04微商与微分

1
例9
设 y 1 x2 ，求 y '
解
y
1
1 x2
1 2
1 x2
可视为
y
u
1 2
和u
1
x2
的复合，故
y
u
1 2
' 1 x2
'
1 2
u
3 2
2x
x
3
1 x2 2
例10 设 y x 1 x2 （x>-1），求 y '
x 12 1 x2
解 两边取对数得
ln y ln(x 1 x2 ) ln(x 1)2 ln 1 x2
x x0x (x)2
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数 A x2 在 x0 的
微分
一般：函数 y f (x) ,给自变量一个改变量x相应地函数改变量
y f (x x) f (x) 是否也可分成类似的两部分
y x (x)
从而有定义：（可微、微分）
f 'x f， x称 在为fa,bx 上的可导导函。数，简称导数。另外：
f ' x lim f x h ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf x
h0
h
3. 可导与连续的关系
定事理实4.1上
证: 设 lim f x在 点f 0x处 可lim导0, 即x 0 lim x 1
x0
x
x0
x
x0 x
存在 , 因此必有
f x f 0
例5 求曲线 y x2在对应于 x0 2 处的切线方程和法线方程 解： y ' |x2 2x |x2 ＝4，故在对于 x2 2 处的切线方程 和法线方程分别为
y 4 4(x 2) ，即 4x y 4 0 y 4 1 (x 2) ，即 x 4y 18 0
4
在上面的定义4.1中，考虑 x 0和！x 给0出或了写成证不可
ln(x
1
x
2
)
2
ln
x
1
1 2
ln
1 x2
,
上式两边对x求导得
y' y x
1 (1 1 x2 2
2x 1
x2
)
x
2 1
1 2
2x 1 x2
1 2 x , 1 x2 x 1 1 x2
因此 y ' x 1 x2 ( (x 1)2 1 x2
1 2 x) 1 x2 x 1 1 x2
例11 设 y xsinx x 0 ，求 y '
y ' ax ' 1 y ln a ax ln a x( y)
（6）反三角函数
i
y arcsin x
y'
1 1 x2
1 x 1
到此ii：第y一步a基rc本co上s完x成（还y '差一点1）1x2
iii y arctan x
y
'
1
1 x
2
iv y arccot x
1 y'
1 x2
说明，微商是一种特殊的极限
例3
求 y x2在 x0 的微商。
给自变量以改变量 x，函数有对应的改变量
y x0 x2 x02 2x0x x2
它们之比为
y x
2x0
x
令x 0 取极限，即得函数 y x2 在 x0 的微商
y
y ' |xx0
lim
x0
x
2x0
例4
求 y sin x 在 x0点的微商。
§2、微分概念及其计算
复习 1、可导和导数（微商）的概念 2、无穷小的比较
一. 微分的概念
引例14 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u' x2 ' cosu 2x 2x cos x2
例8 y sin2 x ，求 y '
解 y sin2 x 可视为y u2和u= sin x 的复合，故
y ' =u2 'sin x' 2u cos x 2sin xcos x sin 2x
y f x0 x f x0
若上极面限两个例子l：ixm0虽yx然 问lixm0题f 的 x0具 体xx意 f义 x不0 同，但仅从数量方
存x0面比点在点来（的，的看即变则微，函化称商它数速函或们的度数导都平，数f 是均抽x，利变象在记用化化为x0函速的点f数度。可' x的）导0 改的,，或变极并y量限称' |与来x极x自刻0限, 或变画值量这为ddyx的个|fxx改函x0 在变数量在之一
便有定义：
x x0 和 x x导0 的有效方法
定义4.1' 左导数 f ' x0 右导数 f ' x0
显然：函数 f x 在 x0 点可导
注： f x 在 x0 点的左，右导数存在且相等。
定义4.2` 若 f x在开区间a,b 内每一点都可导，则称函数 设 f xf x在a,b开 或区间a,ba上,b可内导可，导则. 对每个 xa,b 都唯一若对f 应x在数 fa',bx 内: x可导f 。' x且 从f ' 而a定, f义' 了b 一都个存新在函，则数称
x0, f x0
y
处切线（如果存在）的斜率。
由此：曲线 y f x 在 x0, f x0
处的 切线方程为
y f x0 f 'x0 x x0
法线方程为
y
f
x0
f
1
' x0
x
x0
O
L
Q
T
R
A
Bx
① 切 线: 割线的极限位置——切线位置 开始
① 切 线: 割线的极限位置——切线位置
i f g'x f 'u g 'x f 'gxg 'x
ii 链式法则：推广到多个。
（7）幂函数 y x 的微商 x 0
y ' x ' x1
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
(sin x) ' cos x (cos x) ' sin x
（4）对数函数 y loga x
y'
(loga
x) '
1 x ln a
特别
ln x ' 1
x
微商的四则运算法则
定理4.2
(i) (u(x) v(x)) ' |xx0 u '(x0 ) v '(x0 )
(ii) (u(x)v(x)) ' |xx0 u '(x0 )v(x0 ) u(x0 )v '(x0 )
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 ) o
f (t)
s
例 2 求非均匀棒的密度（一点的线密度 x0 )
均匀棒的密度
棒的质量m 棒的长度l
单位长的质量
非均匀：建立坐标系
0
x0
x0 x
给出质量函数 m f x 取棒的一段 x0 到 x0 x
这段的质量 这段上的平均密度
m f x0 x f x0
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1
（3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
'
(iii)
u(x) v(x)
x x0
u
'(
x0
)v(
x0 ) v2
u( (x0 )
x0
)v
'(
x0
)
,
(v(
x0
)
0)
由定理4.2可得
tan
x'
1 cos2
x
sec2
x
cot
x'
1 sin2
x
csc2
x
反函数微商法则
定理4.3
若函数 y f x 在 x0点附近连续且严格单调，又 f 'x0 0,
复合函数求导法则
核心，最重要：
定理4.4 若函数 u g x 在 x0 点可导，y f u 在 u0 g x0 点可导，则复合函数 f g x 在点 x0 可导，且
f g'x0 f 'u0 g 'x0 f 'g x0 g 'x0
或
dy
dy du
dx |xx0 du |uu0 dx |xx0
'x
sin
1 x
1 x
cos
1 x
显然 f x 在x 0 连续。由于极限
lim
x0
f
x
x
f
0
lim x0
x sin x
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在，故 f x 在 x 0 点不可导。我们知道，当
x 0 时，sin 1 x
不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线
趋于原点时，割线OQ在直线 y x 之间摆动。
0 x 0
x
lim
x0
x
lx其im0中 x
lim 1 x0 x
左故极限不等于右极限，即差商的极限lixxm0
f (x)
0x
f
(0)
不存在。
所以所函以数f (x) | x | 在x 0在点点不x可连导续。.
y
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
y ' esin xln x (sin x ln x) ' esin xln x (cos x ln x sin x ) x xsin x (cos x ln x sin x). x
下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。
例12
1
函数 f (x) (x 1)3 , x (, )
则其反之数 x y
在点 y0 f x0
可导，且 ' y0
f
1
' x0
证明：由f (x)在 x0 附近连续且严格单调，则反函数x y
在 y0 点附近连续且严格单调。因此，若 y y0 0 则
x x0 y y0 0 ，且当 y y0 时有 x x0 ,
故由复合函数求极限法则得
是初等函数，故在定义域内连续，但
1
(x 1)3 lim
lim
x
1
2 3
,
x1 x 1 x1
故 f x在x 1 点不可导。当x 1 时有
f
'x
1
3
x
1
2 3
几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。
例13
设
f
x
x
sin 0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
解 两边取对数 ln y sin x ln x
再两边对x求导得 y ' cos x ln x sin x
y
x
故 y ' xsin x (cos x ln x sin x). x
例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导 运算。例11也可用链式法则求得。 因为
y xsin x esin xln x ，所以
从定义可知，微分具有两大特性： (1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算； (2)微分与函数的改变量 y之差是比x 高阶的无穷小量
m f x0 x f x0
x
x
x 越小， 因而
就越接近于 x0 点的线密度 x0
x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
1 微商的定义
定义4.1 设函数 y f x 在 x0 点附近有定义。对于自变量在 x0
点的任一改变量 x x x0，函数在该点的相应改变量为
注意，并不是割线不断摆动就无切线。例如函数
f
x
x2
sin 0,
1 x
,
x x
0 0
有 lim f x f 0 lim x sin 1 0,
x0
x
x0
x
故
f
'
x
2x
sin
1 x
cos
1 x
,
0,
x0 x0
可见 f x 在 x 0 点可导，事实上在0点割线的斜率x sin 1 x
也是不断摆动的，但它有个极限位置 y = 0.
当给自变量以改变量 x 时，函数有改变量
y
sin
x0
x
sin
x0
2
cos
x0
x 2
sin
x 2
,
它们之比为
y
cos
x0
x 2
sin
x 2
.
x
x
2
注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是
sin x
lim
2 1
x0 x
2
因此
y
lim
x0
x
cos
x0
2 微商的几何意义
f ' x0 为曲线 y f x 上点
定义4.2 设 y f (x) 在(a,b)有定义，如果对给定的 x (a,b)，有
y f (x x) f (x) x (x),(x 0) 其中A与x 无关，则称 f (x) 在x点可微，并称 x 为函数 f (x) 在点x的微分，记为：
dy x 或 df (x) x
上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微 分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与x有关.
lim y y0 lim y y0
y y0
y y0
yy0 f y f y0
lim x x0
xx0 f x f x0
lim xx0
1
f x f x0
1
f ' x0
x x0
（5）指数函数 y ax ：为 x loga y 的反函数 而