《公司金融》第三章

i 1 j1

n n
w i w jij min

约束条件： n
(1)
wi 1 (2) i 1 返回
n
i 1
w i ri r
投资组合方差表达式
Var (X Y Z) Var[X (Y Z)] Var (X ) Cov (X, Y Z) Cov (Y Z, X ) Var (Y Z) Var (X ) Cov (X, Y ) Cov (X, Z) Cov (Y, X ) Var (Y Z) Cov ( Z, X ) Var (X ) Cov (X, Y ) Cov (X, Z) Cov (Y, X ) Var (Y ) Cov (Y, Z) Cov ( Z, X ) Cov ( Z, Y ) Var ( Z)
~ w ~ w ~ ... w ~ rP 1r 1 2r 2 nr n
i 1

n
wi~ ri
i 1

rP E(~) w1r1 w 2 r2 ... w n rn r
• 该投资组合的方差为：
(投资组合方差表达式)
n
w i ri
P
2
Var (~ ) r
Var(X Y) Var(X) Cov (X, Y) Cov (Y, X) Var(Y)
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二、投资组合的有效集
1.两种资产组合的有效集 2.多种资产组合的有效集
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21
1.两种资产组合的问题描述
• 假设投资组合只有两种资产：x和y，它们的期望收益率、 方差、协方差和投资权重等信息见表3-8，若x是低风险 资产，y是高风险资产，则有：
P56-57：例3-1
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2.平均收益率
• 算术平均收益率(arithmetic averaging)：投
资期内所获得的现金流入不进行追加投资。
N

rAA t 1 N
rt
• 几何平均收益率(geometric averaging)：投资
期内所获得的现金流入进行追加投资。
rGA N (1 r1 )(1 r2 ) (1 rN ) 1 N 1 r 1
收益率方差的无偏估计量（样本方差）：
假设未来投资收益率与已实现的投资收益率(历史投 资收益率)分布于同一个概率空间，并且是独立同 分布的，那么， 样本均值是期望收益率的无偏估计量； 调整后的样本方差是收益率方差的无偏估计量
1 N ~) ˆ (~)]2 [r (r ˆ N i E r N 1i1
•rAA和rGA哪个更接近正确的贴现率？
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3.期望收益率
• 期望收益率(expected rate of return)：未来 收益是随机变量， ~ ~
~ P t Ct Pt 1 rt Pt 1

以未来投资收益率的概率均值作为投资收益率 的预期： N
E(~ t ) r
i 1
Pti rti
一、投资组合问题
2.投资组合问题的描述：
• 假定有n种资产构成的投资组合， (X1,X2,…,Xn) 第i种资产占总投资额的权重为 wi,i=1,2,…,n, ∑wi=1； 第i种资产的期望收益率、方差、协方差见表 3-5、表3-6；
投资组合问题
• 该投资组合的收益率为：
• 该投资组合的期望收益率为：
R CF
N i 1

Ci CF0 或：R CF
N i 1

FV(Ci ) CF0
• 投资收益率(rate of return)：投资收益相对
期初投资的百分比，又称持有收益率(holding period return)
r
CF
N i 1

Ci CF0
或：r
CF
• 风险程度：不确定性大小
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10
2.风险度量
• 方差：投资收益率的取值偏离期望值的程度
~ ) 2 (~ ) E ~ E(~ )2 Var( r r r r
• 标准差：
N i 1



~ )]2 Pi [ri E( r
(~ ) Var (~ ) r r
方差的无偏估计量
y
2
2 2
x y
x y
2
所对应的两资产组合点 方差最小 MV
两资产组合模型的求解： -1<ρ<1
随着w由1 y2 x y
2 2
，
两资产组合方差逐渐减少，至MV点方差最小； 两资产组合期望收益率逐步增大。
随着w由
y2 x y
2 2
0，
两资产组合方差逐渐增加，至点2方差最大； 两资产组合期望收益率逐步增大，至点2期望收益率最大。
0 x 2 y 2 ; 0 rx ry 1 xy xy x y 1
• 投资组合问题简化为：寻找最佳权重w，使得目标函数 P 2 Var(~ ) min r 即：
w x (1 w ) y 2 w (1 w ) xy min
2
协方差和相关系数
• 协方差：度量一种证券与另一种证券收益之间的相互关
系的指标。
ij
• 相关系数：
i , j1

n
~ r )( ~ r ) P ( ri i rj j ij
ij
ij i j
协方差的两个重要的性质
(1). Var(X Y) Var (X) Var(Y) 2Cov (X, Y) Var (X) Cov (X, Y) Cov (Y, X) Var (Y)
• 该投资组合的标准差为：
i 1 j1

n n
w i w jij
P Var(~) r
投资组合问题
则投资组合问题可以表述为： 在所有的可行集中，寻找最佳的投资权重：
(w1, w 2 , ... , w n )
使得该组合（在同等收益率时）的风险最小，目标函 数为：
P
2
Var(~ ) r
• 期望收益率可以用统计方法来估算：无偏估计量
估计量
估计量：由于不能观测到经济现象总体的特征,如期望
值、方差，根据样本的N个个体,确定某一法则(函数),以这 个值来估计总体特征.这个函数就是估计量.
估计量是随机变量的函数,因而也是随机变量.
例：要推测随机变量X总体的期望值μ或EX,随机抽出N个个
2 2 2 2
w x (1 w ) y
显然，此时，两资产组合位于点1和点2的连线上: • 两资产组合具有最大方差 • 随着w由1→0，p由x → y r由rx ry • w的有效集为：1→0
两资产组合模型的求解： ρ=-1
第二种情况：ρ=-1，即资产x和y完全负相关， 则：两资产组合的标准差为：
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4.要求收益率
• 要求收益率(required rate of return)：
投资者在某项投资时所要求的回报率。 • 在完善的市场，无套利均衡条件下：
r R= r E
rR：要求收益率 rE ：期望收益率
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9
1.风险的含义
• 风险(risk)：指未来状态或结果的不确定性。
不包括该不确定性造成的后果。
两资产组合模型的求解： -1<ρ<1
显然， -1<ρ<+1时， • 两资产组合位于点1到MV，再到点2的曲 线上，有效集位于点MV到点2的曲线上。 • W的有效解集为：
w由
y
2
x y
2
2
0
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2.多种资产组合的有效集
• 将两资产推广到n种资产 • 所有的组合都处于一个“破鸡蛋壳”区 域内 • 有效集位于M点至A • M点称为最小方差组合
2 2 2
两资产组合模型的求解： ρ=1
第一种情况：ρ=1，即资产x和y完全正相关，则： 两资产组合的标准差为：
p p 2 w 2 x 2 (1 w ) 2 y 2 2w (1 w ) xy w x (1 w ) y 2w (1 w ) x y
p p w x (1 w ) y 2w (1 w ) xy
2 2 2 2 2
w x (1 w ) y 2w (1 w ) x y
2 2 2 2
[ w x (1 w ) y ]
2
两资产组合模型的求解： ρ=-1
体:X1 , X2 , · XN,以样本均值 · ·,
1 N 由于每个Xi都是随机变量,因此估计量 X ˆ i N i 1 也是随机变量.
作为μ的估计量.
ˆ (X) f (X1, X 2 , , X N ) 1 N Xi E ˆ N i1
期望收益率的无偏估计量
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30
三、分散化投资组合和风险
1.多种资产组合投资的效应 对于N种资产组合，若组合中所有的资产方差 相同，所有资产之间的协方差相同，每种资 产权重相同，w=1/N，则易推导出投资组合 的方差极限为平均协方差。 P67 平均协方差：剩余风险或系统性风险，是分 散投资无法规避的。
31
三、分散化投资组合和风险
N i 1

FV (Ci ) CF0 CF0
CF0
1.收益和收益率的含义
• 年度收益率：由于“持有收益率”不适用于投资 期不同的项目，可将r换算为年度收益率：
1 r (1 r1 )(1 r2 ) (1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ rN )
年度投资收益率由当年投资收益和利得或损失决定：
Pt C t Pt 1 rt Pt 1
显然，此时，若取
w
y x y
• 此时的组合点C位于纵轴上，两资产组合具有0方差
随着w由1 y x y ，
2
两资产组合方差由 x 0 x 两资产组合期望收益率由rx rx ry x y x y y
两资产组合模型的求解： ρ=-1
随着w由 y x y 0，
2.风险分散化的局限性 非系统风险：可以分散化的风险； 系统风险（市场风险）：无法分散化的风 险——平均协方差 P68：图3-3
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32
四、资本市场线
1、无风险资产和风险资产的组合
2、资本市场线
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33
1.无风险资产和风险资产的组合
期望收 益率r
第三章 风险和收益
第一节 收益和风险的概念
第二节 投资组合理论
第三节 资本资产定价模型 第四节 项目贴现率
1
第一节 收益和风险的概念
一、收益 1.收益和收益率的含义 2.平均收益率 3.期望收益率 4.要求收益率 二、风险 1.风险的含义 2.风险度量
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2
1.收益和收益率的含义
投资收益的两种形式： • 投资收益额(return)：投资收益的绝对额
(2). Cov (X Y, Z) Cov (X, Z) Cov (Y, Z)
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第二节 投资组合理论
一、投资组合问题 二、投资组合的有效集 三、分散化投资组合和风险 四、资本市场线
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一、投资组合问题
1.什么是投资组合？ 投资组合(Portfolio)：投资目标为多个金融资产
组合投资的准则： • 在期望收益率一定的情况下，偏好风险最低的 投资组合 • 在风险一定的情况下，偏好期望收益率最大的 投资组合
如果估计量与参数估计的偏差为0：
E() 0 或 E() ˆ ˆ
那么，该估计量就是无偏估计量
期望收益率的无偏估计量（样本均值）： 假设未来投资收益率与已实现的投资收益率分布于同 一个概率空间，并且是独立同分布的，那么 1 N ˆ rt E(~ ) rt i N i1 是未来投资收益率的无偏估计量。
两资产组合方差由 0 y 2 x 两资产组合期望收益率 由 rx ry ry x y x y y
显然， ρ=-1时， • 两资产组合位于点1到C，再到点2的折线上，有效集 位于点C到点2的直线上。 y • W的有效解集为： w由 0
x y
两资产组合模型的求解： -1<ρ<1
第三种情况：-1<ρ<1，假设ρ=0， 即资产x和y完全独立，则两资产组合的标准差为：
p p w x (1 w ) y 2w (1 w ) xy
2 2 2 2 2
w x (1 w ) y
2 2 2
2
令
w
dp
2
dw
y2
2
0,
解得： w