4镜像法和电轴法
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r ( x + b) + y = = K2 2 ( x b)2 + y2 r+
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
9
不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
8
例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法
思考： 思考：如何求导体表 面的电荷密度分布？ 面的电荷密度分布？
3
推广： 推广：1. 点电荷q→线电荷τ →
τ ε
h （结论类似） 结论类似）
τ ε ε
h 单一介质Βιβλιοθήκη 单一介质！h(图a) 图
-τ
(图b) 图
2. 平面→两个平面
α
ε
q
α=π/n (可除尽 可除尽) 可除尽
有(2n –1)个镜像 个
§1-7 镜像法和电轴法
(解决静电场边值问题 解决静电场边值问题 间接方法 方法) 的间接方法
1
1.7.1 镜像法
导体） 一、平面镜像：(导体） 平面镜像： 导体
问题引入：无限大导体平板 接地 上方h处有点电荷 接地)上方 处有点电荷q， 问题引入：无限大导体平板(接地 上方 处有点电荷 ，周围 介电常数为ε，求解导体平板上方的电场。 求解导体平板上方的电场。 导体平板上方的电场 q q
则圆柱导体外任一点 的电位为 任一点P的电位为 的电位为:
+τ
+τ
a2
r τ ln P = 2πε r+
x
10
五、偏心电缆夹层的电场： 偏心电缆夹层的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。
两圆心离y轴为 轴为h 两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为a 设圆柱导体的半径为 1 a2 ，两圆心离 轴为 1 h2 ，两等效电轴的距离为
a12 +b2 =h12 a22 +b2 =h22 +τ a2 -τ y +τ b D h2 h1 0 b D= h2- h1
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则偏心电缆夹层任一点P的电位为 则偏心电缆夹层任一点 的电位为: 的电位为
设圆柱导体的半径为a 两圆心离y轴为 轴为h 两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 1 a2 ，两圆心离 轴为 1 h2 ，两等效电轴的距离为
a12 +b2 =h12 a22 +b2 =h22 y -τ a1 -τ 0 h1 b D b h2
D= h1+ h2 若取 轴电位为 ， 若取y轴电位为 轴电位为0，
(n=1,2,3…)
4
1.7.2 电轴法
一、问题的提出： 问题的提出：
1. 长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在。 长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在 在电力和信号传输中广泛存在。 2. 分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为τ 、 分析两长直平行带电圆柱导体（ -τ ）的电场：直接法很困难。——间接解决。 的电场：直接法很困难。 间接解决。 间接解决
y -τ 0 +τ x
|(导体 = c1 导体1) 导体
|(导体 = c2 导体2) 导体
5
二、一对细长导线产生的电场： 一对细长导线产生的电场： 解：由高斯定律、叠加原理： 由高斯定律、叠加原理： y P(x, y)
r+
τ τ r_ EP = er+ + er 2πε + r 2πε r -τ Q τ Q τ 0 dr + ∫ dr P = ∫P P2 2b 2πε + πε r r r τ ln + C = r τ 2πε r+ ln ∴P = 轴电位为0， 取y轴电位为 ，则：C=0 轴电位为 2πε r+ r r+ = K 等位线方程为： 等位线方程为：令P=K
a1 -τ
r τ ln P = 2πε r+
x
11
ε
h
ε ε
h
h
-q
(图b) 图
(图a) 图 除点电荷处 解： ▽ 2=0 |(导体平面 = 0 导体平面) 导体平面 |(无穷远处 = 0 无穷远处) 无穷远处
√ √ √
考虑如图b， 考虑如图 ，在导体平面下方h处放点电荷-q， 并撤去导体， 并撤去导体，整个空间充满介质ε的情况
2
问题：无限大导体平板 接地 上方h处有点电荷 接地)上方 处有点电荷q， 问题：无限大导体平板(接地 上方 处有点电荷 ，周围介 求解导体平板上方的电场 导体平板上方的电场。 电常数为ε， 求解导体平板上方的电场。
2bK R= 2 K 1
R2 +b2 =d2
6
结论： 结论： 等位线为若干圆， 等位线为若干圆， 圆心到原点的距离为d，圆半径为 圆心到原点的距离为 ，圆半径为R y
R2 +b2 =d2
R
-τ 0 2b 2d
+τ x
7
等半径)外部的电场 三、两长直平行带电圆柱导体(等半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 等半径 外部的电场：
q P qr h 单一介质！ r’ 单一介质！ P
ε
h
ε
P =
q 4πε r q 4πε ′ r
ε
h
-q
(图b) 图
(图a) 图
+
结论： 结论：
1. 图a中电介质中的电场分布可用图 计算； 中电介质中的电场分布可用图b计算 中电介质中的电场分布可用图 计算； 2. -q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷 为镜像电荷， 的作用； 的作用； 3. 用镜像法要注意有效范围： 用镜像法要注意有效范围： 4. 镜像电荷必须放在有效范围之外。 镜像电荷必须放在有效范围之外。
设等效电轴距离为2b 设等效电轴距离为 则导体2的电位即点 的电位为 则导体 的电位即点P’的电位为： 的电位即点 的电位为：
y
r_ r+
P(x, y) +τ
r τ ln P' = 2πε r+ b + (D 2 a) τ ln = 2πε b (D 2 a) =U0/2 τ r τ ln P = 2πε r+
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
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不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
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例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法
思考： 思考：如何求导体表 面的电荷密度分布？ 面的电荷密度分布？
3
推广： 推广：1. 点电荷q→线电荷τ →
τ ε
h （结论类似） 结论类似）
τ ε ε
h 单一介质Βιβλιοθήκη 单一介质！h(图a) 图
-τ
(图b) 图
2. 平面→两个平面
α
ε
q
α=π/n (可除尽 可除尽) 可除尽
有(2n –1)个镜像 个
§1-7 镜像法和电轴法
(解决静电场边值问题 解决静电场边值问题 间接方法 方法) 的间接方法
1
1.7.1 镜像法
导体） 一、平面镜像：(导体） 平面镜像： 导体
问题引入：无限大导体平板 接地 上方h处有点电荷 接地)上方 处有点电荷q， 问题引入：无限大导体平板(接地 上方 处有点电荷 ，周围 介电常数为ε，求解导体平板上方的电场。 求解导体平板上方的电场。 导体平板上方的电场 q q
则圆柱导体外任一点 的电位为 任一点P的电位为 的电位为:
+τ
+τ
a2
r τ ln P = 2πε r+
x
10
五、偏心电缆夹层的电场： 偏心电缆夹层的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。
两圆心离y轴为 轴为h 两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为a 设圆柱导体的半径为 1 a2 ，两圆心离 轴为 1 h2 ，两等效电轴的距离为
a12 +b2 =h12 a22 +b2 =h22 +τ a2 -τ y +τ b D h2 h1 0 b D= h2- h1
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则偏心电缆夹层任一点P的电位为 则偏心电缆夹层任一点 的电位为: 的电位为
设圆柱导体的半径为a 两圆心离y轴为 轴为h 两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 1 a2 ，两圆心离 轴为 1 h2 ，两等效电轴的距离为
a12 +b2 =h12 a22 +b2 =h22 y -τ a1 -τ 0 h1 b D b h2
D= h1+ h2 若取 轴电位为 ， 若取y轴电位为 轴电位为0，
(n=1,2,3…)
4
1.7.2 电轴法
一、问题的提出： 问题的提出：
1. 长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在。 长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在 在电力和信号传输中广泛存在。 2. 分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为τ 、 分析两长直平行带电圆柱导体（ -τ ）的电场：直接法很困难。——间接解决。 的电场：直接法很困难。 间接解决。 间接解决
y -τ 0 +τ x
|(导体 = c1 导体1) 导体
|(导体 = c2 导体2) 导体
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二、一对细长导线产生的电场： 一对细长导线产生的电场： 解：由高斯定律、叠加原理： 由高斯定律、叠加原理： y P(x, y)
r+
τ τ r_ EP = er+ + er 2πε + r 2πε r -τ Q τ Q τ 0 dr + ∫ dr P = ∫P P2 2b 2πε + πε r r r τ ln + C = r τ 2πε r+ ln ∴P = 轴电位为0， 取y轴电位为 ，则：C=0 轴电位为 2πε r+ r r+ = K 等位线方程为： 等位线方程为：令P=K
a1 -τ
r τ ln P = 2πε r+
x
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ε
h
ε ε
h
h
-q
(图b) 图
(图a) 图 除点电荷处 解： ▽ 2=0 |(导体平面 = 0 导体平面) 导体平面 |(无穷远处 = 0 无穷远处) 无穷远处
√ √ √
考虑如图b， 考虑如图 ，在导体平面下方h处放点电荷-q， 并撤去导体， 并撤去导体，整个空间充满介质ε的情况
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问题：无限大导体平板 接地 上方h处有点电荷 接地)上方 处有点电荷q， 问题：无限大导体平板(接地 上方 处有点电荷 ，周围介 求解导体平板上方的电场 导体平板上方的电场。 电常数为ε， 求解导体平板上方的电场。
2bK R= 2 K 1
R2 +b2 =d2
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结论： 结论： 等位线为若干圆， 等位线为若干圆， 圆心到原点的距离为d，圆半径为 圆心到原点的距离为 ，圆半径为R y
R2 +b2 =d2
R
-τ 0 2b 2d
+τ x
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等半径)外部的电场 三、两长直平行带电圆柱导体(等半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 等半径 外部的电场：
q P qr h 单一介质！ r’ 单一介质！ P
ε
h
ε
P =
q 4πε r q 4πε ′ r
ε
h
-q
(图b) 图
(图a) 图
+
结论： 结论：
1. 图a中电介质中的电场分布可用图 计算； 中电介质中的电场分布可用图b计算 中电介质中的电场分布可用图 计算； 2. -q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷 为镜像电荷， 的作用； 的作用； 3. 用镜像法要注意有效范围： 用镜像法要注意有效范围： 4. 镜像电荷必须放在有效范围之外。 镜像电荷必须放在有效范围之外。
设等效电轴距离为2b 设等效电轴距离为 则导体2的电位即点 的电位为 则导体 的电位即点P’的电位为： 的电位即点 的电位为：
y
r_ r+
P(x, y) +τ
r τ ln P' = 2πε r+ b + (D 2 a) τ ln = 2πε b (D 2 a) =U0/2 τ r τ ln P = 2πε r+