1.6复数的极限及连续性
复变函数与积分变换1.6复变函数的极限和连续性
(3)连续函数的模也连续；
(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值; (5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.
例题1 讨论
的连续性。
0 0
x
例2 讨论
的连续性。
解：
例1 证明函数 f ( z )
R e( z ) |z|
当 z0 时的极限不存在
x x y
2 2
[证] 令 z = x + i y, 则 f ( z ) 由此得 u ( x , y )
2
,
x x y
2
, v( x, y ) 0.
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有 x lim u ( x , y ) lim 2 2 x 0 x 0 x y ( y kx ) ( y kx )
z z0
lim
f (z) A
或记作当 zz0 时 , f (z)A.
几何意义:
y
v
z
f(z)
d z0
O x O
e
A u
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
li m u ( x , y ) u 0 x x0 y y0 li m f ( z ) A . z z0 li m x x0 v ( x , y ) v 0 y y0 运算性质：
§1.6 复变函数的极限和连续性
1.函数的极限
定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|<r
内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e >0, 相 应地必有一正数d (e) (0 <d r), 使得当 0 <|z-z0|<d 时有 | f (z)-A |<e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
复数列的极限 级数的概念
bn
b.
“”
已
知 lim n
an
a
,
lim
n
bn
b
即，
0, N
0,
n
N ,恒有an
a
2
，bn
b
2
又n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列：{n } {an ibn }(n 1,2, , n),
j1 2 j
3i(1
1 2n
),
又
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
1.6复数的极限及连续性
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变 函数连续性的方法。 定理二.若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B ，则：
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
例 1. 证明: 如果 f ( z) 在 z 0 连续, 那末 f ( z) 在 z 0 也连续. 证： f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) ，则 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) ， 由 f ( z ) 在 z 0 连续, 于 是 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 也在 (x 0, y 0) 处连续, 故 f ( z ) 在 z 0 连续 。 例 2. f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ) 解： u ( x, y ) ln( x 2 y 2 ) 在复平面内除原点外处处连续 v( x, y ) x 2 y 2 。在复平 面处处联系。 故 f ( x, y ) 在复平面内除原点外处处连续. 例 3.证明 f ( z ) arg z 在原点及负实轴上不连续。
(1) f ( z ) arg z 在原点没有定义， 故不连续。 (2)在负实轴上 P( x, 0)( x0 0), lim arg z , lim arg z
y 0 x x0 y 0 x x0
arg z在负实轴上不连续。
定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0)仍为连续函数;连续函数的 复合函数仍为连续函数。 由以上讨论 P ( z ) a0 a1z a n z n 在整个复平面内连续； R (z ) 平面内除分母为零点外处处连续。 设曲线 C 为 闭曲 线或端点包 括在内的曲线段 ，若 f ( z ) 在曲线 C 上连续，
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
页 退出
复变函数与积分变换
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由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
页 退出
复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
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复变函数与积分变换
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定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
页 退出
复变函数与积分变换
所以 类似可得
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复数的极限与连续性导数与解析函数
3复变函数的极限连续性、导数与解析函数1、函数zw 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上的什么曲线？ （1）922=+y x （2）0=+x y 【解】 曲线为 【解】 曲线为)sin (cos 3t i t z +=, it t z -=,则 则)sin (cos 311t i t z w -==, i t t z w 221+==, 即 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.sin 31,cos 31t v t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,2t v t u 从而 从而9122=+v u . v u =. （3）1=y （4）1)1(22=+-y x 【解】 曲线为 【解】 曲线为i t z +=, t i t z sin )cos 1(++=,则 则11122+-+==t i t t z w , t i z w tan 21211-==, 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.11,122t v t t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.tan 21,21t v u 从而 从而, 对任意的v ，有41)21(22=++v u . 21=u . ………………………………………………………………………………………………………2、已知映射3z w =, 求: （1）点i z i z i z +=-==3,1,321在w 平面上的象;【解】 i z w -=)(1; i z w 22)(2--=; i z w 8)(3=. （2）射线0,≥=x x y 在w 平面上的象;【解】 曲线为 i t z +=, 则i t t z w 33322+-==,即32t u -=, 32t v =)0(≥t从而0=+v u )0(≥v .（3）区域3arg 0π<<z 在w 平面上的象;【解】 由于3arg 0π<<z , 且3z w =, 故π<<w arg 0. ………………………………………………………………………………………………………3、证明复变函数z i z w arg ln +=在原点与负实轴上不连续.[证] 由于当0=z 时, z ln 不存在, 故函数在原点处不连续; 当0≠+=iy x z 时i z w y π+=+→||ln lim 0, i z w y π-=-→||ln lim 0故函数在负实轴上不连续.………………………………………………………………………………………………………4、利用导数的定义证明211z z -='⎪⎭⎫ ⎝⎛. [证] 由定义, 有z z z z z z ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆+='⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆11lim 10201)(1lim z z z z z -=∆+-=→∆. ………………………………………………………………………………………………………5、指出下列函数)(z f w =的解析区域、奇点，在解析区域求其导数.（1）z i z w )3(3++=【解】 函数无奇点, 在整个复平面内处处解析，且导数为i z w ++='332.（2）112+=z w 【解】 函数的奇点为i z ±=, 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为22)1(2+-='z z w . （3）1143++=z z w 【解】 函数有四个奇点, 分别为 )1(22i z ±=,)1(22i z ±-=. 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为2442)1()43(+--='z z z z w . （4）)0(≠-++=bc ad d c b a dcz b az w 为复常数且、、、 【解】 当0=c 时, 函数在复平面上无奇点, 处处解析, 此时da w ='; 当0≠c 时, 函数在复平面上有奇点cd z -=, 除奇点外处处解析, 此时 2)(d cz bc ad w +-='. ………………………………………………………………………………………………………。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复变函数第二章 1-2
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
1-6复变函数的极限
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例4 讨论函数 arg z的连续性.
复变函数的极限四则运算法则：
哈 尔 滨 工 程 大 学
设 lim f ( z ), lim g( z )都存在，则
z z0 z z0
1. lim[ f ( z ) g( z )] lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若
极限存在是指z沿着任意方向，以任意 方式趋于z0时，f ( z )都要趋于同一值A。
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )，在z0的某空心
哈 尔 滨 工 程 大 学
邻域内有定义，其中z0 x0 iy0，则 lim f ( z ) A u0 iv0
第一章 复数与复变函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
§1.6 复变函数的极限与连续性
学习要点 掌握复变函数的极限与连续性
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一、 复变函数的极限
哈 尔 滨 工 程 大 学
设函数f ( z )在z0的某去心邻域内有定义， 若对 0， 0, 当0 z z0 时有 f (z) A 称A为函数f ( z )当z趋于z0时的极限，记作 lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z 0 )
2. lim f ( z ) g( z ) lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
f ( z ) z z0 3. lim (lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数-总结
18
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) 解：这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆z → 0 ∆x + ∆yi
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
解析 ( 可导) ⇔ u , v 可微且满足C-R方程
若 推论 ： u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R
方程,则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
22
§2.2 解析函数与调和函数的关系
y
由 C − R 方程知：
u x = v y = − 2 y u y = − v x = −2 x
u( x 1 y ) =
0
( x, y )
(x,0)
x
∫
( x, y)
∆x + 2∆yi ∆x = lim =1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
lim u(x, y) = u0 x→x0 y→y0 lim f (z) = A ⇔ . z→z0 lim x→x0 v(x, y) = v0 y→y0 运算性质：
复变函数
r cos 则 f (z) cos , r
33
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
y
u x2 y2 ,
x
z w
2
x y 4 u 4,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u c1 , v c2 . (如下页图)
17
y
v
W
x
o
o
u
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形.
18
7. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点.
2 2
v o
4
2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
22
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 , 0 r 2. 4 解 设 z re i , w e i , 则 r 2 , 2 ,
π 故扇形域 0 , 4 0 r 2映射为
x : 自变量
y : 因变量
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决许多复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（f(z)＼）定义在＼（z_0\）的去心邻域内，如果存在一个复数＼（A\），对于任意给定的正数＼（ε\），总存在正数＼（δ\），使得当＼（0 ＜｜z z_0| ＜δ\）时，有＼（｜f(z) A| ＜ε\），则称＼（A\）为＼（f(z)＼）当＼（z\）趋于＼（z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（f(z)＼）在＼（z_0\）处连续。
三、例题分析例 1：设＼（f(z) ＝ z^2\），求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} f(z)＼）。
解：＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} f(z) ＝＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} z^2 ＝（1 ＋ i)＾2 ＝ 1 ＋ 2i ＋ i^2 ＝ 2i\）例 2：判断函数＼（f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＼）在＼（z ＝ 0\）处的连续性。
解：当＼（z\）沿实轴趋于＼（0\）时，＼（f(z) ＝＼frac{x}｛｜x|｝＼），极限不存在；当＼（z\）沿虚轴趋于＼（0\）时，＼（f(z) ＝＼frac{iy}｛｜iy|｝＼），极限不存在。
所以＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 0\）处不连续。
例 3：设＼（f(z) ＝＼begin{cases} ＼frac{z^2 1}｛z 1}，＆ z ＼neq 1 ＼＼ 2, ＆ z ＝ 1 ＼end{cases}＼），判断＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 1\）处的连续性。
解：＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝＼lim_{z ＼to 1} ＼frac{z^2 1}｛z 1} ＝＼lim_{z ＼to 1} （z ＋ 1) ＝ 2\），且＼（f(1) ＝ 2\），所以＼（f(z)＼）在＼（z ＝ 1\）处连续。
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
复数域上的极限与连续
复数域上的极限与连续复数域是数学中一个重要的概念，它包含了实数域的所有元素以及虚数单位i。
在复数域上，我们可以定义函数的极限和连续性，这些概念和实数域上的定义有着一定的差异。
本文将深入探讨复数域上函数的极限和连续性的性质。
复数域上函数的极限在实数域中，函数的极限可以用$\\epsilon$-$\\delta$定义来描述。
在复数域中，我们也可以采用类似的方式定义函数极限。
给定一个复数z0，如果对于任意的$\\epsilon > 0$，存在一个$\\delta > 0$，使得当$|z - z_0|<\\delta$时，$|f(z) -L|<\\epsilon$，则称函数f(z)在z0处的极限为L，记作$\\lim_{z\\to z_0} f(z) = L$。
复数域上函数的极限有着与实数域上函数的极限类似的性质，包括唯一性、局部性和代数运算规律等。
我们可以通过$\\epsilon$-$\\delta$定义来证明复数域上函数的极限存在性和性质。
复数域上函数的连续性与函数的极限类似，复数域上函数的连续性也是重要的性质之一。
一个函数在复数域上是连续的，意味着函数在整个定义域上都没有断裂或跳跃。
在复数域上，我们可以通过以下定理来描述函数的连续性：定理1：如果函数f(z)在复数域上处处可导，则f(z)在复数域上是连续的。
这个定理说明了在复数域上连续性和可导性之间的关系。
在实数域上也有类似的定理，但在复数域上要求更加严格。
复数域上函数的连续性与极限的关系在复数域上，函数的连续性与极限密切相关。
如果一个函数在某个点处连续，那么它在该点处的极限也存在且与函数在该点处的取值相等。
下面给出一个用于证明这个结论的定理：定理2：如果f(z)在复数域上是连续的，并且$\\lim_{z\\to z_0} f(z) = f(z_0)$，那么f(z)在z0处连续。
这个定理说明了连续性与极限之间的内在联系。
在复数域上，函数的连续性和极限在很大程度上决定了函数的性质。
[整理版]第三讲复数域上的极限与连续
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第三讲 复数域上的极限与连续一．定义距离(两个复数之间的距离)两个复数11122,z z x iy z x iy =+=+的距离为1212(,)z z z z ρ=-=有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论1212121212max{,}x x y y z z x x y y --≤-≤-+-(如图2.1).二．复数序列的极限复数列1{}n n z ∞=,存在0z ∈ ,使得0lim n n z z →∞=⇔对0,0N ε∀>∃>,当n N ∀>时,有0n z z ε-<.图2.1引理 若000,1,2,,n n n z x iy n z x iy =+==+ ,则000lim lim lim nn n n nn x x z z y y →∞→∞→∞=⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩.三．复函数的极限定义 设:f D → 单值函数()w f z =,000z x iy =+是D 的一个聚点(非孤立点).若对于0ε∀>,0δ∃>,当00z z δ<-<时,有()f z A ε-<,则称()f z 当0z z →时以A 为极限,记为lim ()z z f z A →=.引理 设000,z x iy z x iy =+=+,()(,)(,),w f z u x y iv x y A a ib ==+=+,则有00000(,)(,)(,)(,)lim (,)lim ()lim (,)x y x y z z x y x y u x y a f z A v x y b →→→=⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩.四．复函数的连续定义 设()w f z =定义在复数集D 上,000z x iy D =+∈是D 的一个聚点,若0lim ()()z z f z f z →=,则称()f z 在点0z 连续.注:若点0z 是D 的一个孤立点,则()f z 在点0z 连续.引理 复函数()w f z =u iv =+在点000z x iy =+连续⇔函数(,),(,)u x y v x y 在点00(,)x y 连续.复函数()w f z =在点集D 上的每一点连续,则()f z 是D 上的连续函数.五．复级数定义 设复数列1{}k k u ∞=,复数项级数的前n 项之和1nn k k s u ==∑(1,2,)n = ,然而得部分和序列{}n s ,级数和1lim kn n k us ∞→∞=∑ ,即1lim k n n k u A s A ∞→∞==⇔=∑.引理 复数列1{}k k u ∞=,若k k k u a ib =+,00A a ib =+,有01101k k kk k k a a u A b b∞∞=∞==⎧=⎪⎪=⇔⎨⎪=⎪⎩∑∑∑.绝对收敛:级数1kk u∞=∑收敛,则称1kk u∞=∑绝对收敛.级数1kk u∞=∑绝对收敛当且仅当级数1kk a∞=∑和级数1kk b∞=∑收敛.六．复函数列1{()}k k u z ∞=设复函项级数1()k k u z ∞=∑,在点0zD ∈,使复数列01()k k u z ∞=∑收敛,则称复函数列在点0z 收敛,0z 称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.复函项级数1()kk u z ∞=∑绝对收敛⇔1()kk u z ∞=∑收敛.补充内容:实数域上有211!2!!nx x x xe n =+++++321sin (1)3!(21)!n nx x x x n +=-++-++22cos 1(1)2!(2)!n n x x x n =-++-+ 下面把上面的情况推广到复数域上:(1)形式上的令2()()11!2!!nixix ix ix e n =+++++ (x ∈ )由21i =-得cos sin ix e x i x =+.下面是对Euler 公式的严格定义和证明:设z ∈ ,对1,2,n = ,令211!2!!nn z z z z n =++++ 得到序列{}n z ,不妨设m n >,那么1212(1)!(2)!!(1)!(2)!!n n mn n mm n z z z z z zz z n n m n n m ++++-=+++≤+++++++ (1)再对实数序列进行分析2{1}1!2!!n n zz z a n =++++ ,{}n a 收敛于z e ,因为{}n a 收敛,由柯西准则有12(1)!(2)!!n n mz z z n n m ε+++++<++由(1)可知{}n z 也是柯西序列,所以{}n z 收敛.记{}n z 的极限为ze ,即z ∀∈ 定义211!2!!n zz z z e n =+++++ 1!nk z n ∞==∑级数1!nk z n ∞=∑收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域 .(2)形式上的令321sin (1)3!(21)!n nz z z z n +=-++-++定义序列321(1)3!(21)!n nn z z z z n +=-++-+ ,利用上面同样的方法,可得321sin (1)3!(21)!n nz z z z n +=-++-++(3)同理,也有22cos 1(1)2!(2)!nn z z z n =-++-+ 由(1)(2)(3)得证cos sin iz e z i z =+(Euler 公式).练习:1. 设3(1)z i =+(1)z 表示为实部虚部的形式;(2)求[],arg (,)z z ππ∈-;(3)求z 的Euler 指数表示;(4)z 的三角表达式;解 (1) 32(1)(1)(1)2(1)12z i i i i i i =+=++=+=-+,Re 2,Im 2z z ∴=-=.(2)333(1)1z i i =+=+==Im 3arg arctan arctan(1)Re 4z z z π==-=.(3)34i z π=.(4)33sin ))4422z i i ππ=+=-+.2. 求(1)1i e +;(2)cos i ;(3)sin i ;(4)1Re1ii+-.解 (1)1(cos1sin1)i i e e e e i +=⋅=+⋅ 11Re()cos1,Im()sin1i i e e e e ++∴=⋅=⋅.(2)1cos 22i i i i e e e ei ⋅-⋅-++==.(3)11()sin 222i i i i e e e e e e ii i i ⋅-⋅-----===.(4)21(1)1,Re 01(1)(1)1i i ii i i i i+++==∴=--+- .3. (1)13i ;(2)ln i ;(3)Imln(1)-.解 (1)21arg 2221()()()333633k i k i i i k i i eeeπππππ+++=⋅==当0k =时,13601()cos sin6622ii e i i πππ==+⋅=+;当1k =时,15361551()cossin 6622i i ei i πππ==+⋅=-+;当2k =时,1332233()cossin 22i i e i i πππ==+⋅=-.(2)ln ln (2)(2),22i i i k i k k ππππ=++=+∈ .(3)ln(1)(2)(21),Imln(1)(21)i k i k k ππππ-=+=+∴-=+.。
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1.6复数的极限及连续性
一.函数的极限
定义：若存在数A ，0)
0,,δρεδ
ε<≤∀>∃（（）当00z z δ<-<时，有()f z A ε-<，则称A 为()f z 为0z z →时的极限，记作0
lim ()z z f z A →=或当0z z →时，()f z A →。
通俗定义：设函数0(),(,)w f z z U z ρ=∈ ，如果)()(lim 00
z f z f z z =→成立，则称)
(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。
几何意义: 当变点z 一旦进入0z 的充分小去心邻域时,它的象点()f z 就落入A 的一个预先给定的ε邻域中
注：1.意义中0z z →的方式是任意的。
与一元函数相比较要求更高。
2. A 是复数；若()f z 在z 出有极限，则极限是唯一。
二、极限的运算法则
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理一.如果000iy x z +=，则
00
000
00,0000,lim
(,)(,)lim ()lim (,)(,)x x y y z z x x y y u x y u x y f z A u iv v x y v x y →→→→→=⎧⎪==+⇔⎨=⎪⎩
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。
定理二.若0
lim ()lim ()z z z z f z A g z B →→==，则：
[]0
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z A B →→→±=±=±
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z AB →→→==
0000
lim ()()lim (lim ()0)()lim ()z z
z z z z z z f z f z A g z g z g z B
→→→→=≠= 以上定理用极限的定义去证。
例1.22()w x y i x y =+++试证在平面上处处有极限 证明：22,x y x y ++ 在平面上处处有极限 例2.()0z z f z z z z
=+→求在时的极限
证明：2222
2()
()x y f z x y -=+ 在(0,0)处的极限不存在。
例3.Re ()0z
f z z z
=→证明在时的极限不存在
()f z =
(,)(,)0,u x y v x y == , z y kx =当沿直线趋于零时
000
lim (,)x x x x y kx
y kx
u x y →→→→======
例4. () (0) 0 z
f z z z z
=≠→证明函数当时的极限不存在。
解： ,
()z x iy f z u iv =+=+令22
22
(,),x y u x y x y
-=+则222(,),xy v x y x y =+ , z y kx =当沿直线趋于零时222
022lim (,)lim
,1x x y kx
y kx
xy k
v x y x y k →→====++
三、函数的连续性
定义：若0
0lim ()()z z f z f z →=，则称()f z 在处连续；若在区域D 内处处连续，则称
()f z 在D 内连续；若0z z C ∈、，且0
0lim ()()z z f z
f z →=，则称()f z 在曲线C 上点0z 处连续。
注：三要素 由定义、有极限、极限值等于函数值。
定理三、()(,)(,)f z u x y iv x y =+在000z x iy =+处连续000000(,)(,)00(,)(,)
lim
(,)(,)lim
(,)(,)
x y x y x y x y u x y u x y v x y v x y →→=⇔
=
例1.00: () , () .f z z f z z 证明如果在连续那末在也连续
证： ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-，0 () , f z z 由在连续于是00 (,) (,) (, ), u x y v x y x y -和也在处连续0 () f z z 故在连续。
例2.2222()ln()()f z x y i x y =++-
解：22(,)ln()u x y x y =+在复平面内除原点外处处连续22(,)v x y x y =-。
在复平面处处联系。
(,) . f x y 故在复平面内除原点外处处连续 例3.证明()arg f z z =在原点及负实轴上不连续。
(1)()arg f z z = 在原点没有定义，故不连续。
00
0(2) (,0)(0),lim arg , lim arg y y x x x x P x x z z ππ
+-→→→→∀<==- 在负实轴上arg z ∴在负实轴上不连续。
定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数;连续函数的
复合函数仍为连续函数。
由以上讨论01()n n P z a a z a z ⇒=+++ 在整个复平面内连续；()
()()
P z R z Q z =在复平面内除分母为零点外处处连续。
设曲线C 为闭曲线或端点包括在内的曲线段，若()f z 在曲线C 上连续，
0M ⇒∃>在曲线上恒有()f z M ≤.。