山东省春季高考数学试题2010年真题(附答案)

学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________山东省春季高考数学试题2010年真题第Ⅰ卷．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． ．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮．(本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一) M ＝{0}，则下列关系中正确的是 ∅(B ) 0 ∈ M(C ) 0 ∉ M (D ) 0 ∈ ∅{ x |－2≤x ＜3} 用区间表示为 2，3)(B ) [－2，3](C ) [－2，3) (D ) (－2，3]2，m ，8构成等差数列，则实数 m 的值是 (B ) 4或－4 (C ) 10 (D ) 5y ＝lg(1－x )＋1x ＋2的定义域是 x | x ＜1 } (B ) { x | x＜1且 x ≠－2 } x | x ≤1 }(D ) { x | x ≤1且 x ≠－2 } M (2，－3)，N (－5，1)，则向量 →MN 的坐标是 7，4)(B ) (7，－4) (C ) (－3，－2) (D ) (－10，－3)a 2＝N (a ＞0且 a ≠1)，则有2 a ＝N (B ) log 2 N ＝a (C ) log a N ＝2 (D ) log N a ＝2x 2＋2x －3＞0的解集是 x | x ＜－3或x ＞1} (B ) { x |－3＜x ＜1} x | x ＜－1或x ＞3}(D ) { x |－1＜x ＜3}5本不同的课外书，有3位同学每人从书架上各取一本，不同取法的种数是(B ) 60(C ) 125 (D ) 243f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x －5是偶函数，则实数 m 的值是 2 (B ) 0(C ) 2 (D ) －210．函数 y ＝f (x ) 的图象与直线 x ＝k (k 是常数)的交点的个数(A ) 有且只有一个 (B ) 至少有一个 (C ) 至多有一个 (D ) 有一个或两个11．已知角 α 终边上一点 P (5，12)，则 tan α 的值是(B ) 512(C ) 513 (D ) 121312．给出下列命题：① |→BA |＝|→AB |；② 向量→a 与向量→b 的方向相同或相反，则 →a //→b ； ③ 若→a ，→b 都是单位向量，则→a ＝→b ；④ 方向为南偏西60︒ 的向量与方向为北偏东60︒ 的向量是共线向量； 其中，正确的命题是 (A ) ①②(B ) ①④(C ) ①②④ (D ) ①②③④13．下列四个点中，在曲线 x 2－2 x y ＋y 2＝0上的点是 (A ) (0，1)(B ) (－1，1) (C ) (1，－1) (D ) (－1，－1)14．函数 f (x )＝x 3－x 2＋3的导函数是 (A ) f ' (x )＝3 x 2－2 x ＋3 (B ) f ' (x )＝x 2－x (C ) f ' (x )＝3 x 2－2 x(D ) f ' (x )＝3 x 2＋2 x15．依次抛掷三枚质地均匀的硬币，用 (x ，y ，z ) 表示这个随机试验的结果，其中 x ，y ，z 分别表示第1，2，3枚硬币朝上一面是正面或反面的情况，那么这个随机试验的样本空间中的基本事件的个数是 (A ) 6(B ) 8(C ) 9 (D ) 2716．已知集合 M ＝{ x | p }，N ＝{ x | q }，且 M ⊆ N ，则 (A ) p 是 q 的充分条件(B ) p 是 q 的必要条件(C ) p 是 q 的充要条件 (D ) p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件17．若点 P (－1，－2)关于坐标原点的对称点是 P ' (lg a ，2b)，则实数 a ，b 的值分别是 (A ) 110，－1(B ) 110，1(C ) 10，－1 (D ) 10，118．已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝n 2＋n ，则第二项 a 2 的值是 (A ) 2 (B ) 4(C ) 6 (D ) 8学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________(B ) 18(C ) 28 (D ) 56→b |＝4，且＜→a ，→b ＞＝60︒，则 |→a －→b | 的值是 (B ) 13(C ) 7 (D ) 37x ＋y －2≥0表示的区域是∈ ( π2，π)，则 cos(α－30︒) 的值是(B ) 3＋4310(C ) －3－4310 (D ) 3－43102人参观世博会，恰好选到1名男生和1名女生的概率是 (B ) 37(C ) 27 (D ) 17N (3，4)，则以线段 MN 为直径的圆的标准方程是 ＝2(B ) (x －2)2＋(y －3)2＝2＝8 (D ) (x －2)2＋(y －3)2＝8N 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与MN 成2 x －4在点 M (1，－1) 处的切线方程是 (B ) y ＝2 x －3 (C ) y ＝3 x ＋2 (D ) y ＝5 x －627．抛物线 x 2＝4 y 的准线 l 与 y 轴交于点 P ，l 绕点 P 按逆时针方向旋转，则 l 恰好与抛物线第一次相切时，l 旋转的角度是 (A ) 60︒(B ) －60︒(C ) 45︒ (D ) －45︒28．已知 y ＝f (x ) 是奇函数，在区间 (－∞，－1] 上是减函数且有最小值3，则 y ＝f (x ) 在区间 [1，＋∞) 上(A ) 是增函数且有最小值3 (B ) 是增函数且有最小值－3 (C ) 是减函数且有最大值3(D ) 是减函数且有最大值－329．函数 y ＝3 sin(2 x －π3) 的单调递增区间是(A ) [－π12＋2 k π，5π12＋2 k π]（k ∈ Z ） (B ) [－π12＋k π，5π12＋k π]（k ∈ Z ）(C ) [ 5π12＋2 k π，11π12＋2 k π]（k ∈ Z ）(D ) [ 5π12＋k π，11π12＋k π]（k ∈ Z ）30．已知双曲线 x 22 －y 2k ＝1的两个焦点分别是为 F 1，F 2，其一条渐近线方程是 y ＝x ，若点P (m ，1)在双曲线上，则 →PF 1⋅→PF 2 的值是(A ) 0(B ) 1(C ) 2 (D ) 2第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，解答题和应用题应写出推理、演算步骤． 3．本试题允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．)31．已知底面半径为1的圆柱，其侧面展开图是正方形，则此圆柱的侧面积是 （4 π2）． 32．若直线 l 过两点(－2，0)，(0，1)，则直线 l 的一般式方程是 （x －2 y ＋2＝0）． 33．已知 △ABC 中，b ＝3，c ＝2，∠C ＝45︒，则∠B ＝ （60︒ 或120︒）．34．函数 y ＝x 2＋x x 2＋1 的最大值是 （ 1＋22）．(D )NMPQMNPQ (C ) (B )M PQ N学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________(本大题共4小题，共28分．)．已知函数 f (x )＝A sin(ω x ＋ϕ)，其中 A ＞0，ω＞0分图象如图所示．求：(1) 函数 f (x ) 的最小值和最小正周期；(2) 函数 f (x ) 的解析式；(3) 函数 y ＝f (x ) ⋅ f (x ＋π)的最大值．(7分) （1）由图象可知函数 f (x ) 的最小值是－2，最小正周期 T ＝4 π．2）因为 T ＝2πω＝4 π，所以 ω＝12．又图象经过点（π2，0）所以 2 sin(12×π2＋ϕ)＝0．|ϕ|＜π，所以 ϕ＝－π4，f (x )＝2 sin( x 2－π4)． 3）y ＝f (x ) ⋅ f (x ＋π)＝2 sin(x 2－π4) ⋅ 2 sin(x ＋π2－π4)＝2 sin(x 2－π4) ⋅ 2 sin(x 2＋π2－π4)＝2 sin(x 2－π4) ⋅＝2 sin(x －π2)．y ＝f (x ) ⋅ f (x ＋2)的最大值为2． ．已知三棱锥 D -ABC ，AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝∠CAD ＝∠BAC ＝90°，点 E ，F 分别是 BC ，DE 的中点，如图所示． (1) 求证 AF ⊥ BC ； (2) 求线段 AF 的长．(7分)方法一：（1）证明：因为 ∠BAD ＝∠CAD ＝90°， 所以 DA ⊥ AB ，DA ⊥ AC ， 所以 DA ⊥ 平面ABC ， 所以 DA ⊥ BC ． ①连结 AE ，在 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1， 所以 △ABC 等腰直角三角形，又因为 E 是 BC 的中点，所以 AE ⊥ BC ， ② 亦有 AE ＝12 BC ＝12 AB 2＋AC 2＝ 2 2 ，由 ①，② 可知 BC ⊥ 平面 DAE ， 因为 AF ⊂ 平面 DAE ， 所以 AF ⊥ BC ．（2）解：因为 DA ⊥ 平面 ABC ，AE ⊂ 平面 ABC ， 所以 DA ⊥ AE ，即 ∠DAE ＝90°，所以 △DAE 是直角三角形，F 是 DE 的中点， 所以 AF ＝12DE＝12 DA 2＋AE 2＝1222＋(2 2)2 ＝3 24． 方法二：（1）证明：因为 ∠BAD ＝∠CAD ＝∠BAC ＝90°， 所以可建立如图空间直角坐标系 A - x y z ，则 A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，D (0，0，2)， 因为点 E ，F 分别是 BC ，DE 的中点， 可得 E ( 12，12，0)，F ( 14，14，1)，学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________→AF ＝( 14，14，1)，→BC ＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)，→AF ⋅→BC ＝14×(－1)＋14×1＋1×0＝0，AF ⊥ BC ．2）解：因为 →AF ＝( 14，14，1)，|→AF |＝(14)2＋(14)2＋12＝3 24．AF ＝3 24 ．．已知椭圆与双曲线 x 29－y 227＝1有公共焦点 F 1，F 2，它们135，如图所示．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点 P 是该椭圆上一点，且 ∠F 1PF 2＝60︒， 求 △PF 1F 2 的面积．(7分) （1）设 F 1(－c ，0 )，F 2(c ，0 )， x 29－y 227＝1，c 2＝9＋27＝36，解得 c ＝6， e ＝ 63 ＝2，135－2＝35．x 2a 2＋y 2b 2＝1，c a ＝35，且 c ＝6，a ＝10，因为在椭圆中 a 2＝b 2＋c 2，所以 b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64， 所以椭圆的标准方程是x 2100＋y 264＝1．（2）在 △PF 1F 2 中，|F 1F 2|＝2 c ＝12，|PF 1|＋|PF 2|＝2 a ＝20， 由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|⋅|PF 2| cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|⋅|PF 2|－2|PF 1|⋅|PF 2|⋅ cos 60︒ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|⋅|PF 2|，即 122＝202－3|PF 1|⋅|PF 2|，解得 |PF 1|⋅|PF 2|＝2563，所以 S △PF 1F 2＝12 |PF 1|⋅|PF 2| sin 60︒＝12×2563× 3 2＝643 3 ．38．某房地产公司在2010年对某户型推出两种售房方案：第一种是一次性付款方案，购房的优惠价为28.5万元；第二种是分期付款方案，要求购房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续十年，在每年的购房日向银行付款2.25万元．假设在此期间银行存款的年利率为3%，若不考虑其他因素，试问：对于购房者来说，采用哪种方案省钱？请计算说明．(7分)解：第一种方案，十年后付款的本息之和为：28.5×(1＋0.03)10≈38.30（万元）．第二种方案，还款结束时实际付款的本息之和为：10×(1＋0.03)10＋2.25×(1＋0.03)9＋2.25×(1＋0.03)8＋…＋2.25 ＝10×1.0310＋2.25×(1.0310－1)1.03－1≈39.23（万元）．因此对于购房者来说，采用第一种方案省钱．第37题图。