第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
第四节最小相位系统与非最小相位系统
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当w从0变化至∞时，系统
10
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
-4.6
-2.3
0
2.3
数幅频特性的斜率。 4.6 u=ln(ww0)
上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特
性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随
之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特
性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分
析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。
最小相位系统与非最小相位系统
Sunday, July 12, 2020
1
最小相位系统和非最小相位系统
最小相位系统和非最小相位系统 定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节 的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函 数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节 的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传 递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小， 并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具 有内在的关系。
u
e e u
-u
2
2
ln ctgh = ln
2
e - e u
-u
2
2
为加权函数，曲线如图
Sunday, July 12, 2020
6
最小相位系统非最小相位系统一复杂系统开环传函可
L( ) 20 lg K
( ) 0
L(ω)/dB 20lgK
φ(ω)/(°)
01
ω
01
ω
2. 积分环节 G(s) 1
s
频率特性为
G( j )
1
1
j
e2
j
其幅频特性和相频特性为
A() 1/
奈氏曲线为：
Im
() 90
ω→∞ 0
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( ω0, －45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。 当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的
形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线
(描点法)
L() 20 lg 1 1 2T 2
20 lg 1 2T 2
() arctgT
L()/dB
0 0.1/T
-10 -20 -30
()/(°) 0°
0.1/T -45°
渐近线 渐近线
1/T
精确曲线
1/T
10/T
10/T
-90°
当ωT=1时, ω=1/T 称为交接频率, 或转 折频率、转角频率。
φ (ω )/(°)
0.1
ω
－90°
3. 微分环节 G(s) s
微分环节的频率特性为
j
G( j ) j e 2
其幅频特性和相频特性为 A( )
奈氏曲线为：
Im ( ) 90
ω→∞
ω＝0
0 Re
最小相位系统和全通系统的应用场景
最小相位系统和全通系统的应用场景1. 引言最小相位系统和全通系统是信号处理领域中常见的概念和技术。
它们在不同的应用场景中具有各自的优势和特点。
本文将分别介绍最小相位系统和全通系统的定义及其应用场景。
2. 最小相位系统最小相位系统是指在时域和频域中都具有最小相位特性的系统。
在时域中，最小相位系统的冲激响应是因果、稳定且单调递减的。
在频域中，最小相位系统的频率响应是全局最小相位的，即相位谱是全局最小的。
最小相位系统的应用场景有以下几个方面：2.1 语音信号处理在语音信号处理中，最小相位系统常用于语音增强、语音识别等任务。
通过对语音信号进行最小相位滤波，可以提高语音信号的清晰度和可识别性。
最小相位系统还可以用于语音合成，通过对语音信号进行合成滤波，生成自然、流畅的语音。
2.2 音频信号处理在音频信号处理中，最小相位系统常用于音频增强、音频修复等任务。
通过对音频信号进行最小相位滤波，可以提高音频信号的音质和可听性。
最小相位系统还可以用于音频效果处理，通过对音频信号进行效果滤波，实现各种音频效果的生成和调节。
2.3 图像信号处理在图像信号处理中，最小相位系统常用于图像增强、图像复原等任务。
通过对图像信号进行最小相位滤波，可以提高图像的清晰度和细节表现力。
最小相位系统还可以用于图像特效处理，通过对图像信号进行特效滤波，实现各种图像特效的生成和调节。
3. 全通系统全通系统是指在频域中具有全通特性的系统。
全通系统的频率响应具有均匀相位特性，即相位谱是常数。
全通系统的应用场景有以下几个方面：3.1 通信系统在通信系统中，全通系统常用于信道均衡和信号恢复。
通过对接收信号进行全通滤波，可以抵消信道对信号的频率响应影响，提高信号的传输质量和可靠性。
3.2 语音合成在语音合成中，全通系统常用于声道模型的建模和声学参数的转换。
通过对声道模型进行全通滤波，可以模拟不同的发音特点和声音效果。
全通系统还可以用于声学参数的转换，实现不同语音风格和语音特点的合成。
最小相位系统和全通系统的应用场景
最小相位系统和全通系统的应用场景最小相位系统和全通系统是信号处理领域中两个重要的概念。
它们在不同的应用场景中发挥着重要的作用。
本文将分别介绍最小相位系统和全通系统的定义以及它们在实际应用中的应用场景。
一、最小相位系统最小相位系统是指在频率域中，系统的传递函数的振幅谱是非负的、单调递减的，并且相位谱是单调递增的。
最小相位系统具有许多重要的特性，例如能量集中、时域响应无残差等。
最小相位系统在信号处理中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，最小相位系统可以用于音频信号的滤波和增强。
它可以去除噪声、改善音质，并且能够提取出信号中的有用信息。
此外，在图像处理领域，最小相位系统也可以用于图像去模糊和边缘检测。
通过将图像信号经过最小相位系统处理，可以使图像变得更清晰，边缘更加明显。
二、全通系统全通系统是指在频率域中，系统的传递函数的振幅谱是非负的并且相位谱可以是任意的。
全通系统具有许多重要的特性，例如不会改变信号的能量和频谱形状等。
全通系统在信号处理中也有着广泛的应用。
例如，在通信领域，全通系统可以用于信号的均衡和调制解调。
通过全通系统的处理，信号可以得到平衡，提高传输的可靠性和稳定性。
此外，在语音识别中，全通系统也可以用于语音信号的特征提取和降噪。
通过全通系统的处理，可以提取出语音信号中的关键特征，并降低噪声对语音识别的影响。
总结起来，最小相位系统和全通系统在信号处理领域中具有重要的应用价值。
它们可以用于音频处理、图像处理、通信等领域，提高信号的质量和可靠性。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择最小相位系统或全通系统，以达到最佳的信号处理效果。
希望本文对读者们有所启发，增加对最小相位系统和全通系统的理解。
同时也希望读者们能够进一步探索信号处理领域的其他知识，为实际应用提供更多的创新和发展。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
j 5 (w )
1 10T1
1 Wednesday, T1April
01,
2015
1 T2
10 T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的 变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性 的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地 确定其相频特性。 伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的 相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：
90° 129.3° 173.7°
39.3° 5.1°
5.1° 39.3° 54.9° -5.7° -45° -73°
-96.6° -578.1°
4
最小相位系统和非最小相位系统
L(w )
0 -5 -10 -15 -20
w
1 10T1
1 T1
1 T2
10 T2
180° 135° 90° 45° 0° -45° -90° -135° -180° -225° -270°
Wednesday, April 01, 2015
2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
T2 s 1 G1 ( s) = T1s 1 1 - T2 s G2 ( s) = T1s 1 T2 s 1 G3 ( s) = 1 - T1s G4 ( s) = 1 - T2 s 1 - T1s
j (w )
j 3 (w )
j 4 (w )
w
j1 (w )
j 2 (w )
由图可知最小相位系统是指在 具有相同幅频特性的一类系统 中，当w从0变化至∞时，系统 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))； 或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的 变化趋势不一致(如 j4(w) )。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
1 s 1) 0.8 G( s) = 1 1 s 2 ( s 1)( s 1) 30 50 3.2(
Wednesday, April 01, 2015
10
非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当 w 0 时，对数幅频特性的高频
渐近线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于 - (n - m) 。具有
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
j1(w)
j2(w) j3(w) j4(w) j5(w)
Wednesday, April 01, 2015
-5.1° -39.3° -54.9°
-6.3° -50.7° 6.3° 50.7°
-90° -129.3° -173.7°
-60 0.1
-40dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
0.8 1
4
10
30 50
100
1000
L(w ) = 20lg K 20lg 1 (
Wednesday, April 01, 2015
w
0.8
) - 20lg w - 20lg 1 (
2 2
w
30
) - 20lg 1 (
最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
非最小相位系统
13
奈氏图为：
0 .1
1
- 0 .1
1
= 1, T = 10
= 1, T = 10
第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后
18
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 10-1
100
101
图5-20传递延迟的相角特性曲线
19
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
T
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
请看下页
7
1
5.2.4 二阶因子 [1 2 ( j /n ) ( j /n )2 ]1 1 2 ( j ) ( j )2
L()
( )
纵坐标均按线性分度
横坐标是角速率 按lg 分度 10倍频程，用dec 3
极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表示。 当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G( j) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上 移动的轨迹称为极坐标图。 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于 极坐标图阐述了反馈系统稳定性
作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典 型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区 域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
12
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
5.5最小相位系统与非最小相位系统5.6用频率特性求系统传递函数5.7系统的性能指标
10/T2
-5.1° -173.7° 173.7° 5.1° -578.1°
-5.1° -39.3° -54.9° -6.3° -50.7° 6.3° 5.1° -5.7° 50.7° 39.3° -45° -90°
90°
54.9° -73°
最小相位系统和非最小相位系统
L( )
0 -5 -10 -15 -20
反之亦然最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统arctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctan573最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统可计算出下表其中为对数坐标中513935493935163507901293173763507901293173751393549393515745739665781201510527022518013590454590135180由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中当从0变化至时系统的相角变化范围最小且变化的规律与幅频特性的斜率有关
• 带宽BW: 0到ωb的频率范围。 – 带宽反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反 映了系统的响应速度。 – 带宽愈大，响应速度愈快。反之，带宽愈小， 只有较低频率的信号才易通过，则时域响应往 往比较缓慢。
二阶系统的频域指标: 其幅频特性为:
| G ( j ) |
2 n G( j ) 2 ( j ) 2 2n ( j ) n
由Bode图确定系统的传递函数
由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图 相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确 定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统 的数学模型。 最小相位系统
最小相位系统和非最小相位系统
Im
r=
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
3. • 乃氏路径的修正
Im
j
r=
幅角原理规定不能包含F(s)的零极 点，如果虚轴上有开环极点，那么我 们采用小的半圆去包围这样的极点， 如图。 4. 圈数的计算 开环频率特性要包含-1，必须在-1的 左面穿越虚轴，由下到上为正穿越， 由上到下为负穿越，起于-1左面负实 轴的为半穿越。 N等于穿越数的两倍。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.2 幅角原理
• 说明： 1. F(s)绕F()运动的方向和s绕 运动的方向一致。 2. 如果F()不包含原点，那么 N=0。 3. N只与零极点个数有关，与具 体位置无关。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
1. 乃氏路径 • 我们将右图所示的路径称为乃氏路 径，乃氏路径是一条闭围线。当 r=时，乃氏路径包围了整个右半 平面。 2. 乃氏稳定判据 • 如果将闭环的特征式F(s)看成映射， 那么当s沿着乃氏曲线运动的时候， F(s)包围原点的圈数N等于F(s)在右 半平面的零点个数减去极点个数。 即闭环不稳定极点个数Z减去开环 不稳定极点个数P。 N=Z-P, Z=N+P。
关于最小相位系统的计算
• 求传递函数。关键在于计算K。 • 基本规律: 1. 根据任何一个L(ω)可以求出K； 2. 在这个ω之后的转角对计算没有作用。
L(w)
K 2 K 1 20 log 20 log L 2 1
w1
w2 w
w3
w4
关于最小相位系统的计算 • 计算L(ω)：包括已知L求ω 和给出ω求L。 • 基本规律: 1. 先确定传递函数； 2. 在ω以后的转角频率对L(ω)没有影响。
波德(Bode)图
2 2
低频段( << n)
L( ) 20lg1 0
即低频渐近线为0dB的水平线。 高频段( >> n)
2 L( ) 20lg 1 2 n n 2 2
20 lg 40 lg 40 lg 40 lg n n n
3
通常用L()简记对数幅频特性，也称L() 为增益；用()简记对数相频特性。
对数坐标的优点
幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数 幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关 于零度线对称
11
20 10
Bode Diagram
= 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.5
L()/ (dB)
0
-10 -20
-30 -40 0
渐近线
= 0.7 = 1.0
-40dB/dec
() / (deg)
-45
-90 -135 -180 0.1
= 0.1 = 0.2 = 0.3
即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。 高频段( >> 1/T )
L( ) 20lg 1 T 2 2 20lg T 20lg T 20lg
即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称 为高频渐近线。
7
L()/ (dB)
10 0
10
Bode Diagram 渐近线 -20dB/dec
j 1 i 1 n m
(3)依次作出各环节的Bode图（渐进线）; (4)将各环节曲线合成； (5)将对数幅频特性曲线竖直移动20lgKdB.
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
10
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6(1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j (w) = -90 tg-1 w - tg-1 w
7
2
Saturday, November 28,
Saturday, November 28, 2020
6
最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln
ctgh u 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u = 1.1 ； 2
一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
Saturday, November 28, 2020
15
- du
2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的
最小相位系统
BODE图的讲解
注意：K不影响 表达式。
§5.3.2
开环系统对数频率特性 ( Bode)
非最小相位系统
—— 在右半s平面存在开环零点或开环极点的系统 ★ 非最小相角系统未必不稳定 ★ 最小相角系统由L()可以惟一确定G(s) 非最小相角系统由L()不能惟一确定G(s)
课程小结
绘制开环系统Bode图的步骤
1 G ( j ) ( ) j
( ) 90
L( ) 20 lg
当
( )
( ) 90 *
⑷ 惯性环节
1 G ( j ) 1 jT
L( ) 20lg 1 2T2
( ) arctan T
§5.3.1
⑸ 一阶微分
Bode图介绍
§5.3
Bode图介绍
对数频率特性 ( Bode)（2）
横轴
按 lg 刻度，dec “十倍频程” 按 标定，等距等比
坐标特点
纵轴
L( ) 20lgG( j )
dB “分贝”
⑴ 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图； (2) 可在大范围内表示频率特性；
特点 (3) 使各个频段（分别关系到系统各种性能）都
基准点 ( 1, 斜率
L(1) 20l g K )
20 v dB de c
复合微分 +20dB/dec ⑷ 叠加作图 振荡环节 -40dB/dec 二阶 复合微分 +40dB/dec
0.2 惯性环节 -20 0.5 一阶复合微分 +20 1 振荡环节 -40
§5.3.2
当 1
自动控制原理
§5. 线性系统的频域分析
§5.1 §5.2
§5.3
频率特性的基本概念 幅相频率特性（Nyquist图）
最小相位系统的判稳
最小相位系统的判稳最小相位系统是指具有最小相位因子的线性时不变系统，其具有许多独特的性质。
其中之一就是当输入信号稳定时，输出也会稳定，因此我们可以通过判断系统是否稳定来确定最小相位系统的性质。
下面将分步骤阐述如何判断最小相位系统的稳定性。
首先，我们需要了解系统的最小相位因子的定义。
最小相位因子是指将系统的所有零点移到原点后，得到的新系统的全通滤波器的倒数，即H(z)与其共轭的数值的乘积。
这个因子的计算可以用极坐标表示，也可以通过让系统的频率响应取绝对值并对其进行延迟来实现。
接下来，我们需要确定系统的极点和零点的位置。
首先，我们可以将系统的传递函数H(z)分解为一个分子和一个分母多项式的比值形式。
然后，我们可以通过将分子和分母多项式分别设置为零，解出系统的所有零点和极点。
在最小相位系统中，所有的零点都在单位圆内部，而所有的极点都在单位圆外部。
接下来，我们需要使用Bode图来绘制系统的频率响应曲线。
从Bode图上可以看出系统的增益和相位随着频率的变化情况。
对于最小相位系统，图形中所有的旋转角度都要小于-180度，而增益则应保持正号。
如果有任何一个旋转角度大于-180度，且频率足够高，那么就不能保证系统的稳定性。
最后，我们需要分析系统的稳定性。
为了确保稳定性，我们需要将系统的极点全部位于单位圆内；此外，我们还需要确保相位角的变化不会导致系统不稳定。
一种判断相位角稳定性的常用方法是查看频率响应图形的相位角变化量，如果变化量发生显著跳跃，则系统可能不稳定。
综上所述，判断最小相位系统的稳定性需要依次执行以下步骤：计算最小相位因子，确定系统的极点和零点位置，绘制系统的Bode图，分析极点和相位变化是否符合系统稳定的条件。
当我们确定这些条件都满足时，我们可以得出结论：系统是稳定的，并且可以对其进行进一步的分析和设计。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
j 5 (w )
1 10T1
1 Wednesday, T1April
01,
2015
1 T2
10 T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的 变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性 的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地 确定其相频特性。 伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的 相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
j1(w)
j2(w) j3(w) j4(w) j5(w)
Wednesday, April 01, 2015
-5.1° -39.3° -54.9°
-6.3° -50.7° 6.3° 50.7°
-90° -129.3° -173.7°
90° 129.3° 173.7°
39.3° 5.1°
5.1° 39.3° 54.9° -5.7° -45° -73°
-96.6° -578.1°
4
最小相位系统和非最小相位系统
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
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0 0
最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示，试确定系统的传递函数，50 40 并写出系统的相频特性表达式。 解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所 以有一个积分环节； ⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 ⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) ⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1) 1 5.6( s 1) 7 G( s) = 1 s( s 1) 2
这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有 相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小， 。相角变化大于最小值的系统称为非最小 如上表示的
( n - m)
2
相位系统。
2
[结论]：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，
相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。
Wednesday, April 01, 2015
2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
T2 s 1 G1 ( s) = T1s 1 1 - T2 s G2 ( s) = T1s 1 T2 s 1 G3 ( s) = 1 - T1s G4 ( s) = 1 - T2 s 1 - T1s
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
因果系统,最小相位系统判断条件
因果系统，最小相位系统判断条件因果系统什么是因果系统？因果系统是指输入信号与输出信号之间的关系满足因果律的线性时不变系统，即输出信号只与当前和过去的输入信号有关，而与未来的输入信号无关。
为什么要考虑因果性？在实际应用中，因果性是一个非常重要的约束条件。
如果一个系统不满足因果性，就会出现“未来影响过去”的情况，这在物理世界中是不可能的。
因此，在设计和分析信号处理系统时，必须保证其满足因果性。
如何判断一个系统是否具有因果性？通常采用两种方法来判断一个系统是否具有因果性：时间域方法和频域方法。
时间域方法：1. 因果定理如果一个系统具有线性时不变特性，并且它对任何有限持续时间的输入都产生有限持续时间的输出，则该系统是因果的。
2. 线性常系数微分方程对于一个线性常系数微分方程，如果其初值为零，则其解在任意时间点上都为零。
这个条件也可以用来判断一个系统是否具有因果性。
3. 卷积积分式如果卷积积分式中下限为0，则该系统是因果的。
频域方法：1. Laplace变换对于一个系统的传递函数，如果其极点全部在左半平面，则该系统是因果的。
2. Z变换对于一个离散时间系统的传递函数，如果其收敛域包含单位圆内部，则该系统是因果的。
最小相位系统什么是最小相位系统？最小相位系统是指具有最小相位特性的线性时不变系统。
具有最小相位特性意味着该系统所产生的输出信号在时间和幅度上都比非最小相位系统更加“快速”。
为什么要考虑最小相位性？在信号处理中，许多算法和方法都是基于假设输入信号为白噪声或具有某种随机性质。
这些算法和方法通常要求输入信号通过一个滤波器后具有一定的统计特性，而这些统计特性通常与滤波器的相位响应有关。
因此，在设计和分析信号处理算法时，需要考虑滤波器的最小相位特性。
如何判断一个系统是否为最小相位系统？1. 极点分布对于一个线性时不变滤波器，如果其极点全部在左半平面，则该滤波器是最小相位滤波器。
2. 相移响应对于一个线性时不变滤波器，如果其相移响应为实数且非正，则该滤波器是最小相位滤波器。
因果系统,最小相位系统判断条件
因果系统与最小相位系统1. 引言因果系统和最小相位系统是信号处理中的两个重要概念。
它们分别描述了信号的因果性和频率响应特性。
本文将详细介绍因果系统和最小相位系统的定义、判断条件以及其在信号处理中的应用。
2. 因果系统因果系统是指在任意时刻，输出只依赖于过去或当前的输入。
换句话说，输出不会依赖于未来的输入。
一个因果系统可以用数学形式表示为：n[k]x[n−k]y[n]=∑ℎk=−∞其中，y[n]表示输出，x[n]表示输入，ℎ[k]表示系统的冲激响应。
2.1 判断条件一个离散时间因果系统是稳定的当且仅当其冲激响应ℎ[k]满足以下条件：1.ℎ[k]在k=0之前均为零。
2.|ℎ[k]|随着k的增大而减小。
这些条件保证了输出只取决于过去或当前的输入，并且不会受到未来输入的影响。
2.2 应用因果系统广泛应用于信号处理、控制工程等领域。
例如，在音频处理中，因果系统可以用于实现滤波器，对音频信号进行降噪、均衡等处理。
在图像处理中，因果系统可用于实现图像增强、边缘检测等算法。
3. 最小相位系统最小相位系统是指具有最小的相位延迟的线性时不变系统。
一个离散时间最小相位系统可以用数学形式表示为：∞[k]x[n−k]y[n]=∑ℎk=−∞其中，y[n]表示输出，x[n]表示输入，ℎ[k]表示系统的冲激响应。
3.1 判断条件一个离散时间线性时不变系统是最小相位的当且仅当其冲激响应ℎ[k]满足以下条件：1.ℎ[k]在k=0之前均为零。
2.|ℎ[k]|随着k的增大而减小。
3.ℎ[k]是非负的或者至少有一个正值。
这些条件保证了系统具有最小的相位延迟，并且能够保持信号的能量。
3.2 应用最小相位系统在信号处理中具有重要作用。
例如，在语音识别中，最小相位分析可以提取语音信号的重要特征，用于语音识别算法。
在通信系统中，最小相位滤波器可以用于信号的调制和解调，提高通信质量。
4. 总结因果系统和最小相位系统是信号处理中的重要概念。
因果系统描述了输出只依赖于过去或当前的输入，而最小相位系统则描述了具有最小相位延迟的线性时不变系统。
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(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数幅频特性 对数频率 特性曲线
相频特性
20log G( j) dB G( j) ()
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1)(Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1)(Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn
n
n
时
40 log 40 log1 0 n
dB
所以高频渐近线与低频渐近线在
8
处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
谐振频率谐振峰值
d g() 2(1 2 )(2 ) 2(2 )2 1 0
dt
n2
n2
n n
g ( )
2
2 n
(1
2 n
2
2)2
4
2 (1
2)
G( j)
n
n
L()
20 log
1 2 (
j
1
)
(
j
)2
20log
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
n
n
低频渐近线为一条0分贝的水平线
在低频时，即当 n
-20log1=0dB
在高频时，即当 n
2
20log 40log dB
n2
n
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线
由于在
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有 意义。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
20
静态位置误差常数的确定
T
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
请看下页
7
1
5.2.4 二阶因子 [1 2 ( j /n ) ( j /n )2 ]1 1 2 ( j ) ( j )2
15
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
22
(s 1)(0.2s 1)
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为 20 log Kv 证明 在1型系统中G( j) Kv , 1
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数
最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统
非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
13
1 jT G1( j) 1 jT1
jω
G2
(
j)
1 1
jT jT1
,
jω
0 T T1
σ
σ
1 T
1)
j 1)
G( j) 在低频段等于 K p ，即
lim
0
G(
j)
K
p
21
30 20logK cf1_dB=23.5218252
20 -20dB/dec
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
-40
10-1
100
101
G(s)
-90
-135
非最小相位系统
-180
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
图5-19
1 jT 1 jT1
和
1 jT 的相角特性 1 jT1
15
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统） 的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相 位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角 范围
最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频 率范围上给定，则相角曲线被唯一确定
反之亦然
这个结论对于非最小相位系统不成立。
16
判断最小相位系统的另一种方法
最小相位系统，相角在 时变为 90(n m)dB / dec
n为极点数，m为零点数。
L()
( )
纵坐标均按线性分度
横坐标是角速率 按lg 分度 10倍频程，用dec 3
极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表示。 当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G( j) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上 移动的轨迹称为极坐标图。 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于 极坐标图阐述了反馈系统稳定性
G( j) j
() 90
类推
(1/ j)n
L() 20log 1 20n log (dB源自 ( j)n() 90 n
( j)n L() 20log ( j)n 20n log(dB) () 90 n
这些幅频特性曲线将通过点 0dB, 1
6
5.2.3 一阶因子 (1 jT )1
若干 条分 段直 线所
每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率
1 1 jT1
因子的转折频率
1 T1
，当 1
T1
时，
分段直线斜率的变化量为 20dB/ dec
组成
1 jT2
因子的转折频率
1 T2
，当 1
T2
时，
11
分段直线斜率的变化量为 20dB / dec
高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / dec n为极点数，m为零点数
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
图5-15 M r 与 关系曲线
10
开环系统的伯德图 步骤如下
写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由 大到小依次标在频率轴上
绘制开环对数幅频曲线的渐近线。
渐近 低频段的斜率为 20dB / dec
线由
在 1 处，L() 20lg K
() (rad) 57.3 (deg)
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后
18
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 10-1
100
101
图5-20传递延迟的相角特性曲线
19
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
两个系统的对数幅值曲线在 时的斜率都等于
20(n m)dB / dec
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检
查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在 时相角
如果当 时
对数幅值曲线的斜率为 20(n m)dB / dec
并且相角等于
90(n m)dB / dec
那么该系统就是最小相位系统。
17
5.2.6 传递延迟(Transport lag) See p190
通常在热力、液压和气动系统中存在传递延迟
延迟环节的输入和输出的时域表达式为
c(t) 1(t )r(t )
G(s) C(s) es R(s)
G( j) e j
G( j) cos j sin 1
其幅值总是等于1
传递延迟的对数幅值等于0分贝 传递延迟的相角为
j
斜率为 20dB / dec 的起始线段/或
20 log
Kv
j
1 1
20 log
Kv
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 K v
证明 设交点上的频率为1
Kv 1
j1
Kv 1
23
30
-20dB/dec
20
2
10
0
2 -40dB/dec
1
-10
3
-20
-30
-40
0
1
2
10
10
10
24
G(s) K s(Ts 1)
1 T1
1
1
T1
T
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯 一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
14
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-5
-10
相同的幅值特性
-15
-20 0
Phase (deg)
-45
最小相位系统
www.hzdi
www.sys
/dx http://www.tuloutours.c om/ /dx/150611/463815 7.ht ml /dx/150611/463816 7.ht ml /dx/150611/463816 8.ht ml /dx/150611/463819 1.ht ml /dx/150612/463872 9.ht ml /dx/150613/463907 6.ht ml /dx/150614/463916 1.ht ml /dx/150614/463916 2.ht ml /dx/150614/463917 6.ht ml /dx/150615/463966 5.ht ml /dx/150616/464024 7.ht ml /dx/150616/464026 2.ht ml /dx/150616/464027 4.ht ml /dx/150617/464106 1.ht ml /dx/150617/464109 1.ht ml /dx/150618/464182 7.ht ml /dx/150620/464283 1.ht ml /dx/150620/464285 4.ht ml /dx/150620/464285 5.ht ml /dx/150627/464615 8.ht ml