国际数学奥林匹克IMO竞赛试题
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第18届)
1.平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度．
2.令P1(x) = x2- 2，Pi+1= P1(Pi(x))，i = 1，2，3，...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x的所有根都是互不相同的实数．
3.一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）．
4.试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明．
5.n是一个正整数，m = 2n，aij= 0、1或-1（1 <= i <= n，1 <= j <= m）．还有m个未知数x1，x2，...，xm满足下面n个方程：
ai1x1&= 1，2，...，n．求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1，x2，...，xm）使得|xi|<= m．
6.一个序列u0，u1，u2，...定义为：
u0= 2，u1= 5/2，un+1= un(un-12- 2) - u1，n = 1，2，...
求证
[un] = 2(2n - (-1)n)/3，
其中[x]表示不大于x的最大整数．
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第47届)及答案
1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++． 原不等式成为 22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式 222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++ 6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥ 即9232M =时原不等式成立． 等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =． 4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得 2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可 看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到， 11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i i O A O A +和11i i n i i O A O A +++ 中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积 11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A + ，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++ 的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是 221111()2()2()n nii i i i i i S A A S O A A S P ++==∑∑≥△≥ P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第20届)
5.令{ak}为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有
∑ak/k2>=∑1/k；
上式中两边的求和都是k从1到n．
国际学奥林匹克（
1.m、n都是正整数且n>m．如果1978m和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n．
2.P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹．
3.两不交集合{f(1)，f(2)，f(3)，... }和{g(1)，g(2)，g(3)，... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ...，且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1，2，3，...成立．试计算f(240)．
6.某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1，2，...，1978．求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍．
imo数学竞赛试题及答案
imo数学竞赛试题及答案IMO数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：ABC3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 236B. 284C. 312D. 376答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
答案：95. 一个等差数列的前三项分别是2，4，6，那么它的第10项是_________。
答案：22三、解答题6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
解答：首先，我们可以将 \( n^5 - n \) 分解为 \( n(n^4 - 1) \)。
接下来，我们注意到 \( n^4 - 1 \) 可以表示为 \( (n^2 +1)(n^2 - 1) \)。
而 \( n^2 - 1 \) 可以进一步分解为 \( (n +1)(n - 1) \)。
因此，我们有：\( n^5 - n = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) \)。
由于 \( n \) 是正整数，\( n - 1 \) 和 \( n + 1 \) 也是整数。
这意味着 \( n^5 - n \) 中至少包含因子2和3（因为 \( n^2 + 1 \) 至少是奇数，从而至少包含一个2的因子）。
因此，\( n^5 - n \)可以被30整除。
7. 一个圆的半径是15厘米，求圆的面积。
解答：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 计算，其中\( A \) 是面积，\( r \) 是半径，\( \pi \) 是圆周率，约等于3.14159。
将给定的半径 \( r = 15 \) 厘米代入公式，我们得到：\( A = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 706.86 \)平方厘米。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第19届)
5.a，b是正整数，设a2+ b2除以a + b得到商为q，余数是r．试求出所有的正整数对（a，b）使得q2+ r = 1977．
6.f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立．
3.n>2是一给定整数，Vn是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn中的一个数m，如果不存在Vn中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的．求证：Vn中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn中不可分解数的乘积．（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解．）
4.定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a，b，A，B都是实数常量．如果f(x)>=0对所有实数x都成立，求证
国际数学奥林匹克（பைடு நூலகம்
1.在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点．
2.在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正．求出这种序列最多有几项．
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第12届)
1.M是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心．求证：r1r2q = rq1q2．
2.已知0 ≤ xi< b，i = 0，1，...，n并且xn> 0，xn-1> 0．如果a>b，xnxn-1...x0是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则xn-1xn-2...x0表示了A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示．求证：A'B<AB'．
5.四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心．求证：
(AB + BC + CA)2≤6(AD2+ BD2+ CD2).
并问何时等号成立？
6.平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形．
3.实数a0，a1，a2，...满足1 = a0<= a1<= a2<= ...，并定义
bn=∑(1 - ak-1/ak)/√ak
其中求和是k从1到n．
a.求，求证可找到an使得当n足够大时bn>c成立．
4.试找出所有的正整数n使得集合{n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5}可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等．
国际数学奥林匹克 IMO 竞赛试题
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第2届）
1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和．
2.寻找使下式成立的实数x：
3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：
tan = 4nh/(an2 - a).
4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC．
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）．X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点．
a.求XY中点的轨迹；
b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹．
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上．令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积．
(a) 求证：V1不等于V2；
(b) 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般．
7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD．令AB=a，CD=c，梯形的高为h．X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角．试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在．。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第25届)无答案
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第25届）
1.求证0 ≤yz + zx + xy - 2xyz ≤7/27，其中x，y，z 是非负实数并满足x + y + z = 1.
2.试找出所有的正整数对（a，b）满足ab(a+b)不能被7 整除，但(a+b)7 - a7 - b7可被77整除．
3.给定平面上的点O、A．平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个．设X是平面上一给定点，以O为圆心的圆C(X)的半径是OX + (∠AOX)/OX，其中角∠ AOX 是用弧度衡量（即范围是[0，2л)），求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上．
4.凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切，求证：AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的．
5.设d 是平面上一凸n 边形（n>3）的所有对角线的长度之和，p 是它的周长．求证:
n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2，
其中[x]表示不超过x的最大整数．
6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且ad = bc. 若a + d = 2k及b + c = 2m对某k、m成立，则 a = 1.
1。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第30届)
3.设n，k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离．
求证k<1/2+ ．
4.凸四边形ABCD的边AB，AD，BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，
求证：1/ <=1/ +1/ ．
5.试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂．
6.设{x1，x2，...，xm}是{1，2，...，2n}的一个排列，其中n是一个正整数．如果|xi-xi+1|=n对至少{1，2，...，2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1，x2，...，xm}具有性质P．试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多．
国际数学奥林匹克（
1.试证明集合{1，2，...，1989}可以分拆成117个子集合A1，A2，...，A117（即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等．
2.锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B1，C1点．设AA1与∠ B，∠C的外交平分线交于A0点，类似定义B0，C0点．
(完整版)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第38届)
国际数学奥林匹克（IMO ）竞赛试题（第38届） 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）．对于任意一对正整数m 和n ，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m 和n ，且其两腰都在这些正方格的边上． 设S 1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S 2则为所有白色部分的总面积． 令f(m ，n)=|S 1-S 2|，o a. 当m ，n 同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m ，n)；o b. 求证f(m ，n)≤max(m ，n)/2对所有m ，n 都成立；o c. 求证不存在常量C 使得f(m ，n)．2. 设∠A 是△ABC 中最小的內角．B 和C 将此三角形的外接圆分成两个弧．U 为落在不含A 点的弧上且异于B ，C 的一点．线段AB ，AC 的垂直平分线分别交AU 于V ，W ． 直线BV ， CW 相交于T ，求证：AU ＝TB ＋TC ．3. x 1，x 2，...，x n 是正实数满足|x 1+x 2+...x n |=1 且对所有i 有|x i |≤(n+1)/2． 试证明存在x 1，x 2，...，x n 的一个 排列y 1，y 2，...，y n 满足|y 1+2y 2+...+ny n |≤(n+1)/2．4. 一个n×n 的矩阵称为一个n 阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1，2，...，2n-1}且对于每一个i=1，2，...，n ，它的第i 列与第i 行中的所有元素合起来恰好是S 中的所有元素．求证：o a. 不存在n=1997阶的银矩阵；b. 有无限多个n ，存在n 阶银矩阵．5. 试找出所有的正整数对(a ，b)满足6. 对每个正整数n ，将n 表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n 的上述不同表示法的个数．如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1．求证：对于任意整数n ≥3， 22/4/22(2)2nn n f <<。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第43届)
1.y是非负整数且x+y<n的点(x，y)．T中的点均被染上红色或蓝色，满足：如果(x，y)是红色，则所有满足x'≤x且y'≤y的点(x'，y')也都染成红色．如果n个蓝点的横坐标各不相同，则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集．
6.设Γ1，Γ2，...，Γn是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O1，O2，...，On．假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，
求证：
∑i<j1/OiOj≤(n-1)π/4．
4.设n为大于1的整数，全部正因数为d1，d2，...，dk，其中1=d1< d2< ... < dk=n，
记D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk．
a.求证：D< n2；
b.确定所有的n，使得D能整除n2．
5.找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x，y，z∈R，有
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)．
求证：X-集的个数和Y-集的个数相同．
2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0o<∠AOB <120o，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，
求证：I是△CEF的内心．
3.找出所有的正整数对m，n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(am+a-1)/(an+a2-1)为整数．
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第46届)
1.在正三角形ABC的三边上依下列方式选取6个点：在边BC上选点A1，A2，在边CA上选点B1，B2，在边AB上选点C1，C2，使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等．证明：直线A1B1，B1C2，C1A2共点．
2．设a1，a2，…是一个整数数列，其中既有无穷多项是正整数，又有无穷多项是负整数，如果对每一个正整数n，整数a1，a2，…an被n除后所得到的n个余数互不相同．证明：每个整数恰好在数列a1，a2，…中出现一次．
3．正实数x，y，z满足xyz≥1，证明
4．数列a1，a2，…定义如下：
求与此数列的每一项都互质的所有正整数．
5．给定凸四边形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD．设点E和F分别在边BC和AD的内部，满足BE=DF，直线AC和BD相交于点P，直线BD和EF相交于点Q，直线EF和AC相交于点R，证明：当点E和F变动时，三角形PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点．
6．某次数学竞赛共有6个试题，其中任意两个试题都被超过 的参赛者答对了．但没有一个对了5个试题．
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第34届)
5.问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2，f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且f(n<f(n+1))？
6.有n>1盏灯L0，L1，...，Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk．骤s0，s1，...，：在步骤si，如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做．试证明：
国际数学奥林匹克（
1.设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一个整数．
求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积．
2.设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90o，AC·BD=AD·BC，
oa.计算(AB·CD)/(AC·BD)；
b.求证△ACD，△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直．
3.在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏．开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子．
试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束．
4.对平面上的三个点P，Q，R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P，Q，R共线当然有m(PQR)=0)．
oa.存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着；
ob.若n=2k，则可使M(n)=n2-1；
oc.若n=2k+1，则可使M(n)=n2-n+1．
imo考试题及答案
imo考试题及答案# IMO考试题及答案## 题目1：数列问题**题目描述：**设 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是一个正整数序列，满足 \(a_1 = 1\) 且对于所有 \(i \geq 2\)，有 \(a_i = a_{i-1} + 2^{i-1}\)。
求 \(a_n\) 的值。
**解答：**首先，我们可以通过递推关系式计算序列的前几项：- \(a_1 = 1\)- \(a_2 = a_1 + 2^1 = 1 + 2 = 3\)- \(a_3 = a_2 + 2^2 = 3 + 4 = 7\)- \(a_4 = a_3 + 2^3 = 7 + 8 = 15\)观察上述计算结果，我们可以发现 \(a_i\) 的值实际上是 \(2^i - 1\)。
因此，对于任意的 \(n\)，我们有：\[ a_n = 2^n - 1 \]所以，\(a_n\) 的值为 \(2^n - 1\)。
## 题目2：几何问题**题目描述：**在三角形 \(ABC\) 中，\(AB = AC\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 上，使得\(BD = 2DC\)。
求证：\(AD\) 平分 \(\angle BAC\)。
**解答：**由于 \(AB = AC\)，三角形 \(ABC\) 是等腰三角形，因此\(\angle ABC = \angle ACB\)。
设 \(\angle ABC = \angle ACB =\theta\)，则 \(\angle BAC = 180^\circ - 2\theta\)。
由于 \(BD = 2DC\)，我们可以设 \(DC = x\)，则 \(BD = 2x\)，因此 \(BC = 3x\)。
根据角平分线定理，如果 \(AD\) 平分 \(\angleBAC\)，则有：\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]由于 \(AB = AC\)，我们有：\[ \frac{2x}{x} = 1 \]这与 \(AB = AC\) 相符合，因此 \(AD\) 确实平分 \(\angle BAC\)。
imo数学奥林匹克历届试题
imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。
自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。
这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。
1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。
解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。
当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。
我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。
虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。
2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。
解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。
首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。
假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。
通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
而e约等于2.71828，小于3。
因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。
根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。
3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第16届)
6.设P(x)是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有n <= d + 2.
国际数学奥林匹克（
1.三个玩家玩游戏．在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同．在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码．当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多．假设游戏至少进行了两轮以上．在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个．又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码．试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？
2.三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是
sin A sin B <= sin2(C/2).
3.试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n+1，2k+1)23k，
上式中的求和是k从0到n，符号C(r，s)表示二项式系数r!/(s!(r-s)!)．
4.沿着一个8 x 8象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多．求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）．
5.a，b，c，d是任意实数，判定下式的所有可能值：
29届imo试题及答案
29届imo试题及答案第29届国际数学奥林匹克（IMO）试题及答案一、试题1. 第一题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数对 \( (a, b) \) 的数量，使得 \( a^2 + b^2 \) 能被 \( n \) 整除。
2. 第二题：设 \( f(x) \) 是定义在实数域上的连续函数。
证明：如果对于所有\( x \)，都有 \( f(x) \leq f(x+1) \)，则 \( f(x) \) 在\( \mathbb{R} \) 上有界。
3. 第三题：设 \( P \) 是一个凸四边形，\( A, B, C, D \) 分别是 \( P \) 的四个顶点。
设 \( M \) 是对角线 \( AC \) 的中点，\( N \) 是对角线 \( BD \) 的中点。
证明：\( M \) 和 \( N \) 之间的距离小于或等于 \( P \) 的内切圆半径。
4. 第四题：设 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 是一个正整数序列，满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{i+1} = a_i + a_{i-1} \) 对于 \( i \geq 2 \)。
求证：\( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots +\frac{1}{a_n} \) 是一个整数。
5. 第五题：给定一个正整数 \( n \)，求所有整数 \( k \) 的数量，使得\( k^2 \) 能被 \( n \) 整除。
6. 第六题：设 \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) 是一个函数，满足\( f(f(x)) = f(x+1) \) 对于所有 \( x \in \mathbb{N} \)。
证明：\( f(x) = x + c \) 对于某个常数 \( c \)。
二、答案1. 第一题答案：设 \( d \) 是 \( n \) 的任意一个除数。
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国际数学奥林匹克I M O
竞赛试题
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第2届）
1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和．
2.? 寻找使下式成立的实数x：
3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：
tan = 4nh/(an2 - a).
4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC．
5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）．X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点．
a.求XY中点的轨迹；
b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹．
6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上．令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积．
??? (a) 求证：V1不等于 V2；
??? (b) 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般．
7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD．令AB=a，CD=c，梯形的高为 h．X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角．试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在．。