数学文化高考考点
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12.(2019·晋中调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日—1727年3月31日)，英国皇家学会 会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线” 的方法求函数 f(x)零点时给出一个数列{xn}：满足 xn＋1＝xn－f′fxnxn，我们把该数列
是5级地震震波的最大振幅的
A.10倍 C.50倍
B.20倍
√D.100倍
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解析 对公式 M＝lg A－lg A0 进行转化得 M＝lg AA0，即AA0＝10M，A＝A0·10M. 当M＝7时，地震震波的最大振幅为A7＝A0·107， 当M＝5时，地震震波的最大振幅为A5＝A0·105. 则AA75＝AA00··110075＝100.
3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支
的总称.天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环.甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥为地支.如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公
图 所 示 的 程 序 框 图 是 为 了 得 到 大 衍 数 列 的 前 100 项 而 设 计 的 ， 那 么 在 两 个
“
”中，可以先后填入
A.n是偶数？n≥100?
B.n是奇数？n≥100?
C.n是偶数？n>100?
√D.n是奇数？n>100?
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A.4
B.5
√C.6
D.7
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解析 由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d， 则有aa19＋ ＋aa21＝ 0＝24， ⇒22aa11＋ ＋d1＝ 7d2＝，4 ⇒da＝1＝1811.56， 所以该金箠的总重量 M＝10×1156＋10× 2 9×18＝15. 因为 48ai＝5M，所以有 481156＋i－1×18＝75，解得 i＝6.
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4.(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分
成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一 个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
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10.(2018·河北省衡水金卷模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：
今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有
上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈，高3丈.
问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样
下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题
中的刍童的体积为 A.13.25立方丈
√B.26.5立方丈
C.53立方丈
D.106立方丈
解析 由算法可知，刍童的体积
V＝[2上底长＋下底长×上底宽＋62下底长＋上底长×下底宽]×高， ＝[2×3＋4×2＋62×4＋3×3]×3＝26.5(立方丈).
√A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
解析 设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式，得体积为V＝πr2h. 由题意知 V＝112×(2πr)2×h，所以 πr2h＝112×(2πr)2×h，解得 π＝3.
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9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形 状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸).若在某地下雨天时利用该 器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等 于器具中积水的体积除以器具口的面积.参考公式：圆台的体积V＝ 1 πh(R2＋r2＋
7.《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：“今
有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之
剩二，问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除
以五余三，除以七余二，求这个整数.此问题可以用计算机
解决.记N≡r(MOD m)，表示正整数N除以正整数m的余数
为r，例如10≡2(MOD 4).执行如图所示的程序框图，则输
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11.(2019·达州模拟)里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的
标度，用来表示测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的
振幅就越大，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A，A0分别是距震中100公里处接 收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅
2.(2018·晋中榆社中学模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍
之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一
项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐
藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇
数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，如
“今有金箠，长5尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几
何？”，意思是“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，
重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗
到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重
量为ai(i＝1,2，…，10)，且a1<a2…<a10，若48ai＝5M，则i等于
解析 根据偶数项是序号平方再除以2， 奇数项是序号平方减1再除以2， 可知第一个框应该是“n是奇数？”， 执行程序框图，n＝1，S＝0；n＝2，S＝2；n＝3，S＝4；…； n＝99，S＝9922－1；n＝100，S＝10202； n＝101>100结束，所以第二个框应该填n>100？.
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元1986年为农历丙寅年.则2049年为农历
A.己亥年
√B.己巳年
C.己卯年
D.戊辰年
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解析 方法一 2 049－1 983＝66， 66除以10所得余数为6，即对应的天干为“己”； 66除以12所得的余数为6，即对应的地支为“巳”， 所以2 049年为农历己巳年. 方法二 易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046,2 046除 以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”. (年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的 余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年.
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6.(2019·长沙模拟)如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案
的设ຫໍສະໝຸດ Baidu基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个
全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3,5，
A.3 2f
B.3 22f
C.12 25f
√D.12 27f
解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为 f、公比为12 2的等比数列， 则第八个单音的频率为(12 2)7f＝12 27f.
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5.(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示.以此类推.例如3 266用算筹表
示就是
，则8 771用算筹可表示为
√
解析 由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十 位、千位、十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.
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解析 ∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2， ∴f(x)＝a(x－1)(x－2)＝a(x2－3x＋2)(a>0)，∴f′(x)＝2ax－3a， 则由题意得，xn＋1＝xn－ax22na－xn3－xn3＋a 2＝xn－x2n－2x3n－xn＋3 2＝2xx2nn－－23， ∴xxnn＋ ＋11－ －21＝22xxxx2n2nnn－－－－2233－－21＝xx22nn－ －42xxnn＋ ＋41＝xxnn－ －212， ∵ an＝ln xxnn－ －21，且 a1＝1，xn>2， ∴an＋1＝ln xxnn＋ ＋11－ －21＝2ln xxnn－ －21＝2an，
出的i等于
A.7
B.10
√C.8
D.23
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解析 根据框图可列表如下： N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 i 011 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8
在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是
√A.127
B.18
2
4
C.9
D.25
解析 因为直角三角形的直角边长分别为3,5， 所以正方形ABCD的面积为32＋52＝34，易知四边形EFGH的面积为(5－3)2＝4. 故此点取自四边形 EFGH 内的概率 P＝344＝127.
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称为牛顿数列.如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列， xn－2
设 an＝lnxn－1，已知 a1＝1，xn>2，{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 018＋1 等于
A.2 018
√C.22 018
B.2 019 D.22 019
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3 R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)
√A.2寸
B.3寸 C.4寸 D.5寸
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解析 由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸. 因为所接雨水的深度为 6 寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)， 则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以这一天该地的平均降雨量约为π3×421π22≈2(寸).
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8.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问
积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，
它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝112 × 底面圆的周长的平方×高，则由此可推得圆周率π的取值为
板块三 基础考点练透提速不失分
1.(2019·东北三省四市教研联合体模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其
中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算的.算筹是将几寸
长的小竹棍摆在地面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种(如图所示).表示一个多位数时，
像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位、
12.(2019·晋中调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日—1727年3月31日)，英国皇家学会 会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线” 的方法求函数 f(x)零点时给出一个数列{xn}：满足 xn＋1＝xn－f′fxnxn，我们把该数列
是5级地震震波的最大振幅的
A.10倍 C.50倍
B.20倍
√D.100倍
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解析 对公式 M＝lg A－lg A0 进行转化得 M＝lg AA0，即AA0＝10M，A＝A0·10M. 当M＝7时，地震震波的最大振幅为A7＝A0·107， 当M＝5时，地震震波的最大振幅为A5＝A0·105. 则AA75＝AA00··110075＝100.
3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支
的总称.天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环.甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥为地支.如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公
图 所 示 的 程 序 框 图 是 为 了 得 到 大 衍 数 列 的 前 100 项 而 设 计 的 ， 那 么 在 两 个
“
”中，可以先后填入
A.n是偶数？n≥100?
B.n是奇数？n≥100?
C.n是偶数？n>100?
√D.n是奇数？n>100?
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A.4
B.5
√C.6
D.7
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解析 由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d， 则有aa19＋ ＋aa21＝ 0＝24， ⇒22aa11＋ ＋d1＝ 7d2＝，4 ⇒da＝1＝1811.56， 所以该金箠的总重量 M＝10×1156＋10× 2 9×18＝15. 因为 48ai＝5M，所以有 481156＋i－1×18＝75，解得 i＝6.
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4.(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分
成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一 个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
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10.(2018·河北省衡水金卷模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：
今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有
上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈，高3丈.
问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样
下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题
中的刍童的体积为 A.13.25立方丈
√B.26.5立方丈
C.53立方丈
D.106立方丈
解析 由算法可知，刍童的体积
V＝[2上底长＋下底长×上底宽＋62下底长＋上底长×下底宽]×高， ＝[2×3＋4×2＋62×4＋3×3]×3＝26.5(立方丈).
√A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
解析 设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式，得体积为V＝πr2h. 由题意知 V＝112×(2πr)2×h，所以 πr2h＝112×(2πr)2×h，解得 π＝3.
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9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形 状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸).若在某地下雨天时利用该 器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等 于器具中积水的体积除以器具口的面积.参考公式：圆台的体积V＝ 1 πh(R2＋r2＋
7.《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：“今
有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之
剩二，问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除
以五余三，除以七余二，求这个整数.此问题可以用计算机
解决.记N≡r(MOD m)，表示正整数N除以正整数m的余数
为r，例如10≡2(MOD 4).执行如图所示的程序框图，则输
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11.(2019·达州模拟)里氏震级是由古登堡和里克特制定的一种表明地震能量大小的
标度，用来表示测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的震波的
振幅就越大，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A，A0分别是距震中100公里处接 收到的所关注的这个地震和0级地震的震波的最大振幅，则7级地震震波的最大振幅
2.(2018·晋中榆社中学模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍
之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一
项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐
藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇
数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，如
“今有金箠，长5尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几
何？”，意思是“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，
重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗
到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重
量为ai(i＝1,2，…，10)，且a1<a2…<a10，若48ai＝5M，则i等于
解析 根据偶数项是序号平方再除以2， 奇数项是序号平方减1再除以2， 可知第一个框应该是“n是奇数？”， 执行程序框图，n＝1，S＝0；n＝2，S＝2；n＝3，S＝4；…； n＝99，S＝9922－1；n＝100，S＝10202； n＝101>100结束，所以第二个框应该填n>100？.
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元1986年为农历丙寅年.则2049年为农历
A.己亥年
√B.己巳年
C.己卯年
D.戊辰年
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解析 方法一 2 049－1 983＝66， 66除以10所得余数为6，即对应的天干为“己”； 66除以12所得的余数为6，即对应的地支为“巳”， 所以2 049年为农历己巳年. 方法二 易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046,2 046除 以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”. (年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的 余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年.
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6.(2019·长沙模拟)如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案
的设ຫໍສະໝຸດ Baidu基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个
全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3,5，
A.3 2f
B.3 22f
C.12 25f
√D.12 27f
解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为 f、公比为12 2的等比数列， 则第八个单音的频率为(12 2)7f＝12 27f.
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5.(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示.以此类推.例如3 266用算筹表
示就是
，则8 771用算筹可表示为
√
解析 由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十 位、千位、十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.
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解析 ∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2， ∴f(x)＝a(x－1)(x－2)＝a(x2－3x＋2)(a>0)，∴f′(x)＝2ax－3a， 则由题意得，xn＋1＝xn－ax22na－xn3－xn3＋a 2＝xn－x2n－2x3n－xn＋3 2＝2xx2nn－－23， ∴xxnn＋ ＋11－ －21＝22xxxx2n2nnn－－－－2233－－21＝xx22nn－ －42xxnn＋ ＋41＝xxnn－ －212， ∵ an＝ln xxnn－ －21，且 a1＝1，xn>2， ∴an＋1＝ln xxnn＋ ＋11－ －21＝2ln xxnn－ －21＝2an，
出的i等于
A.7
B.10
√C.8
D.23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 根据框图可列表如下： N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 i 011 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8
在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是
√A.127
B.18
2
4
C.9
D.25
解析 因为直角三角形的直角边长分别为3,5， 所以正方形ABCD的面积为32＋52＝34，易知四边形EFGH的面积为(5－3)2＝4. 故此点取自四边形 EFGH 内的概率 P＝344＝127.
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称为牛顿数列.如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列， xn－2
设 an＝lnxn－1，已知 a1＝1，xn>2，{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 018＋1 等于
A.2 018
√C.22 018
B.2 019 D.22 019
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3 R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)
√A.2寸
B.3寸 C.4寸 D.5寸
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解析 由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸. 因为所接雨水的深度为 6 寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)， 则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以这一天该地的平均降雨量约为π3×421π22≈2(寸).
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8.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问
积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，
它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝112 × 底面圆的周长的平方×高，则由此可推得圆周率π的取值为
板块三 基础考点练透提速不失分
1.(2019·东北三省四市教研联合体模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其
中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算的.算筹是将几寸
长的小竹棍摆在地面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种(如图所示).表示一个多位数时，
像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位、