正弦定理和余弦定理教案
最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇
最新正弦定理余弦定理说课稿优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
正弦定理教案优秀5篇
正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。
数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。
2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
正弦定理和余弦定理教案设计
正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°，∴ sinA ＝32.∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinC sinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinC sinB ＝6－22.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________． 答案：(1) 2 2 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°.【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案 255210双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C 3．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150° 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b22ac，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA.当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .答案 B【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[尝试解答] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．3．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.变式训练 在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________． (2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______；a＝________.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .1．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 题型2 余弦定理解三角形4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．备选变式（教师专享）5，(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．【训练1】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例1】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． ．【训练】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【例2】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【试一试】 (2014·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .实用文档(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
《正弦定理和余弦定理》教案
正弦定理和余弦定理高二数学教·学案主备人：执教者：【学习目标】1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用【授课类型】新授课【教具】课件、电子白板【学习方法】【学习过程】一、引入：思考：在ABC 中，已知22a cm ，25b cm ，0133A ，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
二、特例示范：例1．在ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b A Ba 可进一步求出B ；则0180()CA B 从而sin a Cc A1．当A 为钝角或直角时，必须a b 才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A ，则有两解；（2）若sin a b A ，则只有一解；（3）若sin a b A ，则无解。
（以上解答过程详见课本第9:10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有个性设计当A 为锐角且sin b A a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
例2．在ABC 中，已知7a ，5b ，3c ，判断ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A ABC 是锐角三角形（注意：是锐角A ABC 是锐角三角形）解：222753Q ，即222a b c ，∴ABC 是钝角三角形。
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
正弦定理和余弦定理教案
1. 定理：2sin sin sin a b c R ABC===.（R 为三角形外接圆半径）2. 例题：例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，2a =，求b .例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.3. 练习：1、060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.2、060,ABC a A b B ∆===中，求3. 已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b c A B C++++.4、∆ABC 中，若::1:2:3A B C =则::a b c =5、∆ABC 中，若2sin b a B =则A =★6. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B=，求a b b+的值★7、002,30,135,ABC b B C a ∆===中，求1. 定理：2222cos b a c ac B =+- 推论222cos 2+-=b c aA bc2222cos a b c bc A =+- 222c o s 2+-=a c bBac2222cos c a b ab C =+- 222c o s 2+-=b a cCba2. 例题：例1. 在∆ABC 中，已知3a =，4b =，060C =，求c .练习：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .（答案：b =，060A =）例2：在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ＝6，求cosC .小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 3、巩固练习：1. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，求a2. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）变式：在△ABC 中，()()3a b c b c a bc +++-=，则A =3. 三角形ABC 中，3,2,AB AC BC ===AB AC1.3正弦定理和余弦定理的综合问题 例1三角形ABC 中，cos C ＝1314，a ＝7，b ＝8，求最大角的余弦变式：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.例2：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC 练习：1. 在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7，判断三角形的类型.★2. 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形★3. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.★4. 三角形ABC 中，C ＝60°，a ＝3，c ＝7，求b5. 在△ABC 中，已知12,3,cos 4a c B ===，求（1）b 的值（2）求sin C★★6. 已知A B C △三个顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值． (2) 若A 是钝角，求c 的取值范围★★★7. 在△ABC 中，已知54cos ,sin 135A B ==，求cos C .1.4应用问题 一、面积问题 公式：S=21ab sin C ，S=21bc sin A , S=21ac sin B例1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S练习：1.已知在∆ABC 中，∠B=30︒,AB=求∆ABC 的面积2. 三角形ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8求A B C S★3. 在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，若2a =，ABC S =△b 的值。
正弦定理和余弦定理教案(启发式)
正弦定理、余弦定理教案 ●教学目标(一)知识目标1.三角形形状的判断依据；2.利用正、余弦定理进行边角互换.(二)能力目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.(三)德育目标通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. ●教学重点利用正、余弦定理进行边角互换. ●教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. ●教学方法 启发引导式1.启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用. ●教具准备 投影仪、幻灯片 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=abc b a C cab ac B bca cb A Cab b a c B ca a c b 2cos 2cos 2cos cos 2,cos 2222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=第二张：例题1、2(记作§5.9.3 B) ［例1］已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C第三张：例3、例4(记作§5.9.3 C)［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B ）2－sin 2C＝3sin A sin B 求证：A ＋B ＝120°［例4］在△ABC 中，b cos A ＝a cos B 试判断三角形的形状●教学过程Ⅰ.复习回顾师：前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.3 A ).从投影片大家可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课师：下面，我们来看投影片上的例题.(给出投影片§5.9.3 B).［例1］分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDC BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即 在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDC DC BC DBC DC BDC BC ==即 ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCAD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一： (化为三角函数)a 2sin2B ＋b 2sin2A＝（2Ｒsin A ）2·2sin B ·cos B ＋（2Ｒsin B ）2·2sin A ·cos A＝8Ｒ2sin A ·sin B （sin A cos B ＋cos A sin B )＝8Ｒ2sin A sin B sin C＝2·2Ｒsin A ·2Ｒsin B ·sin C＝2ab sin C所以原式得证.证明二： (化为边的式子)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A ＝a 2·bc a c b R a b ac b c a R b 2222222222222-+⋅⋅+-+⋅ ＝)(2222222a c b b c a Rcab -++-+ ＝C ab Rc ab c RC ab sin 222222=⋅=⋅ 评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2Ｒsin A ，b ＝2Ｒsin B ，c ＝2Ｒsin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin （A ＋B ）＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.（给出幻灯片§5.9.3 C ）［例3］分析：要证A ＋B ＝120°，由于A ＋B ＋C ＝180°，只要证明C ＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角惟一，故可证明cos C ＝21，而由余弦定理cos C ＝ab c b a 2222-+，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.证明：由(sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B又∵sin A ＝R a 2，sin B ＝R b 2，sin C ＝Rc 2， ∴R b R a R c R b R a 22444222222⋅=-+ 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab∴cos C ＝212222=-+ab c b a 又0°＜C ＜180° ∴C ＝60°∴A ＋B ＝180°－C ＝120°评述： (1)有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围； (2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R ·sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.［例4］分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵b cos A ＝a cos B∴b ·acb c a a bc a c b 22222222-+⋅=-+ ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2∴a 2＝b 2∴a ＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵b cos A ＝a cos B又b ＝2Ｒsin B ，a ＝2Ｒsin A∴2Ｒsin B cos A ＝2Ｒsin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴A －B ＝0 即A ＝B故此三角形是等腰三角形.评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B .师：为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0 (2) .112cos 2cos 2222b a b B a A -=- 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2）BB c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabc b c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证.右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR B A R A b a b B a A 故原命题得证.评述：（1）在(1)题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；（2）(2)题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.2.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A ，试判断此三角形的类型. 解：∵sinB ·sinC ＝cos 22A ∴sinB ·sinC ＝2cos 1A + ∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π∴B －C ＝0 ∴B ＝C故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 22A －1的逆用，要求学生注意.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.Ⅴ.课后作业(一)补充作业1.在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列. 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅ ∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2即a 2，b 2，c 2成等差数列.2.在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C . (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值. 答案：（1）略 （2）1∶3(二)1.预习内容课本5.9 正弦定理、余弦定理2.预习提纲(1)复习正、余弦定理内容(2)总结正、余弦定理适用题型●板书设计§5.9.3 正弦定理、余弦定理(三)一、三角形问题证明思路 二、三角形形状判定依据三、学生练习1.向边转化 1.等腰三角形：a ＝b 或A ＝B四、补充作业利用正、余弦定理 2.直角三角形：a 2＋b 2＝c 22.向角转化 或C ＝90°利用正弦定理 3.钝角三角形：C ＞90°●备课资料1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.［例1］已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且32sin sin =B A ，求B B A +的值. 解：∵23sin sin ,sin sin ,sin sin ==∴=B A b a B A B b A a 又(这是角的关系)，∴23=b a (这是边的关系).于是，由合比定理得.25223=+=+b b a ［例2］已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差数列.求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b (这是边的关系)①又BA b a C cB b A a sin sin ,sin sin sin =∴==② BC b c sin sin =③ 将②、③代入①，得b BC b B A b 2sin sin sin sin =+整理得sin A ＋sin C ＝2sin B (这是角的关系).2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：［例3］求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值.解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（※）而由正弦定理知：a ＝2Ｒsin20°，b ＝2Ｒsin10°，c ＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝41 ∴原式＝41. ●教学后记。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生理解正弦定理和余弦定理的定义及几何意义。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理的适用范围和条件。
二、教学内容1. 正弦定理：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义，分析正弦定理的适用范围和条件。
2. 余弦定理：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义，分析余弦定理的适用范围和条件。
3. 应用：通过例题讲解如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题，如边长问题、角度问题、面积问题等。
三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义。
2. 难点：正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
3. 通过例题讲解和练习，巩固学生对正弦定理和余弦定理的理解和运用。
五、教学安排1. 第一课时：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义。
2. 第二课时：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义。
3. 第三课时：讲解正弦定理和余弦定理在解决三角形问题中的应用。
4. 第四课时：通过练习题巩固正弦定理和余弦定理的知识。
六、教学评价1. 评价学生对正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义的理解程度。
2. 评价学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 评价学生在解决实际问题时，能否灵活运用正弦定理和余弦定理。
七、教学反馈1. 课堂提问：通过提问了解学生对正弦定理和余弦定理的理解程度。
2. 练习反馈：通过练习题的完成情况，了解学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
3. 课后访谈：与学生交流，了解他们在解决实际问题时对正弦定理和余弦定理的应用情况。
八、教学拓展1. 探索正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 介绍正弦定理和余弦定理的历史背景和发展过程。
正弦定理和余弦定理(教案)
《正弦定理和余弦定理》（一）创设情境提出课题如图1，某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）（二）复习回顾、知识梳理1．正弦定理： .利用正弦定理，可以解决哪些有关三角形的问题.？2．余弦定理： .利用余弦定理，可以解决哪些有关三角形的问题：3．三角形面积公式： .（三）典例导航、知识拓展【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.思考讨论该题根据命题特征，你能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?【例2】已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，（1）若△ABC 的面积23=∆ABC S ，c=2,A=600,求边a,b 的值； （2）若a =c cos B ,且b =c sin A ,试判断△ABC 的形状。
（四） 变式训练、归纳整理【例3】已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若b cosC=(2a -c )cosB(1) 求角B ；(2) 2,2=∙=,求a+c 的值。
（五） 应用实践，解决问题通过复习整理，你能通过对正余弦定理的理解，最后解决本节课开始时留下的实际问题。
课时小结1. 解三角形时，已知“角角边、角边角、边边角”关系常用正弦定理；“边边边、边角边”关系常用正弦定理。
2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。
5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：一个三角形内角的正弦值等于它所对边的长度比该角的对边长度。
2. 余弦定理：一个三角形内角的余弦值等于它所对边的平方和与邻边的平方和的差除以它所对边的邻边长度乘积。
三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 难点：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
2. 利用多媒体辅助教学，展示三角形中的角度和边长之间的关系，增强学生的直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
五、教学过程1. 导入：通过展示一个三角形模型，引导学生观察三角形中的角度和边长之间的关系。
2. 新课导入：介绍正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
3. 案例分析：运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，让学生体会定理的应用价值。
4. 课堂练习：设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
教案仅供参考，具体教学过程中可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂练习：通过实时提问和解答学生的练习题，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的习题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此解题的心得和方法，以培养学生的合作能力。
七、教学反思1. 教师应反思教学内容是否符合学生的认知水平，并根据学生的反馈进行调整。
2. 教师应反思教学方法是否有效，是否能够激发学生的兴趣和参与度。
3. 教师应关注学生的学习进度和理解程度，及时调整教学计划和策略。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
正余弦定理完美教案
正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。
(完整版)正余弦定理教案
正弦定理和余弦定理安勤辉一。
教学目标:1知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观:通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美,学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点:正弦、余弦定理应用以及公式的变形2。
难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b,c,则(1)S＝错误!ah(h表示边a上的高)．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B。
(3)S＝错误!r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径）问题1:在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!，A＝60°求c及B C问题2在△ABC中，c=6 A=30° B=120°求a b及C问题3在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝错误!，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决（1）已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b。
若2a sin B＝错误! b，则角A等于 ( ）．A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!(2)（2014·杭州模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,若a＝1，c＝4错误!，B ＝45°,则sin C＝______.解析(1）在△ABC中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。
6.1余弦定理与正弦定理-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
6.1 余弦定理与正弦定理-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1. 知识目标•理解余弦定理和正弦定理的概念和公式•掌握余弦定理和正弦定理的应用方法•能够解决相关的实际问题2. 能力目标•培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力•培养学生的数学建模能力和实际问题解决能力二、教学重难点1. 教学重点•掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式•能够熟练应用余弦定理和正弦定理解决相关问题2. 教学难点•在实际应用中正确运用余弦定理和正弦定理解决各类问题三、教学方法1. 演示法通过案例演示和计算实例等方式，让学生了解和掌握余弦定理和正弦定理的应用方法。
2. 课堂讨论法引导学生对于余弦定理与正弦定理的理解及应用方式进行探究讨论，从而达到更好的理解。
3. 实践操作法通过举例让学生练习余弦定理与正弦定理的应用方法，理解余弦定理与正弦定理的真正实践意义。
四、教学步骤1. 导入介绍余弦定理和正弦定理的概念及公式，并让学生做出一些简单的题目，以此引导学生对这两个定理进行初步认识。
2. 整体感知讨论一个实际问题：如果我们知道一个三角形的两条边及其夹角，如何求第三边的长度？为了理解余弦定理和正弦定理，让学生自己尝试通过勾股定理解决问题，并引导学生认识到勾股定理只适用于直角三角形，不适用于其他类型的三角形。
3. 理论分析介绍余弦定理和正弦定理的公式，并让学生通过不同的例子来熟悉这两个定理的应用方法，并对它们的公式和性质进行深入探究。
4. 引导实践引导学生在实践中运用余弦定理和正弦定理，让学生在解题过程中发现问题，并引导他们通过不同方式解决问题。
在实践中，提供不同的题目让学生练习应用余弦定理和正弦定理的方法。
5. 辅导解惑在学习过程中，要及时跟进学生的学习情况，对于学习困难的学生要及时进行解惑，消除学生的疑虑。
五、教学效果评价在课程结束后，通过作业检测和课堂表现来评价学生对余弦定理和正弦定理的掌握程度。
同时，还可以通过考试、小测验等方式来检验学生的学习情况，并总结疏漏之处，提高教学效果。
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正弦定理和余弦定理教案
第一课时 正弦定理 (一) 课题引入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角
三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==,
A
则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c 从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
C a B
(图1.1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A D B
(图1.1-3)
让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1
==
两边同除以abc 21即得：A a sin =B
b sin =C
c sin
证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
R CD D
a
A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径) 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（让学生课后自己推导）
从上面的研究过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
(三) 理解定理
(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1
==
两边同除以abc 21即得：A a sin =B
b sin =C
c
sin
证明三：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴R CD D a A a 2sin sin === (R 外接圆半径) 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R (2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin sin a A B b
=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
(四) 例题剖析
评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三
角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
(六) 课时小结(让学生归纳总结)
(1) 定理的表示形式：
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++；
或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >
(2) 正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
第二课时 余弦定理
(一) 课题引入
如图1.1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, C
已知a,b 和∠C ，求边c 。
b a
A c B
(图1.1-4)
(二) 探索新知
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
如图1．1-5，设CB a →
=，CA b →
=，AB c →
=，那么c=a-b ，
2||c =c •c=(a-b)
•(a-b)
A
=a •a + b •b -2a •b b c
从而 2222cos c a b ab C =+- C a B 同理可证 2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=
b c a A bc 222
cos 2+-=
a c
b B a
c 222
cos 2+-=
b a
c C ba
(三) 理解定理
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）
(六) 课时小结 (1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
(2) 余弦定理的应用范围： ① 已知三边求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边。