第五章 弹性力学解题方法问题
弹性力学第五章
(
τ
xy
)
0
(
2Φ xy
)
0
1 4h
2
(Φ 5
Φ 7
Φ 6
Φ 8
)。
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相容方程
2.相容方程(a)的差分表示，
(4Φ)0 0 化为：
20Φ 8(Φ Φ Φ Φ )2(Φ Φ Φ Φ )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(Φ Φ Φ Φ ) 0.
(e)
9
10
11
12
对每一内结点，Φi 为未知，均应列出式 (e)的方程 。
(2T )0 0 的
差分方程。
F
2F
F
B
2.用差分法计算 a
图中A点的应
x
力分量。
a
a
a
A
y（Z向厚度 ）1
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§5－4 弹性体的形变势能 外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
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差分法评价
缺点： （1）对于曲线边界和不等间距网格的计算
较麻烦。 （2）差分法比较适用于平面问题或二维问
题。 （3）凡是近似解，在求导运算时会降低精
度。如 Φ 的误差为 o(x3) ，则应力
的误差为o(x) 。
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思考题：
1.试用线性向前或向后差分公式，导出
的 Φ值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关， Φ的一阶导数值与A到B的面力
的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与 Φ曲面的曲率、扭率有关。
5弹性力学问题的建立
当边界条件为应力和位移混合边界条件时称为偏微分方 程第三边值问题。
弹性力学问题的待求函数共15 个（ij 、ij、ui），如果 一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组 的定解是不可能的。
为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求 未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知 函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未 知量）。
三. 本构方程
应力与应变之关系
1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
yx zx xy
2 1 E 2 1 E 2 1 E
得
22 ij 0
故应力分量一定是双调和函数。 即应力分量只要是双调和函数，则一定满足应变协调方程。 问题归结为在边界条件下求解平衡微分方程及以BeltramiMichell方程为补充方程的数学问题， Beltrami-Michell方程独立个数？ 求得应力后，再由本构方程求应变，最后由几何方程积分 求位移。
第五章
弹性力学问题的建立
§5-1 基本方程和边界条件汇总
§5-2 弹性力学问题的解法
§5-3 弹性力学的一般性原理
§5-4 弹性力学问题的求解方法及其简例
§5-1 基本方程和边界条件汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力 作用时，发生变形（应变）和内力（应力），这些变形和内力 应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、 位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
G(ui , j u j ,i ), j ij uk ,kj Fbi 0
高中物理弹性力问题详解
高中物理弹性力问题详解弹性力是高中物理中一个重要的概念，涉及到弹簧、弹力系数等内容。
在解决弹性力问题时，我们需要理解弹性力的定义、计算方法以及应用，以便能够熟练地解决各种相关题目。
一、弹性力的定义和计算方法弹性力是指物体在受到形变时产生的恢复力。
根据胡克定律，弹性力与形变之间成正比。
胡克定律的数学表达式为F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹力系数，x表示形变量。
举个例子来说明弹性力的计算方法。
假设有一根弹簧，其弹力系数为k = 10N/m，当受到一个形变量为x = 0.2 m的力时，求弹簧的弹性力。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -10 × 0.2 = -2 N。
由于弹性力是恢复力，所以其方向与形变方向相反，即弹性力的方向为向上。
二、应用举例：弹簧振子弹簧振子是弹性力的一个常见应用。
假设有一个质量为m的物体，通过一根弹簧与一个支架相连。
当物体受到外力作用而发生形变时，弹簧会产生弹性力，使物体回复到平衡位置。
我们可以通过弹性力的计算来解决弹簧振子的问题。
例如，给定一个弹簧振子，弹簧的弹力系数为k = 20 N/m，物体的质量为m = 0.5 kg。
当物体受到外力作用形变量为x = 0.1 m时，求物体在振动过程中的频率。
根据胡克定律，弹性力可以通过F = -kx计算得出，代入k和x的值，可得F = -20 × 0.1 = -2 N。
根据牛顿第二定律F = ma，可得-2 = 0.5a，解得a = -4 m/s²。
由于振动是一个周期性的过程，所以可以利用振动的基本公式f = 1/T来计算频率。
而周期T可以通过T = 2π√(m/k)计算得出，代入m和k的值，可得T = 2π√(0.5/20) ≈ 0.628 s。
将周期代入振动的基本公式，可得f = 1/0.628 ≈ 1.59 Hz。
因此，物体在振动过程中的频率为1.59 Hz。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
弹性力学部分习题解决方案
当涉及到弹性力学部分的习题解决方案时，这可能涉及到各种不同类型的问题，包括材料的应力应变关系、结构的变形与应力分布、材料的弹性性质等。
以下是一些可能出现在弹性力学部分习题中的主题和解决思路：
1. 应力应变关系：
-根据题目给出的条件和要求，利用材料的本构关系（如胡克定律）计算应力和应变之间的关系。
-可能涉及到拉伸、压缩、剪切等不同形式的加载情况。
2. 变形与位移：
-通过弹性力学原理和平衡条件，推导结构的变形与位移关系。
-可能包括梁的弯曲、板的挠曲等问题，需要考虑边界条件和载荷情况。
3. 应力分布：
-计算结构中不同位置的应力分布，包括轴向应力、剪切应力等。
-根据结构的几何形状和加载条件，确定应力的分布规律。
4. 能量方法：
-使用能量方法（如弹性势能原理）来分析结构的稳定性和变形情况。
-可以通过最小势能原理或最大耗散能原理求解结构的平衡状态。
5. 材料参数：
-根据材料的弹性模量、泊松比等参数，计算结构的响应和性能。
-考虑材料的非线性、各向异性等特性对结构行为的影响。
针对具体的习题解决方案，通常需要根据题目提供的条件和要求，结合课程中学习到的知识和理论进行分析和推导。
高中物理弹性力学题如何解答
高中物理弹性力学题如何解答弹性力学是高中物理中的一个重要知识点，涉及到弹簧、弹性体等物体的力学性质。
在解答弹性力学题目时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将以具体的题目为例，详细说明高中物理弹性力学题如何解答，并给出一些解题的指导。
题目一：一根弹簧的弹性系数为k，将其悬挂在天花板上，并挂上一个质量为m的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动频率。
解答思路：根据弹簧的弹性力学特性，物体在弹簧上的振动属于简谐振动。
简谐振动的振动频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关。
根据公式f=1/2π√(k/m)，我们可以计算出振动频率。
题目二：一根长为L的均质弹性绳，两端固定在墙上，中间悬挂一个质量为m 的物体，使其处于静止状态。
现在将物体向下拉动，使其下降h的距离后释放，求释放后物体的振动周期。
解答思路：同样地，根据弹性绳的弹性力学特性，物体在弹性绳上的振动也属于简谐振动。
简谐振动的周期与弹性绳的长度和物体的质量有关。
根据公式T=2π√(m/L)，我们可以计算出振动周期。
通过以上两个例题，我们可以看出解答弹性力学题的关键在于掌握弹性力学的基本公式和原理。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 确定题目中给出的已知量和未知量，理清思路，明确要求。
2. 根据题目中给出的物体和弹性体的性质，选择合适的公式进行计算。
3. 在计算过程中，注意单位的转换和计算的精度，保证结果的准确性。
4. 对于复杂的题目，可以将问题分解为多个简单的小问题，逐步解决，最后综合得出答案。
除了以上的解题技巧，我们还可以通过一些实际例子来加深对弹性力学的理解，并举一反三。
例如，我们可以通过观察弹簧的伸缩现象来理解弹性力学的基本原理，或者通过观察各种弹性体的应用，如弹簧秤、弹簧减震器等，来了解弹性力学在实际生活中的应用。
总之，解答高中物理弹性力学题需要掌握基本的解题技巧和方法，并通过具体的例题加深对弹性力学的理解。
解析弹性力学问题的解题思路
解析弹性力学问题的解题思路弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下产生的形变和应力分布规律。
解析弹性力学问题需要运用一系列数学工具和物理原理，下面将从几个方面来介绍解析弹性力学问题的解题思路。
一、力学模型的建立解析弹性力学问题首先需要建立合适的力学模型，即将物体抽象为几何形状和物理性质都合适的理想模型。
常见的力学模型有弹簧模型、梁模型、圆盘模型等，选择合适的模型要根据题目中给出的几何形状和边界条件进行判断。
建立好合适的力学模型是解决问题的第一步。
二、应力和应变的计算在弹性力学中，应力和应变是两个重要的概念。
应力是指单位面积上的力，常用符号为σ，而应变是指单位长度或单位体积上的形变量，常用符号为ε。
计算应力和应变需要运用胡克定律，即应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得到应力和应变之间的关系式，进而进行具体的计算。
三、边界条件和力的施加解析弹性力学问题需要明确边界条件和力的施加情况。
边界条件是指在模型的边界上给定的力或位移条件，而力的施加是指在模型内部某些位置施加的力。
根据题目中给出的边界条件和力的施加情况，可以进行定量的计算。
四、应力分布和形变分析在建立好力学模型、计算应力和应变、明确边界条件和力的施加后，可以得到物体内部的应力分布和形变情况。
应力分布和形变分析是解析弹性力学问题的重点，需要运用等效应力和位移的概念，结合数学方法如积分、微分等进行具体计算。
通过应力分布和形变分析，可以更深入地理解物体在受力情况下的变形和应力状态。
五、解析解的求解和验证解析弹性力学问题的最终目标是求解出解析解，并且可以通过数值计算验证解析解的正确性。
解析解是利用物理原理和数学方法得到的具有一定表达式的解，能够给出物体内部各点的应力和位移。
通过数值计算可以对解析解进行验证，进一步加深对问题的理解。
在解决弹性力学问题的过程中，除了要掌握上述解题思路，还需要具备良好的数学基础和物理基础。
解析弹性力学问题需要熟练掌握微积分、偏微分方程、线性代数、牛顿力学等数学和物理原理。
弹性力学第五章：弹性力学解法
2(1 ) E 2(1 ) E 2(1 ) E
E
xy yz zx
y
z
或用张量缩写表示为
ij kk
(b). 用应变表示应力的关系式
x 2G x y 2G y z 2G z
x l xy m xz n p x yx zx
或:
l y m yz n p y l zy m z n p z
S 上）
pi ij n j （在
(b).位移边条件：
1. 位移法： 以位移分量 u , v, w 作为基本未知量。
由位移表示的平衡方程式及边界条件
先求出位移分量 几何方程 应变分量
物理方程
应力分量
在结构力学和 有限元中常用
2. 应力法：
在弹性力学中该方法广泛使用
以应力分量作为基本未知量， 平衡方程及边界条件
ij
物理方程
ij
几何方程
u , v, w
2
yz
xz
应力协调方程
应力协调方程
x
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
2
z
2
xy
2
yz
2
zx
2
f x 2 1 x y z x x 2 f y f y f x f z ( )2 2 1 x y z y y 2 f y f x f z f z ( )2 2 1 x y z z z 2 f y f x ( ) xy x y 2 f y f z ( ) yz y z 2 f x f z ( ) xz z x
第五章弹性力学解题方法问题演示文稿
1. 平衡微分方程 2. 几何方程 3. 本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件
第16页，共69页。
由 2ij (ui, j u j,i ) kk uk,k (1)
ij 2Gij ij
(2)
将 (1) 代入 (2)
ij G(ui, j u j,i ) uk ,kij
位移边界条件
y =_+ h : v = 0
p
x
xl
第40页，共69页。
应力解法基本步骤：
以应力分量 σij 作为基本未知量；
用六个应力分量表示协调方程；
关键点：以应力表示的协调方程
应力解法的方程
z q gz
xy yz zx 0
第34页，共69页。
复习:位移法
位移法 G2ui ( G) ,i fi 0
其位移边界条件为： ui (x, y, z) ui (x, y, z)
给定位移边界条件就可由Leme方程解出
ui ui (x, y, z) 。
第35页，共69页。
E
解：由几何方程求应变分量
x
u x
1 2
E
p
y
v y
0
xy 0 yz 0 zx 0
z
w z
(1 )
E
p
第38页，共69页。
x
y
z
1 2
E
p
(1 )
E
p
(1 )(2 1) p
p
E
y
p
x
由 ij 2Gij ij
2l
x
2G x
2G 1 2
E
p 1
弹性力学问题的基本解法
求得
其中
u v w x y z
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G解法
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G z x y
公式a
代入
x yx zx 2u Fx 0( 2 ) x y z t xy y zy 2v Fy 0( 2 ) x y z t xz yz z 2w Fz 0( 2 ) x y z t
公式2-18
位移解法
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
公式2-16
代入
x 2G x , yz G yz y 2G y , xz G xz z 2G z , xy G xy
公式2-19 代入
f x x l yx m zx n f y xy l y m zy n f z xz l yz m zx n
求 得
u u u v w u f l G l m n G l m n x y z x x x v u v v v w f m G l m n G l m n x y z y y y w w w v w 公式2-24 u f n G x l y m z n G z l z m z n
弹性力学部分习题解决方案 (5)
弹性力学部分习题解决方案1. 弹性力学概述弹性力学是研究固体在外力作用下发生形变时，恢复原状的性质和规律的学科。
在弹性力学中，固体的形变和应力之间存在一定的关系，而这种关系可以通过弹性力学方程进行描述。
以下是一些常见的习题解决方案。
2. 问题1问题描述：一根长度为L的弹簧，弹性系数为k，质量为m的物体挂在弹簧下方，使得弹簧产生一定的伸长。
求物体受重力作用下的形变量。
解决方案：我们根据胡克定律得到弹簧的形变量和受力的关系：F = kx其中F为受力，k为弹性系数，x为形变量。
然后根据牛顿第二定律得到物体受重力作用下形变量和重力的关系：F = mg其中m为物体质量，g为重力加速度。
将上述两个方程联立解得形变量x：kx = mgx = (mg) / k所以物体受重力作用下的形变量为(mg) / k。
3. 问题2问题描述：一块长为L，宽为W，高为H的长方体物体，质量为m，被放在一个水平地面上。
求物体的压缩形变量。
解决方案：我们需要计算物体受到的重力：F = mg其中m为物体质量，g为重力加速度。
根据问题描述，物体受到的重力和地面垂直，无法导致压缩形变，所以我们要考虑地面对物体的支持力。
当物体受到地面的支持时，支持力的大小等于物体受到的重力大小，但方向相反。
所以支持力的大小为mg。
接下来，我们使用牛顿第三定律，认为物体同样对地面产生压力，且大小也为mg。
由于受力方向相反，压力将导致物体的压缩形变。
压缩形变量定义为物体的高度减去原始高度，即Hh。
4.通过以上两个问题的解答，我们可以看到弹性力学在研究固体形变和应力之间的关系时，能够使用胡克定律和牛顿定律等基本原理进行求解。
这些原理可以帮助我们理解和解决弹性力学问题，从而推动弹性力学学科的发展。
以上是弹性力学部分习题解决方案的Markdown文档。
希望可以对您有所帮助！。
初中物理“弹力”解题指导及例题剖析
初中物理“弹力”解题指导及例题剖析初中物理“弹力”解题指导及例题剖析【方法展示探究规律】有关弹簧测力计的各类题型及其解法：围绕弹簧测力计进行命题考查时，主要是考查其原理、读数和使用方法。
(1)使用方法的考查：求解这类问题时用到整体法和隔离法。
整体法是从整体出发，从部分与整体的联系中揭示整个系统的运动规律，从而达到最佳处理问题的一种解题方法。
本着整体观念，对系统进行整体分析，沿着从系统到局部、从整体到个体的思维途径去寻找未知量与已知量的关系，经过分析得出结论。
隔离法就是从整体中分离出一部分我们要研究的对象，对确定的研究对象进行受力分析，再根据有关二力平衡的知识来解题的一种方法。
(2)弹簧测力计原理的考查：关键是抓住原理内容：在弹性限度内，弹簧的伸长与所受的拉力成正比。
其次是注意运用数学中图象法、解析法(也叫公式法)等进行分析解答。
(3)读数的考查：解题的关键是弄清它的量程和分度值，即弄清每一大格和每一小格所表示的示数。
例1 小红有一根很轻的螺旋弹簧，她想利用这根弹簧自制一个弹簧测力计，为此她先通过实验研究了这根弹簧伸长与所悬挂物体重力大小的关系，实验记录数据如下：(1)记录表格中两空白处，是记录时不慎丢失的两个数据，请你根据表格中其它数据，帮助小红在表中上丢失的两个数据。
(2)根据你对记录数据的分析，你将建议小红制作的弹簧测力计的测量范围是。
【解析】仔细分析表中给出的数据可知，弹簧每伸长5cm，悬挂物体重力就增大了0.098N。
根据这个规律就可计算丢失的两个数据。
从表中给出的数据还可知，在悬挂的物重不超过0.49N时，弹簧伸长长度与悬挂重物成正比，在此范围内，制成的弹簧测力计刻度均匀。
而当物重达到0.588N时，弹簧伸长不再与悬挂物重成正比，由此可知用此弹簧制成的弹簧测力计的测量范围应定为0～0.49N。
所以答案应该是：(1)0.216;34.5(2)0～0.49N。
例2 如图(甲)所示，用大小相等、方向相反的两个力F1、F2拉弹簧测力计，若两个力的大小均为2N，问：弹簧测力计的示数和两个力的合力各为多少?【解析】在同直线上方向相反的二力的合成，合力的大小为二力之差，故合力为零。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。
根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。
常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。
通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。
边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。
边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。
一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。
通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。
解方程的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。
数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。
其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。
弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。
根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。
平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。
相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。
根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。
相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。
构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。
通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。
综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。
弹性力学部分习题解决方案
弹性力学部分习题解决方案1. 弹性力学基本概念弹性体的定义弹性体是一种在外力作用下可以发生形变，而在外力撤销后又能恢复原状的物质。
弹性体受到外力作用时，其形变可分为弹性形变和塑性形变两种。
弹性形变是指物体在外力作用下形变后，外力撤销后即能恢复原状的形变，而塑性形变则是指物体在外力作用下形变后，外力撤销后不能恢复原状的形变。
弹性体的应力-应变关系弹性体的应力-应变关系描述了物体在受到外力作用下的应变情况。
一般来说，当物体受到外力作用时，会发生应力，导致物体发生应变。
弹性体的应力-应变关系可以通过应力-应变曲线表示。
弹性体的应变能弹性体在形变过程中会储存一定的能量，这部分能量称为弹性体的应变能。
应变能的大小与物体的形变量和物体的弹性常数有关。
2. 弹性力学习题解决方案习题1问题描述：一个钢材球体的半径为5cm，受到外力作用下被压缩了1mm。
试计算该钢材球体的应变。
解决方案：首先，我们需要知道弹性体的应变定义为：应变=形变/初始长度。
钢材球体的形变为1mm，初始长度为球体的半径，即5cm。
将以上数值代入公式，可得：应变=1mm/5cm=0.01。
所以该钢材球体的应变为0.01。
习题2问题描述：一根弹簧的劲度系数为100 N/m，受到外力作用下被拉长了20 cm。
试计算该弹簧存储的应变能。
解决方案：首先，我们需要知道弹性体的应变能定义为：应变能=0.5劲度系数形变^2。
该弹簧的劲度系数为100 N/m，形变为20 cm。
将以上数值代入公式，可得：应变能=0.5100 N/m(20cm)^2=200 J。
所以该弹簧存储的应变能为200 J。
3. 弹性力学习题解决思路在解决弹性力学习题时，我们首先需要理解弹性体的基本概念和应力-应变关系。
其次，我们需要掌握一些基本的求解公式，如弹性体的应力-应变关系公式和弹性体的应变能计算公式。
最后，根据题目给出的条件和要求，将所给数据代入公式进行计算，并得出最终的结果。
对于一些复杂的弹性力学习题，还可能需要应用牛顿力学的知识，如受力分析和平衡条件等。
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
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对于Leme方程
G ui ( G) ,i fi 0
2
为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。
齐次方程
G ui ( G ) ,i 0
2
对 xi求导
因 则 即
G ui ,i ( G) ,ii 0
2
ui ,i (ui ,i ) (ui ,i ),ii
2.几何方程：弹性体要满足的基本方程
u v w x , y , z , x y z 1 v u 1 w v 1 u w xy ( ) yz ( ) zx ( ) 2 x y 2 y z 2 z x
1 张量表示： ij (ui , j u j ,i ) 2
或
积分上式
1 2 2 w gz Az B 41 G
在边界上， = l
m = 0, n = - 1, T1 = T2 = 0, T3 = q
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
代入由位移表示的边界条件
得
dw dw 2G q dz z 0 dz
对Leme方程 进行∇² （调和算子）运算：
G ui ( G ) ,i 0
2
有
G（ ui） ( G)（ ,i ） 0
2 2 2 2
0
所以 即
2
（ ,i ）（ ） 0 ,i
2 2 2 4
G（ ui） G ui 0 ui 0
2 2
,ii
( 2G) ,ii 0 2 或 0 ,ii 0
结论
0
2
即体积应变 满足调和方程。
其中： 2 2 2 为调和算子或Laplace算子 x y z
2 2 2 2
因 所以有
3K
0
2
即体积应力 满足调和方程。
ij,kl kl ,ij lj,ki ki ,lj 0
位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。
基本方程： 平衡微分方程 几何方程 本构方程 变形协调方程（应变作为基本未知量）
5.边界条件
• 物体表面的面力分量为Tx、Ty和 Tz 已知,则面力边界 条件为：
Tx x l xy m xz n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
有
x z y z
dw d w q,i = ( ),i = 2 dz dz
2
d w d w 将 ui 2 ,i 2 dz dz 2 代入拉梅方程： G ui ( G ) ,i fi 0
2
2
2
有
2
d 2w 2G 2 g 0 dz
d w g 1 2 g 2 dz 2G 21 G
4
1 由 ij (ui , j u j ,i ) 2 1 4 4 4 有 ij [( ui） ( u j ),i ] ,j 2 即 4 ij 0
由
4
ij 2G ij ij
4 4
有 ij 2G( ij ) ( ) ij
上式称为应力位移表达式。
将应力位移表达式代入平衡方程 得 即
ij ,i f j 0
[G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij ],i f j 0
G(ui , ji u j ,ii ) uk ,ki ij f j 0
G(u j ,ij ui , jj ) uk ,kj ij fi 0
结合
w
的表达式可得
1 2 A q 21 G
由条件
wz h 0
得
1 2 1 2 B qh gh 2 21 G 41 G
将常数
A 和 B 代入
1 2 w g h 2 z 2 2qh z 4G 1 u0
以位移函数作为基本未知量
（2）应力解法
以应力函数作为基本未知量
（3）混合解法
以部分位移和部分应力分量作为基本未知量
5.3 弹性力学问题基本解法
位移解法的主要步骤： •利用位移函数 u1,
u2, u3 表示其他未知量；
•推导由位移函数 ui 描述的基本方程； •关键点：以位移表示的平衡微分方程。
位移解法的基本方程 1. 平衡微分方程
2. 几何方程
3. 本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件
由
2 ij (ui , j u j ,i ) kk uk ,k
(1)
(2)
ij 2G ij ij
将 (1) 代入 (2)
ij G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij
•若物体表面的位移
Tni ij n j
u, v, w 已知，则位移边界条件为
u u,
v v,
ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合 边界条件
5.2弹性力学问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十 五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个 基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本 未知量。
1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程
x yx zx fx 0 x y z xy y zy fy 0 x y z z yz z fz 0 x y z
张量表示：
ij ,i f j 0
按位移解题例题
例 设有半空间体，单位体积的 质量为 ，在水平边界面上受均 布压力 q 的作用，试用位移法求 各位移分量和应力分量，并假设在 处 z 方向的位移 w 0 z h
解：可以假设
u 0, v 0, w wz
因此体积应变
u v w dw x y z x y z dz
2 2 2
u j , ji (u j , j ),i ,i
有
G ui ( G) ,i fi 0
2
其位移边界条件为：
¯ ui= ui（x，y, z）
给定位移边界条件就可由Leme方程解出
ui=（u,v,w） 或ui=（u1, u2, u3 ）。
对于用面力表示的边界条件 Ti =σij nj 将应力位移表达式代入面力边界条件: 有
第五章 弹性理论的解题方法
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目 录
5.1 5.2 5.3 5.4 弹性力学基本方程 问题的提法 弹性力学问题的基本解法 圣维南局部影响原理
5.5
叠加原理
5.1 弹性力学基本方程
• 总结弹性力学基本理论； • 讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系——基本方程和边界条 件。
张量表示：
ij
3 m ij 2G E
ij
广义胡克定律的应变表示
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
张量表示：
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
ij ij 2G ij
在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题 ，在数学上称为偏微分方程的边值问题。
按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及 表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。 •第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表 面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边 界条件。
u j , ji , uk ,kjij uk ,ki u j , ji
转换指标
注意到：u j ,ij 则
Gui , jj ( G)u j , ji fi 0
此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）
( ), jj
注意
2 ( 2 )( ) ( ) 2 2 x1 x2 x3
4
ij 0
4
总之，位移解法以位移为3个基本未知函数 （u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下 求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个
拉梅方程。
对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。
位移分量求解后，可通过几何方程求出应变
ij 和通过本构方程求出应力 ij 。
至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本 方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边 界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条 件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的 方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满 足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这 六个方程可以求解出六个应力分量。
w 的表达式，得
v0
求应变
1- 2m ez = [- zr g - q ] 2G (1- m)
由广义胡克定律
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
Ti [G(ui , j u j ,i ) ij ]n j
ui ui ui ui n1 n2 n3 注意： ui , j n j x1 x2 x3 n
则
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
此式称为力位移边界条件。
4.变形协调方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
2 y
z 2 2 z y yz
2
2 yz