§7—4稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节
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ω2max-ω2min= 2δω2m
对于不同类型的机械，其允许速度波动的程度是不同的。一些 常用机械的许用速度不均匀系数[δ]见P100表7-2 ，供设计时参考。
三、周期性速度波动的调节
(Regห้องสมุดไป่ตู้lation of Periodic Speed Fluctuation)
所谓周期性速度波动的调节，就是设法使其速度波动 限制在工作允许范围内或者说使其运转速度不均匀系数不 超过许用值。即：δ≤[δ] 在机械的回转轴上安装一个转动惯量 1、调节的方法： 很大的飞轮。 非周期性速度波动的调节方法 ——采用调速器( Governor )
=23. 6×103 (W) =23.6 (KW)
§7—4 稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节 一、周期性(Periodic) 速度波动产生的原因(Cause) 机械在稳定运转时，等效驱动力矩Med(ψ)和等效阻力 矩Mer(ψ)是等效构件转角ψ的周期性函数。如图7-9，a所 示，ψT为一个运动周期。 在等效构件转过ψ角时（设起 始位置为ψa ），机械动能增量为： △E =Wd (ψ) -Wr (ψ) = ψ a [ Med(ψ) - Mer(ψ)]dψ ψ =Je(ψ)ω2 (ψ) /2 Jeaωa2/2
Wcd= (750-300 ) × π= 450π (Nm)
取比例尺μW =15πNm/mm，画能量指示图 △Wmax =Lmax μW =50 × 15 π = 750 π （Nm） 3）求JF JF =900△Wmax/(π2n2 [δ]) =900 × 750 π / (π2× 3002 ×0.1) =23.87 (kgm2) 4）求驱动功率： N= Mdωm =750π×2π×300/60
=900 × 750/(π2× 1202 ×0.06)
=79.2（kgm 2 ）
例2：已知Mr= Mr(ψ)如图，Md=C，n=300rpm，[δ]=0.1，忽略各构 件的等效转动惯量。 求：JF及该机械所需的驱动功率。
解： 1）求Md（根据Wd = Wr ） 2π ∵ Wd =2πMd= Wr = 0 Mr(ψ)dψ
2、飞轮(Flywheel)调速的基本原理(Basic Principle) ： 如图7-9所示。假设等效转动惯 量Je为常数，则
当E=Emax时，即c点处，ω=ωmax；
当E=Emin时，即b 点处，ω=ωmin。 显然，当机械的运转速度从ωmin 上升到ωmax（或由ωmax下降到ωmin）时， 外力对机械系统所作的盈功（或
JF = △Wmax / (ω2m [δ])
讨论： 1）当△Wmax、ωm一定时，[δ]取得越小，则JF就需很大。 所以过分追求速度的均匀性，将会导致飞轮过于笨重。
2）∵不可能JF→∞，而△Wmax、ωm是有限值；
∴不可能[δ]=0，即安装飞轮后运转速度仍有波动，只 不过波动的幅度减小了而已。 3）当△Wmax、[δ]一定时， JF与ω2m成反比； ∴为了减小JF，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。
3、飞轮转动惯量的近似计算
为了满足δ≤[δ]，则
δ=△Wmax / [(Je+JF)ω2m] ≤[δ]
∴ JF≥△Wmax / (ω2m[δ] ) - Je
在设计飞轮时，为简化计算，通常不考虑机械系统本
身的转动惯量Je，则计算公式为：
JF = △Wmax / (ω2m [δ]) 如果已知机器的额定转速n(r/min)，则 JF = 900△Wmax / (π2n2 [δ] )
ψT ωm= 0 ω (ψ) dψ/ψT
图7-10
在工程上，常用最大角速度ωmax和最小角速度ωmin的 算术平均值来近似计算，即ωm=(ωmax+ωmin)/2 (a) 有时，ωm也可由机械的名牌上查得的额定转速n （r/min）进行换算来得到，即ωm=πn / 30 （rad/s）
ωm=(ωmax+ωmin)/2
▲ 求JF 的关键是确定△Wmax——借助能量指示图： 在一个运动循环ψT内，按一定 比例（比例尺μW=?Nm/mm）用向量 线段依次表示相应位置Med(ψ)与 Mer(ψ)之间所包围的面积（即功） W1、W2、W3、…的大小和正负， 盈功为正—箭头向上，亏功为负— 箭头向下，则形成封闭的台阶形折 线（首尾在同一水平线上），得折 线的最高点和最低点之间的距离为 Lmax，LmaxμW即为△Wmax的大小。
图7-9
a）
b）
由上式计算的机械动能E (ψ) 的变化曲线如图b所示。
1）在ψT周期内的任一区段，E、ω 的变化情况为：
bc、de段： Med(ψ)> Mer(ψ)，则Wd> Wr（驱动功>阻抗功），△W>0 （出现盈功，在图上用“+”表 示）。这时将导致机械的动能E↑， 机械运转的速度ω↑； ab、cd 、ea′段：Med(ψ)< Mer(ψ)，则Wd< Mr， △W< 0 （出现亏功，在图上用“-”表示）。导致机械的动能E↓， 机械运转的速度ω↓。 ∴ 在ψT周期内的任一区段，等效驱动力矩和等效阻力矩 所作的功是变化的，引起机械动能的变化，从而导致机 械运转的速度产生波动。
(a)
2、波动程度的表示法： 1）ωmax-ωmin ：反映了机械运转 速度波动的绝对量。 2）机械运转速度的不均匀系数δ： 反映了机械运转速度波动的程度。 (b) 根据a）、b）两式，可得： ωmax=ωm(1 +δ/2) δ=(ωmax-ωmin) / ωm
图7-10
ωmin=ωm(1 -δ/2)
2）在ψT周期的始末，驱动功等于阻抗功，则机械动能增 量等于0，即 △E = W d- Wr = Med(ψ) - Mer(ψ)]dψ =Jea′ωa′2 /2 - Jeaωa2/2=0 ∴ 在一个运动循环ψT的始末， 动能增量为零，机械系统的 动能恢复到周期初始时的值， 机械运转的速度也恢复到初 始时的值。 由此可见，在稳定运转过程中，机械系统运转的速度 将呈周期性波动。
解： ab= Aab μA= 80 ×5 = 400（Nm） （-） W
Wbc= Abc μA= 150 ×5 =750（Nm）（+）
Wcd= Acd μA= 90 ×5 = 450（Nm） （-）
Wde= Ade μA= 80 ×5 = 400（Nm） （+） Wea ′ = Aea ′μA= 60 ×5 =300（Nm） （-） 图7-9 a
δ=△Wmax / [(Je+JF)ω2m]
∴ 对于一具体的机械系统，△Wmax、ωm、Je 都是确定的， 因此JF↑→δ↓，即速度波动就越小，从而达到调速的目 的。
飞轮在机械中的作用，实质上相当于一个能量储存器。 当外力对系统作盈功时，它以动能的形式把多余的能量储 存起来，使机械速度上升的幅度减小；当外力对系统作亏 功时，它又释放储存的能量，使机械速度下降的幅度减小。
=300(2π/3+π)+3000 × π/3 =1500π(Nm)
∴ Md= 750(Nm)
在图上作出Md直线，与Mr(ψ)曲线的交点为a、b、c、d。
2）求△Wmax Wab= (750-300) ×2π/3 = 300π (Nm) Wbc=-(3000-750 )×π/3=-750π (Nm)
图7-9
亏功）达到最大，称为最大盈亏功(Maximum Increment of Work) △Wmax，并且有：
△Wmax=Emax-Emin== Je(ω2max-ω2min)/2= Jeδω2m ∴ δ=△Wmax/(Jeω2m)
δ=△Wmax/(Jeω2m) 如果在机械的回转轴上安装一个转动惯量为JF的飞 轮，则上式为：
ψ a [ ψa
二、平均角速度(Mean Angular Speed) ωm和速度不均匀
系数( Coefficients of Speed Fluctuation) δ
图7-10所示为在一个周期内等 效构件角速度的变化曲线ω (ψ)。 1、平均角速度ωm： 是指一个运动周期ψT内角速 度的平均值。
Wab= 400（Nm） （-）
Wcd= 450（Nm） （-） Wea ′ =300（Nm） （-）
Wbc=750（Nm） （+）
Wde= 400（Nm）（+）
取比例尺μW=20Nm/mm，作能量指示图。 △Wmax =Lmax μW =37.5 ×20= 750（Nm）
JF =900△Wmax/(π2n2 [δ])
例1：图7-9 ，a所示为某机械在稳定运转时，等效驱动力矩Med(ψ) 和等效阻力矩Mer(ψ) 对转角ψ的变化曲线，ψT为一个运动周期。 设已知各块面积为Aab=80mm2， Abc=150mm2， Acd=90mm2， Ade=80mm2， Aea′=60mm2，而单位面积所代表的功为μA= 5Nm/mm2。等效构件的平均转速nm=120r/min，要求机械运转 速度不均匀系数[δ]=0.06。试求安装在主轴上的飞轮的转动惯 量。
对于不同类型的机械，其允许速度波动的程度是不同的。一些 常用机械的许用速度不均匀系数[δ]见P100表7-2 ，供设计时参考。
三、周期性速度波动的调节
(Regห้องสมุดไป่ตู้lation of Periodic Speed Fluctuation)
所谓周期性速度波动的调节，就是设法使其速度波动 限制在工作允许范围内或者说使其运转速度不均匀系数不 超过许用值。即：δ≤[δ] 在机械的回转轴上安装一个转动惯量 1、调节的方法： 很大的飞轮。 非周期性速度波动的调节方法 ——采用调速器( Governor )
=23. 6×103 (W) =23.6 (KW)
§7—4 稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节 一、周期性(Periodic) 速度波动产生的原因(Cause) 机械在稳定运转时，等效驱动力矩Med(ψ)和等效阻力 矩Mer(ψ)是等效构件转角ψ的周期性函数。如图7-9，a所 示，ψT为一个运动周期。 在等效构件转过ψ角时（设起 始位置为ψa ），机械动能增量为： △E =Wd (ψ) -Wr (ψ) = ψ a [ Med(ψ) - Mer(ψ)]dψ ψ =Je(ψ)ω2 (ψ) /2 Jeaωa2/2
Wcd= (750-300 ) × π= 450π (Nm)
取比例尺μW =15πNm/mm，画能量指示图 △Wmax =Lmax μW =50 × 15 π = 750 π （Nm） 3）求JF JF =900△Wmax/(π2n2 [δ]) =900 × 750 π / (π2× 3002 ×0.1) =23.87 (kgm2) 4）求驱动功率： N= Mdωm =750π×2π×300/60
=900 × 750/(π2× 1202 ×0.06)
=79.2（kgm 2 ）
例2：已知Mr= Mr(ψ)如图，Md=C，n=300rpm，[δ]=0.1，忽略各构 件的等效转动惯量。 求：JF及该机械所需的驱动功率。
解： 1）求Md（根据Wd = Wr ） 2π ∵ Wd =2πMd= Wr = 0 Mr(ψ)dψ
2、飞轮(Flywheel)调速的基本原理(Basic Principle) ： 如图7-9所示。假设等效转动惯 量Je为常数，则
当E=Emax时，即c点处，ω=ωmax；
当E=Emin时，即b 点处，ω=ωmin。 显然，当机械的运转速度从ωmin 上升到ωmax（或由ωmax下降到ωmin）时， 外力对机械系统所作的盈功（或
JF = △Wmax / (ω2m [δ])
讨论： 1）当△Wmax、ωm一定时，[δ]取得越小，则JF就需很大。 所以过分追求速度的均匀性，将会导致飞轮过于笨重。
2）∵不可能JF→∞，而△Wmax、ωm是有限值；
∴不可能[δ]=0，即安装飞轮后运转速度仍有波动，只 不过波动的幅度减小了而已。 3）当△Wmax、[δ]一定时， JF与ω2m成反比； ∴为了减小JF，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。
3、飞轮转动惯量的近似计算
为了满足δ≤[δ]，则
δ=△Wmax / [(Je+JF)ω2m] ≤[δ]
∴ JF≥△Wmax / (ω2m[δ] ) - Je
在设计飞轮时，为简化计算，通常不考虑机械系统本
身的转动惯量Je，则计算公式为：
JF = △Wmax / (ω2m [δ]) 如果已知机器的额定转速n(r/min)，则 JF = 900△Wmax / (π2n2 [δ] )
ψT ωm= 0 ω (ψ) dψ/ψT
图7-10
在工程上，常用最大角速度ωmax和最小角速度ωmin的 算术平均值来近似计算，即ωm=(ωmax+ωmin)/2 (a) 有时，ωm也可由机械的名牌上查得的额定转速n （r/min）进行换算来得到，即ωm=πn / 30 （rad/s）
ωm=(ωmax+ωmin)/2
▲ 求JF 的关键是确定△Wmax——借助能量指示图： 在一个运动循环ψT内，按一定 比例（比例尺μW=?Nm/mm）用向量 线段依次表示相应位置Med(ψ)与 Mer(ψ)之间所包围的面积（即功） W1、W2、W3、…的大小和正负， 盈功为正—箭头向上，亏功为负— 箭头向下，则形成封闭的台阶形折 线（首尾在同一水平线上），得折 线的最高点和最低点之间的距离为 Lmax，LmaxμW即为△Wmax的大小。
图7-9
a）
b）
由上式计算的机械动能E (ψ) 的变化曲线如图b所示。
1）在ψT周期内的任一区段，E、ω 的变化情况为：
bc、de段： Med(ψ)> Mer(ψ)，则Wd> Wr（驱动功>阻抗功），△W>0 （出现盈功，在图上用“+”表 示）。这时将导致机械的动能E↑， 机械运转的速度ω↑； ab、cd 、ea′段：Med(ψ)< Mer(ψ)，则Wd< Mr， △W< 0 （出现亏功，在图上用“-”表示）。导致机械的动能E↓， 机械运转的速度ω↓。 ∴ 在ψT周期内的任一区段，等效驱动力矩和等效阻力矩 所作的功是变化的，引起机械动能的变化，从而导致机 械运转的速度产生波动。
(a)
2、波动程度的表示法： 1）ωmax-ωmin ：反映了机械运转 速度波动的绝对量。 2）机械运转速度的不均匀系数δ： 反映了机械运转速度波动的程度。 (b) 根据a）、b）两式，可得： ωmax=ωm(1 +δ/2) δ=(ωmax-ωmin) / ωm
图7-10
ωmin=ωm(1 -δ/2)
2）在ψT周期的始末，驱动功等于阻抗功，则机械动能增 量等于0，即 △E = W d- Wr = Med(ψ) - Mer(ψ)]dψ =Jea′ωa′2 /2 - Jeaωa2/2=0 ∴ 在一个运动循环ψT的始末， 动能增量为零，机械系统的 动能恢复到周期初始时的值， 机械运转的速度也恢复到初 始时的值。 由此可见，在稳定运转过程中，机械系统运转的速度 将呈周期性波动。
解： ab= Aab μA= 80 ×5 = 400（Nm） （-） W
Wbc= Abc μA= 150 ×5 =750（Nm）（+）
Wcd= Acd μA= 90 ×5 = 450（Nm） （-）
Wde= Ade μA= 80 ×5 = 400（Nm） （+） Wea ′ = Aea ′μA= 60 ×5 =300（Nm） （-） 图7-9 a
δ=△Wmax / [(Je+JF)ω2m]
∴ 对于一具体的机械系统，△Wmax、ωm、Je 都是确定的， 因此JF↑→δ↓，即速度波动就越小，从而达到调速的目 的。
飞轮在机械中的作用，实质上相当于一个能量储存器。 当外力对系统作盈功时，它以动能的形式把多余的能量储 存起来，使机械速度上升的幅度减小；当外力对系统作亏 功时，它又释放储存的能量，使机械速度下降的幅度减小。
=300(2π/3+π)+3000 × π/3 =1500π(Nm)
∴ Md= 750(Nm)
在图上作出Md直线，与Mr(ψ)曲线的交点为a、b、c、d。
2）求△Wmax Wab= (750-300) ×2π/3 = 300π (Nm) Wbc=-(3000-750 )×π/3=-750π (Nm)
图7-9
亏功）达到最大，称为最大盈亏功(Maximum Increment of Work) △Wmax，并且有：
△Wmax=Emax-Emin== Je(ω2max-ω2min)/2= Jeδω2m ∴ δ=△Wmax/(Jeω2m)
δ=△Wmax/(Jeω2m) 如果在机械的回转轴上安装一个转动惯量为JF的飞 轮，则上式为：
ψ a [ ψa
二、平均角速度(Mean Angular Speed) ωm和速度不均匀
系数( Coefficients of Speed Fluctuation) δ
图7-10所示为在一个周期内等 效构件角速度的变化曲线ω (ψ)。 1、平均角速度ωm： 是指一个运动周期ψT内角速 度的平均值。
Wab= 400（Nm） （-）
Wcd= 450（Nm） （-） Wea ′ =300（Nm） （-）
Wbc=750（Nm） （+）
Wde= 400（Nm）（+）
取比例尺μW=20Nm/mm，作能量指示图。 △Wmax =Lmax μW =37.5 ×20= 750（Nm）
JF =900△Wmax/(π2n2 [δ])
例1：图7-9 ，a所示为某机械在稳定运转时，等效驱动力矩Med(ψ) 和等效阻力矩Mer(ψ) 对转角ψ的变化曲线，ψT为一个运动周期。 设已知各块面积为Aab=80mm2， Abc=150mm2， Acd=90mm2， Ade=80mm2， Aea′=60mm2，而单位面积所代表的功为μA= 5Nm/mm2。等效构件的平均转速nm=120r/min，要求机械运转 速度不均匀系数[δ]=0.06。试求安装在主轴上的飞轮的转动惯 量。