第五章 弹性力学解题方法问题

Ti [G(ui , j u j ,i ) ij ]n j
ui ui ui ui n1 n2 n3 注意： ui , j n j x1 x2 x3 n
则
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
此式称为力位移边界条件。
第五章 弹性理论的解题方法
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目 录
5.1 5.2 5.3 5.4 弹性力学基本方程 问题的提法 弹性力学问题的基本解法 圣维南局部影响原理
5.5
叠加原理
5.1 弹性力学基本方程
• 总结弹性力学基本理论； • 讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系——基本方程和边界条 件。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及 物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条 件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知 的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。 以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问 题。 若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解 是唯一的。
基本解法
（1）位移解法：
3.本构方程：弹性体要满足的基本方程
广义胡克定律的应力表示
x y z
1 [(1 ) x ] E 1 [(1 ) y ] E 1 [(1 ) z ] E
xy yz
xy yz
2G
2G
zx zx 2G
对于Leme方程
G ui ( G) ,i fi 0
2
为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。
齐次方程
G ui ( G ) ,i 0
2
对 xi求导
因 则 即
G ui ,i ( G) ,ii 0
2
ui ,i (ui ,i ) (ui ,i ),ii
4
ij 0
4
总之，位移解法以位移为3个基本未知函数 （u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下 求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个
拉梅方程。
对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。
位移分量求解后，可通过几何方程求出应变
ij 和通过本构方程求出应力 ij 。
至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本 方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边 界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条 件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的 方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满 足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这 六个方程可以求解出六个应力分量。
2 2 2
u j , ji (u j , j ),i ,i
有
G ui ( G) ,i fi 0
2
其位移边界条件为：
¯ ui= ui（x，y, z）
给定位移边界条件就可由Leme方程解出
ui=（u,v,w） 或ui=（u1, u2, u3 ）。
对于用面力表示的边界条件 Ti =σij nj 将应力位移表达式代入面力边界条件: 有
dw d w q,i = ( ),i = 2 dz dz
2
d w d w 将 ui 2 ,i 2 dz dz 2 代入拉梅方程： G ui ( G ) ,i fi 0
2
2
2
有
2
d 2w 2G 2 g 0 dz
d w g 1 2 g 2 dz 2G 21 G
或
积分上式
1 2 2 w gz Az B 41 G
在边界上， = l
m = 0, n = - 1, T1 = T2 = 0, T3 = q
ui Ti G Gu j ,i n j ni n
代入由位移表示的边界条件
得
dw dw 2G q dz z 0 dz
u j , ji , uk ,kjij uk ,ki u j , ji
转换指标
注意到：u j ,ij 则
Gui , jj ( G)u j , ji fi 0
此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）
( ), jj
注意
2 ( 2 )( ) ( ) 2 2 x1 x2 x3
2. 几何方程
3. 本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件
由
2 ij (ui , j u j ,i ) kk uk ,k
(1)
(2)
ij 2G ij ij
将 (1) 代入 (2)
ij G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij
4.变形协调方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
2 y
z 2 2 z y yz
2
2 yz
2 z 2 x 2 zx 2 2 x z yz
2 x xy zx yz z y x 2 yz x yz xz xy 2 z x y z 2 xy z 2 y xy yz zx z x y 2 xz y
有
x z y z
ij,kl kl ,ij lj,ki ki ,lj 0
位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。
基本方程： 平衡微分方程 几何方程 本构方程 变形协调方程（应变作为基本未知量）
5.边界条件
• 物体表面的面力分量为Tx、Ty和 Tz 已知,则面力边界 条件为：
Tx x l xy m xz n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
结合
w
的表达式可得
1 2 A q 21 G
由条件
wz h 0
得
1 2 1 2 B qh gh 2 21 G 41 G
将常数
A 和 B 代入
1 2 w g h 2 z 2 2qh z 4G 1 u0
对Leme方程 进行∇² （调和算子）运算：
G ui ( G ) ,i 0
2
有
G（ ui） ( G)（ ,i ） 0
2 2 2 2
0
所以 即
2
（ ,i ）（ ） 0 ,i
2 2 2 4
G（ ui） G ui 0 ui 0
受均布压力作用的半空间体
对于Leme方程
G ui ( G) ,i fi 0
2
ui (u, v, w) w( z )
2 2 2 2 d w 2 2 ui w( z ) 2 2 2 w 2 y z dz x
w 的表达式，得



v0
求应变
1- 2m ez = [- zr g - q ] 2G (1- m)
由广义胡克定律
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
2 2
,ii
( 2G) ,ii 0 2 或 0 ,ii 0
结论
0
2
即体积应变 满足调和方程。
其中： 2 2 2 为调和算子或Laplace算子 x y z
2 2 2 2
因 所以有
3K
0
2
即体积应力 满足调和方程。
上式称为应力位移表达式。
将应力位移表达式代入平衡方程 得 即
ij ,i f j 0
[G(ui , j u j ,i ) uk ,k ij ],i f j 0
G(ui , ji u j ,ii ) uk ,ki ij f j 0
G(u j ,ij ui , jj ) uk ,kj ij fi 0
以位移函数作为基本未知量
（2）应力解法
以应力函数作为基本未知量
（3）混合解法
以部分位移和部分应力分量作为基本未知量
5.3 弹性力学问题基本解法
位移解法的主要步骤： •利用位移函数 u1,
u2, u3 表示其他未知量；
源自文库
•推导由位移函数 ui 描述的基本方程； •关键点：以位移表示的平衡微分方程。
位移解法的基本方程 1. 平衡微分方程
张量表示：
ij
3 m ij 2G E
ij
广义胡克定律的应变表示
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
张量表示：
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
ij ij 2G ij
及 2 0
即
ij 0
4
这说明应力与应变满足双调和方程。
结论： 对于Leme方程
G ui ( G) ,i fi 0
2
其齐次方程 有
G ui ( G ) ,ii 0
2
0
2 4
0
2
即 m 0
2
ui 0
ij 0
在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题 ，在数学上称为偏微分方程的边值问题。
按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及 表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。 •第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表 面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边 界条件。
1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程
x yx zx fx 0 x y z xy y zy fy 0 x y z z yz z fz 0 x y z
张量表示：
ij ,i f j 0
2.几何方程：弹性体要满足的基本方程
u v w x , y , z , x y z 1 v u 1 w v 1 u w xy ( ) yz ( ) zx ( ) 2 x y 2 y z 2 z x
1 张量表示： ij (ui , j u j ,i ) 2
4
1 由 ij (ui , j u j ,i ) 2 1 4 4 4 有 ij [( ui） ( u j ),i ] ,j 2 即 4 ij 0
由
4
ij 2G ij ij
4 4
有 ij 2G( ij ) ( ) ij
•若物体表面的位移
Tni ij n j
u, v, w 已知，则位移边界条件为
u u,
v v,
ww
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合 边界条件
5.2弹性力学问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十 五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个 基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本 未知量。
按位移解题例题
例 设有半空间体，单位体积的 质量为 ，在水平边界面上受均 布压力 q 的作用，试用位移法求 各位移分量和应力分量，并假设在 处 z 方向的位移 w 0 z h
解：可以假设
u 0, v 0, w wz
因此体积应变
u v w dw x y z x y z dz