6.2 导电媒质中的平面电磁波

(3)
由方程 E ห้องสมุดไป่ตู้ j H 得
H 1 1 Ex E ey j j z
将（3）式代入上式得
H ey
Em
e z e j z
(4)
其瞬时值形式为
H ey
j
Em

e z cos(t z 0 ) （4）
电媒质下：
1 we Ex2 2 1 1 Ex 2 wm H y 2 2 c 1 2
2
c
2
2 1 2 Ex c Ex 2
2
1 1 Ex2 j Ex2 1 2 2 we 1
表面电阻 Rs实际上就是单位长度单位宽度（即单位面积）、而沿z轴方 向的厚度是从零到无穷大的导体块所具有的交流电阻。从表面电阻计算
式可看出，这样一个交流电阻等效于这样一块导体——单位长度单位宽
度（即单位面积）而沿z轴方向的厚度为趋肤深度δ的直流电阻。由此可 知，表面积为 l w 的导体电阻R与表面电阻 Rs 的关系为：
2. 良导体中的均匀平面波 对于良导体：
tg c

1
物理意义表示电介质中的传导电流远大于位移电流，相关参数有：

2
j c e4 1 j 2
由此可见，电阻部分和电抗（呈感性）部分相等，即c 的相角为45o。
vp
2 2
Em H ey e z e j z e j c

c e j
其瞬时值为
H ey
c
Em
e z cos(t z 0 )
可知，σ愈大，则θ愈大，表示磁场强度比电场强度的相位滞后越 arctg
1 2
多，尽管电场与磁场有相位差，但二者仍然保持互相垂直，且都垂直于 传播方向。
5. 电场能量和磁场能量
在理想介质中，电场与磁场能量密度是相等的，即
2 1 1 1 2 1 2 we Ex2 H y H y H y wm 2 2 2 2 2
由上式表明，理想介质中波阻抗为纯阻，电场与磁场相位相同，而导
H E j E
j 1 j
E
定义
c 1 j j

j c E
导电媒质的等效 复介电常数
引入εc后方程形式与无耗媒质中麦克斯韦方程具有完全相同的形式， 可将导电媒质看做具有复介电常数εc的介质。
j z Ex Em e
其中 则
j0 Em Em e
设 j
j( -j )z z j z Ex Em e Em e e
(3)
z 其瞬时值为 E z, t ex Ex z, t ex Em e cos(t z 0 )
2
we
可见，导电媒质中 wm we ，其波阻抗呈电阻、电感性质。
从以上分析可以看到，导电媒质中的平面波与理想介质中的平面波 相比具有以下特点： （1）导电媒质中的电磁波是衰减波，频率越高或电导率越大，α就越大， 衰减也就越快。 （2）导电媒质中平面波的波阻抗c 为复数，呈现电阻、电感特性。 （3）c 表明导电媒质中电场和磁场的相位不同，出现相位差。 （4）导电媒质中电磁波的相速度不再是常数，而是随频率变化的函数，有
R Rs l 1 l w w
式中l为导体长度，w为导体宽度。
【例】 海水的特性参数为 0 , 81 0 , 4S/m 。已知频率为f=100Hz的均匀 平面波在海水中沿+z 轴方向传播，设E ex Ex，其振幅为1V/m。（1）求衰 减常数、相位常数、本征阻抗、相速度和波长；（2）写出电场和磁场的瞬 时表达式。 解：对于导电媒质，首先判断
100 4107 c 1 j 1 j 14.04 103 e j45 2 4
Ex
因为电场强度与磁场强度的相位
不同，复能流密度的实部及虚部均不
z
会为零，这就意味着平面波在导电媒 质中传播时，既有单向流动的传播能
Hy
量，又有来回流动的交换能量。
4. 相速度和波长 导电媒质中均匀平面波的相速为
vp

1

波长为

2π
2 1 1 2

1



2π


1 1 2
2
2π k
2π
由上可知： （1）导电媒质中相速要比理想介质中慢，波长要比理想介质中短； （2）ζ愈大，相速vp越慢，波长λ越短； （3）相速与频率有关，故电磁波中不同的频率分量将以不同的相速传播， 经过一定距离后，它们的相位发生不同变化，从而导致信号失真，这种现 象称为色散。
2 1 1 2
可见，传播常数γ的 实部β决定相位变化 量，虚部α决定幅度 z 变化量。
由（3）、（4）式可知，导电媒质中电场和磁场的振幅均按e-αz随
传播距离衰减，每传播单位长度（z=1）振幅衰减为原来的e-α倍，故 α称为衰减常数，另外β表示相位随传播距离的变化量，故β称为相位
传播常数 （ 1）
2 H 2 c H 0
（ 2）
用γ替代无耗 媒质解中的k
对于均匀平面电磁波，设沿z轴传播，电场强度只有x分量，则由上节 可计算出式（1）的解为：
2 Ex 2 Ex 0 2 z
j z j z Ex Em e Em e
对于沿z轴正方向传播的均匀平面波，其解为：
1 1
的取值范围，再决定使用的公式 弱导电媒质 2 , ,c , , 1 j 强导电媒质 c 2 2 2
2 Ex 2 jkz jkz 这样可得到E、H满足的亥姆霍兹方程（即复数波动方程）为 解为 jk E 0 E E e E x x m me 2 z
2 E 2 c E 0
2 2 令 c
2 E 2 E 0 2 H 2 H 0
可见，良导体中相速为频率的函数，是色散波，且电导率越大，相 速越慢。
3. 趋肤效应 高频电磁波从表面进入导电媒质越深，场的幅度就越小，能量就越小， 即能量趋于表面，这就是趋肤效应，或集肤效应或趋表效应。 趋肤深度（或集肤深度、穿透深度）：当场从表面进入导电媒质中一 段距离后，使得其幅度衰减到表面幅度的1/e倍时，这段距离（或深度） 叫做趋肤深度δ。即
由此可见，导电媒质中场的幅度按e z 衰减，而功率流密度则按 e2 z 衰减。
平均功率流密度为
Sav Re[ S ] ez
1 2 2 z E0 e 2 2
4. 表面电阻 导体表面处，切向电场强度Ex与切向磁场强度H y 之比定义为导体的表 面阻抗，即
E Zs x Hy
z 0
Eo j c e4 (1 j) H0 2
1 2
Rs jX s
则表面电阻为 表面电抗为
Rs
Xs
1 2
显然表面电抗X s 为正值且和电阻Rs相等，即该电抗是感性的，具有
45o相角，这同前面的波阻抗等效，只是此时用表面电抗（电流、电压） 得到的。
以上两种情况都不满足
一般导电媒质
1
本例
4 4 36109 8.89 106 2100 810 200 81
可见此时海水可视为强导电媒质
（ 1）
f 100 4107 4 3.97 102 Np/m 2 f 3.97 102 rad/m 2
色散现象。
（5）导电媒质中平均磁场能量密度 wav,m 大于平均电场能量密度 wav,e 。
6. 损耗角 复介电常数
c
1 j
j
虚部与实部之比为
J E 传导电流 E D 位移电流
传导电流越大，损耗越大，定义导电媒质的损耗角c 。 tg c 可见，损耗角与频率、媒质参数有关。
t
根据损耗角可将导电媒质分为弱导电媒质（电介质）、强导电媒质
（良导体）和一般的导电媒质（不良导体）。
6.2.2 趋肤深度和表面电阻
1. 电介质中的均匀平面波
tg c
对于电介质：

1
物理意义表示电介质中的传导电流远小于位移电流，相关参数有：

2




由于电介质σ极小，故与理想介质相比，除有微弱损耗引起的振幅 衰减外，其余参量近似相同。
δ与其波长λ具有以下关系：
2



材料 铝 黄铜 铜 海水 银 锡
2π


2π

2π
趋肤深度
60Hz/cm 1.1 1.63 0.85 3000 2.21 1.51
1kHz/mm 2.7 3.98 2.1 7000 5.41 3.70
1MHz/mm 0.085 0,126 0.066 2000 0.171 0.117
第六章 平面电磁波
6.2 导电媒质中的平面电磁波
主要内容

导电媒质中均匀平面波的传播特性 集肤效应
学习目的


掌握导电媒质与无耗媒质中均匀平面波的区别 掌握集肤效应、趋肤深度、表面电阻的定义
6.2 导电媒质中的平面电磁波
6.2.1导电媒质中平面电磁波的传播特性
1. 复介电常数 无源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程的复数形式为
常数。
3. 波阻抗 导电媒质中的波阻抗为
c
Ex Hy
j


c

1 j
可见 c为复数，其模值和相位分别为 c 0 1 [1 ( ) 2 ] 4 1 0, arctg 4 2 c 有非零相角，意味着电场与磁场具有不同的相位，相 由上式可知， 位差为θ，故 可改写为 （4）
Eo e E0 1 e 1

1


良导体


2 1 1 2

2


1 πf
上式表明，频率越高或媒质的导电能力越强，趋肤深度δ就越小。
E0 e jt
O
x

E0e z e jt
z
2π 1 良导体时， 而 以及 ，则良导体中的趋肤深度
3GHz/μm 1.6 2.30 1.2 3.12 3.14
良导体中均匀平面波的电磁场分别为
E x E0 e (1 j) z Hy
c
Ex

c
E0
e
(1 j) z
Eo
j e 4 e (1 j) z
则复坡印廷矢量为：
S 1 1 1 2 2 z E H ez Ex H y ez E0 e (1 j) 2 2 2 2
j

2 传播常数γ 由于 2 2 c 2 ( j )
j
E0 e jt O
x
E0e z e jt
2 联立可得 1 1 2