概率统计试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案

一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8

a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= .

6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 .

7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ .

8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是

.

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件

是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为

,

03()2,342

0,

kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪

=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求

712P X ⎧

⎫<≤⎨⎬⎩

⎭.

四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为

试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为

(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其他 求()(),E X D X

一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A B C U U 2、 3、2

15

6

3

11

C C C 或4

11或 4、1 5、13 6、2

0141315

5

5

k X p 7、1 8、(2,1)N -

二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为

次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505

P A P A P B A P B A =

======= ..... 2分 (1)由全概率公式得

112261511

()()(|)()(|)1151155

P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=

................ 7分 (2)由贝叶斯公式得

22251

()()5

115()1()115

P A P B A P A B P B ⨯===

............................... 12分

三、(本题12分)

解 (1)由概率密度的性质知

故1

6

k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x

F x f t dt -∞==⎰;

当03x <<时, 2011

()()612x x

F x f t dt tdt x -∞===⎰⎰

;

当34x ≤<时, 320311

()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰;

当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫

==+-= ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰;

故X 的分布函数为

220

,01,0312

()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩

................................... 9分

(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫

<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭

(12)

分

四、

解 (1)由分布律的性质知

故0.3a = ........................................................... 4分

(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为

012

0.40.30.3

X

p

............................................... 6分

12

0.40.6

Y p ................................................... 8分

(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故

所以X 与Y 不相互独立. (12)

分

五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 求()(),E X D X .

解 2

1

3

1

2

2

320101

1()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞

-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ............ 6分

122232017

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰

.......................... 9分 221

()()[()].6

D X

E X E X =-= ......................................... 12分 一、 ............................................................... 填空

题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1

9，A 发生且B 不发生的概率

与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：

；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,

020,2

x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩

, 则常数A= ,

分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；

6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 .............................................................................................................. (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：

1,02()2

0,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2

Y X =的密度函数()Y y ϕ；

3）(21)E X -；

2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1） ...........................................................................................................

1/4,

(,)0,

x y ϕ⎧=⎨

⎩其