1.6复数的极限及连续性

1.6复数的极限及连续性

一.函数的极限

定义：若存在数A ，0)

0,,δρεδ

ε<≤∀>∃（（）当00z z δ<-<时，有()f z A ε-<，则称A 为()f z 为0z z →时的极限，记作0

lim ()z z f z A →=或当0z z →时，()f z A →。

通俗定义：设函数0(),(,)w f z z U z ρ=∈ ，如果)()(lim 00

z f z f z z =→成立，则称)

(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。

几何意义: 当变点z 一旦进入0z 的充分小去心邻域时,它的象点()f z 就落入A 的一个预先给定的ε邻域中

注：1.意义中0z z →的方式是任意的。与一元函数相比较要求更高。 2. A 是复数；若()f z 在z 出有极限，则极限是唯一。 二、极限的运算法则

复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理一.如果000iy x z +=，则

00

000

00,0000,lim

(,)(,)lim ()lim (,)(,)x x y y z z x x y y u x y u x y f z A u iv v x y v x y →→→→→=⎧⎪==+⇔⎨=⎪⎩

即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。

定理二.若0

lim ()lim ()z z z z f z A g z B →→==，则：

[]0

lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z A B →→→±=±=±

lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z AB →→→==

0000

lim ()()lim (lim ()0)()lim ()z z

z z z z z z f z f z A g z g z g z B

→→→→=≠= 以上定理用极限的定义去证。

例1.22()w x y i x y =+++试证在平面上处处有极限 证明：22,x y x y ++ 在平面上处处有极限 例2.()0z z f z z z z

=+→求在时的极限

证明：2222

2()

()x y f z x y -=+ 在(0,0)处的极限不存在。 例3.Re ()0z

f z z z

=→证明在时的极限不存在

()f z =

(,)(,)0,u x y v x y == , z y kx =当沿直线趋于零时

000

lim (,)x x x x y kx

y kx

u x y →→→→======

例4. () (0) 0 z

f z z z z

=≠→证明函数当时的极限不存在。 解： ,

()z x iy f z u iv =+=+令22

22

(,),x y u x y x y

-=+则222(,),xy v x y x y =+ , z y kx =当沿直线趋于零时222

022lim (,)lim

,1x x y kx

y kx

xy k

v x y x y k →→====++

三、函数的连续性

定义：若0

0lim ()()z z f z f z →=，则称()f z 在处连续；若在区域D 内处处连续，则称

()f z 在D 内连续；若0z z C ∈、，且0

0lim ()()z z f z

f z →=，则称()f z 在曲线C 上点0z 处连续。

注：三要素 由定义、有极限、极限值等于函数值。

定理三、()(,)(,)f z u x y iv x y =+在000z x iy =+处连续000000(,)(,)00(,)(,)

lim

(,)(,)lim

(,)(,)

x y x y x y x y u x y u x y v x y v x y →→=⇔

=

例1.00: () , () .f z z f z z 证明如果在连续那末在也连续

证： ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-，0 () , f z z 由在连续于是00 (,) (,) (, ), u x y v x y x y -和也在处连续0 () f z z 故在连续。 例2.2222()ln()()f z x y i x y =++-

解：22(,)ln()u x y x y =+在复平面内除原点外处处连续22(,)v x y x y =-。在复平面处处联系。 (,) . f x y 故在复平面内除原点外处处连续 例3.证明()arg f z z =在原点及负实轴上不连续。 (1)()arg f z z = 在原点没有定义，故不连续。

00

0(2) (,0)(0),lim arg , lim arg y y x x x x P x x z z ππ

+-→→→→∀<==- 在负实轴上arg z ∴在负实轴上不连续。

定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数;连续函数的

复合函数仍为连续函数。

由以上讨论01()n n P z a a z a z ⇒=+++ 在整个复平面内连续；()

()()

P z R z Q z =在复平面内除分母为零点外处处连续。

设曲线C 为闭曲线或端点包括在内的曲线段，若()f z 在曲线C 上连续，

0M ⇒∃>在曲线上恒有()f z M ≤.