6-行列式的性质
线性代数自考知识点汇总
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行列,行列式变号.推论1 如果行列式有两行列的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行列元素成比例,则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行列的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ,元素23a 的余子式为1112233132aa M a a =,元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行列展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 1二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 2三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 3对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-4三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nn nn a a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1n n(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-5消元法：利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.6降阶法：利用行列式的性质,化某行列只有一个非零元素,再按该行列展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.7加边法：行列式每行列所有元素的和相等,将各行列元素加到第一列行,再提出公因式,进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵,称为对角矩阵.记作Λ. 2单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵,称为单位矩阵.记作E.3上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =,即ij ji a a =,则称A 为对称矩阵. 6反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =-,即ij ji a a =- ,则称A 为反对称矩阵. 7正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵,如果T AA E =或T A A E =,则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 1矩阵的加法 如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 2数乘矩阵 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.3矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==,规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数,右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵即一个数,即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵,即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B,若AB=E 或BA=E,则A,B 都可逆,且11A B,B A --==.1二阶方阵求逆,设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭两调一除法. 2对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 4一般矩阵求逆,初等行变换的方法：()()ERT1A E EA -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式各元素的位置不变叫做方阵A 的行列式.记作A 或detA. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行列变换：1互换两行列；2数乘某行列；3某行列的倍数加到另一行列. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数,称为矩阵A 的秩.记作RA 或rA. 求矩阵的秩的方法：1定义法：找出A 中最高阶的非零子式, 它的阶数即为A 的秩.2初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵,RA=R 行阶梯形矩阵=非零行的行数. 8. 重要公式及结论 1矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律,即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律,即一般地若AB=AC,无B=C ；只有当A 可逆时,有B=C.一般地若AB=O,则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.2逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A,A A,A A ,A A AB B A1A A A AAA A ,Aλλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 即A 与单位矩阵E 等价 3矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R AB ≤R A , R AB ≤R B .特别地,当A 可逆时,RAB=RB ；当B 可逆时,RAB=RA.()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程1设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为n ×m 矩阵,则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -,再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .2设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为m ×n 矩阵,则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -,再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系1等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B,那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.2相似矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式,相同的迹. 3合同矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得TP AP B =,那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合1若α＝k β,则称向量α与β成比例． 2零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．3向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．2 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．3 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.4 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.5 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．6 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.7n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.8 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.9 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.10当m>n 时,m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m m ≥2线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关,而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ,α线性相关,则α可由A线性表示,且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα,12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关,则向量组B 也线性相关；反之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关.即部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关. 定理4：无关组的截短组无关,相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关, ⑵ T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数,称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩; 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身;结论2 如果向量组的秩是r ,那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组; 定理1 设向量组A:a 1,a 2, …,a r ；及向量组B:b 1,b 2, …, b s ,如果组A 能由组B 线性表示,且组A 线性无关,则r ≦s.推论1 等价的向量组有相同的秩.定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间定义1 设V 为n 维向量的集合,如果集合V 非空,且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V 为向量空间.5. 基与向量在基下的坐标定义2 设V 是向量空间,如果向量组a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： 1向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关； 2T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量组a 1 , a 2 ,……, a r 是向量空间V 的一个基, 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数,记作dimV ,并称V 为r 维向量空间．定义3 设向量组 a 1 , a 2 , … , a r 是向量空间V 的一个基,则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个线性组合,即 1122r r x a a a λλλ=+++,称有序数组12r ,,,λλλ为向量x 在基 a 1 , a 2 , … , a r 下的坐标.线性方程组1. 线性方程组解的判定1 线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵A,b 的秩相同,即RA=RA,b . 当RA=RA,b=r① 方程组AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r < n. 2 方程组AX= b 无解的充分必要条件是R A ≠RA,b. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定1 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 RA < 未知量的个数n .2 含有n 个方程,n 个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.即|A |=03 齐次线性方程组AX=0中,若方程的个数m<未知量的个数n,则方程组有非零解 3. 齐次线性方程组解的性质（1） 若12,ξξ是Ax=0的解,则12ξξ+也是Ax=0的解； （2） 若ξ是Ax=0的解,则k ξ也是Ax=0的解.4. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合,是一个向量空间,称为方程组 Ax=0的解空间．记作V,即V={ x | Ax=0,x ∈R }. 2 基础解系齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基,称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-rA.方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系. 3齐次线性方程组的通解为1122n r n r k k k ξξξ--+++,其中12n r ,,,ξξξ-是Ax=0的一个基础解系.5. 非齐次线性方程组解的性质1若12,ηη是Ax=b 的解,则12ηη-是Ax=0的解； 即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解. 2若η是Ax=b 的解,ξ是Ax=0的解,则ηξ+是Ax=b 的解.即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组AX=b 的通解为*1122n r n r k k k ξξξη--++++其中12n r ,,,ξξξ-为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, *η为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解,称为特解.方阵的特征值1. 向量的内积设1122n n x y x y x ,y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x,y 的内积为[]1122n n x,y x y x y x y =+++.1向量x 的长度：2n x x ==++2非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 1x .x则是单位向量 3当[]x,y 0,x y =时称向量与正交.4若非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交组． 5若正交组中每个向量都是单位向量,则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列行向量都是单位向量且两两正交． 6施密特正交化过程设123,,ααα是一个线性无关的向量组,① 正交化：令11,βα=[][]1222111,a ,,ββββββ=-[][][][]132333121122,a ,a a ,,βββββββββ=--；② 单位化：取312123123e ,e ,e ββββββ===. 则123e ,e ,e 是与123,,ααα等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量1方阵A 的特征值λ是特征方程A E 0λ-=的根. 2三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．3方阵和它的转置方阵有相同的特征值. 4设12n ,,,λλλ是n 阶方阵A 的全部特征值,则()12n tr A λλλ=+++,12n A λλλ=⋅⋅.即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和,方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. 5若λ是方阵A 的特征值,则()fλ是方阵()f A 的特征值. 特别地,当()f A 0=时,方阵A 的特征值是()f 0λ=的根.说明：m m 1m m 110f (x )a x a xa x a --=++++,m m 1m m 110f (A )a A a A a A a E --=++++.例如λ是方阵A 的特征值,则方阵()f A A 2E =+的特征值是()f2λλ=+.方阵()2f A A 3A 4E =--的特征值是()2f34λλλ=--.例如若2A 3A 4E 0--=,则方阵A 的特征值是2340λλ--=的根,即121,4λλ=-=.6设12P ,P 都是方阵A 的属于同一特征值0λ的特征向量,则()112212k P k P k ,k +不全为零也是0λ的特征向量.7属于不同特征值的特征向量线性无关.8属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化1若方阵A 与对角矩阵Λ相似,则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P,使得1P AP Λ-=. Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 2n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是①A 有n 个线性无关的特征向量；②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． 3n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． 4若A 与B 相似,则()f A 与()f B 相似.4. 实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.2实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P,使得1P AP Λ-=.Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.3利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：1求特征值；2求特征向量；3将特征向量正交化,单位化；4最后将这些特征向量做成矩阵．二次型1. 二次型的标准化（1） 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:① 写出二次型T f x Ax =的对称矩阵A ；② 求A 的全部特征值12n ,,,λλλ；③ 求每个特征值的线性无关的特征向量12n ,,,ξξξ； ④ 将特征向量正交化,单位化,得12n ,,,ηηη；⑤ 将这些特征向量做成矩阵,记()12n C ,,,ηηη=,最后做正交变换x=Cy ,得到f 的标准形为 2221122n n f y y y λλλ=+++.其中12n ,,,λλλ是T f x Ax =的矩阵A 的特征值.（2） 用配方法化二次型为标准形的具体步骤:① 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过可逆的线性变换,就得到标准形;② 若二次型中不含有平方项,则先作可逆线性变换,令i i j j i j kk x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,k=1,2,…,n,i≠j化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.2. 规范二次型设二次型T f x Ax =的标准形为222211p p p 1p 1r r f d y d y d y d y ++=++---,i d 0>,r 是f 的秩令11p p p 1p 1r r y z y z y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩,得22221p p 1r f z z z z +=++---,称为二次型T f x Ax =的规范形.注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为Tf x Ax =正惯性指数,负平方项的个数r-p 称为T f x Ax =负惯性指数,它们的差p-r-p=2p-r 称为T f x Ax =符号差.3. 正定二次型二次型T f x Ax =正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型T f x Ax =负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.。
线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算
a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
a11 ka1 j a1 j a1n a21 ka2 j a2 j a2 j an1 kanj anj anj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， a11 a12 a1n 则此行列式为零. 证明 设行列式为 D 互换相同的两行，有
D D
D0
1 7 5 6 6 2 0
6 6 2
a21 a22 b1 b1 b2 b2 a n1 a n 2 ann bn bn a2 n
4 0 0
r4 2 r5
3 0 0 0
5
0 0 0 1 4 0 0 0
0 0 2 0 3 0 5 0 0
0 r 3r 0 0 2 5 1 0 0 3 0 1 2 5 0 0
r2 r1
0 16 2 7
0 16 2 7
r3 4r2 0 2 1 1 D 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15
0 2 1 1
1
3
1
2
1 3 1
2
1 3 1 2 5 r4 r3 0 2 1 1 2 8 5 40. 4 2 0 0 8 10 5 0 0 0 2
a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式运算法则
• 利用几何法，通过图形直观地证明性质
行列式的特殊类型
对角行列式
• 对角线上的元素相乘后求和，即det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(I_(ij))，其中I是
单位矩阵
上三角行列式和下三角行列式
• 上三角行列式：主对角线以下的元素全为0的行列式
det(I)
• 伴随矩阵可以用来计算行列式的导数
03
逆矩阵和伴随矩阵的计算方法
• 利用高斯消元法计算逆矩阵
• 利用行列式的性质和公式计算伴随矩阵
05
行列式运算的误差分析与优化
行列式运算的误差来源
误差来源分析
误差控制方法
• 舍入误差：由于计算机的浮点数表示和运算，可能导致
• 提高计算机的浮点数精度
• 对角线求和性：det(A) = Σ(-1)^(i+j) * aij * det(A(ij))，其中A(ij)是去掉第i行和第
j列后的矩阵
• 交换律：det(AB) = det(BA)
• 多行（列）展开性：可以将行列式的一行（列）展开，得到一个新的行列式
行列式性质的证明方法
• 利用定义法，通过计算证明性质
行列式运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS
01
行列式的定义与性质
行列式的定义及其意义
行列式是线性代数中的一个重要概念
• 定义：一个n阶方阵A的元素aij（i, j = 1, 2, ..., n）按照一定的规则
相乘后求和，记作det(A)
• 意义：行列式反映了矩阵的一些重要性质，如线性无关向量组的体
• 行展开式：将第i行展开，得到一个新的(n-1)阶行列式
一、行列式的性质
1b bb
a (n 1)b
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
例3 计算
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
解 从第4行开始，后行减前行:
a r3 r4
b
c
d
0 r2 r3
小结
行列式的性质 (行列式中行与列具有同等的 地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样 成立).
计算行列式常用方法：
(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
anj
anj
性质6 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
性质7 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
a b bb b a bb
例2 计算 n 阶行列式 D b b a b
b b ba
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
由n阶行列式的定义和性质7，可得：
定理 设n阶方阵A=(aij),则有
n
| A | ,当 i j,
(1) aki Akj
行列式的性质及展开式
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1Leabharlann 1 c21 c11 d2
1 d
0.
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
bj1 bj2 L bjn M MMM
ai1 ai2 L ain M MMM
an1 an2 L ann
bn1 bn2 L bnn an1 an2 L ann
行列式的认识
行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。
一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。
二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。
4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。
三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。
1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。
2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。
行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。
3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
行列式性质按行(列)展开法则
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
第二节 行列式的性质
交换行列式的第i，j两行，记为 交换行列式的第i，j两列，记为
ri ↔ rj
ci ↔ c j
根据性质2，如果被交换的两行相同，则行列式 不改变，而交换两行又要改变符号，于是有D=-D， 有D=0。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同 一数k，等于用k乘此行列式。
ri × k
推论
(ci × k )
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提 到行列式记号外面。 行列式的第i行（列）提出公因子k，记为
ri ÷ k ( c i ÷ k )
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式等于零。 将行列式的两行的比例系数提出来，则此两行 相等，故行列式等于零。
要求：i≠j。
an1 L ani L anj a11 L a1i + ka1 j
ci + kc j
L ann L a1 j L a1n M M M M L ann
=
M
பைடு நூலகம்
M
M
an1 L ani + kanj L anj
以数k乘以第j列加到第i列上去，记为 ci + kc j , i ≠ j 以数k乘以第j行加到第i行上去，记为 ri + kr j , i ≠ j
t ( p1 ... pi ... p n )
a p11 ...( a pi i + b pi i )...a pn n
= ∑ ( − 1) t ( p1 ... pi ... p n ) [ a p1 1 ...a pi i ...a p n n + a p11 ...b pi i ...a p n n ]
行列式的性质
5a33
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
例2 设 a21 a22 a23 1，求 3a21 a22
5a23
a31 a32 a33
3a31
a32
5a33
解
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
3a21
a22
5a23 2 3a21 a22 5a23
后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
as1
as2
asn ×K
as1
kat1
as2 kat2
asn katn
at1 at 2 atn
at1
at 2
atn
an1 an2 ann
an1
an2
ann
21
性质5在行列式的计算中最常用,它是行列式计算
2 1 10
解
1 1 0 2
1 1 0 2
D r1 r2 0
1 1 2
r3 r1
0
1
1
2
1 2 1 0 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 3 1 4
1 1 0 2
r3 r2
0
1
1
2
r4 3r2 0 0 2 4
0 0 2 2
1
r4 r3
0
0
0
1 0 1 1 0 2 00
的重要工具。 利用行列式的性质结合三角行列式的结果，可以
获得行列式的第一种基本计算方法--三角行列式法. 为了清楚地反映行列式的变化过程，特规定以下记号：
ri rj k ri
行列式的性质
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7.2 行列式的性质
性质4 行列式中一行(或列) 性质4 行列式中一行(或列)的每一个元素 如果可以写成两数之和， 如果可以写成两数之和，
aij = bij + cij ( j = 1,2,L, n) ，
那么此行列式等于两个行列式之和，这两个 那么此行列式等于两个行列式之和， 行列式的第 i 行的元素分别是 bi1，bi 2 ， ， L 其他各行(或列) bin，和 ci1 ，ci 2 ，L ，cin ，其他各行(或列)的 元素与原行列式相应各行(或列)的元素相同， 元素与原行列式相应各行(或列)的元素相同，
a12 L M ai 2 L M an 2 L
12/36
a1n M ain ． M ann
(7.2.2)
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7.2 行列式的性质
例如二阶行列式 a1 a2 = a1kb2 − a2 kb1 kb1 kb2 a1 a2 = k (a1b2 − a2b1 ) = k ． b1 b2 推论1 如果行列式中有一行(或列) 推论1 如果行列式中有一行(或列)的全部 元素都是零，那么这个行列式的值是零. 元素都是零，那么这个行列式的值是零.
1n 1n
2n 2n
M L nn L ann nn
a11 a11 a21 a11a11 a21 21 L an1 n1 a12 a22 a12 a12a12 a22 22 L an 2 an 2 T T T D = DD= = M M MM M M M an a1n n 2n a1na111nn a2a2n L ann nn
的转置行列式. 那么称行列式 D T为 D 的转置行列式. 的转置行列式. 显然 D 也是 D T 的转置行列式.
行列式原理
行列式原理行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨行列式的原理，包括行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用行列式。
1. 行列式的定义。
行列式是一个数学对象，它是一个关于矩阵的函数，将一个方阵映射成一个数。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,σ(1) a1,σ(1) Σ(−1)^σP2,σ(2) a2,σ(2) ... Σ(−1)^σPn,σ(n) an,σ(n)。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,σ(1)、P2,σ(2)、...、Pn,σ(n)是σ的一个排列，a1,σ(1)、a2,σ(2)、...、an,σ(n)是A的对应元素。
2. 行列式的性质。
行列式具有许多重要的性质，其中一些性质包括：互换行（列），如果交换A的两行（列），则行列式的值变号。
行（列）成比例，如果A的某一行（列）乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍。
行（列）加倍，如果A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的计算方法。
计算行列式的值可以使用多种方法，其中一些常见的方法包括：代数余子式法，将行列式展开成n个n-1阶的代数余子式的和。
拉普拉斯（Laplace）展开法，根据行列式的性质，通过递归地计算n-1阶行列式的值来计算n阶行列式的值。
特殊行列式的性质，利用特殊矩阵的性质，简化行列式的计算过程。
4. 行列式的应用。
行列式在数学和工程领域有着广泛的应用，其中一些应用包括：线性方程组的求解，通过行列式的方法可以求解线性方程组的解。
矩阵的求逆，利用行列式的性质可以求解矩阵的逆矩阵。
空间几何问题，行列式可以用来描述空间中向量的线性相关性和空间体积等问题。
5. 总结。
行列式是线性代数中的重要概念，它具有独特的定义、性质和计算方法，广泛应用于数学和工程领域。
通过深入理解行列式的原理，我们可以更好地应用行列式解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
行列式的性质及其运用
1111
解： D 1
3
1
1 r1 r2 r3 r4
1
3
1
11 6
3
1
r2 r1
1 6 0 r3 r1
2
0
0
1131
1131
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
1 1 1 3 1113
0002
6 23 48 ．
1.2 行列式性质的运用
例题
ab
c
d
例 5 计算行列式 D a a b a b c
0 0 a 2a b
0 0 3a 7a 3b
00 0
a
1.2 行列式性质的运用
例题
方法二：
ab
c
a ab abc D
a 2a b 3a 2b c
d abcd 4a 3b 2c d
ab c
d
0 a r4 r3
r3 r2
ab
abc
r2 r1 0 a 2a b 3a 2b c
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1 ka j1 ai2 ka j2
ri krj
a jn
a j1
aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
1.1 行列式的性质
性质
性质 2、性质 3 和性质 5 常用来计算行列式，它们的标记如下． ① 互换 i,j 两行（列）： ri rj (ci c j ) ． ② 第 i 行（列）乘以某非零常数 k： kri (kci ) ． ③ 将第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列）上： ri krj (ci kcj ) ．
行列式加减法则
行列式加减法则行列式加减法则是线性代数中的重要概念之一，它描述了行列式在加减运算中的性质。
在本文中，我们将介绍行列式的定义、性质以及如何使用加减法则进行计算。
一、行列式的定义行列式是一个方阵所对应的一个数值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，其中最常用的方法是通过代数余子式来进行计算。
二、行列式的性质行列式具有以下几个重要性质：1. 互换行（列）改变行列式的符号：如果两行（列）互换位置，行列式的值会改变符号。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0：如果行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行（列）的倍乘，行列式的值成倍增加：如果将某一行（列）的元素都乘以一个常数k，行列式的值也会乘以k。
4. 行（列）相等，行列式的值相等：如果两行（列）相等，行列式的值也相等。
三、行列式的加减法则根据行列式的定义和性质，我们可以得到行列式的加减法则：1. 行列式的加法法则：对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于它们对应位置元素的和的行列式，即det(A+B)=det(A)+det(B)。
2. 行列式的减法法则：对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之差等于它们对应位置元素的差的行列式，即det(A-B)=det(A)-det(B)。
通过行列式的加减法则，我们可以方便地计算行列式的值。
下面我们通过一个例子进行说明。
例：计算行列式的值已知方阵A和B如下：A = |1 2||3 4|B = |5 6||7 8|我们可以先计算A和B的行列式，然后根据加减法则求解A+B和A-B的行列式。
首先计算A和B的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2det(B) = 5*8 - 6*7 = -2然后计算A+B和A-B的行列式：det(A+B) = det(|1+5 2+6|) = det(|6 8|) = 6*8 - 8*6 = 0det(A-B) = det(|1-5 2-6|) = det(|-4 -4|) = -4*(-4) - (-4)*(-4) = 0通过计算可得，det(A+B)和det(A-B)的值都为0，符合行列式的加减法则。
行列式的性质与计算行列式的性质有哪些行列式的计算方法
一、行列式的性质有哪些
(1) 行列式行列互换,其值不变；
(2) 互换两行(列),行列式的值变号;
(3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出;
(4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和;
(5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.
(6) 两行(列)成比例,其值为零;
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
二、行列式的计算方法是什么
1.若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
2.化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
3.原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
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−1 2 −3 3 −7 例１ D = 2 0 4 1 3 4 −5 −4 7 10 −3 9 −2 − 14 − 10 1 ×3 −5 1 6 2
等于下列两个行列式之和： 则D等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和 ′ a11 L a1i L a1n a11 L a1i L a1n ′ a 21 L a 2 i L a 2 n a 21 L a 2 i L a 2 n D= + L L L L L L L L ′ a n1 L a ni L a nn a n1 L a ni L a nn
a11 ka i 1
a12 L a1n
a11
a12 L a1n
LLLLLLL
LLLLLLL
ka i 2 L ka in = k a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 行列式的某一行（ 子可以提到行列式符号的外面． 子可以提到行列式符号的外面．
−1 −2 0 0 0
2 1 1 0 2
−3 −5 −1 −1 2
1 3 2 × (− 2 ) 0 ⊕ −2
1 0 r5 − 2r3 −0 0 0 1 0 r5 + 4r4 −0 0 0
−1 −2 0 0 0 −1 −2 0 0 0
2 1 1 0 0 2 1 1 0 0
−3 −5 −1 −1 4 −3 −5 −1 −1 0
(− 4 ) ×
r2 − 2r1
⊕
1 −1 2 0 0 −1 0 2 0
−3 0 4
1 × (− 3 ) −2 ⊕ −1 6 2
3 − 5 7 − 14 4 − 4 10 − 10
1 −1 2 − 3 1 0 0 −1 0 − 2 r3 − 3r1 0 2 0 4 −1 r4 − 4r1 0 −2 1 −5 3 0 0 2 2 −2
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 性质5 若行列式的某一列（ 数之和. 数之和. a a L (a + a ′ ) L a
11 12 1i 1i 1n
例如
D=
a 21 M a n1
a 22 M an2
′ L (a 2 i + a 2 i ) L a 2 n M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn
ri + kr j
a n1 L a ni L a nj L a nj a11 L ( a1i + ka1 j ) L a1 j L a1n a21 L (a2 i + ka2 j ) L a2 j L a2 j M M M M L anj an1 L (ani + kanj ) L anj
二、应用举例
1 3 2 0 ×4 ⊕ −6 1 3 2 = −(− 2)(− 1)(− 6) = 12. 0 −6
三、小结
行列式的6个性质 行列式中行与列具有同 行列式的 个性质 (行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立). 同样成立 计算行列式常用方法： 利用定义 利用定义;(2)利用 计算行列式常用方法：(1)利用定义 利用 性质把行列式化为上三角形行列式， 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值． 列式的值．
⊕
解
−1 2 −3 3 −7 D= 2 0 4 1
−3 9
1 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 1 −3 0 0 −1 0 −2
r2 + 3r1 2 0 4 3 −5 7 4 − 4 10
−2 − 14 − 10
1 6 2
1 × (− 2 ) −1 2 −3 0 −1 0 −2 ⊕ r2 + 3r1 2 0 4 1 −2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 0
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行 对应的元素上去 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列 行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． a11 L a1i L a1 j L a1n 例如 a 21 L a 2 i L a 2 j L a 2 j k× M M M M
一、行列式的性质
记
a11 a12 L a1n a11 a21 a21 a22 L a2 n a12 a22 T D= D = M M O M an1 an2 L ann a1n a2n
T
L a n1 L an 2
O
M
L ann
的转置行列式. 行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式 性质1 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式与它的转置行列式相等.
性质４ 行列式中如果有两行（ 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 则此行列式为零． 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 L a1n a i 2 L a in
a11 ai1
a12 L a1n a i 2 L a in
LLLLLLL ai1 LLLLLLL
LLLLLLL
= k LLLLLLL = 0. ka i 1 ka i 2 L ka in a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 性质2 互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 行列式变号.
例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8, 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 = − 6 6 2. 5 3 8 8
5
如果行列式有两行（ 完全相同， 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（ 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘此行列式. 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r2 ↔ r4 − 0 2 0 4 −1 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r3 + r2 − 0 0 1 −1 2 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 0 −0 0 0