离散数学 第二章 命题逻辑等值演算

2012年4月12日10时44分
（蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （德摩根律） 德摩根律） （德摩根律） 德摩根律） （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律、交换律） 同一律、交换律） （排中律） 排中律） （零律） 零律）
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例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ⇔ ┐(┐p∨p∨q)∧r ⇔ (p∧┐p∧┐q)∧r ⇔ 0∧r ⇔ 0 (3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) ⇔ p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) ⇔ p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0 ⇔ p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) ⇔ p∧(┐q∨p∨q)
3 2012年4月12日10时44分
说 明
等值举例
例2.1 判断下面两个公式是否等值 ┐(p∨q) 与 ┐p∧┐q ∨ ∧ 等值
解答
说 明
在用真值表法判断A 在用真值表法判断A↔B是否为重言式时，真值 是否为重言式时， 表的最后一列可以省略。 4
2012年4月12日10时44分
等值举例
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 例题 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r 与 ∧ (2)(p→q)→r与(p∧q)→r 与 ∧
第二章
命题逻辑等值演算
漳州师范学院计算机科学与工程系
第二章 命题逻辑等值演算
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 等值式、置换规则、等值演算、 主 析取范式 析取范式、 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、 (主)合取范式、联结词完备集、其它联结词、可 合取范式、 主 合取范式 联结词完备集、其它联结词、 满足性问题、 满足性问题、消解法 教学要求： 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、 主 析取范式 主 合取范式 析取范式、 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 学时 4
9 2012年4月12日10时44分
等值演算的应用
等值演算的应用
证明两个公式等值 判断公式类型 解判定问题
10 2012年4月12日10时44分
等值演算的应用举例
证明两个公式等值 (p→q)→r ⇔ (p∨r)∧(┐q∨r) ∨ ∧ ∨
解答
(p→q)→r ⇔ (┐p∨q)→r ∨ ⇔ ┐(┐p∨q)∨r ∨ ∨ ⇔ (p∨r)∧(┐q∨r) ∨ ∧ ∨
说 明
（蕴含等值式、置换规则） 蕴含等值式、置换规则） （蕴含等值式、置换规则） 蕴含等值式、置换规则）
德摩根律、置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r （德摩根律、置换规则） ∧ ∨ （分配律、置换规则） 分配律、置换规则）
也可以从右边开始演算 因为每一步都用置换规则， 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后， 熟练后，基本等值式也可以不写出 通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
17 p：王教授是苏州人。 ：王教授是苏州人。 q：王教授是上海人。 ：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 ：王教授是杭州人。 p，q，r中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演 中必有一个真命题， ， ， 中必有一个真命题 两个假命题， 算将真命题找出来。 算将真命题找出来。 甲的判断为A 设 甲的判断为 1=┐p∧q ∧ 乙的判断为A ∧ 乙的判断为 2=p∧┐q 丙的判断为A 丙的判断为 3=┐q∧┐r ∧
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例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： 用等值演算判断下列公式的类型： 例题 （1）(p→q)∧p→q ） ∧ （2）(p→(p∨q))∧r ） ∨ ∧ （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q) ） ∧ ∨ ∧
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例2.5 解答
6
5.
分配律
2012年4月12日10时44分
®
基本等值式
6.
德摩根律
┐(A∨B) ⇔ ┐A∧┐B ∨ ∧ ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐B ∧ ∨ A∨(A∧B) ⇔ A ， A∧(A∨B) ⇔ A ∨ ∧ ∧ ∨ A∨1 ⇔ 1 , A∧0 ⇔ 0 ∨ ∧ A∨0 ⇔A ， A∧1 ⇔ A ∨ ∧ A∨┐A ⇔ 1 ∨ A∧┐A ⇔ 0 ∧
解答
等值 不等值
5 2012年4月12日10时44分
基本等值式
16组(24个)重要的等值式 组 个 重要的等值式
1. 2. 3. 4.
双重否定律 A ⇔ ┐┐A 幂等律 交换律 结合律 A ⇔ A∨A , ∨ A ⇔ A∧A ∧ A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A ∨ ∨ ∧ ∧ (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) ∨ ∨ ∨ ∨ (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C) ∧ ∧ ∧ ∧ A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ （∨对∧的分配律） 的分配律） A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ （∧对∨的分配律） 的分配律）
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2012年4月12日10时44分
例题
例2.3 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r ⇔ (p→r)∧(q→r) ∨ ∧
解答
(p→r)∧(q→r) ⇔ (┐p∨r)∧(┐q∨r) ⇔ (┐p∧┐q)∨r ⇔ ┐(p∨q)∨r ⇔ (p∨q)→r (蕴含等值式) 蕴含等值式) (分配律) 分配律) (德摩根律) 德摩根律) (蕴含等值式) 蕴含等值式)
2012年4月12日10时44分
p∧1 ⇔ p∧1 ⇔ p
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例2.6 应用题
在某次研讨会的中间休息时间， 名与会者根据王教授的 在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的 口音对他是哪个省市的人进行了判断： 口音对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。 听完以上3人的判断后 王教授笑着说，他们3人中有一 人的判断后， 听完以上 人的判断后，王教授笑着说，他们 人中有一 人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。 人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。 试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？ 试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？
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§2.1 等值式
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看， 抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命 题。 设公式A,B共同含有 个命题变项，可能对 或B有哑元， 共同含有n个命题变项 有哑元， 设公式 共同含有 个命题变项，可能对A或 有哑元 有相同的真值表， 若A与B有相同的真值表，则说明在 n个赋值的每个赋值下， 与 有相同的真值表 则说明在2 个赋值的每个赋值下， A与B的真值都相同。于是等价式A↔B应为重言式。 与 的真值都相同。于是等价式 ↔ 应为重言式。 的真值都相同 应为重言式 定义2.1 设A,B是两个命题公式 若A,B构成的等价式 A↔B 是两个命题公式,若 定义 是两个命题公式 构成的等价式 ↔ 为重言式,则称 与 是等值的 记为A⇔ 是等值的,记为 为重言式 则称A与B是等值的 记为 ⇔B 则称 A或B中可能有哑元出现。 或 中可能有哑元出现 中可能有哑元出现。 p→q ⇔ (┐p∨q)∨(┐r∧r) ∨ ∨ ∧ r为左边公式中的哑元。 为左边公式中的哑元。 为左边公式中的哑元 用真值表可以验证两个公式是否等值。 用真值表可以验证两个公式是否等值。
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
吸收律 零律 同一律 排中律 矛盾律
蕴涵等值式 A→B ⇔ ┐A∨B ∨ 等价等值式 (A ↔ B) ⇔ (A→B)∧(B→A) ∧ 假言易位 A→B ⇔┐B → ┐A
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2012年4月12日10时44分
®
对偶原理
15. 16.
等价否定等值式 等价否定等值式 A↔B ⇔ ┐A ↔ ┐B 归谬论 (A→B)∧(A→┐B) ⇔ ┐A ∧
(1) (p→q)∧p→q ∧ ⇔ (┐p∨q)∧p→q ∨ ∧ ⇔ ┐((┐p∨q)∧p)∨q ∨ ∧ ∨ ⇔ (┐(┐p∨q)∨┐p)∨q ∨ ∨ ∨ ⇔ ((p∧┐q)∨┐p)∨q ∧ ∨ ∨ ⇔ ((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q ∨ ∧ ∨ ∨ ⇔ (1∧(┐q∨┐p))∨q ∧ ∨ ∨ ⇔ ┐q∨q∨┐p ∨ ∨ ⇔ 1∨┐p ∨ ⇔1
19 2012年4月12日10时44分
例2.6 解答
由王教授所说 E = (B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3) ∨ ∨ ∨(B2∧C3∧D1)∨(B3∧C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1) ∨ ∨ 为真命题。 为真命题。 经过等值演算后,可得 经过等值演算后 可得 E ⇔ (┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r) ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ 由题设，王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p， 中至 由题设，王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而 ，r中至 少有一个假命题， 少有一个假命题，即p∧┐q∧r⇔0，于是 ∧ ∧ ⇔ ， E ⇔ ┐p∧q∧┐r ∧ ∧ 为真命题，因而必有p， 为假命题 为假命题， 为真命题 为真命题， 为真命题，因而必有 ，r为假命题，q为真命题，即王教授是 上海人。甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。 上海人。甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。
12 2012年4月12日10时44分
®
例题
证明： 例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值 方法一、真值表法。 解答 方法一、真值表法。 方法二、观察法。易知， 的成假赋值， 方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是 是 的成假赋值 是 p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。 的成真赋值， 的成真赋值 所以原不等值式成立。 方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。 方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。 A=(p→q)→r ⇔ (┐p∨q)→r 蕴涵等值式） ∨ （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ ┐(┐p∨q)∨r （蕴涵等值式） ∨ ∨ 德摩根律） ⇔ (p∧┐q)∨r ∧ ∨ （德摩根律） B=p→(q→r) ⇔ ┐p∨(┐q∨r) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ∨ ∨ 结合律） ⇔ ┐p∨┐q∨r ∨ ∨ （结合律） 000，010是A的成假赋值，而它们是 的成真赋值。 的成假赋值， 的成真赋值。 ， 是 的成假赋值 而它们是B的成真赋值