排列组合问题,常见解题策略
解答排列与组合问题的四种策略
四种 策略 。
晶 －
省
一、捆” “ 的策略
种放 法 ， 想分 成 四部 分 ， 须 用 ３个 隔 板 将 它们 隔 开 。 中 要 只 其
个 选 则 ３２ 种 “ ” 捆 的策略就是对元 素进 ７ 球 ６个 空 ， ３个 空放 隔板 ， 有 Ｃ ＝ ０ 放 法 。
例 ６将２ ． ０个相 同的 小球 放入 编 号 分 别为 １ ２３ ４的 四个 ，， ， 沓 行整体处理的形象化描述 ， 体 ！ 现数学的整体思想，在解决对 盒子 中， 求每 个盒子 中的 球数 不少于 它的编号 数 ， 法总数 。 要 求放
例 ４ 马 路 上 有 编 号 为 １ ２３ … 、０的 十 只路 灯 ， 节 约 ： 、 、、 １ 为 用 电而 不 影 响照 明 ， 以把 其 中的三 只 路 灯 熄 灭 掉 ， 不 能 同 可 但 时熄 灭掉 相 邻 的 两只 或 三 只 灯 ， 问满 足 条件 的 熄灭 三 只 路 灯
与 组 合 问题 的 “ 、 、 、 ” 捆 插 隔 化
１ ．
例 ５ 个相 同的球放入 四个不同的盒子 中， 盒不空有 ：７ 每
多少种 方 法？
解： ７个球 放 入 四 个 不 同的 盒 ，即把 ７个 球 分 成 四 组 ， 不 妨将 ７个 球摆 放 成 一 列 ， 法 分 成 四 部 分 ， 一 种 分 法对 应 一 设 每
迷 津 点 拨
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ Ｄ ０Ｈ Ｎ
解答排列 与组合 问题 的 四种策略
（ 只要求写 出式子 ， 不必计算） 解： 先将 ６个歌唱节 目排好 ， 其不同的排 法有 Ａ ６ ， ６ ６种 这 个歌唱节 目的空隙及 两端共七个位置 中再排 ４个舞蹈节 目有 Ａ７ ４ 种排法 ， 则任何 两个舞蹈 节 目不得相邻 的排法有 Ａ６ ４ ７ Ａ 种。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
排列组合常见15种解题方法
排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。
14种策略7大模型绝杀排列组合
14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。
按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。
综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有 个。
（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。
（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。
5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） （答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。
排列组合问题的解题策略
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法
小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
排列组合常见问题的解题策略
复习巩固
1.分类计数原理 加法原理) 1.分类计数原理(加法原理) 分类计数原理( 完成一件事， 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 类办法，在第1 种不同的方法，在第2类办法中有m m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法， 在第n类办法中有m 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 种不同的方法．
主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 若有多个约束条件， 若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的 同时还要兼顾其它条件
先排末位共有___ 先排末位共有 C 1 位置分析法和元素分析法是பைடு நூலகம்决排列组合问题最 然后排首位共有___ 然后排首位共有 C4 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主, 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先 最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C若以位置分析为 1 安排特殊元素,再处理其它元素. 安排特殊元素,再处理其它元素. 1 A C
5 4 2
有8本互不相同的书,数学3本,外语2本, 本互不相同的书,数学3 外语2 其他书3 将它们排成一行放在书架上, 其他书3本,将它们排成一行放在书架上,其 中数学书放在一起,外语书放在一起, 中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少 5 3 2 种放法? 种放法? A5 A3 A2 =1440
六.环排问题线排策略 5人围桌而坐 共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 坐成一排的不同点在于， 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！ 1)！
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
排列组合常见题型及解题策略
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列(求幂法)：【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？练习：把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？二、一般排列或者组合：一定要分清楚有序还是无序，有序是排列，无序是组合。
【例1】四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有【例2】从10个学生中选出3名代表，不同的结果有【例3】8位同学站成一排照相，有种不同站法。
【例4】参加世界杯足球决赛共有32支球队，分成8个小组，每个小组4支球队进行小组赛，小组赛采用单循环赛，那么小组赛阶段总共进行多少场比赛？练习：1、从9个学生中选出3个人当班长、学习委员和团支书，共有种选法。
2、从10件产品中抽取3件产品，共有中抽法，若10件产品中有3件次品，保证抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法共有种，保证抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法有种。
三．相邻问题(捆绑法)：相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻，那么不同的排法种数有【例1】,,,,练习：5个学生，3个老师站成一排，学生必须相邻而站，有多少种站法？四．不相邻问题(插空法) ：不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.不相邻问题(间接法)：全排列减去相邻排法【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是练习： 1、红叶节要安排晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是2、3位男同学与2位女同学站成一排照相，女生不相邻有多少种站法？五．优限法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合常见题型及解题策略(详解).docx
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）34（ 2）43（3）43【例 2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案 .【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83 B 、38 C 、A83 D 、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8 种可能，因此共有83种不同的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .【例 1】A, B,C , D , E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种【例 2】（2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B.188 C. 216 D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32 A 22A 42 A 22 =432 种，其中男生甲站两端的有 A 12C32A 22 A 32A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A62种，不同的排法种数【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数是 A55 A623600 种【例 2】架上某有 6 本，新 3 本插去，要保持原有 6 本的序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A18 A 91 =504【例 3】高三（一）班学要安排晚会的 4 各音目， 2 个舞蹈目和 1 个曲目的演出序，要求两个舞蹈目不排，不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数 A55 A62＝3600【例 4】某工程有 6 工程需要独完成，其中工程乙必在工程甲完成后才能行，工程丙必在工程乙完成后才能行，有工程丁必在工程丙完成后立即行。
排列组合问题常见题型及解题策略
2.甲乙捆绑为一个整体，与剩下的3人排序有 A44 种
N A44 A22 48
练习 1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复
合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
C
61C
2 5
C
3 3
(2)每组都有2本
C62C42C
2 2
3!
(3)各4本,1本,1本
C 64 C 21 C11 2!
例6.有6本不同的书分给甲, 乙, 丙三名同学, 按下列条件, 分别有多少种分法?
(1)每人各得2本
C 62 C 42 C 22 3!
A33
90
(2)甲得1本,乙得2本,丙得3本
练习
1.用四种不同的颜色将一个四边形ABCD的四个顶
点染上一种颜色，要求同一边的两个端的颜色不
同，求不同的染色方法有多少种？
A4
3
B
C 1（同A）D 3 C 2（异A）D 2
A
B
D
C
A
1 4
A31
A
1 3
A
1 4
A31
A
1 2
A
1 284Fra bibliotek2.从5个车工,4人钳工,2个既是车工又是钳工的11
个人中选4个车工，4个钳工,不同的选法有多少
C93 C43 C53 70
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? C453 C450
1.四封信任意投入三个信箱中,不同的投法种数是
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一。
特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^1种方法，最后排其它位置共有A4^3种方法，根据分步计数原理得到答案为C4^1 × C3^1 × A4^3 = 288.入问题或空位法来解决。
排列组合常见题型及解题策略难
小学排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种 不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合问题，常见解题策略
曹永玉
排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。
究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。
教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。
本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。
一、排列问题
1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法”。
例1. 乒乓球队的10 名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？
解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有A72A33种可能，然后从其他队员中选2 人安排在第二、四位置，有A72种排法，因此结果有A33种。
点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。
2.某个元素不排在指定位置——排除法。
例2． 5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？
解析1：（排除法）5人的全排列数A55，其中甲在排头的排列数A44，故甲不在排头的排列数A55 --A44=96种
解析2：（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有
A41种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A44，所以总计A44A41种排法。
解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头A41，然后其他四个元素排在余下的4个位置A44，所以总计A41A44种排法。
3. 相邻问题——捆绑法
例3． 4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？
解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列A55，但这4名女生内部又有顺序A44，故A44A55种不同排法。
4. 小团体问题——捆绑法
例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？
解析：先从甲、乙之外的3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有C31A22种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A33种。
因此共A31A22A33种不同站法。
5. 不相邻问题——插空法
例5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？
解析：先将5个独唱节目排列A55，形成的6个空挡中，从后面5个空挡中选3个排在舞蹈节目A53，故有A55A53种不同排法。
6. 定序排列问题——缩短法
例6．书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不变，有多少种排法？
解析：9本书作全排列A99，考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种
排法都重复了A66次，因此有A99/A66种插法。
点评：若有n 个元素参加排列，其中有m个元素顺序是确定的，则排列数A n n/A m m
7. 重复排列问题——住店法
例7．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少？
解析：冠军不能重复给多名同学，但同一同学可以获得多项冠军。
把8名同学看作8家店，3项冠军看作三个客，他们都住进任意一家店，每个店都有8种可能，因此共有83种不同结果。
点评：⑴重复排列问题要区分两类元素，一类可以重复，看作店，另一类不能重复，看作客。
则通过住店法可以顺利解决。
⑵类似问题很多，信投箱问题，映射问题均可以通过住店法解决。
如8封信投进3个信箱，有多少不同结果？这里8封信是客，3个信箱是店，故有38种结果。
8．多排问题——排法
例8. 9个人排3排，每排3人，有多少种不同的排法？
解析：将2、3 排的排头分别接到第1、2排的排尾，问题转化为9人排一排，故有A99种。
9. 标号排位问题——分步法
例9．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿到一张别人的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？
解析：先将四个人标号㈠㈡㈢㈣,各自的卡标号①②③④，转化为卡与人不对号入座问题。
第一步㈠号同学取1张①号之外的卡A31；第二步由㈠号同学取出的那张贺卡的供卡人取，有3种取法；第三步由第二步取出的卡的供卡
人取，只有一种取法；第四步最后1人取卡，也只有1种取法，故有3×3×1=9种分配方法。
点评：从第二步起，每1步由上一步取得卡的供卡人取。
二、组合问题
1、某元素一定选上（或不选上）问题
例10．某乒乓球队9名队员，其中2名种子选手，现选5人参赛，种子选手都必须在内，有多少种不同选法？
略解：C73
2. 至多、至少选上几个问题——分类讨论或排除法
例11. 在200件产品中有3件次品，现从中任取5件，其中至少有2件次品的取法有多少？
略解一（分类讨论）：C32C1973+C33C1972
略解二（排除法）：C2005—C1975—C1974C31
3、分组（分堆）问题
①均匀分组问题：n 个元素分成m组，每组r个元素，则分法
[C n r C r n--r-----C r r]/A m m（其中mr=n）
例12．6本书分成3堆，每堆2本，有多少分法？
解析：共C62C42C22/A33=15种分法
②非均匀分组法
例13．6本不同书分成1本，2本，3本3堆，有多少种不同分法？
解析：先从6本中取出1本为一堆，再从剩下的5本中取2本为第二堆，余下的为第3堆时，故共C61C52C33=60种分法。
点评：①若只有分堆，而不只是分到某一位置或某个人，则只与组合有关。
③要区分是否均匀分堆，均匀分堆要除以排列数A m m（其中m为分成组数）
4、分配问题。
例14．12名同学平均分3组，参加制作航空模型比赛，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？
解析一：将12名同学平均分3组，共[C124C84C44/A33]种分法，再对3名教师按每组一人分配到各组去有A中方式，故共{[C124C84C44/A33]}A33=34650 中分组方法。
解析二：先将3名教师各设为1组，再将12名学生按序平均分配到这三个组中去，共计C124C84C44=34650 种分配方式。
点评：若分配中，指定分到某个特定位置或某个人，则与排列组合都有关，一般先组合，后排列。
即这样的分配问题可按解析一种方式先分堆，再分配。
5、相同元素的分配问题——隔板法
例15．有10个三好学生名额，分配到高三6个班级，每班至少有1个名额，共有多少种不同的分配方案？
解析：10个名额看作10个相同元素拍成一排，中间看作9个空档，将5个隔板插入9个空档，则每一种插法对应一种分配方案，共C95=126种不同分配方案。
(此文发表在省级刊物《教育实践与研究》二零零五年第十期。
)。