第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集

第十五章 多元函数的极限与连续性

§1 平面点集

1．设(){}

,n n n P x y =是平面点列，()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=，且0lim n n y y →∞

=. 2． 设平面点列{}n P 收敛，证明{}n P 有界.

3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：

(1)(){}2,|E x y y x =

<； (2)(){}22,|1E x y x y =

+≠； (3)(){},|0E x y xy =

≠； (4)(){},|0E x y xy =

=； (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；

(6)()1,|sin

,0E x y y x x ⎧

⎫==>⎨⎬⎩⎭； (7)(){}22,|10,01E x y x y y x =

+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数.

4．设F 是闭集，G 是开集，证明\F G 是闭集，\G F 是开集.

5．证明开集的余集是闭集.

6．设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ，满足

()01,2,n P P n ≠= 且0lim n n P P →∞

=. 7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.

8．用致密性定理证明柯西收敛原理.

9．设E 是平面点集，如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集.

10．设E 是平面上的有界闭集，()d E 是E 的直径，即

()()',''sup ',''P P E

d E r P P ∈=.

求证：存在 12,P P E ∈，使得()()12,r P P d E =.

11．仿照平面点集，叙述n 维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).

12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.

§2 多元函数的极限与连续性

1．叙述下列定义：

(1) ()00

lim ,x x y y f x y →→=∞； (2) ()lim ,x y f x y A →+∞→-∞

=； (3) ()lim ,x a y f x y A →→+∞=；

(4) ()lim ,x a y f x y →→+∞

=∞. 2．求下列极限（包括非正常极限）：

(1) 22

00

lim x y x y x y →→++； (2) ()332200sin lim x y x y x y →→++；

(3)

2200lim x y →→；

(4) ()22001lim sin x y x y x y

→→++； (5) ()222200lim ln x y x y x y →→+；

(6) 00

lim cos sin x y

x y e e x y →→+-； (7) 322

4200lim x y x y x y →→+； (8) ()02

sin lim x y xy x →→；

(9)

10ln y x y x e →→+

(10) 12

1lim 2x y x y →→-； (11) 44

00

1lim x y xy x y →→++； (12) 22

2200

1lim x y x y x y →→+++； (13) ()(

)22lim x y x y x y e -+→+∞→+∞+；

(14) 222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛

⎫ ⎪+⎝⎭. 3．讨论下列函数在()0,0点的全面极限和两个累次极限：

(1) ()2

22

,x f x y x y =+； (2) ()()11,sin sin f x y x y x y

=+； (3) ()()

,sin x y

e e

f x y xy -=； (4) ()()22

222,x y f x y x y x y =+-；

(5) ()33

2,x y f x y x y

+=+； (6) ()22

33,x y f x y x y

=+； (7) ()()4223

22232,x x y xy f x y x

y ++=+； (8) ()()44

324,x y f x y x y =+.

4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.

5．叙述并证明()00

lim ,x x y y f x y →→存在的柯西收敛准则. 6．试作出函数(),f x y ，使当()()00,,x y x y →时，

(1) 全面极限和两个累次极限都不存在；

(2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；

(3) 全面极限和两个累次极限都存在.

7．讨论下列函数的连续范围：

(1) (

),f x y =

(2) ()1,sin sin f x y x y

=； (3) ()[],f x y x y =+；

(4) ()33

,x y f x y x y +=+； (5) ()()sin , 0,,0, 0;xy y f x y y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

(6) ()

2222sin 0,,0, 0;

xy x y f x y x y ⎧+≠=+=⎩

(7) ()0, ,, x f x y y x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数

；

(8) ()()2222222ln , 0,,0, 0;

y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨+=⎪⎩ (9) ()()222222, 0,, (0)0, 0,

p x x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩.

8．若(),f x y 在某区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足利普希茨条件，即对任意 (),'x y G ∈和(),''x y G ∈，有 ()(),','''''f x y f x y L y y -≤-，