6-行列式的性质

性质４ 行列式中如果有两行（ 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 则此行列式为零． 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 L a1n a i 2 L a in
a11 ai1
a12 L a1n a i 2 L a in
LLLLLLL ai1 LLLLLLL
LLLLLLL
= k LLLLLLL = 0. ka i 1 ka i 2 L ka in a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
⊕
解
−1 2 −3 3 −7 D= 2 0 4 1
−3 9
1 ×3 −5 1
⊕
−2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 1 −3 0 0 −1 0 −2
r2 + 3r1 2 0 4 3 −5 7 4 − 4 10
−2 − 14 − 10
1 6 2
1 × (− 2 ) −1 2 −3 0 −1 0 −2 ⊕ r2 + 3r1 2 0 4 1 −2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 0
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 性质2 互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 行列式变号.
例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8, 3 5 8 6 6 2
a11 ka i 1
a12 L a1n
a11
a12 L a1n
LLLLLLL
LLLLLLL
ka i 2 L ka in = k a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn
aHale Waihona Puke Baidun1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 行列式的某一行（ 子可以提到行列式符号的外面． 子可以提到行列式符号的外面．
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 = − 6 6 2. 5 3 8 8
5
如果行列式有两行（ 完全相同， 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（ 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘此行列式. 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 性质5 若行列式的某一列（ 数之和. 数之和. a a L (a + a ′ ) L a
11 12 1i 1i 1n
例如
D=
a 21 M a n1
a 22 M an2
′ L (a 2 i + a 2 i ) L a 2 n M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn
计算行列式常用方法：利用运算 ri + kr j 把行列式 计算行列式常用方法： 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
−1 2 −3 3 −7 例１ D = 2 0 4 1 3 4 −5 −4 7 10 −3 9 −2 − 14 − 10 1 ×3 −5 1 6 2
1 3 2 0 ×4 ⊕ −6 1 3 2 = −(− 2)(− 1)(− 6) = 12. 0 −6
三、小结
行列式的6个性质 行列式中行与列具有同 行列式的 个性质 (行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立). 同样成立 计算行列式常用方法： 利用定义 利用定义;(2)利用 计算行列式常用方法：(1)利用定义 利用 性质把行列式化为上三角形行列式， 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值． 列式的值．
一、行列式的性质
记
a11 a12 L a1n a11 a21 a21 a22 L a2 n a12 a22 T D= D = M M O M an1 an2 L ann a1n a2n
T
L a n1 L an 2
O
M
L ann
的转置行列式. 行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式 性质1 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式与它的转置行列式相等.
(− 4 ) ×
r2 − 2r1
⊕
1 −1 2 0 0 −1 0 2 0
−3 0 4
1 × (− 3 ) −2 ⊕ −1 6 2
3 − 5 7 − 14 4 − 4 10 − 10
1 −1 2 − 3 1 0 0 −1 0 − 2 r3 − 3r1 0 2 0 4 −1 r4 − 4r1 0 −2 1 −5 3 0 0 2 2 −2
−1 −2 0 0 0
2 1 1 0 2
−3 −5 −1 −1 2
1 3 2 × (− 2 ) 0 ⊕ −2
1 0 r5 − 2r3 −0 0 0 1 0 r5 + 4r4 −0 0 0
−1 −2 0 0 0 −1 −2 0 0 0
2 1 1 0 0 2 1 1 0 0
−3 −5 −1 −1 4 −3 −5 −1 −1 0
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r2 ↔ r4 − 0 2 0 4 −1 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r3 + r2 − 0 0 1 −1 2 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 0 −0 0 0
等于下列两个行列式之和： 则D等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和 ′ a11 L a1i L a1n a11 L a1i L a1n ′ a 21 L a 2 i L a 2 n a 21 L a 2 i L a 2 n D= + L L L L L L L L ′ a n1 L a ni L a nn a n1 L a ni L a nn
ri + kr j
a n1 L a ni L a nj L a nj a11 L ( a1i + ka1 j ) L a1 j L a1n a21 L (a2 i + ka2 j ) L a2 j L a2 j M M M M L anj an1 L (ani + kanj ) L anj
二、应用举例
性质６ 把行列式的某一列（ 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行 对应的元素上去 对应的元素上去， 同一数然后加到另一列 行)对应的元素上去，行 列式不变． 列式不变． a11 L a1i L a1 j L a1n 例如 a 21 L a 2 i L a 2 j L a 2 j k× M M M M