04微商与微分
微分
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
应用
法线
我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的
斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线
接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x = 3 +Δx时，y = 9+ Δy，也就是说，
（展开）
（两边减去9）
（两边除以△x）
∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率，为直线斜率）
∴
运算法则
乘法律
连锁律
除法律
（微分连锁律）
（微分乘法律）
（微分除法律）
导数
的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
谢谢观看
切线
当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了
从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越
微分概念及其计算
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
第四章 微商与微分(4)
= (cos x )
(n)
nπ = cos( x + ). 2
——逐阶整理法
例4. f ( x) = (1 + x)α ,
(α ∈ R )
f ′( x ) = α (1 + x )α −1， f ′′( x ) = α (α − 1)(1 + x )α − 2 ， L
f
(n)
( x) = α (α − 1)(α − 2) L (α − (n − 1))(1 + x)
C nk ( a x ) ( n − k ) (ln x ) ( k ) ∑
k =0
n
n
(−1) k −1 (k − 1)! k = ∑ Cn a x (ln a ) n − k ⋅ . k x k =0
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
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注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
ψ ′′ ( t )ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t )ϕ ′′ ( t ) = . 3 (ϕ ′ ( t ))
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中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
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d2y 例7. x = a cos t ， y = b sin t ，求 . 2 dx
dy b 解： = − ctgt， dx a
P ′( x ) = na 0 x n −1 + ( n − 1) a1 x n − 2 + L + a n −1 , P ′′( x ) = n ( n − 1) a 0 x n − 2 + ( n − 1)( n − 2 ) a1 x n − 3 + L + a n − 3 . LL
-微商的概念及其计算
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
三.可导与连续的关系
设 f (x) 在点 x0 可导, 即有
f (x0 )
lim y x0 x
lim
x x0
f
(x) x
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
f(x0 ) a
l 0
l
t 0
t
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) , xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
2.导数的几何意义 — 平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念
Q
•
•
• •
L
切点 P
•
•
T
数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第四章
x0
x
lim
x0
3x02x 3x2 x0 x
x3
3x02 ;
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
第四章 微商与微分
第一节 微商的概念及其计算
1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B(2, 4)点的切线方程和法线方程。
解：函数y x2的导函数为y ' 2x,则它在A(1,1), B(2, 4)的切线斜率分别为
y '(1) 2, y '(2) 4;
于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1, y 4x 4.
由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1, 故可以求得在这两点的法线斜率分别为
k1
1 2
,
k2
1； 4
那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y 1 x 3 , y 1 x 9 . 22 42
2.若S vt 1 gt2,求 2
(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设t 1, 0.1, 0.01); (2)在t 1的瞬时速度。 解：(1)可以求得
x
令
lim f (3 x) f (3) lim a(3 x) b 32 lim 3a a x b 9 6,
x0
x
x0
x
x0
x
那么必有
解得：a 6,b 9.
3a b 9 0 a 6
微商与微分
或
链式法则的物理意义：
在单位时间由 决定的变化率
=（ 在单位时间内 的变化率）*（ 在单位时间内 的变化率）
(6)幂函数 在 的微商 。
，
基本初等函数的微商公式：
(1) ；
(2) ； ， ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：
函数的增量 比自变量的增量 当 的极限
定义4．1设函数 在 点附近有定义．对于自变量在 点的任一增量 ，函数在该点的相应改变量为
＝ ．
若极限 ＝
存在，则称函数 在 点可导，并称极限值为 在 的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为
证明(i)因为
＝
＝ ，
所以 ＝ ＝ 。
(ii)由于
＝ ＋
＝ ＋
注意到可导必连续，则
＝
＝
(iii)由于
＝
＝
＝
同样利用可导必连续得
定理4.2证完。
利用商的微商运算法则，立得
反函数的求导法则
定理4.3若函数 在 点附近连续且严格单调，又 ，则其反函数 在点 ＝ 可导，且
＝
证明由 在 附近连续且严格单调，则反函数 在 点附近连续且严格单调．因此，
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12)
其次，我们有微商的运算法则：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；四则运算法则
(3) ＝ ；
(4) ＝ 反函数求导法则
(5) ＝ 链式法则
根据这张微商表和微商法则．
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
(整理)高阶微商与高阶微分
§4 高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律)(t S 瞬时速度 ()v t ＝()s t '＝ds dt瞬时加速度 ()a t ＝()v t '＝(())s t ''，或 ()a t ＝dvdt＝()d ds dt dt ． 由此产生了高阶导数的概念．一般地，设()y f x =在(,)a b 可导，则()f x '仍是(,)a b 上的函数．若()f x '也在(,)a b 可导，则称()f x '的微商(())f x ''为()f x 的二阶微商(二阶导数)，记为()f x ''或(2)()fx 或22d ydx类似地可定义()f x ''的微商为()f x 的三阶微商(三阶导数)，记为 ()f x '''或(3)()fx 或33d y dx．定义(1)()n f x -的微商为()f x 的n 阶微商(n 阶导数)，记为 ()()n f x 或n n d ydx＝11()n n d d y dx dx --．下面给出几个常用的n 阶导公式 例1例2 设sin y x =，求()n y解 'c o s y x =，''s i n y x =-，'''c o s y x =-，(4)y s i n x =。
设n y x = (n 是正整数)，若n k ≤，则 k n k x k n n n y -+--=)1()1()( 若n k >，则 0)(=k y研究规律，得 'c o s y x =s i n ()2x π=+，''y =cos()2x π+＝sin()22x ππ++＝2sin()2x π+，'''y =2cos()2x π+＝2sin()22x ππ++＝3sin()2x π+由此我们不难归纳出对于cos y x =，则 c o s s i n ()2y x x π==+()n y =sin()22n x ππ++cos()2n x π=+例3 设arctan y x =，求()n y 解 21'1y x=+211t a n y =+2c o s y =； 方程两边再对x 求导并注意y 是x 的函数，得 =-='⋅-=''y y y y y y 2cos 2sin sin cos 22cos y sin 2(2y π+)；2'''[2c o s s i n s i n 2()2c o s 2()c o s ]'22y y y y y y y ππ=-+++32c o s [c o s 2()c o s s i n s i n 2()]22y y y yy ππ=+-+ )3c o s (c o s 23π+=y y ＝332c o s s i n (3)2y y π+)2(3s i nc o s 23π+=y y ； 若()(1)!cos sin ()2n n y n y n y π=-+，则x y sin =()n y = sin()2n x π+ x y cos = )(n y cos()2n x π=+(1)n y +1(1)![c o ss i n s i n ()c o s c o s ()]'22n nn n y y n y ny n y y ππ-=--+++1()!cos [cos cos ()sin sin ()]22n n y y n y y n y ππ+=+-+1!cos cos[(1)]2n nn y n y π+=++1!cos sin(1)()2n n y n y π+=++由数学归纳法得例4高阶微商的运算法则：若,u v 都是x 的函数 1、 ()()n u v ±＝()n u ()n v ±． 2、若v u y ⋅=，则()n y ＝()()nk n k k nk C u v -=∑，n ＝1，2…． （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，1=n 时就是导数的乘积公式，设公式对n 成立，则 (1)()()0()'nn kn k k n k yC u v +-==∑ (1)()()(1)0[]n kn k k n k k nk C u v u v -+-+==+∑ arctan y x =()n y ＝(1)!cos sin ()2n n y n y π-+xy 1=1)(!)1(+-=n nn x n y(1)()()(1)nnk n k k k n k k nn k k C uvC u v -+-+===+∑∑ （令j k =+1） 1(1)()1(1)()1nn kn k k k n k k nn k k C uvC u v +-+-+-===+∑∑ 0(1)(0)1(1)()(0)(1)1()nn k k n k k n n nn n n k C uvC C u v C u v +--++==+++∑ 1(1)()10n k n k k n k C uv +-++==∑ 其中用等式 001n n C C +=，11n n n n C C ++=， kn k nk n C C C 11+-=+ 由数学归纳法知公式对一切正整数n 成立。
微积分简介
一、函数
导数
有两个互相联系的变量x和y，每当x取某一数值后，按照 一定的规律就可以确定y的值，就称y是x的函数，记作
y f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 )
当取 x0 0 时，有近似公式
f (x) f (0) f '(0)x
14
tt
物体做变速直线运动，速度v=v(t),如图2所示.可以把t
分成许多均等小段Dt，只要其充分小，每段时间中
的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的 路程相加，即近似为总路程。
16
n
s (t1) t (t2 ) t (tn ) t (ti ) t i 1
当 t 0 时，n 上式右边的极限值就是所求总路程，
则在x=a到x=b区间内f(x)对x的定积分等于f(x)在这区 间内的增量，即
b
a f (x)dx f(b) f(a)
其中f(x)称为原函数。积分是导数的逆运算。
18
例1. 求 2 x3dx 0
2
解：
2 0
x3dx
1 4
x4
0
1 4
(24
04 )
微分的概念
解决方案：
建立可微与可导，微分与导数的关系
23-6
函数可微与可导的关系
定理 函数 y f (x) 在点 x 0 处可微
y f (x) 在点 x 0 处可导，且此时 A f ( x0 ) 。
即：函数 y f (x) 在点 x0 处可微与可导是等价的，
过 M 作曲线 y f (x) 的切线 MT ，
设其倾角为 ，则切线 MT 的斜率为 tan f ( x0 ) ，
故
dy |x x0 f ( x 0 )dx tan x PQ 是切线纵坐标的改变量；
y PN 是曲线纵坐标的改变量；
23-10
基本初等函数的微分公式
并且有
dy |x x0 f ( x0 )x 。
23-7
如果函数 y f (x) 在区间 I 内（上）的每一点 x 处都可微，
就称函数 y f (x) 在区间 I 是可微的，或称 y f (x) 为可微函数。
函数 y f (x) 的微分记作 dy 或 df x ，则
d = dcos 2＋3
= − sin 2＋3 d 2＋3
= −2sin （2＋3）d
例4 设 = ln （1＋e），求d.
解
d = d［ln （1＋e）］
=
1
1＋
1＋e
=
d
1＋
例5 将下列等式中左端括号内填入适当的函数，商。
分母，自变量的微分
注2
利用微分的观点，重新理解复合函数求导法则及由参数方程确定函数的求导法则：
dy dy du
,
dx du dx
第五章 微商与微分
第五章 微商与微分1 微商概念及其计算1．求抛物线2y x = 在(1,1)A 点和(2,4)B -点的切线方程和法线方程．2．若212S vt gt =-，求 （1）在1,1t t t ==+∆之间的平均速度（设1,0.1,0.01t ∆=）；（2）在1t =的瞬时速度．3．试确定曲线ln y x = 在哪些点的切线平行于下列直线：（1）1y x =-；（2）23y x =-．4．设2,3(),3,x x f x ax b x ⎧ ≥=⎨+ <⎩试确定,a b 的值，使()f x 在3x = 处可导．5．求下列曲线在指定点P 的切线方程和法线方程：（1）2,(2,1)4x y P =； （2）cos ,(0,1)y x P = ．6．求下列函数的导函数.（1）3()f x x =； （2）10,()10;x x f x x + , ≥⎧=⎨ , <⎩7．设函数1sin ,0()0,0m x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩（m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时，()f x 在0x =连续；（2）m 等于何值时，()f x 在0x =可导；（3）m 等于何值时，'()f x 在0x =连续．8．设(0)'(0)0g g ==，1()sin 0,()00.g x x f x x x ⎧ , ≠⎪=⎨⎪ , =⎩ 求'(0)f ．9．证明：若0'()f x 存在，则0000()()lim '()2x f x x f x x f x x∆→+∆--∆=∆． 10．设()f x 是定义在(,) -∞+∞ 上的函数，且对任意12,(,)x x ∈ -∞+∞，有1212()()()f x x f x f x +=.若'(0)1f =，证明任意(,)x ∈ -∞+∞ ，有'()()f x f x =．11．设()f x 是偶函数，且'(0)f 存在，证明：'(0)0f =．12．设()f x 是奇函数，且0'()3f x =，求0'()f x -.13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．14．求下列函数的导函数：（1）2sin y x x =；（2）2cos 3y x x x =+；（3）tan 76y x x x =-+；（4）2sin 7cos 5x y e x x x =-+； （5）312y x x=-； （6）373y x x =+； （7）2211x y x +=-； （8）211y x x =++； （9）(1)(2)x y x x =--；（10）y =-；（11）y =；（12）y =+； （13）31ln n y x x x n=-； （14）4cos 1ln x y x x =； （15）1()ln y x x x=+； （16）cos ln 1x x x y x -=+； （17）1cos y x x=+； （18）sin cos sin cos x x x y x x x +=-； （19）1sin x xe y x-=； （20）sin ln y x x x =．15．求下列复合函数的导函数：（1）33(4)y x =-；（2）22(y x a x =+（3）y =（4）y = （5）ln(ln )y x =；（6）1ln 2a x y a x+=-；（7）ln(y x =+；（8）ln tan 2x y =；（9）y =；（10）3cos cos3y x x =-；（11）23x y -=； （12）arcsin(sin cos )y x x =；（13）22arctan1x y x =-； （14）22x x y e -+=；（15）y = （16）22sin 32xx y e x =+； （17）sin (,)1kx e x y k xωω-= +为常数；（18）y =+（19）sin cos n y x nx =；（20）y =16．用对数求导法求下列函数的导函数：（1）y =（2）y =（3）(n y x =；（4）(0)x y x x = , >；（5）ln (0)x y x x =, >；（6）1(1)(0)x y x x =+, >；（7）tan (0)x y x x = , >；（8）sin (0)x y a a = , >．17．设()f x 是对x 可导的函数，求dy dx： （1）2()y f x =；（2）()()x f x y f e e = ；（3）((()))y f f f x =． 18．设()x ϕ和()x ψ是对x 可求导的函数，求dy dx：（1）y = （2）()arctan (()0)()x y x x ϕψψ= ≠；（3）(()0,()0)y x x ϕψϕ=>≠；（4）()log ()(()0,()0,())x y x x x x ϕψψϕϕ= >> ≠1．19．求下列函数的导函数：（1）(cos sin )ax y e bx bx =+；（2）21arctan ln(1)2y x x x =-+；（3）212arctan arctan 1x y x x -=+-； （4）2arctan(tan )y x =；（5）()()()(,0)x a babxy a b b x a = >；（6）2arcsin (0)2a x y a a= >；（7）2ln (0)2a y x a =+>；（8）y=； （9）(0)a a x a x a y x a a a =++ >；（10）221(1)ln 61x y x x +=+-+2 微分概念及其计算1．求下列函数在指定点的微分：（1） 1110n n n n y a x a x a x a --=++++…，求(0),dy dy (1)；（2）sec tan y x x =+，求(0),()4dy dy π和()dy π； （3）1arctan x y a a=，求(0)()dy dy a ； （4）211y x x =+ ，求(0.1)(0.01)dy dy , ． 2．求下列函数的微分：（1）21x y x =-； （2）ln y x x x =-；（3）ln y x=-（4）y =；（5）2sin x y e =；（6）ln tan()24xy π=+．3．设,u v 是x 的可微函数，求dy ：（1）arctan u y v=；（2）y =（3）ln sin()y u v =+；（4）y =4．求下列函数的微分dy ：（1）2sin ,ln(31)y t t x ==+；（2）2ln(31),sin y t t x =+=；（3）331,ln ,252u y e u t t x x ===-+； （4）22arctan ,(ln ),1cot y u u t t x x = ==+-．3 隐函数与参数方程微分法1.求下列隐函数的导数dy dx： （1）22221(,)x y a b a b+= 为常数； （2）22()y px p = 为常数；（3）222()x xy y a a ++= 为常数；（4）330x y xy +-=；（5）1sin 2y x y =+； （6）222333()x y a a += 为常数；（7）cos()y x y =+；（8）arctan y x y =+；（9）1ln()y y x y e =-++；（10）arctan ln y x= 2．求下列参数方程的导数：（1）111t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩；（2）22sin cos x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （3）2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （4）(ln tan cos )2sin t x a t y a t⎧=+⎪⎨⎪=⎩． 3．求函数()y y x =在指定点的导数：（1）1cos sin ,(,0)22y x y π=+； （2）ln 1,(0,1)x ye y += ；（3）sin ,,1cos 2x t t t y t ππ=-⎧ =⎨=- ,⎩在处； （4）231,2,x t t y t t ⎧=-⎪ =⎨=-⎪⎩在． 4．一个圆锥型容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m.（1）灌入水时，求水的体积V 对水面高度h 的变化率；（2）求体积V 对容器截面圆半径R 的变化率．5．设33cos ,sin x a t y a t ==．（1）求'()y t ；（2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数．6．证明：曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=- ⎩上任一点的法线到原点的距离恒等于a ．4 高阶微商与高阶微分1.求下列函数在指定点的高阶导数：（1）32()3459f x x x x =+--，求(4)''(1),'''(1),(1)f f f； （2）()f x =求''(0),''(1),''(1)f f f -．2．求下列函数的高阶导数：（1）ln y x x =，求''y ；（2）2x y e -=，求'''y ；（3）22,x y x e =求()n y ；（4）y =，求()n y ；（5）5cos y x x =，求(50)y ；（6）32x xe e y x --=，求(30)y ． 3．求下列函数的n 阶导数：（1）x y a =；（2）ln y x =．4．求下列函数的n 阶导数：（1）1(12)y x x =-； （2）2sin y x =；（3）128y x x 2=--； （4）xe y x=； （5）2ln1x y x +=-； （6）2ln x y x =．5．设()f x 的各阶导数存在，求''y 及'''y ．（1）2()y f x =；（2）1()y f x=；（3）()x y f e -=；（4）(ln )y f x =；（5）(())y f f x =．6．若21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪ ≠= ⎨⎪ =⎩，证明()(0)0n f =．7．求下列函数的二阶微分：（1）y =；（2）arctan y x x =；（3）2(),()u y f u e u x x ϕ====．8．求下列函数的三阶微分：（1）设()ln ,(),x u x x v x e == 求33(),()ud uv d v； （2）设2(),()cos2x u x e v x x ==，求3(),()u d uv d v．9．求下列参数方程的二阶导数：（1）2323x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩； （2）cos sin x a t y a t= ⎧⎨=⎩；（3）(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩； （4）cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩； （5）33cos sin x a t y a t⎧= ⎪⎨=⎪⎩； （6）'()'()()x f t y tf t f t =⎧⎨=-⎩．10．求下列隐函数的二阶导数22d y dx： （1）0x y e xy +-=；（2）3330x y axy +-=；（3）242ln 0y y x +-=．11．设函数()y f x =在点x 二阶可导，且'()0f x ≠，若()f x 存在反函数1()x f y -= ，试求1)''()f y -(．12．设12sin cos y c x c x =+，证明y 满足方程''0y y +=．13．设arctan y x =．（1）证明y 满足方程2(1)''2'0x y xy ++=；（2）求()(0)n y ．14．设()y y x =存在反函数，且满足方程232()0d y dy dx dx+=． 证明：反函数()x x y = 满足221d x dy =，并且由此求出一个()y y x =．。
第四节微商与微分
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c '
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1 （3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u ' x2 ' cos u 2x 2x cos x2
例13
设
f
x
x sin
0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
'x
sin
1 x
1 x
第四章 微商与微分 .doc
第四章 微商与微分
一、学习要求：
（1）正确理解微商的概念；
（2）知道微商的几何意义与物理意义；
（3）掌握可导与连续的关系；
（4）牢固掌握求导的四则运算公式、复合函数求导的法则和反函数求导的法则，能迅速正确地求初等函数的导数；
（5）熟悉基本初等函数的求导公式；
（6）掌握隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法；
（7）正确理解微分概念；
（8）了解可微与可导的关系，知道导数与微分的区别与联系；
（9）正确理解一阶微分的形式不变性，并会用它求导．
二、学习的重点与难点
重点：微商与微分的概念，求导的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本
初等函数的求导公式．
难点：复合函数的求导法则，一阶微分的形式不变性．
三、导数的常用计算方法
（1）利用微商的定义求导；
（2）利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导；
（3）利用反函数求导法则求导；
（4）利用复合函数的链式法则求导；
（5）利用对数求导法则求导；
（6）隐函数求导法；
（7）由参数方程给出的函数的求导；
（8）用莱布尼兹公式求高阶导数．
四、微分的求法
（1）用()dx x f dy '=来求；
（2）利用微分的四则运算公式来求；
（3）利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分．。
第四章 微商与微分(1)
注2. 令 x = x0 + Δ x , 则定义式 (3)等价于
f ( x ) − f ( x0 ) . f ' ( x 0 ) = lim x → x0 x − x0
(4)
注3.
曲线 y = f ( x )上一点 P ( x0 , y 0 )( y0 = f ( x0 ))的切线斜率是
k = tan θ = f ' ( x0 ).
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
(4)、对数函数的导数
不连续,一定不可导.
6. 判断可导性
连续
直接用定义; 看左右导数是否存在且相等.
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
3.微商的计算
(1)常值函数y = c 由于Δy = c − c恒为0，故在任何一点都有 Δy c−c y ' = lim = lim =0 Δx →0 Δx Δx →0 Δx 因此(c)' = 0.
(2)
存在，则称函数 f ( x)在x0点可导（存在导数）， 此极限
称为 f ( x )在 x0点的微商 ( differenti al
quotient )或
dy 导数 ( derivative ), 记为 f ' ( x0 ) , 或 y ' | x = x0 , 或 | x = x0 dx
若令x = x0 + Δx, 则有： f ′( x0 ) = lim
Δy f ( x + Δx) − f ( x) = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx
x ∈ D 可导范围
《高等数学》课件2-1微商的概念
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
数学物理中的微分方程与偏微分方程
数学物理中的微分方程与偏微分方程微分方程（Differential Equation）是指含有未知函数及其偏导数（微商、微分）的方程式，它构成了数学物理中非常重要的一部分，得到了广泛的应用。
微分方程可以分为两类：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有未知函数在一自变量上的微分方程，如：$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$因此常微分方程的解是一个函数，函数的含义是描述未知函数随自变量的变化规律。
常微分方程的求解方法很多，如分离变量、同构变换、变量替换等等。
然而，有时候微分方程的求解是非常困难的。
偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是指既含有未知函数在多个自变量上的微分方程，如：$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示未知函数，$x$和$t$分别是自变量，这类方程的解为一个函数，函数的含义是描述未知函数随自变量的变化规律。
偏微分方程的求解方法较少，通常需要进行数值模拟或是利用特殊解的方法解出一般解。
偏微分方程在物理学领域里有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、薛定谔方程等等，都是重要的偏微分方程。
以热传导方程为例，它描述了在热传导过程中温度的变化规律。
简单来说，热的传播就是热量从高温区域向低温区域传递的过程，温度高低的变化就可以用热传导方程来表示。
热传导方程的一般形式如下：$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla ^ 2 T$其中，$T$表示温度，$\rho$是密度，$c_p$是比热容，$k$是导热系数，$\nabla ^2$ 是 Laplace 算子，代表二阶偏导数的和。
根据这个方程，热传导的速度可以通过求解 $T$ 的空间和时间的函数得到。
微积分：微分及其应用
1 1 0.3 1.15 . 2
小结、函数的微商与微分的联系与区别
区别：
微 商（导数）
微分
小结：
一、微分定义及运算 1、微分的定义 2、基本初等函数的微分公式 3、微分的运算法则 4、微分的形式不变性 二、微分的应用 1、用微分求参数方程表示的函数的微商
2、用微分作预测—微分外推法
作 业：
x a cost
y
b sin t
(0Βιβλιοθήκη t2 )求 dy , d 2 y . dx dx2
解 dy d (b sin t) b costdt
dx d (cos t) a sin tdt
b cott
d2y dx 2
a dy dx
d ( b cot)
a
d (a cost)
b csc2 tdt a a sin tdt
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
100!
分段函数的微商
含有绝对值的函数的微商
高阶微商技巧
参数形式的函数的微商 、隐函数的微商
对数微商
例3 设y x(sin x)cos x ,求 y.
解 y y(ln y)
函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv 微分形式的不变性
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
利用微商定义求微商
二、典型例题
例1 设 f ( x) x( x 1)( x 2)( x 100), 求 f (0).
微商及解析函数
（3） 已知U（或V）均可求出解析函数
本节作业
1.3 微商及解析函数
习题1.3： 2(2); 4(1);
二、解析函数：
1.3 微商及解析函数
5.解析函数的物理解释：
以平面静电场为例（也适合于其他标量场）：电势
(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程
2x2 2y2 0
则由解析函数的性 可质 由， 一解析函数 f(z)uiv来描绘该电场称为 。复势
解析函数图例
1.3 微商及解析函数
1.3 微商及解析函数
z0 z z0
z
lim lim
Rez
x
z0 z
z0 z
一、微商及微分：
f lim z0 z
l i m
x0 y 0
x x i y
0
l i m
x 0 y0
x x i y
1
1.3 微商及解析函数
z
z
∴ f( z ) R e z ， 在 复 平 面 处 处 不 可 导 。
一、微商及微分：
e .gp n (z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n
p n (z ) a 1 2 a 2 z n n z n a 1
一、微商及微分：
4. 可导的必要条件
u x
v y
v
u
x y
1.3 微商及解析函数
C-R条件
一、微商及微分：
1.3 微商及解析函数
Δz Δz0
z0
z
lim(2zz)z 2z
z0
z
(zn)nzn1
注意：（1） z 0的方式必须是任意的
在实函数中： f (x)limf x0 x
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关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数 A x2 在 x0 的
微分
一般：函数 y f (x) ,给自变量一个改变量x相应地函数改变量
y f (x x) f (x) 是否也可分成类似的两部分
y x (x)
从而有定义：（可微、微分）
当给自变量以改变量 x 时，函数有改变量
y
sin
x0
x
sin
x0
2
cos
x0
x 2
sin
x 2
,
它们之比为
y
cos
x0
x 2
sin
x 2
.
x
x
2
注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是
sin x
lim
2 1
x0 x
2
因此
y
lim
x0
x
cos
x0
2 微商的几何意义
f ' x0 为曲线 y f x 上点
例5 求曲线 y x2在对应于 x0 2 处的切线方程和法线方程 解： y ' |x2 2x |x2 ＝4，故在对于 x2 2 处的切线方程 和法线方程分别为
y 4 4(x 2) ，即 4x y 4 0 y 4 1 (x 2) ，即 x 4y 18 0
4
在上面的定义4.1中，考虑 x 0和！x 给0出或了写成证不可
便有定义：
x x0 和 x x导0 的有效方法
定义4.1' 左导数 f ' x0 右导数 f ' x0
显然：函数 f x 在 x0 点可导
注： f x 在 x0 点的左，右导数存在且相等。
定义4.2` 若 f x在开区间a,b 内每一点都可导，则称函数 设 f xf x在a,b开 或区间a,ba上,b可内导可，导则. 对每个 xa,b 都唯一若对f 应x在数 fa',bx 内: x可导f 。' x且 从f ' 而a定, f义' 了b 一都个存新在函，则数称
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
1
例9
设 y 1 x2 ，求 y '
解
y
1
1 x2
1 2
1 x2
可视为
y
u
1 2
和u
1
x2
的复合，故
y
u
1 2
' 1 x2
'
1 2
u
3 2
2x
x
3
1 x2 2
例10 设 y x 1 x2 （x>-1），求 y '
x 12 1 x2
解 两边取对数得
ln y ln(x 1 x2 ) ln(x 1)2 ln 1 x2
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 ) o
f (t)
s
例 2 求非均匀棒的密度（一点的线密度 x0 )
均匀棒的密度
棒的质量m 棒的长度l
单位长的质量
非均匀：建立坐标系
0
x0
x0 x
给出质量函数 m f x 取棒的一段 x0 到 x0 x
这段的质量 这段上的平均密度
m f x0 x f x0
y ' esin xln x (sin x ln x) ' esin xln x (cos x ln x sin x ) x xsin x (cos x ln x sin x). x
下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。
例12
1
函数 f (x) (x 1)3 , x (, )
0 x 0
x
lim
x0
x
lx其im0中 x
lim 1 x0 x
左故极限不等于右极限，即差商的极限lixxm0
f (x)
0x
f
(0)
不存在。
所以所函以数f (x) | x | 在x 0在点点不x可连导续。.
y
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
定义4.2 设 y f (x) 在(a,b)有定义，如果对给定的 x (a,b)，有
y f (x x) f (x) x (x),(x 0) 其中A与x 无关，则称 f (x) 在x点可微，并称 x 为函数 f (x) 在点x的微分，记为：
dy x 或 df (x) x
上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微 分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与x有关.
解 两边取对数 ln y sin x ln x
再两边对x求导得 y ' cos x ln x sin x
y
x
故 y ' xsin x (cos x ln x sin x). x
例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导 运算。例11也可用链式法则求得。 因为
y xsin x esin xln x ，所以
说明，微商是一种特殊的极限
例3
求 y x2在 x0 的微商。
给自变量以改变量 x，函数有对应的改变量
y x0 x2 x02 2x0x x2
它们之比为
y x
2x0
x
令x 0 取极限，即得函数 y x2 在 x0 的微商
y
y ' |xx0
lim
x0
x
2x0
例4
求 y sin x 在 x0点的微商。
m f x0 x f x0
x
x
x 越小， 因而
就越接近于 x0 点的线密度 x0
x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
1 微商的定义
定义4.1 设函数 y f x 在 x0 点附近有定义。对于自变量在 x0
点的任一改变量 x x x0，函数在该点的相应改变量为
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u' x2 ' cosu 2x 2x cos x2
例8 y sin2 x ，求 y '
解 y sin2 x 可视为y u2和u= sin x 的复合，故
y ' =u2 'sin x' 2u cos x 2sin xcos x sin 2x
(sin x) ' cos x (cos x) ' sin x
（4）对数函数 y loga x
y'
(loga
x) '
1 x ln a
特别
ln x ' 1
x
微商的四则运算法则
定理4.2
(i) (u(x) v(x)) ' |xx0 u '(x0 ) v '(x0 )
(ii) (u(x)v(x)) ' |xx0 u '(x0 )v(x0 ) u(x0 )v '(x0 )
i f g'x f 'u g 'x f 'gxg 'x
ii 链式法则：推广到多个。
（7）幂函数 y x 的微商 x 0
y ' x ' x1
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
§2、微分概念及其计算
复习 1、可导和导数（微商）的概念 2、无穷小的比较
一. 微分的概念
引例14 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
y ' ax ' 1 y ln a ax ln a x( y)
（6）反三角函数
i
y arcsin x
y'
1 1 x2
1 x 1
到此ii：第y一步a基rc本co上s完x成（还y '差一点1）1x2
iii y arctan x
y
'
1
1 x
2
iv y arccot x
1 y'
1 x2
从定义可知，微分具有两大特性： (1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算； (2)微分与函数的改变量 y之差是比x 高阶的无穷小量
lim y y0 lim y y0
y y0
y y0
yy0 f y f y0
lim x x0
xx0 f x f x0
lim xx0
1
f x f x0
1
f ' x0
x x0
（5）指数函数 y ax ：为 x loga y 的反函数 而
则其反之数 x y
在点 y0 f x0
可导，且 ' y0
f
1
' x0
证明：由f (x)在 x0 附近连续且严格单调，则反函数x y