《幂函数》教学案例与反思

《2.3幂函数》教学案例

遵义四中 石偲星

1.教学设计

1.1教材的地位和作用

《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。

1.2教学目标

1.2.1基础知识目标

（1）理解幂函数的概念，会画幂函数2

1132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；

（2）能应用幂函数性质解决简单问题。

1.2.2能力训练目标

（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；

（2）使学生进一步体会数形结合思想。 1.3教学重、难点

重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。 突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。 1.4学情分析

学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。

1.5教学用具

本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。

2.教学过程

2.1温故知新，引入新课：

问题1：我们都学习过2,2x y y x ==，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？ （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答） 同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。

同学2：这两个函数自变量位置不同:。

教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而x

y 2=

是我们学习过的指数函数，对于2

x y =这个函数我们将进一步分析。 2.2合作探究，新课讲授：

问题2：分析课本中的具体问题：

①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付w p =元，这里p 是w 的函数；

②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数；

③如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；

④如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数。 能发现上述函数解析式有什么共同特征？是否为指数函数？

（我此时把解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，引导学生归纳总结，培养学生归纳能力并能正确的表达出来，有同学已经观察出规律并举手发言）

同学3：这几个函数的底数都是变量，指数位置都是常数。

同学4：函数前面的系数都是1。

同学5：指数位置有正有负。

教师：同学们总结的都非常好，经过同学们的分析总结，我们可以得出幂函数的定义，即：一般地，形如αx y =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

（趁热打铁，马上提出问题）

问题3：判断下列函数是否为幂函数？

（1）23x y =（2）23+-=x y （3）x

y 1=（4）1=y （学生独立思考，回答问题，分析是不是幂函数，不是，说明原因。这个过程主要是培养学生运用新知识去解决问题，表达问题的能力，并且进一步巩固概念，强化学生对概念形式特征的把握。学生一起回答是与否，第四个产生了分歧，这时我就给学生几分钟讨论思考，引导学生分析函数1=y 能不能写成幂函数的形式，也就是0x y =的形式。显然不行。学生也纷纷在下面点头赞同）

问题4：已知函数12)1(-++=m m x m y 是幂函数，求m 的值。

（本题是对幂函数概念的进一步深化总结，本题请同学思考并到黑板上展示答案，与学生交流）

学生黑板上展示解题过程：

解：因为函数12)1(-++=m m x

m y 是幂函数，所以,11=+m 即。0=m 这个幂函数是1-=x y 。

教师：非常好，进一步思考当m 为何值时，函数是正比例函数？反比例函数？二次函数？

同学6：当112=-+m m 时，也就是12=-=m m 或时，函数是正比例函数；

当1-12=-+m m 时，即10-==m m 或时，函数是反比例函数；

当212=-+m m 时，也就是2

131±-=m 时，函数是二次函数。 教师：其他同学还有不同意见么？

（学生马上有很多同学说自己观点，大部分同学发现了些问题，此时老师不马上说出问题，让学生自己发现问题）

同学7：要检验，当1-=m 时，01=+m 所以不能是反比例函数。

教师：同学们总结的很好，说明同学们已经掌握幂函数的定义，接下来我们研究幂函数的性质。我们以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-这五个函数为例，那么我们怎么研究它们的性质呢？一般方法是什么？

（学生已经学习了指数函数对数函数，想了解函数性质就通过画图象，学生很快作答，老师在黑板上画出直角坐标系，和学生一起画一次函数x y =，二次函数2x y =，反比例函数1-=x y 的图象，这期间老师引导学生用基本的描点法画图象，让学生熟悉画图的一般步骤，有助于学生画出剩下两个不熟悉的函数图象） 教师：那么还有x y x y ==和3的图象，请同学们用描点法画出这两个函数图象。

（同学在本上画图，老师与学生交流查看画图情况，请两位同学在黑板上画图象。学生纷纷观察是否与自己的图象相同）

问题5：画图后填表，观察有什么性质？

（学生一起说过定点，有些同学有了一点想法，于是我请学生说了他们的观点）

学生8：我发现幂函数的图象都在第一象限，二、三象限有的有图象有的没有图象，第四象限没有幂函数图象。

（学生从图象中直观观察到了图象特点，我就利用这个特点，继续引导学生思考） 教师：那么为什么会出现这种情况呢？二、三象限有的图象跟函数的什么性质有关系？ （学生展开讨论，有学生主动站起来回答）

学生9：幂函数第一象限肯定有图象，那么第四象限就一定没有，因为函数不能一对多。