.3 实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )A．150元 B．160元 C．170元 D．180元2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A．50元 B．80元 C．90元 D．100元3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n －24，则该企业一年中应停产的月份是( )A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元．6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41.每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是．7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x 辆车时，日收益为y 元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金收入为 元；(用含x 的代数式表示)(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？10．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x 元(x 为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y 与x 的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？(3)某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？11．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧32x （0≤x≤5），20x ＋60（5<x≤19）. (1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)答案：1---3 ACC4. (30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6255. 600 24006. 205万元7. 解：设每天的销售利润为y 元，销售单价为x 元，则y ＝(x －50)＝－5(x －80)2＋4500，∵a ＝－5<0，50≤x ≤100，∴当x ＝80时，y 最大值＝45008. 解：(1)y ＝－0.5x ＋160(120≤x ≤180)(2)设销售利润为W 元，则W ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝－12(x －200)2＋7200，∵a ＝－12<0， ∴当x<200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，W 最大＝－12(180－200)2＋7200＝7000， 则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元9. (1) 1500－50x(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y ＝x(1500－50x)－6250＝－50(x －15)2＋5000，∵－15<0，当x ＝15时，租赁公司日收益最大，最大是5000元(3)由题意得－50(x －15)2＋5000>0，解得5<x<25，∵x ≤20，∴5<x ≤20，即当每日租出至少6辆时，租赁公司的日收益才能盈利10. 解：(1)根据题意得y ＝50－x(0≤x ≤50，且x 为整数)(2)W ＝(120＋10x －20)(50－x)＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000，∵a ＝－10<0，∴当x ＝20时，W 最大值＝9000，则当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －20）2＋9000≥5000，20（－x ＋50）≤600，解得20≤x≤40， ∵房间数y ＝50－x ，又∵－1<0，∴当x ＝40时，y 的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，最少人数为2y ＝2(－x ＋50)＝20(人)11. 解：(1)设李红第x 天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x ＋60＝260，解得x ＝10，则李红第10天生产的粽子数量为260只(2)根据图象得当0≤x≤9时，p ＝2；当9<x≤19时，可求解析式为p ＝110x ＋1110， ①当0≤x≤5时，w ＝(4－2)·32x＝64x ，x ＝5时w 的最大值为320；②当5<x≤9时，w ＝(4－2)·(20x＋60)＝40x ＋120，x ＝9时w 的最大值为480；③当9<x≤19时，w＝·(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，x＝13时w 的最大值为512.综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元。
人教版九年级上册：22.3.2 最大利润问题 同步练习(含答案)
22.3实际问题与二次函数同步练习第2课时最大利润问题一、选择题1.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是()A．20元B．1508元C．1550元D．1558元2.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y＝－2(x－20)2＋980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是()A.976元B.978元C.980元D.982元3.经过调研预测,黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24,则没有盈利的月份为()A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月4.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30－x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为()A.18元B.20元C.22元D.24元5.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为()A.11元/支B.12元/支C.13元/支D.14元/支6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是()A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大B.每天的最大利润为1250元C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元7.某种商品的成本是120元,试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x＝130时,y＝70;当x＝150时,y＝50,且y是x的一次函数.设销售利润为S(元),为了获得最大的销售利润,每件产品的售价应定为()A.160元B.180元C.140元D.200元二、填空题8.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y＝－x2＋70x －800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为元.9.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数为时,这个旅行社可以获得最大的营业额.10.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高元.11.(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．12.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可以看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为______________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为________元最合适，最大利润是________元．三、解答题13.某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝－x2＋20x－75.(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元?14.(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数解析式．(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？15.(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？16.(2020·青岛)某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？17.茶叶是湖南省的主要经济作物之一.2021年新茶上市期间,某茶厂为获得最大利益,根据市场行情,把新茶价格定为400元/千克,并根据历年的相关数据整理出第x天(1≤x≤15,且x为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表.假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失,且能在当天全部售出(当天收入＝日销售额－日制茶成本).(1)求出该茶厂第10天的收入;(2)设该茶厂第x天的收入为y(元),试求出y与x之间的函数关系式,并求出该茶厂第几天的收入最高?最高收入为多少元?18.某服装批发市场销售一种衬衫,每件衬衫的进价为50元,规定每件售价不低于进价.经市场调查发现,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求出y与x之间的函数解析式.(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想获利24000元,又想尽量给客户优惠,则该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?19.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、x(单位:辆)之间满足y=-12乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.(1)求W与x的函数关系式.(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?20.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利元;(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.(提示:单株获利＝单株售价－单株成本)参考答案一、选择题1.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是(D)A．20元B．1508元C．1550元D．1558元2.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y＝－2(x－20)2＋980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是(B)A.976元B.978元C.980元D.982元3.经过调研预测,黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24,则没有盈利的月份为(D)A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月4.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30－x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为(D)A.18元B.20元C.22元D.24元5.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为(D)A.11元/支B.12元/支C.13元/支D.14元/支6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是(D)A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大B.每天的最大利润为1250元C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元7.某种商品的成本是120元,试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x＝130时,y＝70;当x＝150时,y＝50,且y是x的一次函数.设销售利润为S(元),为了获得最大的销售利润,每件产品的售价应定为(A)A.160元B.180元C.140元D.200元二、填空题8.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋70x －800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为 35 元.9.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数为 55 时,这个旅行社可以获得最大的营业额.10.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高 6 元.11.(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x )件，若使利润最大，则每件商品的售价应为___25_____元． 12.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t (单位：件)与每件的销售价x (单位：元)可以看成是一次函数关系：t ＝－3x ＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y (单位：元)与每件的销售价x (单位：元)之间的函数解析式为_y ＝－3x 2＋330x －8568_____________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为__55______元最合适，最大利润是___507_____元． 三、解答题13.某商场经调研得出某种商品每天的利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系y ＝－x 2＋20x －75.(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元? 解:(1)∵y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25, ∴当x ＝10时,y 最大＝25,∴最大利润是25元.(2)当y ＝21时,得－x 2＋20x －75＝21,解得x 1＝8,x 2＝12,∴当销售单价为8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元.14.(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y (千克)与x (元/千克)之间的函数解析式．解：设y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧55k ＋b ＝70，60k ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝180.∴y (千克)与x (元/千克)之间的函数解析式为y ＝－2x ＋180.(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？解：由题意得(x －50)(－2x ＋180)＝600， 整理，得x 2－140x ＋4 800＝0， 解得x 1＝60，x 2＝80.答：该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设当天的销售利润为w 元，则w ＝(x －50)(－2x ＋180)＝－2(x －70)2＋800. ∵－2＜0，∴当x ＝70时，w最大值＝800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 15.(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y (瓶)与每瓶售价x (元)之间满足一次函数关系(其中10≤x ≤15，且x 为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． (1)求y 与x 之间的函数关系式；解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．根据题意，得⎩⎨⎧12k ＋b ＝90，14k ＋b ＝80，解得⎩⎨⎧k ＝－5，b ＝150.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－5x ＋150.(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 解：根据题意，得w ＝(x －10)(－5x ＋150)＝－5(x －20)2＋500. ∵a ＝－5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值． ∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大． ∵10≤x ≤15且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值，w最大值＝－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元．16.(2020·青岛)某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD ＝4 m ，宽AB ＝3 m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝kx 2＋m (k ≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．解：∵长方形的长AD ＝4 m ，宽AB ＝3 m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4 m ，∴OH ＝AB ＝3 m ，D (2，0)．∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)． ∴E (0，1)． ∴该抛物线的函数解析式为y ＝kx 2＋1， 把点D (2，0)的坐标代入，得k ＝－14. ∴该抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋1.(2)现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2.已知GM ＝2 m ，求每个B 型活动板房的成本是多少(每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN 的成本)． 解：∵GM ＝2 m ，∴OM ＝OG ＝1 m.∴当x ＝1时，y ＝34. ∴N ⎝⎛⎭⎫1，34. ∴MN ＝34 m.∴S 长方形MNFG ＝MN ·GM ＝34×2＝32(m 2)． ∴32×50＋425＝500(元)．答：每个B 型活动板房的成本是500元．(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n (元)定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w (元)最大？最大利润是多少？ 解：根据题意，得w ＝(n －500)[100＋20（650－n ）10] ＝－2(n －600)2＋20 000.∵每月最多能生产160个B 型活动板房， ∴100＋20（650－n ）10≤160，解得n ≥620. ∵－2＜0，∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小． ∴当n ＝620时，w 有最大值19 200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售B 型活动板房所获利润最大，最大利润是19200元．17.茶叶是湖南省的主要经济作物之一.2021年新茶上市期间,某茶厂为获得最大利益,根据市场行情,把新茶价格定为400元/千克,并根据历年的相关数据整理出第x 天(1≤x ≤15,且x 为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表.假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失,且能在当天全部售出(当天收入＝日销售额－日制茶成本).(1)求出该茶厂第10天的收入;(2)设该茶厂第x天的收入为y(元),试求出y与x之间的函数关系式,并求出该茶厂第几天的收入最高?最高收入为多少元?解:(1)当x＝10时,制茶成本为150＋10x＝250(元/千克),制茶量为40＋4x＝40＋4×10＝80(千克),该茶厂第10天的收入为(400－250)×80＝12000(元).(2)根据题意得y＝[400－(150＋10x)]·(40＋4x)＝－40x2＋600x＋10000＝－40(x－7.5)2＋12250.∵a＝－40<0,1≤x≤15,且x是正整数,∴x＝7或8时,y取得最大值,最大值为12240.∴y与x之间的函数关系式为y＝－40x2＋600x＋10000,该茶厂第7天和第8天的收入最高,最高为12240元.18.某服装批发市场销售一种衬衫,每件衬衫的进价为50元,规定每件售价不低于进价.经市场调查发现,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求出y与x之间的函数解析式.(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想获利24000元,又想尽量给客户优惠,则该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为w(元),那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)y＝－20x＋2600.(2)由题意得(x－50)(－20x＋2600)＝24000,解得x1＝70,x2＝110.∵要尽量给客户优惠,∴这种衬衫应定价为70元/件.(3)由题意得w＝(x－50)(－20x＋2600)＝－20(x－90)2＋32000.∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,每件售价不低于进货价,∴50≤x,(x－50)≤50×30%,解得50≤x≤65,∴当x＝65时,w取得最大值,此时w＝19500.答:售价定为65元可获得最大利润,最大利润是19500元.19.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、x(单位:辆)之间满足y=-12乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.(1)求W与x的函数关系式.(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?解:(1)W=-12x2+10x+2(30-x)=-12x2+8x+60.(2)W=-12x2+8x+60=-12(x-8)2+92,∵a=-12<0,∴当x=8时,W取最大值92,此时30-x=22,∴在甲地销售8辆车,在乙地销售22辆车时W最大,W的最大值是92.(3)甲地每辆车的平均销售利润为(-12x2+10x)÷x=-12x+10,∴-12x+10≤2,解得x≥16.∵W=-12(x-8)2+92,a=-12<0,∴当x≥16时,W随x的增大而减小,∴当x=16时,W最大,此时W=-12×(16-8)2+92=60,∴可获得的最大销售利润为60万元.20.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利1元;(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.(提示:单株获利＝单株售价－单株成本)解:(2)设直线的解析式为y1＝kx＋b(k≠0),把点(3,5),(6,3)代入,得{5＝3k＋b,3＝6k＋b,解得{k＝−23,b＝7,∴直线的解析式为y1＝－23x＋7.设抛物线的解析式为y2＝a(x－6)2＋1, 把点(3,4)代入上式得4＝a(3－6)2＋1,解得a＝13,∴抛物线的解析式为y2＝13(x－6)2＋1,∴y1－y2＝－23x＋7－13(x－6)2－1＝－13(x－5)2＋73.∵－13<0,∴x＝5时,函数取得最大值,∴5月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.。
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之间的函数关系式,并注明x的取值范围(提示:日均获利=每千克获利与×均销售量-其它费用)和获得的最大利润.
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（1）
（2）
（3）
⑧化工材料何时利Βιβλιοθήκη 最大：8 .某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算).
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
人教版九年级数学上册 实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)
实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； （2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米）， 根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞xx ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=abx 时，2625)21(42504422max=-⨯-=-=a b ac y故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm由题意得： 17)420()4(22=-+x x解得： 4,1621==x x当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
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实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题
1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )
A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n －24，则该企业一年中应停产的月份是( )
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元．
6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：
每投入x万元，可获得利润P＝－1
100
(x－60)2＋41.
每年最多可投入100万元的销售投资，
则5年所获利润的最大值是．
7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的
车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为元；(用含x的代数式表示)
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？
10．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数)．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
(3)某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
11．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生
产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧32x （0≤x≤5），20x ＋60（5<x≤19）. (1)李红第几天生产的粽子数量为260只？
(2)如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)
答案：
1---3 ACC
4. (30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 625
5. 600 2400
6. 205万元
7. 解：设每天的销售利润为y 元，销售单价为x 元，
则y ＝(x －50)[50＋5(100－x)]＝－5(x －80)2＋4500，
∵a ＝－5<0，50≤x ≤100，∴当x ＝80时，y 最大值＝4500
8. 解：(1)y ＝－0.5x ＋160(120≤x ≤180)
(2)设销售利润为W 元，则W ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝
－12(x －200)2＋7200，∵a ＝－12
<0， ∴当x<200时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝180时，
W 最大＝－12
(180－200)2＋7200＝7000， 则当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元
9. (1) 1500－50x
(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y ＝x(1500－50x)－6250＝－50(x －15)2＋5000，∵－15<0，当x ＝15时，租赁公司日收益最大，最大是5000元
(3)由题意得－50(x －15)2＋5000>0，解得5<x<25，∵x ≤20，∴5<x ≤20，即当每日租出至少6辆时，租赁公司的日收益才能盈利
10. 解：(1)根据题意得y ＝50－x(0≤x ≤50，且x 为整数)
(2)W ＝(120＋10x －20)(50－x)＝－10x 2＋400x ＋5000＝－10(x －20)2＋9000，∵a ＝－10<0，∴当x ＝20时，W 最大值＝9000，则当每间房价定价为320元时，宾馆每
天所获利润最大，最大利润是9000元
(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －20）2＋9000≥5000，20（－x ＋50）≤600，
解得20≤x≤40， ∵房间数y ＝50－x ，又∵－1<0，∴当x ＝40时，y 的值最小，
这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y ＝2(－x ＋50)＝20(人)
11. 解：(1)设李红第x 天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x ＋60＝260，解得x ＝10，则李红第10天生产的粽子数量为260只
(2)根据图象得当0≤x≤9时，p ＝2；当9<x≤19时，
可求解析式为p ＝110x ＋1110
， ①当0≤x≤5时，w ＝(4－2)·32x＝64x ，x ＝5时w 的最大值为320；②当
5<x≤9时，w ＝(4－2)·(20x＋60)＝40x ＋120，x ＝9时w 的最大值为480；③当
9<x≤19时，w ＝[4－(110x ＋1110
)]·(20x＋60)＝－2x 2＋52x ＋174＝－2(x －13)2＋512，x ＝13时w 的最大值为512.
综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元。