初中数学三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)

合集下载

初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线

三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。

2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。

【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。

【本节知识点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.三角形的中垂线的性质及定理一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右上图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.图6EDCA3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在_____上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm四、解答题如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF. 一题多变例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

经典初中数学三角形专题训练及例题解析

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=10cm ，则AC 等于（）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm 4．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )．A ．40︒B ．70︒C ．40︒或70︒D ．50︒或70︒5．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（）A ．13B ．12C ．32D ．26．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（）A ．3B ．5C ．5D ．78．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB ∠的度数为（）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A ．65°B ．105°C ．55°或105°D ．65°或115°11．如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，若100BAC ∠=︒，则EAG ∠的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°12．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．:DACABCSS＝1：2二、填空题13．如图，在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，若∠BOC ＝80°，则∠A ＝_____．14．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形ABCD ，经测量，3m AB =，4m BC =，12m CD =，13m DA =，90B ∠=︒．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．15．在锐角ABC 中，AB AC =，CE 是高，且36ECA ∠=︒，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若ABC CDA △△≌，则DAE ∠的度数为______．16．如图，80AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为________．17．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③BFD CED S BFS CE∆∆=；④EF//BC ；一定成立的结论是______（请将正确结论的序号填在横线上）18．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP =，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．19．如图，//AB CD 、BAC ∠的平分线AP 与ACD ∠的平分线CP 相交于点P ，作PE AC ⊥于点E ．若3PE =，则两平行线AB 与CD 间的距离为________ ．20．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．三、解答题21．如图，ABC ，其中AC BC >．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线交AC 于点P （要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）若8,AB PBC =的周长为13，求ABC 的周长；（3）在（2）的条件下，若ABC 是等腰三角形，直接写出ABC 的三条边的长度． 22．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A 的坐标是（-1，0），B 点坐标是（-3，1），C 点坐标是（-2，3）．（1）作△ABC 关于y 轴对称的图形△DEF ，其中A 、B 、C 的对应点分别为D 、E 、F ；（2）动点P 的坐标为（0，t ），当t 为何值时，PA ＋PC 的值最小，并写出PA ＋PC 的最小值；（3）在（1）的条件下，点Q 为x 轴上的动点，当△QDE 为等腰三角形，请直接写出Q 点的坐标．23．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，40BAC ∠=，12∠=∠．解答下列问题：（1）求1∠度数；（2）求4ACE∠∠的值． 24．如图，等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ．（1）如图①，点E 为AB 的中点，求证：AE=DB ．（2）如图②，点E 在边AB 上时，AE DB （填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若AB=1，AE=2时，直接写出CD 的长．25．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l 1交BC 于点D ，AC 边的垂直平分线l 2交BC 于点E ，l 1与l 2相交于点O ，连接OB ，OC ，若△ADE 的周长为6 cm ，△OBC 的周长为16 cm ．（1）求线段BC 的长；（2）连接OA ，求线段OA 的长；（3）若∠BAC ＝120°，求∠DAE 的度数．26．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠AB C交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=12∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．D解析：D【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12 AE．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=10(cm)，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×10=5(cm)．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．4．C解析：C 【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【详解】当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040702；当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒；故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解．5．C解析：C 【分析】过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可．【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ，//PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒，APF ∴∆是等边三角形， AP PF AF ∴==， PE AC ⊥， AE EF ∴=，AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中 PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，EF FD AE CD ∴+=+， 12AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，32DE ∴=，故选：C ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．6．A解析：A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案．【详解】过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵∠A=∠BDC=90° ，又∵∠C ＋∠BDC ＋∠DBC ＝180°，∠ADB ＋∠A ＋∠ABD ＝180°，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，又∵AD ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴AD ＝DH ，又∵AD ＝3，∴DH ＝3，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长等于3，即DP 长的最小值为3，故DP 的长不可能是2，【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．7．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．8．B解析：B【分析】由△ABC 为等边三角形，可求出∠BOA =90°，由△ADO 是等腰三角形求出∠ADO =∠AOD =30°，即可求出∠BOD 的度数．【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BO 为中线，∴∠BOA ＝90°，∠BAC ＝60°∴∠CAD ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣60°＝120°，∵AD ＝AO ，∴∠ADO =∠AOD =30°，∴∠BOD ＝∠BOA +∠AOD ＝90°+30°＝120°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．9．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．B解析：B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°−80°＝20°，故选B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=︒，可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用ACD ACD ABC ACD ABD S S S S S =+ ，可判断,D 从而可得答案．【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴=11,,22ACD ABD S AC CD S AB DF ∴== 121122ACDACD ABC ACD ABD AC CD SS S S S AC CD AB DF ∴==++ 1.233AC AC AC AC AB AC AC AC ====++ 故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．40°【分析】连接OA根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°根据线段垂直平分线的性质得到AO=BOAO=CO根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：连接OA∵∠BOC＝80°∴∠OBC解析：40°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠B AC＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．3600【分析】连接AC根据勾股定理的性质计算得AC；根据勾股定理的逆定理推导得计算得从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元通过计算即可得到答案【详解】如图连接AC∵∴∵∴∴∴∴四边形面积为：∵解析：3600【分析】S；根据勾股定理的逆定理，推导得连接AC，根据勾股定理的性质，计算得AC、ABCS，从而得四边形ABCD面积；结合草坪每平方米100元，通∠=︒，计算得ACD90ACD过计算即可得到答案．【详解】如图，连接AC∵3m AB =，4m BC =，90B ∠=︒ ∴225AC AB BC m +=，2162ABC S AB BC m =⨯=△ ∵12m CD =，13m DA =∴22222512169DA AC CD =+=+=∴90ACD ∠=︒ ∴21302ACD S AC CD m =⨯=△ ∴四边形ABCD 面积为：236ABC ACD S S m +=△△∵草坪每平方米100元∴铺满这块空地需花：361003600⨯=元，故答案为：3600．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．15．117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可【详解】如图所示∵在△ABC 中AB ＝ACCE 是高且∠ECA ＝36°∴∠BAC ＝90°-36°=54°∠ACB ＝∠ABC ＝63°∵△解析：117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．【详解】如图所示，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，∴∠BAC ＝90°-36°=54°，∠ACB ＝∠ABC ＝63°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝63°，∴∠DAE ＝∠CAD+∠BAC ＝63°+54°＝117°，同理，∠D1AE＝∠CAD1-∠BAC=63°-54°=9°，故答案为：117°或9°【点睛】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．16．40°或70°或100°【分析】求出∠AOC根据等腰得出三种情况OE＝CEOC＝OEOC＝CE根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：∵∠AOB＝80°OC平分∠AOB∴∠AOC＝4解析：40°或70°或100°【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝40°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝40°，∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝12（180°﹣40°）＝70°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝40°；故答案为：100°或70°或40°．【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．17．①②③【分析】由三角形ABC 中∠BAC 的平分线交BC 于点D 过点D 作DE ⊥ACDF ⊥AB 根据角平分线的性质可得DE=DF ∠ADE=∠ADF 然后根据全等三角形的性质可得AF=AE 继而证得①∠AFE=∠A解析：①②③【分析】由三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，根据角平分线的性质，可得DE=DF ，∠ADE=∠ADF ，然后根据全等三角形的性质，可得AF=AE ，继而证得①∠AFE=∠AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分EF ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFD CED S BF S CE ∆∆=，EF 平行BC 不能判断，于是可得④ ．【详解】解：①∵三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠ADE=∠ADF ，DF=DE ，∵AD=AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF ，故正确；②∵DF=DE ，AF=AE ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ，故正确；③∵12BFD DF S BF ∆=•，S △CDE =12CE DE •，DF=DE ， ∴BFD CED S BF S CE∆∆=；故正确； ④∵∠EFD 不一定等于∠BDF ，∴EF 不一定平行BC ．故错误．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．6【分析】作点P 关于OA 的对称点P1点P 关于OB 的对称点P2连结P1P2与OA 的交点即为点M 与OB 的交点即为点N 则此时MN 符合题意求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P 关于OA 的对称点P1点P 关解析：6【分析】作点P 关于OA 的对称点P 1，点P 关于OB 的对称点P 2，连结P 1P 2，与OA 的交点即为点M ，与OB 的交点即为点N ，则此时M 、N 符合题意，求出线段P 1P 2的长即可．【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故答案是：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．19．6【分析】先过点P作FG⊥AB可以得到FG⊥CD根据角平分线的性质可得OE=OF=OG即可求得AB与CD之间的距离【详解】解：过点P作FG⊥AB即PF⊥AB∵AB∥CD∴FG⊥CD即PG⊥CD∴FG解析：6【分析】先过点P作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．【详解】解：过点P作FG⊥AB，即PF⊥AB．∵AB∥CD，∴FG⊥CD，即PG⊥CD．∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点P，PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥CD．∴PE=PF，PE =PG，∴PE=PF=PG，∴AB与CD之间的距离=2•PE=2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB 与CD 之间的距离是正确解决本题的关键．20．【分析】先利用同角的余角相等得到=再通过证得到即再利用三角形内角和得可得最后利用角的和差即可得到答案=【详解】证明：∵∴∴=又∵∴∴即∵∴即∴=故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质内角和定理解析：=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）画图见解析；（2）△ABC 的周长=21；（3）AB=8，AC=8，BC=5．【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得AP =BP ，从而得出AC +BC 的值，再根据AB =8，即可求得△ABC 的周长；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）如图所示：即PQ 为所求；；（2）如图所示：∵AB的垂直平分线交AC于点P，∴PA=PB，∵△PBC的周长为13，∴PB+PC+BC=13，∴PA+PC+BC=13，即AC+BC=13，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+13=21；（3）∵AC＞BC，∴分两种情况，①AC=AB=8时，BC=21-AC-BC=21-8-8=5；②BC=AB=8时，AC=21-AB-BC=21-8-8=5，∵AC＞BC，∴不合题意舍去；综上所述，若△ABC是等腰三角形，△ABC的三条边的长度为AB=8，AC=8，BC=5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图、三角形周长等知识．本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）t=1，最小值为323）Q（51，051，0）或（5，0）或（94，0）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点D ，E ，F 即可．（2）连接CD 交y 轴于点P ，连接PC ，点P 即为所求作．（3）根据等腰三角形的判定画出图形分类求解即可．【详解】解：（1）如图，△DEF 即为所求作；（2）如图，点P 即为所求作，点P 的坐标为（0，1），∴当1t =时，PA ＋PC 的值最小，最小值为CD=223332+=；（3）DE 22215=+=，如图，当5Q 的坐标为：Q 1（51，0），Q 251，0）；当5Q 的坐标为：Q 3（5，0）；当DQ=EQ 时，设Q （m ，0），∵D （1，0），E （3，1），2DQ =2EQ ，∴()()222131m m -=-+，解得：94m =． ∴Q 4（94，0）；综上，满足条件的点Q 的坐标为：（1，01，0）或（5，0）或（94，0）．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）70°；（2）32 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ，再利用平角定义可得∠BCF =90°，进而可得CB ⊥CF ，计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；（2）利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，根据∠4的度数可得结果．【详解】解：（1）∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，∴∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ， ∵∠ACG +∠ACD =180°，∴∠ACF +∠ACB =90°，∴CB ⊥CF ，∵∠BAC =40°，∵CD//AB ，∴∠ACG =40°，∴∠ACF =20°，∴∠ACB =90°-20°=70°，∴∠BCD =70°，∵CD ∥AB ，∴∠2=∠BCD =70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°；（2）∵∠BCD =70°，∴∠ACB =70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE =30°，∵CF 平分∠ACG ，∴∠ACF =∠4=20°， ∴4ACE ∠∠=3020︒︒=32．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．24．（1）见解析；（2）=，理由见解析；（3）1或3【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD=BE，等量代换证明结论；（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，∴CE为∠ACB的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12×60°=30°．∵ED=EC，∴∠D=∠DCE=30°，∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，∴∠DEB=30°，∴BD=BE，∵AE=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AB=AC，∴BE=CF，∴∠DBE=∠EFC=120°，在△DBE 和△EFC 中，DE EC DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴EF=DB ，∵AE=EF ，∴AE=DB ；故答案为：=；（3）当点E 在BA 的延长线上时，如图③，作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，∴∠CEF=60°+∠BEC ，∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠CEF=∠EDB ，在△CEF 和△EDB 中，603CEF EDB F B EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD-BC=1，当点E 在AB 的延长线上时，如图，作EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，∴∠CEF=60°-∠AEC ，∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC ，∴∠CEF=∠D ，在△CEF 和△EDB 中，601CEF D F DBE EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD+BC=3，综上所述，CD=1或3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（1）6 cm ；（2）5 cm ；（3）∠DAE ＝60°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到OA ＝OB ，OA ＝OC ，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据∠BAC ＝120°，得到∠ABC ＋∠ACB ＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，从而得到∠BAD ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠ACB ，继而求得∠DAE 的度数．【详解】解：（1）∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴DA ＝DB ，∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA ＋DE ＋EA ＝6 cm ．（2）连接OA ，∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB＋OC＋BC＝16 cm，BC＝6 cm，∴OA＝OB＝OC＝5 cm．（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．26．（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠AB C，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=12×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=12FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=12∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【详解】证明(1)∵BD平分∠AB C，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=1× 180°=90°，2∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=1FM，2∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=1∠ABC=22.5°，2∠ABC=∠ABC，∴∠MNC=2∠NFH=2×12∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．。

初中数学复习几何模型专题讲解4---等腰直角三角形构造三垂直模型

初中数学复习几何模型专题讲解专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；【答案】（1）k= 43，y=23x+2；（2）P(1，0)；（3）（﹣5，3）或（﹣2，5）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）作点B关于x轴对称的点B＇，连接B＇C，交x轴于点P，此时PB+PC最小，求出直线B＇C的解析式，求出直线B＇C与x轴的交点坐标即可；（3）分两种情况讨论：①当∠DAB=90°时；②当∠D＇BA=90°时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即可．【详解】解：（1）由题意，将点C(3，4)代入y=kx 中，得：4=3k ，解得：k= 43，再将点C(3，4)、点A （﹣3，0）代入y ＝k 1x ＋b 中，得：113034k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：1232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数y ＝k 1x ＋b 的解析式为：y=23x+2；（2）如图，作点B 关于x 轴对称的点B ＇，连接B ＇C ，交x 轴于点P ，此时PB+PC 最小，在y=23x+2中，令x=0，则y=2， ∴B(0，2)，则B ＇（0，﹣2），设直线B ＇C 的解析式为y ＝k 2x ﹣2，将C （3，4）代入得：4=3k 2﹣2，解得：k 2=2，∴直线B ＇C 的解析式为y ＝2x ﹣2，令y=0，由0=2x ﹣2得：x=1，∴点P 坐标为（1，0）；（3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况：①当∠DAB=90°时，DA=AB ，过点D作DM⊥x轴于E，∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAM=∠ABO，∵∠DMA=∠AOB=90°，DA=AB，∴△DAM≌△ABO(AAS)，∴DM=OA=3，MA=OB=2，∴D(﹣5，3)；②当∠D＇BA=90°时，D＇B=AB，过D＇作D＇N⊥y轴于N，同理可证△D＇BN≌△BAO(AAS)，∴BN=OA=3，D＇N=OB=2，∴D＇（﹣2，5），故点D的坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）．【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键．2．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC BCE AC BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．4．已知，A（-1，0）．（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．①求C点的坐标；②在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使△PAB 与△ABC 全等？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，设M （a ，b ），求a-b 的值．【答案】（1）①()2,3C -；②存在，()2,1P 或()1,1-或()3,1-；（2）1．【分析】（1）作CD ⊥y 轴于D ，证△CEB ≌△BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF ⊥y 轴于F ，证△EFM ≌△AOE ，求出EF ，即可得出答案．【详解】（1）①作CE ⊥y 轴于E ，如图1，∵A （-1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴∠ECB=∠ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBE ≌△BAO ，∴CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，∴C （-2，3）．②存在一点P ，使PAB △与ABC 全等，分为三种情况：①如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=，90EPA PAE ∴∠+∠=，90PAE BAO ∠+∠=，EPA BAO ∴∠=∠，在PEA 和AOB 中EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEA ∴≌AOB ，1PE AO ∴==，2EA BO ==，123OE ∴=+=，即P 的坐标是()3,1-；②如图3，过C 作CM x ⊥轴于M ，过P 作PE x ⊥轴于E ，则90CMA PEA ∠=∠=， CBA ≌PBA ，45PAB CAB ∴∠=∠=，AC AP =，90CAP ∴∠=，90MCA CAM ∴∠+∠=，90CAM PAE ∠+∠=， MCA PAE ∴∠=∠，在CMA 和AEP △中，CMA PEA AC AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMA ∴≌AEP △，PE AM ∴=，CM AE =，()2,3C -，()1,0A -，211PE ∴=-=，0312OE AE A =-=-=，即P 的坐标是()2,1；③如图4，过P 作PE x ⊥轴于E ，CBA ≌PAB △，AB AP =∴，90CBA BAP ∠=∠=，则90AEP AOB ∠=∠=，90BAO PAE ∴∠+∠=，90PAE APE ∠+∠=，BAO APE ∴∠=∠，在AOB 和PEA 中，AOB PEA AB AP ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB ∴≌PEA ，1PE AO ∴==，2AE OB ==，0211E AE AO ∴=-=-=，即P 的坐标是()1,1-，综合上述：符合条件的P 的坐标是()3,1-或()1,1-或()2,1．（2）过M 作MF y ⊥轴于F ，得到下图5∵(),M a b∴,MF a FO b ==，由上图得：90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=，90AEO MEF ∠+∠=，90MEF EMF ∠+∠=，AEO EMF ∴∠=∠，在AOE △和EMF △中AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEO ∴≌()EMF AAS ，1EF AO ∴==，MF OE =，MN x ⊥轴，MF y ⊥轴，90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=，∴四边形FONM 是矩形，MN OF ∴=，1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．5．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，如图，已知15DA =千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且90DHC ∠=︒，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【答案】H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得90A B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得D BHC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AH BC DA HB ===千米，最后根据线段的和差可得．【详解】由题意得：DH HC =，25AB =千米，,DA AB CB AB ⊥⊥，90A B ∴∠=∠=︒，90D AHD ∠∴∠+=︒，90DHC ∠=︒，18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒，D BHC ∴∠=∠，在ADH 和BHC △中，A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH BHC AAS ∴≅，,AH BC DA HB ∴==，15DA =千米，25AB =千米，15HB ∴=千米，10BC AH AB HB ∴==-=千米，答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图所示，在ABC ∆和DBC ∆中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF ⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD；（2）若BD=10厘米，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5厘米【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC＝12BD＝5厘米．【详解】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ；（2）∵△ABC ≌△EDB ，∴AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=10厘米，∴BE=12BC ＝12BD ＝5厘米．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．7．综合与实践特例研究：将矩形ABCD 和Rt CEF 按如图1放置，已知90,,,FCE AD CD CE CF CF CD ∠=︒==>，连接',BF DE ．()1如图1，当点D 在CF 上时，线段BF 与DE 之间的数量关系是__ ；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_ ；拓广探索：()2图2是由图1中的矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）,BF DE BF DE =⊥；（2）,BF DE BF DE =⊥，理由见解析【分析】()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED 交B F 于点G 先证△FBC ≌△EDC （SAS ），可知,BF DE CED CFB =∠=∠，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可，()2先下结论，,BF DE BF DE =⊥，再证明，证法与（1）类似，延长ED 交CF 于点,M 交FB 于点N ．由四边形ABCD 为矩形且AD=CD 可得CD CB =，()DCE BCF SAS ≅可推出,BF DE CED CFB =∠=∠．由90,FCE ∠=︒知90CME CED ∠+∠=︒．由,CME FMN ∠=∠可用等量代换得90,FMN CFB ∠+∠=︒由三角形内角和得90,FNE ∠=︒即可．【详解】解：()1,BF DE BF DE =⊥，延长ED交B F于点G，∵四边形ABCD为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，∴∠=∠=90º，BC CEF D由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），BF DE CED CFB=∠=∠，,∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，()2,=⊥，BF DE BF DE理由如下：M交FB于点N．如答图，延长ED交CF于点,，90FCE ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，BCD FCE ∴∠=∠，FCB FCD ECD FCD ∠+∠=∠+∠，FCB ECD ∴∠=∠，AD CD =，∴矩形ABCD 为正方形．CD CB ∴=，在DCE 和BCF △中，,,CD CB ECD FCB CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCE BCF SAS ∴≅．,BF DE CED CFB ∴=∠=∠．90,FCE ∠=︒90CME CED ∴∠+∠=︒．,CME FMN ∠=∠90,FMN CFB ∴∠+∠=︒90,FNE ∴∠=︒BF DE ∴⊥．【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 8．已知：在ABC 中，∠BAC =90°，AB ＝CA ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m 于点D ，CE ⊥直线m 于点E ．求证：BDA AEC ≅△△；【答案】证明见解析．【分析】先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得BAD ACE =∠∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】,BD m CE m ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，18090BAD CAE BAC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD ACE ∴∠=∠，在BDA 和AEC 中，ADB CEA BAD ACE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDA AEC AAS ∴≅．【点睛】本题考查了垂直的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．9．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，∠BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则∠1、∠2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，∠CAB 、∠CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．①试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；②若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为【答案】提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：①EM FN AB +=，理由见解析；②492．【分析】提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；②如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：①EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；②如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN S S S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCD S S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+，则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC的BC边上的高为h，则122ABCS BC h h=⋅=，在ABC中，CAB∠、CBA∠均为锐角，∴当90ACB∠=︒时，h取得最大值，最大值为3AC=，ABC∴面积的最大值为236ABCS=⨯=，则五边形EMNFC面积的最大值为2549 2622⨯+=，故答案为：492．【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．【答案】见解析【分析】根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt △ACE 和Rt △CBF 中，AC BC AE CF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACE ≌Rt △CBF （HL ），∴∠EAC ＝∠BCF ，∵∠EAC+∠ACE ＝90°，∴∠ACE+∠BCF ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ．（1）求证：MN ＝AM ＋BN ；（2）如图2，若过点C 作直线MN 与线段AB 相交，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N （AM ＞BN ），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB ，根据“AAS ”可证明△ACM ≌△CBN ，根据全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，则MN=MC+CN=AM+BN ．(2)根据已知条件能证得△ACM ≌△CBN ，利用全等的性质得到AM=CN ，CM=BN ，而MN=CN-CM=AM-BN ．【详解】解：(1)∵AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，∴∠AMC=∠CNB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠NCB=90°，∴∠MAC=∠NCB ，在△ACM 和△CBN 中，AMC CNB MAC NCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩\ ∴ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=MC+CN=AM+BN ．(2)题(1)中的结论不成立，同题(1)证明可知：ACM ≌△CBN ，∴AM=CN ，CM=BN ，∴MN=CN-CM=AM-BN ，【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，函数443y x =-+的图像分别交x 轴、y 轴于点A C 、，函数y ax b =+的图象分别交x 轴、y 轴于点,B C ，且4OC OB =，过点C 作射线//CR x 轴．（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 自点C 沿射线CR 以每秒1个单位长度运动，同时点Q 自点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设POC ∆的面积为S ，点Q 的运动时间为t （秒），求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P 作//PF CB ，交x 轴于点F ，连接QF ，在P Q 、运动的过程中，是否存在t 值，使得45PFQ ︒∠=，若存在，求t 值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）44y x =+；（2）()222055S t t t =-+<<；（3）存在，1511或257【分析】（1）利用待定系数法求出A ，C 两点坐标，再求出点B 坐标即可解决问题；（2）想办法用t 表示点Q 坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．【详解】解：（1）函数443y x =-+的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，C ， (3,0)A ∴，(0,4)C ，3OA =，4OC =，4OC OB =，1OB =∴，(1,0)B ∴-，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有40b k b =⎧⎨-+=⎩，解得44k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为44y x =+．（2）如图1中，由题意AQ PC t ==，易知3(35Q t -，4)5t ，2142(4)2(05)255S t t t t t ∴=-=-+<< （3）存在；情形①如图2中，取点(4,3)M ，连接CM ，BM ，作MG CR ⊥垂足为G 交OA 于K ，作QH OA ⊥垂足为H ．4CG CO ==，90CGM COB ∠=∠=︒，1MG BO ==()CGM COB ASA ∴≅△△，GCM OCB ∴∠=∠，CB CM =，90BCM OCG ∴∠=∠=︒，BCM ∴∆的等腰直角三角形，1345∴∠=∠=︒，//PF BC ，2145∴∠=∠=︒，445∠=︒，24∴∠=∠，//FQ BN ∴，QFH MBK ∴∠=∠，90QHF MKB ∠=∠=︒，QHF MKB ∴△∽△， ∴QH FH MK BK =，∴433(1)5535t t t ---=， 1511t ∴=．情形②如图3中，由2445∠=∠=︒，可知90MNF ∠=︒，由QHF BKM △∽△得到QH HF BK MK=， ∴43(4)5553t t t --=， 257t ∴=，综上所述1511t或257．【点睛】此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t 表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大．13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A （a ，0）、C （b ，c ），且a 、b 、c满足()2b 32c -++∣=0．（1）求点A 、C 的坐标；（2）在x 轴正半轴上有一点E ，使∠ECA ＝45°，求点E 的坐标；（3）如图2，若点F 、B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，且OB=OF ，点P 在第一象限内，连接PF ，过P 作PM ⊥PF 交y 轴于点M ，在PM 上截取PN=PF ，连接PO 、BN ，过P 作∠OPG=45°交BN 于点G ，求证：点G 是BN 的中点．【答案】（1）（-3，0）；（3，-2）；（2）（2，0）；（3）证明见详解【分析】（1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负性，求出a 、b 、c 的值，即可得出点A 、C 的坐标；（2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明ALG CKA S≌S ，求出点G 的坐标，由等面积法求出AE 长度即可求出点E 坐标；（3）作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，只要证明四边形ENPB 是平行四边形即可．【详解】（1()2b 32c -++∣=0，所以a=-3，b=3，c=-2，点A 坐标为（-3，0），点C 坐标为（3，-2），故答案为：（-3，0）；（3，-2）；（2）过点A 作AC 的垂线，交CE 的延长线于点G ，过点A 作x 轴的垂线KL ，过点C 作KL 的垂线于点K ，过点G 作KL 的垂线于点L ，过点G 作x 轴的垂线于M ，过点C作x 轴的垂线于N ，∵∠ECA ＝45°，AG ⊥AC ，∴∠CAG=90°，AG=AC ，△CAG 为等腰直角三角形，由一线三垂直模型可知，∠GAL=∠ACK ，在△ALG 和△CKA 中90GAL ACKAG A AC LG CKA ∠=∠∠=∠==︒⎧⎪⎨⎪⎩∴ALG CKA S ≌S ，∴AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2，∴GM=6，OM=3-2=1，∴点G 坐标为（-1，3），在Rt △ANC 中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，由等面积法，得11()22AC AG AE GM CN ⨯⨯=⨯⨯+，∴11822AE ⨯⨯⨯， ∴AE=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，故点E 坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（3）如图，作EO ⊥OP 交PG 的延长线于E ，连接EB 、EN 、PB ，∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，∴∠OEP=∠EPO=45°，∴EO=PO ，∵∠EOP=∠BOF=90°，∴∠EOB=∠POF ，在△EOB 和△POF 中，BO OF EOB POF OE OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOB ≌△POF ，∴EB=PF=PN ，∠1=∠OFP ，∵∠2+∠PMO=180°，∵∠MOF=∠MPF=90°，∴∠OMP+∠OFP=180°，∴∠2=∠OFP=∠1，∴EB ∥PN ，∵EB=PN ，∴四边形ENPB 是平行四边形，∴BG=GN ，即点G 是BN 的中点．【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，已知点(),0A a 、()0,C b 满足2(2)0+=a（1）直接写出：a =____________，b =________．（2）点B 为x 轴正半轴上一点，如图1，BE AC ⊥于点E ，交y 轴于点D ，连接OE ，若OE 平分AEB ∠，求直线BE 的解析式．（3）在（2）的条件下，点M 为直线BE 上一动点，连OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90︒，如图2，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由．【答案】（1）2-，5-；（2）2y x 25=-；（3）点N 的运动路线是直线32077=--y x ，理由见解析【分析】（1）根据题意得到关于a 、b 的方程，求a 、b 即可；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，分别证明EOC FOB ∆∆≌，AOC DOB ∆∆≌，得到OB OC =，OA OD =，确定点B 、D 坐标，利用待定系数法即可求解；（3）如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ，证明NOM ∆为等腰直角三角形，得到=OG MH ，=GM NH ，设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ，得到732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ，即752-=m x ，325--=m y ，消去m ，即可得到点N 运动轨迹．【详解】解：（1）由题意得a+2=0，b+5=0，解得a=2-，b=5-，故答案为：2-，5-；（2）如图1，过点O 作OF OE ⊥，交BE 于F ，∵BE AC ⊥，OE 平分AEB ∠，∴EOF ∆为等腰直角三角形，∴OE=OF ，∠BOF=∠COE=45°，∵BE AC ⊥于点E ，∴∠1+∠BAC=90°，∵∠2+∠BAC=90°，∴∠1=∠2，∴EOC FOB ∆∆≌，∴OB OC =，∵∠1=∠2, ∠AOC=∠DOB=90°，∴AOC DOB ∆∆≌，∴OA OD =，∵()2,0A -，()0,5C -，∴()0,2D -，()5,0B ，设直线BD 解析式为y kx b =+，∴250b k b =-⎧⎨+=⎩， ∴ 225b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴直线BD ，即直线BE 的解析式为2y x 25=-；（3）由题意得，NOM ∆为等腰直角三角形如图2，过点M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，过点N 作⊥NH GM 交GM 的延长线于H ， ∵NOM ∆为等腰直角三角形，∴≌∆∆GOM HMN ，∴=OG MH ，=GM NH ，由（2）得直线BD 的解析式2y x 25=-，设2,25⎛⎫- ⎪⎝⎭M m m ，则3,25--⎛⎫ ⎪⎝⎭H m m ， ∴732,255⎛⎫--- ⎪⎝⎭N m m ，令752-=m x ，325--=m y ， ∴32077=--y x ，即点N 的运动路线是直线32077=--y x ．【点睛】本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定系数法等，综合性强，根据题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键．15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．【答案】见解析．【分析】先由旋转的性质得到BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，再运用“AAS”证得△EDB≌△ABC 即可．【详解】证明：∵BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，∴BC＝BD，∠DBC＝90°＝∠CAB，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE，又∵∠CAB＝∠DEB＝90°，∴△EDB≌△ABC（AAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和旋转的性质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关键．16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案】（1）见解析；（2）7【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．【详解】解：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）DE=AD+BE，理由见详解；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解；（3）BE=AD+DE．【分析】（1）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（2）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，则有∠DAC=∠ECB，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证；（3）由题意易得∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠EBC+∠BCE=90°，则有∠ACD=∠CBE，进而可知△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解．【详解】解：（1）DE=AD+BE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠ECB=90°，∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，DE=DC+CE∴DE=AD+BE；（2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下：∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠CDA=∠BEC=90°，∠DCA+∠CAD=90°，∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，CE=DC+DE∴AD=BE+DE；（3）BE=AD+DE，理由如下：同理（2）的方法可得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CE=AD，CD=EC+DE∴BE=AD+DE．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．18．如图，在ABC 中∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若AD=2，BE=3，求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）132【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证出△ADC 和△CEB 全等即可；（2）由（1）可推出CD ＝BE ，AD ＝CE ，进而可得到AC=AB=△ABC 面积即可．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCE+∠CBE ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，在△ADC 和△CEB 中ADC=BEC ACD=CBE AC=BC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△ADC ≌△CEB∴BE ＝CD ，AD ＝CE ，AC=BC ，又AD=2，BE=3，∴∴△ABC 的面积为11322=，故△ABC 的面积为132．【点睛】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．二、填空题19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知90,ACB AC BC ∠=︒=，从三角尺的刻度可知20,AB cm AD =为三块砖的厚度，BE 为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________cm ．【答案】13【分析】设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3x ，BE=2x ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC ，利用AAS 即可证出△DAC ≌△ECB ，从而得出CD=BE=2xcm ，利用勾股定理列出方程即可求出x ．【详解】解：设砖块的厚度为xcm ，由题意可知：AD=3xcm ，BE=2xcm∵90,ACB AC BC ∠=︒=，20AB cm =∴222AC BC AB +=解得AC BC ==由题意可知：∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=90°∴∠DAC=∠ECB∴△DAC ≌△ECB∴CD=BE=2xcm在Rt △ADC 中，222AD DC AC +=即()()(22232x x +=解得：x=13．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定及性质是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC 是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．【答案】（5，7）【分析】依题∠BAC=90°，AB=AC，画出C点位置，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．【详解】解：如图：当∠BAC=90°，AB=AC时，过点C作CD⊥y轴于点D，在△OAB和△DCA中，AOB CDA OAB DCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OAB ≌△DCA （AAS ），∴AD=OB=2，CD=OA=5，∴OD=OA+AD=7，∴点C 的坐标为（5，7）；【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ． C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，垂足分别为D 、 E ，若BD=4，CE=2，则DE=___．【答案】6【分析】先证明∠DBA=∠CAE ，从而根据AAS 定理证明△BDA ≌△AEC ，根据全等三角形的性质可得AD=CE=2，AE=BD=4，进而得到答案．【详解】解：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD ⊥DE ，∴∠BDA=90°，∴∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠CAE ，∵CE ⊥DE ，∴∠AEC=90°，在△BDA 和△AEC 中，ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA ≌△AEC （AAS ），∴AD=CE=2，AE=BD=4，∴DE=AD+AE=2+4=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．22．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，已知BE a ⊥于点E ，DF a ⊥于点F ．若3BE =，8DF =，则线段EF 的长为______．【答案】11【分析】根据题意易得△AEB ≌△DFA ，则有BE=AF ，DF=AE ，进而问题可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∵BE a ⊥，DF a ⊥，∴∠DFA=∠AEB=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，又∵∠FAD+∠BAE=90°，∴∠ADF=∠BAE ，∴△AEB ≌△DFA ，∵3BE =，8DF =，∴BE=AF=3，DF=AE=8，∴EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【分析】根据题意过点E作EN⊥BM，垂足为点N，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，。

八年级下册数学期中好题必刷专题01 三角形的证明(北师大版)(解析版)

专题01 三角形的证明一、单选题1．（广东韶关·八年级期中）若三角形内一点到三边的距离相等,则这个点是（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点【答案】D【提示】根据角平分线的判定定理到角两边距离相等的点在角平分线上,得出到到三边的距离相等的点是三角形三个角的平分线交点即可．【解答】解：根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上,∴到到三边的距离相等的点是三角形三个角的平分线交点．故选择D．【点睛】本题考查角平分线的判定,以及角平分线交点的性质,掌握角平分线的判定与性质是解题关键．2．（湖北省直辖县级单位·八年级期中）如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB ＝10,S△ABD＝15,则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【提示】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC, ∴DE=CD,∴S△ABD=12AB×DE=12×10×DE=15,解得DE=3,∴CD=DE=3,故选：A．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质,能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．3．（黑龙江·牡丹江四中八年级期中）等腰三角形底边长为5,一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm,则腰长为（）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm【答案】C【提示】根据题意,画出图形,然后分两种情况讨论,即可求解．【解答】解：如图,CD为△ABC的中线,AB=AC,底边BC=5cm,∴AD=BD,根据题意得：当（AD+AC+CD）-（BD+BC+CD）=3cm时,则AC-BC=3cm,∴AB=AC=8cm；当（BD+BC+CD）-（AD+AC+CD）=3cm时,则BC -AC =3cm,∴AB=AC=2cm,∵4AB AC BC +=<,不合题意,舍去；综上所述,腰长为8cm ．故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 4．（山东济宁·八年级期中）如图,已知ABC 是等边三角形,点B ,C ,D ,E 在同一直线上,且CG CD =,DF DE =,则E ∠=（）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°【答案】C 【提示】由于△ABC 是等边三角形,那么∠B ＝∠1＝60°,而CD ＝CG ,那么∠CGD ＝∠2,而∠1是△CDG 的外角,可得∠1＝2∠2,同理有∠2＝2∠E ,等量代换有4∠E ＝60°,即可求得∠E ．【解答】解：如图所示,∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B ＝∠1＝60°, ∵CD ＝CG , ∴∠CGD ＝∠2,∴∠1＝∠CGD +∠2=2∠2, ∵DF =DE , ∴∠DFE =∠E ,∴∠2＝∠DFE +∠E =2∠E , ∴4∠E ＝60°, ∴∠E ＝15°．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2,∠2=2∠E ．5．（辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =15°,AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于E ,若DB =10cm,则CD 的长为（）A ．5B ．3C ．55D ．10【答案】B 【提示】利用线段垂直平分线的性质求得AD =BD =10 cm,及∠ADC =30°,再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【解答】解：∵AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于E , ∴AD =BD =10 cm,∠DBA =∠BAD =15°, ∴∠ADC =30°, ∴AC =12AD =5（cm ）,CD 222210553AD AC --=cm ）．故选：B 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形,勾股定理,解题的关键是：熟记含30°角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质．6．（重庆市凤鸣山中学八年级期中）如图,在ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒,AB 的中垂线DE 交AC 于点D ,交AB 于点E ,下述结论中正确的是（）A ．点D 是线段AC 的中点B ．AD BD BC == C ．BDC 的周长等于AB CD + D ．BD 平分EDC ∠【答案】B 【提示】由在△ABC 中,AB ＝AC ,∠A ＝36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC 与∠C 的度数,又由AB 的垂直平分线是DE ,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD ＝BD ,继而求得∠ABD 的度数,则可知BD 平分∠ABC ；可得△BCD 的周长等于AB ＋BC ,又可求得∠BDC 的度数,求得AD ＝BD ＝BC ,则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵36A ∠=︒,AB AC =, ∴72ABC C ∠=∠=︒, ∵DE 垂直平分AB , ∴AD BD =, ∴36ABD A ∠=∠=︒, ∴36DBC ∠=︒, ∵C DBC ∠>∠, ∴BD ＞CD , ∴AD ＞CD ,∴点D 不是线段AC 的中点,故A 错误； ∵∠DBC ＝36°,∠C ＝72°,∴∠BDC ＝180°−∠DBC −∠C ＝72°, ∴∠BDC ＝∠C , ∴BD ＝BC ,∴AD ＝BD ＝BC ,故B 正确；∴△BCD 的周长为：BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋CD ＋AD ＝BC ＋AC ＝BC ＋AB ,故C 错误； ∵在△ABC 中,AB ＝AC ,∠A ＝36°,∴∠ABC＝∠C＝180362︒-︒＝72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD＝BD,∴∠ABD＝∠A＝36°,∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°,∴72BCD BDC∠=∠=︒,∵9054EDB ABD∠=︒-∠=︒,∴EDB BDC∠≠∠,故D错误；故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强,但难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换．7．（江苏苏州·八年级期中）如图,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,△ABC是等边三角形,∠ADC＝30°,AD＝4,BD＝6,则CD的长为（）A．25B．5 C．2 D．213【答案】A【提示】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接CE,DE,由旋转的性质知DC=EC、∠DCE=∠ACB=60°、BD=AE=6,即可得△DCE为等边三角形,根据∠ADC=30°得到∠ADE=90°,根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图所示,将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接CE,DE,由旋转的性质知DC =EC ,∠DCE =∠ACB =60°,BD =AE =6, 则△DCE 为等边三角形, ∵∠ADC =30°, ∴∠ADE =90°, ∴AD 2+DE 2=AE 2, ∴42+DE 2=62, ∴DE =CD =25．故选：A ．【点睛】本题考查旋转变换,熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键．8．（福建·龙岩二中八年级期中）如图,在Rt ACB 中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥垂足为D ．ABD △与'ADB 关于直线AD 对称,点B 的对称点是点'B ,若'14B AC ∠=︒,则B 的度数为（）A ．38︒B ．48︒C ．52︒D ．54︒【答案】D 【提示】通过折叠角相等,∠BAD ＋∠B ´AD ＋∠B ´AC ＝90°计算得∠BAD ,进而用余角进行计算．【解答】解：∵∠BAD ＋∠B ´AD ＋∠B ´AC ＝90°,且∠BAD ＝∠B ´AD ,∠B ´AC ＝14°, ∴∠BAD ＝38°, ∴∠B ＝90°−38°＝52°. 故选：D ．【点睛】本题考查折叠以及直角三角形中角的转化与计算,属于中考常考题型．9．（福建师范大学附属中学初中部八年级期中）如图,直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线,点P是直线m 上的一动点,若AB ＝5,AC ＝4,BC ＝6,则△APC 周长的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12.5【答案】A 【提示】根据垂直平分线的性质BP PC =,所以APC △周长9AC AP PC AC AP BP AC AB =++=++≥+=. 【解答】∵直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线, ∴BP PC =∴APC △周长AC AP PC AC AP BP =++=++ ∵两点之间线段最短 ∴AP BP AB +≥APC ∴的周长AC AP BP AC AB =++≥+ 4AC =,5AB =∴APC △周长最小为9AC AB += 故选：A 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理,以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP BP AB +≥,做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件,联系相关定理得出结论,再根据结论进行推论．10．（2022·全国·八年级期中）如图,等腰ABC 中,AB AC =,120BAC ∠=︒,AD DC ⊥于D ,点O 是线段AD 上一点,点P 是BA 延长线上一点,若OP OC =,则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【提示】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD,据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是∠ABD的角平分线,可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC,即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OP A≌△CPE,则AO ＝CE,得AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如图1,连接OB,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BD＝CD,∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°,∴OB＝OC,∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC,∴OB＝OC＝OP,∴∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°,故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,∵点O是线段AD上一点,∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°,∴∠APC+∠DCP＝150°,∵∠APO+∠DCO＝30°,∴∠OPC+∠OCP＝120°,∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°, ∵OP＝OC,∴△OPC是等边三角形,故③正确；④如图2,在AC上截取AE＝P A,∵∠P AE＝180°﹣∠BAC＝60°,∴△APE是等边三角形,∴∠PEA＝∠APE＝60°,PE＝P A,∴∠APO+∠OPE＝60°,∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°,∴∠APO＝∠CPE,∵OP＝CP,在△OP A和△CPE中,PA PEAPO CPEOP CP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OP A≌△CPE（SAS）,∴AO＝CE,∴AC＝AE+CE＝AO+AP,∴AB＝AO+AP,故④正确；正确的结论有：①③④,故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题11．（云南·弥勒市长君实验中学八年级期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则该等腰三角形的顶角度数为__________．【答案】40°或140°【提示】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【解答】解：①当为锐角三角形时,如图1,∵∠ABD＝50°,BD⊥AC,∴∠A＝90°−50°＝40°,∴三角形的顶角为40°；②当为钝角三角形时,如图2,∵∠ABD＝50°,BD⊥AC,∴∠BAD＝90°−50°＝40°,∵∠BAD＋∠BAC＝180°,∴∠BAC＝140°∴三角形的顶角为140°,故答案为40°或140°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,做题时,考虑问题要全面,必要的时候可以做出模型帮助解答,进行分类讨论是正确解答本题的关键,难度适中．12．（上海市西南位育中学八年级期中）如图在△ABC中,AB＝AC,BF＝CD,BD＝CE,∠FDE＝70°,那么∠A＝_____．【答案】40°【提示】先证明△BDF≌△CED,得到∠BFD=∠CDE,根据三角形的内角和与平角的定义推出∠FDE与∠B相等,再利用三角内角和定理整理即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BDF和△CED中,BF CDB CBD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△BDF≌△CED（SAS）,∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDE=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B,∵∠FDE=70°,∴∠B=70°,∵∠B+∠C+∠A=180°,∴∠A=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定．解题的关键是通过三角形全等利用角的等量代换得到∠FDE =∠B ．13．（山东济宁·八年级期中）如图,AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线,DE AB ⊥于点E ,7ABC S =△,2DE =,4AB =,则AC 长是______．【答案】3 【提示】作DF ⊥AC 于点F ,由角平分线的性质可得DF =DE =2,然后根据三角形的面积公式求解．【解答】解：作DF ⊥AC 于点F ,∵AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线,DE AB ⊥, ∴DF =DE =2, ∵11722AB DE AC DF ⋅+⋅=, ∴11422722AC ⨯⨯+⨯=, ∴AC =3, 故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 14．（北京市师达中学八年级期中）如图,BD 是∠ABC 的平分线,点P 是射线BD 上一点,PE ⊥BA 于点E ,2PE =,点F 是射线BC 上一个动点,则线段PF 的最小值为_________．【答案】2【提示】过P作PH⊥BC,根据垂线段最短得出此时PH的长最小,根据角平分线的性质得出PE=PH,再求出答案即可．【解答】解：过P作PH⊥BC,此时PH的长最小,∵BD是∠ABC的平分线,PH⊥BC,PE⊥BA,∴PE=PH,∵PE=2,∴PH=2,即PF的最小值是2,故答案为：2.【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质,能找出当PF最小时点F的位置是解此题的关键．∠+∠+∠=______°．15．（浙江杭州·八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格,则123【答案】135如图,证明ABC≌AEF可得1390∠+∠=︒,根据等腰直角三角形的性质可得245∠=︒,进而即可求得答案．【解答】解：如图,在ABC与AEF 中AB AEB EBC FE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC≌AEF∴4=3∠∠1490∠+∠=︒1390∴∠+∠=︒245∴∠=︒123135∴∠+∠+∠=︒故答案为：135【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．（江苏·无锡市江南中学八年级期中）已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3,4,5,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画___条．【答案】6【提示】根据等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．解：如图所示：当BC 2=CC 2,AC 1=AC ,BC =BC 3,BC =CC 4,BC =CC 5,C 6A =C 6B 都能得到符合题意的等腰三角形．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键．17．（福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图,ABC 中,6AB =,4AC =,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,2DE =,则BF 的长为______．【答案】5 【提示】过点D 作DG AC ⊥,根据角平分线的性质可得2DG DE ==,结合图形得出6ABDS=,4ACDS=,10ABCS=,利用等面积法计算即可得出结果．【解答】解：如图所示：过点D 作DG AC ⊥,∵AD 平分BAC ∠,DG AC ⊥,DE AB ⊥,∴2DG DE ==, ∵6AB =,4AC =, ∴1·62ABDS AB DE ==,1·42ACDS AC DG ==, ∴10ABCABDACDS S S=+=,∴1·102ABCSAC BF ==, 即14?102BF ⨯=, 解得：5BF =, 故答案为：5．【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形等面积法求三角形的高,理解题意,熟练掌握运用角平分线的性质是解题关键．18．（云南·云大附中八年级期中）如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ,过点G 作EF //BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点G 作GD AC ⊥于D ,下列五个结论：①EF BE CF =+；②BE CF =；③1902BGC A ∠=︒+∠；④点G 到△ABC 各边的距离相等；⑤设GD m =,AE AF n +=,则AEF S mn =△．其中正确的结论是______（请填写序号）．【答案】①③④ 【提示】①根据BG 、CG 为角平分线,且EF ∥BC ,可得△BEG 和△CFG 为等腰三角形,从而得出结论； ②G 为角平分线交点,不能得到BE 和CF 相等；③先根据角平分线的性质得出∠GBC +∠GCB =12（∠ABC +∠ACB ）,再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线定理即可得出答案；⑤连接AG,根据三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：①∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ； ∴∠EBG =∠CBG ,∠FCG =∠BCG ．∵EF ∥BC ,∴∠EGB =∠CBG ,∠FGC =∠BCG ； ∴∠EBG =∠EGB ,∠FGC =∠FCG , ∴EB =EG ,FG =FC ,∴EF =EG +FG =BE +CF ,故本小题正确；②G 点是角平分线的交点,G 不一定是EF 中点,故本小题错误； ③∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ； ∴∠GBC +∠GCB =12ABC ACB ∠+∠（）=18012A ︒-∠（）,∴∠BGC =180GBC GCB ︒-∠+∠（）=11180802A ︒-︒-∠（）=190+2A ︒∠,故本小题正确； ④∵CG 平分∠ACB ,∴G 到AC 、BC 的距离相等； ∵BG 平分∠ABC ,∴G 到AB 、BC 的距离相等； ∴G 到三边的距离都相等,故本小题正确；⑤连接AG ,∵点G 是角平分线的交点,GD m =,AE AF n +=, ∴1122AEF S AE GD AF GD =⋅+⋅△=()12AE AF GD +⋅=12nm ,故本小题错误．答案为：①③④【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质、三角形内角和定理,熟练掌握相关内容是解题的关键．三、解答题19．（广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图,在△ABC 中,AB ＝4,BC 5点D 在AB 上,且BD ＝1,CD ＝2．(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求AC 的长．【答案】(1)见解析 13【提示】（1）根据勾股定理逆定理证明△BCD 是直角三角形,即可得证；（2）先求得AD ＝AB DB -3=,在Rt △ACD 中,勾股定理求解即可． (1)证明：∵在△BCD 中,BD ＝1,CD ＝2,BC 5∴BD 2＋CD 2＝12＋2252＝BC 2, ∴△BCD 是直角三角形,且∠CDB ＝90°, ∴CD ⊥AB ； (2)解：∵CD ⊥AB , ∴∠ADC ＝90°, ∵AB ＝4,DB ＝1, ∴AD ＝3,在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,∴AC 22AD CD +2232+13∴AC 13 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,掌握勾股定理是解题的关键． 20．（天津·八年级期中）如图,AC BC ⊥,BD AD ⊥,AC 与BD 交于点O ,AC BD =．(1)求证：ΔΔADB BCA ≅； (2)求证：OAB ∆是等腰三角形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【提示】根据AC BC ⊥,BD AD ⊥可证角相等并等于90度,进而可证Rt ABD Rt BAC ≌；由（1）可知Rt ABD Rt BAC ≌,进而可证OA OB =,从而可证OAB 是等腰三角形． (1) 证明：AC BC ⊥,BD AD ⊥90D C ∴∠=∠=︒,在Rt ABD △和Rt BAC 中,AC BDAB BA =⎧⎨=⎩, ∴()Rt ABD Rt BAC HL ≌． (2)∵Rt ABD Rt BAC ≌DBA CAB ∴∠=∠,OA OB ∴=,即OAB 是等腰三角形．【点睛】本题考查直角三角形的判定,全等三角形的性质,等腰三角形的证明,能够找到判定全等所需的条件进行全等判定是解决本题的关键．21．（重庆·八年级期中）点C 、D 都在线段AB 上,且AD BC =,AE BF =,A B ∠=∠,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证：ΔΔACE BDF ≅； (2)若10CE =,4DG =,求EG 的长．【答案】(1)见解析 (2)6 【提示】（ 1）由“SAS ”可证ΔΔACE BDF ≅；（ 2）由全等三角形的性质可得ACE BDF ∠=∠,可得4CG DG ==,即可求解． (1) 证明：AD BC =,AD DC BC DC ∴+=+,AC BD ∴=,在ACE ∆与BDF ∆中, AC BD A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ΔΔACE BDF SAS ∴≅；(2)由（1）得：ΔΔACE BDF ≅,ACE BDF ∴∠=∠, 4CG DG ∴==,1046EG CE CG ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键． 22．（广东·珠海市文园中学八年级期中）如图,已知：E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OB ,ED ⊥OA ,C 、D 是垂足,连接CD ,且交OE 于点F ．(1)求证：OE是CD的垂直平分线；(2)若∠AOB=60°,请直接写出OE与EF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)OE=4EF【提示】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论．(1)证明：∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,∵OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线；(2)解：∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴OE=4EF．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知以上知识是解答此题的关键．23．（山东·昌乐县教学研究室八年级期中）△ABC中,AB＝AC,BD平分∠ABC交AC于点D,从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．（1）若∠BAC＝40°,求∠E的度数；（2）点F是BE上一点,且FE＝BD．取DF的中点H,请问AH⊥BE吗？试说明理由．【答案】（1）∠E＝35°；（2）AH⊥BE．理由见解析．【提示】（1）根据等腰三角形两底角相等,已知顶角,可以求出底角,再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数,最后根据两直线平行,内错角相等求出；（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF,可得AD=AF,由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠BAC=40°,∴∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=12∠ABC=35°,∵AE∥BC,∴∠E=∠CBD=35°；（2）∵BD平分∠ABC,∠E=∠CBD, ∴∠CBD=∠ABD=∠E,在△ABD和△AEF中,AB AEE ABDBD EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△AEF（SAS）,∴AD=AF,∵点H是DF的中点,∴AH⊥BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键．24．（广西柳州·八年级期中）如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M．（1）若∠B=70°,则∠NMA的度数是_________．（2）连接MB,若AB=8cm,BC=6cm．①求△MBC的周长；②在直线MN上是否存在点P,使由P,B,C构成的△PBC的周长值最小?若存在,直接写出△PBC的周长最小值；若不存在,说明理由．【答案】（1）50°；（2）①14cm；②存在,14cm．【提示】（1）根据等腰三角的性质,三角形的内角和定理,可得∠A的度数,根据直角三角形两锐角的关系,可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质,可得AM与MB的关系,再根据三角形的周长,可得答案；②根据两点之间线段最短,可得P点与M点的关系,可得PB+PC与AC的关系．【解答】解：（1）∵∠B=70°,AB=AC,∴∠B=∠C=70°,∴∠A=180°-∠B-∠C=50°,∵MN⊥AB,∴∠ANM=90°,∴∠NMA=90°-∠A=50°,故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA,又∵BC=6cm,AC=BC=8cm,∴△MBC的周长是MB+MC+BC= MA+MC+BC=AC+BC=14(cm)；②当点P与M重合时,△PBC周长的值最小,理由：∵PB+PC=P A+PC,P A+PC≥AC,∴P与M重合时,P A+PC=AC,此时PB+PC最小,∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14(cm)．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键．25．（江苏盐城·八年级期中）如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10,S△ABC＝15,求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）3DE（1）由角平分线的性质得DE ＝DF ,再根据HL 证明Rt △AED ≌Rt △AFD ,得AE ＝AF ,从而证明结论；（2）根据DE ＝DF ,得111++()15222ABDACDS SAB ED AC DF DE AB AC ==+=,代入计算即可．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高, ∴DE ＝DF ,在Rt △AED 与Rt △AFD 中,AD ADDE DF =⎧⎨=⎩, ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ）, ∴AE ＝AF , ∵DE ＝DF ,∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE ＝DF , ∴111++()15222ABDACDSSAB ED AC DF DE AB AC ==+=, ∵AB +AC ＝10, ∴DE ＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,解题的关键是掌握这些知识点．26．（湖北武汉·八年级期中）如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A =30°,D 为AB 上一点,以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．（1）如图1,当点E 在边AC 上时,求证：DE ＝AE ；（2）如图2,当点E 在△ABC 内部时,猜想ED 和EA 数量关系；（3）当点E 在△ABC 外部时,过点E 作EH ⊥AB 点H ,EF ∥AB ,CF ＝2,AH ＝3．直接写出AB 的长为．【答案】（1）见解析；（2）ED =EA ,理由见解析；（3）16（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠EDA＝∠A,根据等腰三角形的判定定理证明；（2）取AB的中点O,连接CO、EO,分别证明△BCD≌△OCE和△COE≌△AOE,根据全等三角形的性质证明；（3）取AB的中点O,连接CO、EO、EA,根据（2）的结论得到△CEF≌△DCO,根据全等三角形的性质解答．【解答】（1）证明：∵△CDE是等边三角形,∴∠CED＝∠DCE=60°,∴∠EDA＝60°﹣∠A＝30°,∵∠A=30°,∴∠EDA=30°,∴∠EDA＝∠B,∴DE＝EA；（2）结论：ED＝EA,理由：如图2中,取AB的中点O、EO,∵∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∴∠B＝60°,OC＝OB,∴△BCO为等边三角形,∴CB＝CO=BO=AO,∵△CDE是等边三角形,∴∠BCD＝∠OCE,在△BCD和△OCE中,CB COBCD OCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∠COE＝∠B＝60°,∴∠AOE＝60°,在△COE和△AOE中,OC OACOE AOEOE OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△COE≌△AOE（SAS）,∴EC＝EA,∴ED＝EA；（3）解：如图3中,取AB的中点O、连接EO,AE,由（2）得△BCD≌△OCE,∴∠COE＝∠B＝60°,∴∠AOE＝60°,同法可得△COE≌△AOE,∴EC＝EA,∴ED＝EA,∵EH⊥AB,∴DH＝AH＝5,∵EF∥AB,∴∠F＝180°﹣∠B＝120°,∵∠FCD＝∠FCE+60°＝∠CDB+60°,∴∠FCE＝∠CDB,在△CEF和△DCO中,F CODECF ODCCE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴CF＝OD＝2,∴OA＝OD+AD＝2+6＝8,∴AB＝2OA＝16．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握等边三角形判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．27．（四川·成都外国语学校八年级期中）如图1,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,∠ACE＝45°．(1)求证：△AEF≌△CEB．(2)若G在BC的延长线上,连接GA,若GA＝GB,求证：AC平分∠DAG．(3)如图2,在（2）的条件下,H为AG的中点,连接DH交AC于M,连接EM、ED,若S△EMC＝4,∠BAD ＝15°,求AM的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【提示】（1）先判断出AE=CE,再利用等角的余角相等判断出∠EAF=∠ECB,进而判断出AEF CEB△≌△,即可得出结论；（2）先利用三角形外角的性质得出∠AEF=45︒+∠CAD,进而得出∠B=45︒+∠CAD,而∠B=∠BAG,得出∠BAG=45︒+∠CAD,而∠BAG=45︒+∠CAG,即可得出结论；（3）先判断出ADH是等边三角形,进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM=3CM,进而求出ACM的面积,即可求出AE,进而求出AC,即可得出结论．(1)证明：∵CE⊥AB,∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°, ∵∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝45°＝∠ACE , ∴AE ＝CE , ∵AD ⊥BC , ∴∠ADC ＝90°, ∴∠ECB +∠CFD ＝90°, ∵∠CFD ＝∠AFE , ∴∠ECB +∠AFE ＝90°, ∵∠EAF +∠AFE ＝90°, ∴∠EAF ＝∠ECB , 在AEF 和CEB 中,90EAF ECB AE CE AEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴AEF CEB △≌△（ASA ）； (2)∵AEF CEB △≌△, ∴∠AFE ＝∠B ,∵∠AFE ＝∠ACE +∠CAD ＝45°+∠CAD , ∴∠B ＝45°+∠CAD , ∵AG ＝BG , ∴∠B ＝∠BAG , ∴∠BAG ＝45°+∠CAD ,∵∠BAG ＝∠CAE +∠CAG ＝45°+∠CAG , ∴∠CAD ＝∠CAG , ∴AC 平分∠DAG ； (3)∵∠BAD ＝15°,∠CAE ＝45°, ∴∠CAD ＝∠CAE ﹣∠BAD ＝30°, ∵∠CAD ＝∠CAG ,∴∠DAG＝2∠CAD＝60°,在Rt△ADG中,点H是AG的中点,∴DH＝AH,∴△ADH是等边三角形,∴∠ADH＝60°,AD＝AH,∵∠CAD＝∠CAG,∴AC⊥DH,即：∠AMD＝∠DMC＝90°∵∠ADC＝90°,∴∠CDM＝30°,在Rt△DMC中,DM,在Rt△AMD中,AM＝3CM, ∴S△AEM＝3S△CEM＝3×4＝12,∴S△ACE＝S△CEM+S△AEM＝16,∵∠AEC＝90°,AE＝CE,∴S△ACE＝12AE2＝16,∴AE＝∴AC＝8,∴AM+CM＝8,∵AM＝3CM,∴3CM+CM＝8,∴CM＝2,∴AM＝3CM＝6．【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,等角的余角相等,等边三角形的判定和性质,三角形外角的性质,含30度角的直角三角形的性质,求出AE是解本题的关键．。

初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题（附答案）

三角形中垂线‎性质及相关练‎习题（附答案）三角形的三条‎中垂线一定交‎于一点，称之为三角形‎的外心，之所以称之为‎三角形的外心‎，是因为它是三‎角形外接圆的‎圆心。

首先我们证明‎这个问题。

已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条‎边上的中垂线‎。

求证：PD、NE、MF交于一点‎O。

思路：先作两条边A‎B、AC上的中垂‎线MF、NE相交于O‎点，过O作OD⊥BC 于D，其反向延长线‎与AB交于P‎。

然后再证明D‎是BC的中点‎。

证明：作AB、BC边上的中‎垂线MF、NE相交于O‎点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线‎与AB交于P‎。

∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴POD是BC‎边上的中垂线‎。

∴NE、MF、PD交于一点‎O；即，三角形的三条‎中垂线交于一‎点。

结论：该证法采用直‎接证法，简单明了，其中运用了中‎垂线的性质定‎理和判定定理‎。

相关练习题：一、判断题1、三角形三条边‎的垂直平分线‎必交于一点2、以三角形两边‎的垂直平分线‎的交点为圆心‎，以该点到三角‎形三个顶点中‎的任意一点的‎距离为半径作‎圆，必经过另外两‎个顶点3、平面上只存在‎一点到已知三‎角形三个顶点‎距离相等4、三角形关于任‎一边上的垂直‎平分线成轴对‎称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中‎垂线交点，则PA___‎______‎_PB___‎______‎_PC.6、如右上图，在锐角三角形‎A BC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平‎分线交于点O‎，则∠1_____‎__∠2，∠3_____‎_∠4，∠5_____‎_∠6，∠2+∠3=______‎__度，∠1+∠4=______‎度，∠5+∠6=______‎_度，∠BOC=______‎_度.7、如左下图，D为BC边上‎一点，且BC=BD+AD，则AD___‎______‎_DC，点D在___‎______‎_的垂直平分‎线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边‎A B、AC的垂直平‎分线，则∠B_____‎_____∠1，∠C_____‎_____∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=______‎____度.9、如左下图，AD是△ABC中BC‎边上的高，E是AD上异‎于A，D的点，若BE=CE，则△______‎____≌△______‎____(HL)；从而BD=DC，则△______‎__≌△______‎___(SAS)；△ABC是__‎______‎__三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平‎分线交BC于‎D，则∠AD B=______‎___度.三、作图题11、（1）分别作出点P‎，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的‎点P与△ABC的位置‎关系，并总结规律：当△ABC为锐角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；当△ABC为直角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；当△ABC为钝角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；反之也成立，且在平面内到‎三角形各顶点‎距离相等的点‎只有一个.四、类比联想12、既然任意一个‎三角形的三边‎的垂直平分线‎交于一点，那三角形的三‎边上的中线是‎否也交于一点‎；三个角的平分‎线是否也交于‎一点；试通过折纸或‎用直尺、圆规画图验证‎这种猜想.答案：一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

新初中数学三角形基础测试题含答案解析(2)

新初中数学三角形基础测试题含答案解析(2)一、选择题1．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，∴△ABD≌△EBD (AAS)，∴AD＝ED，AB＝BE，∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC＝AD＋DC＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．4．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b ∥c⇒a∥c．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242=252，152+202=252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．7．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，20DAE ∠=o ，则BAC ∠的度数为( )A ．70oB ．80oC ．90oD ．100o【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.【详解】如图所示：∵DM 是线段AB 的垂直平分线，∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,同理可得：C EAC ∠=∠ ,∵ 20DAE ∠=o ，180B DAB C EAC DAE ︒∠+∠+∠+∠+∠=，∴80DAB EAC ︒∠+∠=∴100BAC ︒∠=故选：D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.8．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．【详解】∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD 是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC=∠EBF ，在△BCE 和△BFE 中，EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （AAS ），∴BF=BC ，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（）A ．13B ．5C ．22D ．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°．∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°．∵CD =3，∴AC =2CD =6．故选D ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．【详解】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，∴CD 为AB 边中线，∴S △CDA =S △CDB ，∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．故选：A ．【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．12．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．13．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】试题解析：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′=OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP +CP =DP +PC ′=DC ′的值最小．∵DC =1，BC =4，∴BD =3，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BE =∠CBE =45°，∴∠CBC ′=90°，∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′=∠BC ′C =45°，∴BC =BC ′=4，根据勾股定理可得DC ′=22'BC BD +=2234+=5．故选B ．14．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别是以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒【答案】B【解析】【分析】根据题意，DE 是AB 的垂直平分线，则AD=BD ，40ABD A ==︒∠∠，又AB=AC ，则∠ABC=70°，即可求出DBC ∠.【详解】解：根据题意可知，DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴40ABD A ==︒∠∠，∵AB AC =，∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒， ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒；故选：B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出DBC ∠的度数.16．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB ==，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．17．如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ．（4）作直线CF ．则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【解析】【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.18．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则共有等腰三角形( ）A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】B【解析】∵等腰三角形有两个角相等，∴只要能判断出有两个角相等就行了，将原图各角标上后显示如左下：因此，所有三角形都是等腰三角形，只要判断出有哪几个三角形就可以了.如右上图，三角形有如下几个：①，②，③；①+②，③+②，①+④，③+④；①+②+③+④；共计8个. 故选：B.点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用.19．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD ，AB=CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO=CO=12AC ；③△ABD ≌△CBD ，其中正确的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解析】试题解析：在△ABD 与△CBD 中，{AD CDAB BC DB DB===，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），故③正确；∴∠ADB=∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，{AD CDADB CDB OD OD=∠=∠=，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，∴AC ⊥DB ，故①②③正确；故选D ．考点：全等三角形的判定与性质．20．（11·十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (8)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？【答案】（1）△ADC≌△CEB（2）AD＝BE+DE【解析】【分析】（1）结论：△ADC≌△CEB．根据AAS证明即可；（2）由三角形全等的性质即可解决问题；【详解】解：（1）结论：△ADC≌△CEB．理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠CAD＝∠ECB，∵AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．72．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q 在线段AC上由点A向点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．（1）经过2秒后，求证：∠DPQ=∠C．（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）经过1秒或74秒或85秒时，△CPQ是等腰三角形．【解析】【分析】（1）经过1秒后，PB=2m ，PC=8m ，CQ=6m ，由已知可得BD=PC ，BP=CQ ，∠ABC=∠ACB ，即据SAS 可证得△BPD ≌△CQP ，然后根据全等三角形的性质及三角形外角的性质即可解答；（2）可设点Q 的运动时间为ts △CPQ 是等腰三角形，则可知PB=2tcm ，PC=8-3tcm ，CQ=xtcm ，据（1）同理可得当BD=PC ，BP=CQ 或BD=CQ ，BP=PC 时△CPQ 为等腰三角形，从而求得t 的值．【详解】（1）当P ，Q 两点分别从B ，A 两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm ，AQ=4×2=8cm ，则CP=BC ﹣BP=10﹣4=6cm ， CQ=AC ﹣AQ=12﹣8=4cm ，∵D 是AB 的中点，∵BD=12AB=12×12=6cm ， ∵BP=CQ ，BD=CP ，又∵∵ABC 中，AB=AC ，∵∵B=∵C ，在∵BPD 和∵CQP 中，BP CQ B C BD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BPD ∵∵CQP （SAS)∵∵DPB=∵PQC ，∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC ，∴∵DPQ=∵C ；（2）设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，有BP=2t，AQ=4t∵t的取值范围为0＜t≤3，则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，∵∵CPQ的周长为18cm，∵PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）=6t﹣4，要使∵CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：∵当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t，解得：t=1．∵当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t，解得：t=74；∵当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t，解得：t=85，三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或74秒或85秒时，∵CPQ是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．73．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射线AD上一动点．（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，当点P在线段AD上，且△PCD是等腰三角形时，求AP长．（2）如图②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，当点P在AD延长线上时，探究PA，PB，PC的数量关系，并说明理由．（3）类比探究：如图③，若∠ACB＝120°，∠APC＝30°，当点P在AD 延长线上时，请直接写出表示PA，PB，PC的数量关系的等式．【答案】（1）满足条件的AP的值为2.8或4或5；（2）PA﹣PB PC．理由见解析；（3）PA﹣PB PC．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．利用面积法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下来分三种情形解决问题即可；（2）结论：PA﹣PB PC．如图②中，作EC⊥PC交AP于E．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；（3）结论：PA﹣PB．如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；【详解】（1）如图①中，作CH⊥AD于H．在Rt△ACD中，AD10，∵12×AC×DC＝12×AD×CH，∴CH＝245 AC CDAD⨯=，∴DH 185，①当CP＝CD，∵CH⊥PD，∴PH＝DH＝185，∴PD＝365，∴PA＝AD﹣PD＝10﹣365＝145．②当CD＝DP时，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，③当CP＝PD时，易证AP＝PD＝5，综上所述，满足条件的AP的值为2.8或4或5．（2）结论：PA﹣PB PC．理由：如图②中，作EC⊥PC交AP于E．∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°，∴CE＝CP，PE PC，∵∠ACB＝∠ECP＝90°，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC，∴PA﹣PB．（3）结论：PA﹣PB PC．理由：如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝120°．∵∠CEP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CEP＝∠CPE，∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，则PE，∵∠ACB＝∠ECP，∴∠ACE＝∠BCP，∵CA＝CB，∴△ACE≌△BCP，∴AE＝PB，∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE PC．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．74．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，DE垂直平分BC，连接BD．（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到BA，BC的距离相等．【答案】（1）如图所示，DF即为所求，见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；（2）根据角平分线的性质解答即可．【详解】（1）如图所示，DF即为所求：（2）∵△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠DBC＝∠C＝40°，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，即BD是∠ABC的平分线，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，即点D到BA，BC的距离相等．【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键．75．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B，C的对应点分别是D，E），当点E在BC边上时，连接BD，若∠ABC＝30°，∠BDE＝10°，求∠EAC．【答案】∠EAC＝100°．【解析】【分析】由旋转可得，△ABC≌△ADE，进而得出∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，进而得到∠ADB＝40°＝∠ABD，∠BAD＝100°，再根据∠BAC＝∠DAE，即可得到∠EAC＝∠DAB＝100°．【详解】由旋转可得，△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，∵∠BDE＝10°，∴∠ADB＝40°＝∠ABD，∴∠BAD＝100°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠DAB＝100°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．76．已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图l，求证：AC﹣AB＝2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB，求AN的长．【答案】(1)见解析.【解析】【分析】（1）延长BE交AC于F．由AD平分∵BAC得∵1＝∵2，再由BE∵AD及公共边AE可证∵AEB∵∵AEF，由全等的性质可知AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，则BF＝2BE；由三角形外角和可知∵4＝∵5+∵C，则∵ABC＝∵3+∵5=∵4+∵5=2∵5+∵C，再由∵ABC＝3∵C可知∵5＝∵C，则CF＝BF＝2BE，据此即可证明；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，易证∵AHB∵∵AKM，据此可证明∵BCA∵∵MCA，可得∵CAB＝∵CAM＝90 ；再由勾股定理计算可得AE=BE=1，由题干条件及上问证明可得AB=AD，从而得到MD⊥BC，进而得到∵NCD＝∵BMD；再通过∵AEB是直角等腰三角形可证明∵MDC也是直角等腰三角形，可证明∵MBD∵∵CND，则可通过计算AC和CN的长度，通过AN＝AC﹣CN 进行计算.【详解】解：（1）延长BE交AC于F．∵AD平分∵BAC，∵∵1＝∵2．∵BE∵AD，∵∵AEB＝AEF＝90°．∵∵1＝∵2，∵AEB＝AEF＝90°，AE=AE，∵∵AEB∵∵AEF（ASA）∵AB＝AF，∵3＝∵4，BE＝FE，∵BF＝2BE．∵∵4＝∵5+∵C，∵∵3＝∵5+∵C，∵∵ABC＝∵3+∵5，∵∵ABC＝∵5+∵C+∵5＝2∵5+∵C＝3∵C，∵∵5＝∵C，∵CF＝BF＝2BE．∵AC﹣AF＝FC，∵AC﹣AB＝2BE；（2）作AH∵BC于H，AK∵CM于K，∵∵ACH＝∵ACK，∵AH＝AK，∵AB＝AM，∵∵AHB∵∵AKM，∵∵ABH＝∵AMK，∵CB＝CM，∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，∵∵BCA∵∵MCA，∵∵CAB＝∵CAM＝90 ，∵BE∵AD，∵∵AEB＝90°．∵BE＝1，AB，由勾股定理，得∵AE＝1，∵AE＝BE，∴∵BAE=∵ABE由上问证明可知，∵BAN=∵CAD，∵EBD=∵ACB，∴∵ABD=∵ABE+∵EBD,∵ADB=∵CAD+∵ACB，∴∠ABD=∠ADB,∵AB=AD，∵AM＝AB，∵AD＝AB＝AM，∵∵DBM是直角三角形，∵∵BDM＝∵CDM＝90°．∵∵MBD+∵NCD＝90°，∵MBD+∵BMD=90°，∵∵NCD＝∵BMD，∵BE∵AD，AE＝BE，∵∵BAE＝∵ABE＝45°．∵AD平分∵BAC，∵∵BAC＝2∵BAD＝90°，∵∵ABC+∵ACB＝90°．∵∵ABC＝3∵ACB，∵∵ACB＝22.5°，∵∵BCM＝45°，∵∵DMC＝45°，∵∵BCM＝∵DMC，∵DM＝DC．∵∠BDM=∠CDM=90°，DM=DC，∵BMD＝∵NCD，∵∵MBD∵∵CND（ASA），∵CN＝BM＝2AB＝，∵AC＝2BE+AB＝∵AN＝AC﹣CN＝2．【点睛】本题有一定难度，理清如何通过证明三角形全等一步一步将求解AN长度转化为用AC长度减去CN长度对理解此类题型有较大帮助.77．如图1，在平面直角坐标系中，已知A(m，n)，且满足|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B，过A作AC⊥x轴，垂足为C，点D、E 分别是线段AB、AC上的动点，且保持∠DOE＝45°．(1)点A的坐标为，∠BOD+∠EOC＝；(2)设BD＝a，CE＝b，DE＝c①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，易证△BOD≌△COE(SAS)，从而可推出∠BOD＝∠EOC＝22.5°和OA垂直平分DE，试证明：c＝2a；①如图2，当a≠b时，试探究a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2，2)，45°；(2)①证明见解析；②结论：a+b＝c．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用非负数的性质求出m、n即可解决问题；（2）①想办法证明∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°，BD＝DF，DF＝DF，EC＝EF即可解决问题；②结论：a+b＝c．如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．只要证明△ODM≌△ODE即可解决问题；【详解】(1)∵|m﹣2|+(n﹣2)2＝0，又∵|m﹣2|≥0，(n﹣2)2≥0，∴m﹣2＝0，n﹣2＝0，∴m＝n＝2，∴A(2，2)，∵∠BOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠BOD+∠EOC＝90°﹣45°＝45°，故答案为(2，2)，45°；(2)①如图1，连接OA交DE于F，当a＝b时，∵BD＝CE，BO＝OC，∠OBD＝∠OCE，∴△OBD≌△OCE，∴∠BOD＝∠ECC，OD＝OE，∵∠AOB＝∠AOC＝45°，∠BOD+∠EOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOE＝∠EOC＝22.5°．∴OA垂直平分相等DE，∴DF＝FE，∵∠BOD＝∠DOF，DB⊥OB，DF⊥OF，∴BD＝DF，∵BD＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+EC，∴c＝2a．②结论：a+b＝c．理由：如图2中，将△EOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBM．∵∠DOM＝∠DOB+∠BOM＝∠DOB+∠EOC＝45°，∠DOE＝45°，∴∠DOM＝∠DOE，∵OD＝OD，OM＝OE，∴△ODM≌△ODE，∴DE＝DM，∵DM＝DB+BM＝BD+EC，∴DE＝BD+EC，∴c＝a+b．【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．78．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．(1)证明：△ABC≌△ADE；(2)若AC＝12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)72.【解析】【分析】（1）求出∠BAC＝∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积＝三角形ACE的面积，即可得出答案；【详解】(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD．在△ABC 和△ADE 中，,AB AD BAC EAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE (SAS )．(2)∵△ABC ≌△ADE ，∴S △ABC ＝S △ADE ，∴S 四边形ABCD 2121272ABC ACD ADE ACD ACE SS S S S ==++⨯===．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD 的面积是解此题的关键，难度适中．79．如图，A ，B ，C ，D 是同一条直线上的点，AC ＝BD ，AE ∥DF ，∠1＝∠2．求证：△ABE ≌△DCF ．【答案】证明见解析.【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠A ＝∠D ，再由AC ＝BD 得出AB ＝CD ，进而利用全等三角形的判定定理ASA 即可证明△ABE ≌△DCF ．【详解】∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝BD ，∴AB ＝CD ，在△ABE 和△DCF 中，12,A D AB DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DCF (ASA )．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．80．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD ＝CD ，AB ＝CB ，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；①AO ＝CO ＝12AC ；①△ABD ≌△CBD ；①若AC ＝6，BD ＝8，则四边形ABCD 的面积等于48；其中正确的结论有_____．(用序号表示)【答案】∵∵∵【解析】【分析】先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断．【详解】在△ABD 与△CBD 中，,AD CD AB BC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CBD (SSS )，故③正确；∴∠ADB ＝∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，,AD CD ADB CDB OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△COD (SAS )，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，AO ＝OC ，∴AC ⊥DB ，故①②正确；四边形ABCD 的面积 111168242222ADB BDC S S DB OA DB OC AC BD =+=⨯+⨯=⋅=⨯⨯=，故④错误；故答案为①②③【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABD 与△CBD 全等和利用SAS 证明△AOD 与△COD 全等．。

浙教版八年级数学上册等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

中垂线定理及其逆定理

中垂线定理及其逆定理1.引言1.1 概述概述部分的内容需要对中垂线定理及其逆定理进行简要介绍。

可以参考如下内容进行撰写：中垂线定理及其逆定理是解析几何中重要且常用的定理之一。

中垂线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个边上的中点与对边的垂足，同时垂直于对边。

中垂线定理指出，在一个平面三角形中，如果一条线段既与边相等又与另一边垂直，则该线段一定是该三角形的中垂线。

而中垂线逆定理则是中垂线定理的逆向推论，即如果一条线段是三角形中某一边的中垂线，那么该线段一定既与该边相等又与另一边垂直。

中垂线定理及其逆定理都具有重要的几何性质和广泛的应用。

这两个定理被广泛应用于求解三角形的几何关系和计算三角形的面积等问题。

它们可以帮助我们简化问题，提供几何上的直观理解，并且在相关的证明和推导中起到重要的引导作用。

本文将从中垂线定理与逆定理的定义与性质入手，介绍它们的推导过程和证明方法，并通过一些实际问题的应用来展示它们的实际意义和应用价值。

此外，文章还将对中垂线定理与逆定理进行总结，并给出一些相关的拓展与应用，帮助读者深入理解和运用这两个定理。

总之，中垂线定理及其逆定理是解析几何中的重要定理，通过研究和应用这些定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。

在接下来的章节中，我们将逐步展开对中垂线定理及其逆定理的详细介绍与探讨。

1.2 文章结构：本文主要围绕中垂线定理及其逆定理展开讨论，文章结构分为以下几个部分：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。

在概述部分，将简要介绍中垂线定理及其逆定理的背景和重要性，为读者提供一个整体的认识。

接着，说明文章的结构，即介绍各个章节的主要内容和关系。

最后，明确文章的目的，即阐述中垂线定理及其逆定理的定义、性质、证明和应用，同时提供一些拓展和应用方面的探讨。

第二部分是中垂线定理。

首先，在定义与性质部分，将详细解释中垂线定理的定义，并介绍其重要性质，如中垂线与三角形边的关系。

然后，在证明与应用部分，将给出中垂线定理的证明过程，帮助读者理解中垂线定理的原理和推导方法。

八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长，根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ，可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是2 2．下列命题中，假命题是（）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．等腰三角形的两底角相等C ．面积相等的两个三角形全等D ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形3．如图，CD 是ABC 的角平分线，2,7,4B A AC BC ∠=∠==，则BD 的长为（）A ．2B ．3C ．23D ．324．等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则此三角形的面积为（）A ．18B ．20C ．12D ．15 5．下面说法中正确的是（）A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线B ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段C ．三角形的角平分线不是射线D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合 6．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，50EAC ∠=︒，则ADE ∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 10．如图，AB AC =，CD CE =．过点C 的直线FG 与DE 平行，若38A ∠=︒，则1∠为（）A．42°B．54.5°C．58°D．62.5°11．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④AFEEFCS AFS FC∆∆=．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题13．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，6cmAC=．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接BD．则ABD△的面积最大值为_________2cm．14．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，D 为BC 上一点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，取AE ＝AD ，连接BE 交AC 于F ．当△AEF 为等腰三角形时，CD ＝_____．16．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 上一点，将△BCD ，△ADE 沿CD ，DE 翻折，点A ，B 恰好重合于点P 处，若△PCD 中有一个角等于48°，则∠A ＝_____．18．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒，42AC BC ==D 在AB 上，连接CD ，若5CD =，则AD 的长为________．19．如图，AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．则下列结论中：①AD 是ABC ∆的高；②ABC ∆是等边三角形；③ED FD =；④AB AE BF =+．其中正确的是______________（填写序号）20．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点P 在AC 上，以点P 为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于G ，当P 为DF 中点时，AG ：DG 的值为___________三、解答题21．如图，等腰直角ACB △中，90ACB ∠=︒，E 为线段BC 上一动点（不含B 、C 端点），连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FG AC 交AC 于G 点，求证：≌AGF ECA ；（2）如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 的中点． 22．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，045ACB ︒<∠<︒，点C 关于直线AB 的对称点为点D ，连接BD 与CA 的延长线交于点E ，在BC 上取点F ，使得BF DE =，连接AF ．（1）依题意补全图形．（2）求证：AF AE =．23．如图，已知平行四边形ABCD ．的平分线BE，交AD的延长线于点E，交DC于点F （1）用直尺和圆规作出ABC（保留作图痕迹，不写作法）；△是等腰三角形．（2）在第（1）题的条件下，求证：ABE24．如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4．求证：AB⊥BD．25．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C ＞∠B ＞∠A ．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC 中，∠C ＞∠B ＞∠A ．求证：AB ＞AC ＞BC ．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA 的内部，作∠BCF =∠B ，CF 交AB 于点F ．则CF =BF （依据3）在△ACF 中，AF +CF ＞AC ，∴AF +BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1：；依据2：；依据3：．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ．转化思想 B ．方程思想 C ．数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．26．在ABC 中，AB CB =，CB 垂直于AB ，E 为CB 延长线上一点，点F 在AB 上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF △≌△；（2）若70CAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：=A 正确，不符合题意；∵AC=BC 5===，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意；点A 到直线BC 的距离2552AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B 、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．B解析：B【分析】延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接DF ，证明△FCD ≌△ACD ，得到∠F=∠A ，结合已知得到线段的关系，从而计算BD ．【详解】解：延长CB 至点F ，使CF=CA ，连接DF ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACD=∠FCD ，在△FCD 和△ACD 中，CF CA FCD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCD ≌△ACD （SAS ），∴∠F=∠A ，∴∠ABC=2∠A 且∠ABC=∠F+∠FDB ，∴∠F=∠FDB ，∴BF=BD ，∴CF=BC+BF=BC+BD ，∴AC=BD+BC ，∴BD=AC-BC=7-4=3，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理作出辅助线，构造全等三角形． 4．C解析：C【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【详解】解：如图，作底边BC 上的高AD ，则AB=5，BD=12×6=3，∴AD=22AB BD -=2253-=4，∴三角形的面积为：12×6×4=12．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．5．C解析：C【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．【详解】解：A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选项不符合题意；B ．当∠B 或∠C 是钝角时，过A 不存在到线段BC 的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；C ．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；D ．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．6．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEBCME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．7．D解析：D【分析】由全等可得，AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠ADE ，∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠EAC=∠DAE-∠DAC ，∠BAD=∠EAC=50°，∵AB=AD ，∴∠B=180652BAD ︒-∠=︒， ∴∠ADE=∠B=65º，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算．8．A解析：A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案．【详解】过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵∠A=∠BDC=90° ，又∵∠C ＋∠BDC ＋∠DBC ＝180°，∠ADB ＋∠A ＋∠ABD ＝180°，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，又∵AD ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴AD ＝DH ，又∵AD ＝3，∴DH ＝3，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长等于3，即DP 长的最小值为3，故DP 的长不可能是2，故选：A ．本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．9．A解析：A【分析】由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．【详解】解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =，所以，ABD △的面积为：141=22⨯⨯，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高． 10．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质求得∠ACB 与∠CDE 度数，再利用两直线平行，内错角相等求∠1即可．【详解】解：∵AB=AC ，∠A=38︒，∴∠B=∠ACB=1802A ︒-∠＝218038︒-︒＝71︒， ∵CD=CE ，∴∠CED=∠CDE ＝2180ACB ︒-∠＝218071︒-︒＝54.5︒， ∵DE //FG ，∴∠1=∠CED=54.5︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是根据等腰三角形中角度的求解． 11．B解析：B【分析】分两种情况：①AB 为等腰三角形的底边；②AB 为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB 为等腰三角形的底边，符合条件的点C 的有5个；②AB 为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C 的有3个．所以符合条件的点C 共有8个．故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°，利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,22AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC≌△ABE，∴AM=AN．∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，∴AF平分∠DFE，故②正确．∵∠AEB=∠ACD，∴∠AEC+∠ACE=120°=∠AEB+∠BEC+∠ACE，∴∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，∴∠BFC=∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，故③正确，∴∠DFE=120°，∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，∴∠FAN=∠FCH=30°，∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC======∴,,AN AF HC FC==∴12.122AEFEFCEF AN AFS AN AFS CH FCEF CH⨯⨯====⨯⨯故④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有解析：cm2【分析】过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，由直角三角形的性质可得BC=，AB=，ED DF==cm，由“AAS”可证△D NE''≅△D MF''，可得D N D M''=，由三角形面积公式可求111222AD BS BC AC AC D N BC D M'''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC''⊥时，AD BS'△有最大值．【详解】解：6AC=cm，30A∠=︒，45DEF∠=︒，233BC ∴==cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，当点E 从点A 滑动到点C 时，得△E D F '''，过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒，E D NF D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=，∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''，D N D M ''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△ AD B S '∴△最大值1123(623)32(1239236)2=-⨯=cm 2．故答案为：(1239236)cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．14．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B 作BE ⊥AC1于点E ∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题33n 【分析】首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴222213122BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴111331224AC B S ∆=⨯⨯= 由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====133248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …，所以111n AC B n S S n ∆=+， ∵1113312AC B S ∆=⨯= ∴34(1)n n S n =+．故答案为：38，34(1)n n + 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．15．2或6【分析】分两种情形：当AE=AF 时如图1中过点E 作EH ⊥AC 于H 证明AH ＝FH ＝CF ＝CD 可得结论如图2中当AF ＝EF 时点D 与D 重合此时CD ＝BC ＝6【详解】解：①当AE=EF 时如图1中过点E解析：2或6【分析】分两种情形：当AE=AF 时，如图1中，过点E 作EH ⊥AC 于H ．证明AH ＝FH ＝CF ＝CD ，可得结论，如图2中，当AF ＝EF 时，点D 与D 重合，此时CD ＝BC ＝6【详解】解：①当AE=EF 时，如图1中，过点E 作EH ⊥AC 于H ．∵EA ＝EF ，EH ⊥AF ，∴AH ＝HF ，∵EA ⊥AD ，∴∠EAD ＝∠EHA ＝∠C ＝90°，∴∠EAH ＋∠CAD ＝90°，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠EAH ＝∠ADC ，在△EHA 和△ACD ，EAH ADC EHA C AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EHA ≌△ACD （AAS ），∴AH ＝CD ，EH ＝AC ＝CB ．在△EHF 和△BCF 中，EFH BFC EHF C EH BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EHF ≌△BCF （AAS ），∴FH ＝CF ，∴AH ＝FH ＝CF ＝CD ，∴CD＝13AC ＝2， ②如图2中，当AF ＝EF 时，点B 与点D 重合，此时CD ＝BC ＝6综上所述，满足条件的CD 的长度为2或6故答案为：2或6【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴= AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH =⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴=11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．17．42°或24°【分析】由折叠的性质得出AD ＝PD ＝BD ∠CPD ＝∠B ∠PDC ＝∠BDC ∠PCD ＝∠DCB 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝AB ＝AD ＝BD 由等腰三角形的性质得出∠ACD ＝∠A ∠D解析：42°或24°．【分析】由折叠的性质得出AD ＝PD ＝BD ，∠CPD ＝∠B ，∠PDC ＝∠BDC ，∠PCD ＝∠DCB ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝12AB ＝AD ＝BD ，由等腰三角形的性质得出∠ACD ＝∠A ，∠DCB ＝∠B ，然后分三种情况求解即可．【详解】解：由折叠可得，AD ＝PD ＝BD ，∠CPD ＝∠B ，∠PDC ＝∠BDC ，∠PCD ＝∠DCB ， ∴D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝AD ＝BD ， ∴∠ACD ＝∠A ，∠DCB ＝∠B ，当∠CPD ＝48°时，∠B ＝48°，∴∠A ＝90°﹣∠B ＝42°；当∠PCD ＝48°时，∠DCB ＝∠B ＝48°，∴∠A ＝90°﹣∠B ＝42°；当∠PDC ＝∠BDC ＝48°时，∵∠BDC ＝∠A+∠ACD ，∴∠A ＝12∠BDC ＝24°；故答案为：42°或24°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；灵活运用相关性质是解题的关键．18．1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS）推出∠DBE＝90°根据勾股定理即可解决问题【详解】解：在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝4∴AB8①如图1中当点D在线段AB上时绕点C逆时针旋转解析：1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE＝90°，根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝42，∴AB22=+=8，AC BC①如图1中，当点D在线段AB上时，绕点C逆时针旋转90°到CE，连接BE，DE，则∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∵CD＝5，∴DE＝52，∵BE2+BD2＝DE2，∴AD2+（8﹣AD）2＝（52）2，解得：AD＝1或7；②如图2，当点D在线段AB的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图2这种情况不符合条件③如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图3这种情况不符合条件综上所述，AD 的长为1或7；故答案为：1或7．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD 则可证明∠C=∠ABC 于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB 如图利用角平分线的性质得到DE=DHDH=DF 则可对③进行判断；证明△A解析：①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD ，则可证明∠C=∠ABC ，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB ，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH ，DH=DF ，则可对③进行判断；证明△ADE ≌△ADH 得到AH=AE ，同理可得BH=BF ，则可对④进行判断．【详解】解：∵BC 恰好平分∠ABF ，∴∠ABC=∠FBD ，∵AC ∥BF ，∴∠C=∠FBD ，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，CD=BD ，∴AD 是ABC ∆的高；ABC ∆是等腰三角形；所以①正确；②错误；过D点作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE=DH，∵AC∥BF，DE⊥AC，∴DF⊥BF，∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，∴DH=DF，∴DE=DF，所以③正确；在△ADE和△ADH中，AD AD DE DH=⎧⎨=⎩，∴△ADE≌△ADH（HL），∴AH=AE，同理可得BH=BF，∴AB=AH+BH=AE+BF，所以④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．20．【分析】设PG=x由点P在AC上以点P为中心将△ABC顺时针旋转90°得到△DEF可得∠D=∠A=30°PD=PA∠APD=90°利用30°角所对直角边等于斜边的一半可得DG=2PG=2x在Rt△D31-【分析】设PG=x，由点P在AC上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，可得∠D=∠A=30°，PD=PA，∠APD=90°利用30°角所对直角边等于斜边的一半可得DG=2PG=2x，在Rt△DFG中，由勾股定理223DG PG x-，可求GA)31x=，两线段比即可求出AG：DG=31-=即可．【详解】设PG=x，点P在AC上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，∴∠D=∠A=30°，PD=PA，∠APD=90°，∴DG=2PG=2x ，在Rt △DFG 中，由勾股定理PG=222243DG PGx x x -=-=，GA=AP-PG=DP-PG=()331x x x -=-， AG ：DG=()31312x --：2x=．故答案为：312-．【点睛】本题考查两线段的比，图形的旋转，勾股定理，30°角直角三角形性质，线段的和差等知识，掌握图形的旋转性质，勾股定理应用，30°角直角三角形性质，线段的和差，会求两线段的比是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由余角的性质可得F EAC ∠=∠，从而运用“角角边”证明即可；（2）作FM AC ⊥，同（1）证明过程可得FM AC BC ==，AM CE =，从而证明CD MD =，则可得M 为AC 的中点，最终可得E 点为BC 的中点．【详解】（1）∵AF AE ⊥，∴90FAG EAC ∠+∠=︒，∵FG AC ，∴90AGF ∠=︒，90FAG F ∠+∠=︒，∴F EAC ∠=∠，在AGF 与ECA △中，AGF C F EAC AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AGF ECA AAS ≌；（2）如图所示，作FM AC ⊥，由（1）可知AMF ECA △≌△，则FM AC BC ==，AM CE =，在DFM 和DBC △中，MDF CDB DMF DCB FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DFM DBC AAS △≌△， ∴CD MD =，∵3AD CD =，∴AM CM =，∴CM CE =，∵AC BC =，∴BE CE =，即：E 点为BC 的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形中常考的证明模型是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）利用对称的性质得AB 垂直平分CD ，则BC =BD ，AC =AD ，利用等腰三角形的性质得∠ADE =∠ACB ，再利用AB =AC 得到∠ACB =∠ABF ，AD =AB ，所以∠ABF =∠ADE ，然后证明△ABF ≌△ADE ，从而得到结论．【详解】（1）解：如图，（2）证明：连接AD ，如图，∵点C ，D 关于直线AB 对称，∴AB 垂直平分CD ，∴BC BD =，AC AD =，∴ADE ACB ∠=∠，∵AB AC =，∴ACB ABF ∠=∠，AD AB =，∴ABF ADE =∠∠，在ABF 和ADE 中，AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF ADE SAS ≅△△，∴AF AE =．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）以B 为圆心，小于AB 长为半径画弧，交AB ，BC 于点M 、N ，分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的一半为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点F ；（2）根据角平分线的性质和平行线性质可得等腰三角形中有2个角相等，即可得到所求三角形是等腰三角形．【详解】解：（1）如图：（2）根据作图可知12CBE ABE ABC ∠=∠=∠，又四边形ABCD 是平行四边形 //AE BC ∴即AEB CBE ∠=∠∴在ABE △中，AEB ABE ∠=∠∴AE=AB ，即ABE △是等腰三角形【点睛】考查角平分线的画法及等腰三角形的判定；用到的知识点为：等角对等边．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC=DB，所以AC=AD+BD，于是可判断D点满足条件；（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，从而得到结论．【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）证明：∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC=3，在△ABD中，∵BD=3，AB=4，AD=5，∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，∴AB⊥BD．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．25．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②A；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF，（等边对等角）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，则AG=BG在△BCG中，BG+CG＞BC，∴BG+CG＞BC，∴AC＞BC∴AB＞AC＞BC．任务三：①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，正确；③∵Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是斜边AC，正确；④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC，正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查三角形的边与角之间的不关系的推导及其应用，涉及三角形的外角性质、等腰三角形的等角对等边性质、三角形的内角和定理、判断三角形的形状、命题的证明等知识，掌握在一个三角形中，大角对大边，小角对小边这一性质的推导过程，会利用转化的思想进行命题的证明是解答的关键．26．(1)证明见解析；(2) ∠ACF 的度数是20°．【分析】（1）根据HL 即可解决问题；（2）求出∠BAE 的度数，可得∠BCF 的度数，由此即可解决问题．【详解】解：（1）∵CB 垂直于AB ，∴∠ABC=∠ABE=90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵AE CF AB CB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）∵在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，∴∠ACB=∠CAB=45°，∵70CAE ∠=︒，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=25°．又由（1）知，Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BAE=∠BCF=25°，∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°．即∠ACF 的度数是20°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(2)

故选B．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）
A．30B．36C．45D．72
【答案】B
【解析】
【分析】
由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；
12．如图，、分别是边、上的点，，点为中点，设的面积为，的面积为，若，则（）
A． B．1C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ,根据三角形中线的性质及面积求解方法得到，，故可求解．
【详解】
∵点为中点
∴ = 4.5
∵
∴ = 3
∵ = =
∴ 4.5-3=
故选C．
9．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()
A．2B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【详解】
∵EF∥AC，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（）A ．αB ．52αC ．2αD ．32α 2．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°3．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 4．已知三角形的两边长分别为3和8，且周长恰好是5的倍数，那么第三边的长为（）A ．4B ．9C ．14D ．4或9 5．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AE CE ⊥于点E ，BD CE ⊥于点D ，5AE cm ＝，2BD cm ＝，则DE 的长是（）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm6．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（）A ．2，9B ．17，29C ．3，12D ．4，47．直角ABC 、DEF 如图放置，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，AB DE =且AB DE ⊥．若DF a =，BC b =，CF c =．则AE 的长为（）A ．a c +B ．b c +C ．a b c +-D ．a b c -+ 8．根据下列条件能唯一画出ABC 的是（）A ．AB ＝5，BC ＝6，AC ＝11B ．AB ＝5，BC ＝6，∠C ＝45° C ．AB ＝5，AC ＝4，∠C ＝90°D ．AB ＝5，AC ＝4，∠C ＝45°9．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．7 10．以下列长度的三条线段为边能组成三角形的是（） A ．2、3、1 B ．2、3、5 C ．10、4、5 D ．14、15、16 11．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA 12．如图，已知ABC ADE △≌△，若70E ∠=︒，30D ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．80︒B ．70︒C ．40︒D ．30二、填空题13．如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，BE 平分NBA ∠，BE 的反向延长线与BAO ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠的度数是_______．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝11cm ，BC ＝5cm ，CD 为AB 边上的高，点E 从点B 出发，在直线BC 上以4cm/s 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD 于点F ，当点E 运动_____s 时，CF ＝AB ．15．如图，已知∠A ＝47°，∠B ＝38°，∠C ＝25°，则∠BDC 的度数是______．16．如图，已知ABC 的面积是24，点D 是BC 的中点，AC =3AE ，那么CDE △的面积是____________．17．如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．18．如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．19．如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM=ON ，在分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是____________20．如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，AE ＝4，△ABC 的面积为12，则CD 的长为_____．三、解答题21．如图，AB AC =，AD AE =，BAD CAE ∠=∠，求证：D E ∠=∠．22．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．23．如图，,,AB DE BF CE B E ==∠=∠，求证：ABC DEF ≅．24．ABC ，点M 为射线CD 上任意一点（点M 与点C 不重合）．连接BM ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转得到线段BN ，连接NA 并延长，交直线CD 于点E ．（1）如图1，ABC 是等边三角形，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BN ，猜想MEN ∠的度数，并证明．（2）如图2，若50BAC BC ∠=∠=︒，将线段BM 绕点B 逆时针旋转80︒得到线段BN ，猜想MEN ∠的度数，并证明．25．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．26．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．【详解】解：如下图所示，∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，∴21α∠-∠=，∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，∵//DE BA ，∴2ABE BED α∠==∠，故选：C ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．2．A解析：A【分析】根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．【详解】根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．3．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.4．B解析：B【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的范围，再找出是5倍数的数即可．【详解】∵三角形的两边长分别为3和8∴5<第三边长<11∴11<周长<22∵周长恰好是5的倍数∴周长是15或20∴第三边长是4或9∵3,4,8不能组成三角形∴第三边是9故选B ．【点睛】本题考查知识点是三角形三边关系，记住三边关系式解题关键．5．C解析：C【分析】利用垂直定义及同角的余角相等可得∠AEC ＝∠D ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠BCD ，根据AAS证明△ACE ≌△CBD ，可得AE ＝CD ＝5cm ，CE ＝BD ＝2cm ，由此即可求出DE 的长．【详解】解：∵AE ⊥CE ，BD ⊥CE ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠D ＝∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ACE ＝90°，∠ACE ＋∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∵AC ＝BC ，∴△ACE ≌△CBD （AAS ），∴AE ＝CD ，CE ＝BD ，∵AE ＝5cm ，BD ＝2cm ，∴DE ＝CD−CE ＝5−2＝3cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 6．A解析：A【分析】根据三角形三边关系判断即可；【详解】9211+=＞8，927-=＜8，故A 正确；172946+=＞8，291712-=＞8，故B 错误；12315+=＞8，1239-=＞8，故C 错误；448+=，故D 错误；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．7．C解析：C【分析】先利用AAS 证明ABC DEF ≅，再根据全等三角形的性质进行线段和差计算即可．【详解】解：90ACB ∠=︒，DE AB ⊥，90A B ∴∠+∠=︒，90A E ∠+∠=︒，B E ∴∠=∠，在ABC 与DEF 中90B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴≅△△；AC DF =∴，BC EF =，∵DF a =，BC b =，CF c =，AE AC EF CF =+-，∴AE a b c =+-故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS 定理进行证明是关键．8．C解析：C【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．【详解】解：A ：AC 与 BC 两边之和不大于第三边，所以不能作出三角形；B ：∠C 不是 AB ，BC 的夹角，故不能唯一画出△ABC ；C ：AB=5，AC=4，∠C=90°，所以BC=3，故能唯一画出△ABC ；D ：∠C 并不是 AB ，AC 的夹角，故可画出多个三角形；故选： C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．10．D解析：D【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A 、1+2=3，故不能组成三角形；B 、2+3=5，故不能组成三角形；C 、4+5<10，故不能组成三角形；D 、14+15>16，故能组成三角形；故选：D ．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，熟记三边关系是解此题的关键． 11．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.12．A解析：A【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD ，在△ADE 中可求得∠EAD ，则可求得∠BAC ．【详解】解：∵∠E=70°，∠D=30°，∴∠EAD=180°-∠E-∠D=180°-70°-30°=80°，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC=∠EAD=80°，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出再根据角平分线的定义求出和然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解【详解】解：根据三角形的外角性质可得平分解析：45︒【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出ABN ∠，再根据角平分线的定义求出ABE ∠和BAC ∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【详解】解：根据三角形的外角性质，可得ABN AOB BAO ∠=∠+∠， BE 平分NBA ∠，AC 平分BAO ∠， 12ABE ABN ∴∠=∠，12BAC BAO ∠=∠，C ABE BAC ∴∠=∠-∠，1)2ABN BAO =∠-∠， ()1122AOB BAO BAO =∠+∠-∠， 12AOB =∠， 90MON ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，190452C ∴∠=⨯︒=︒．故答案为：45°．本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．4或15【分析】①点E 在射线BC 上移动时若E 移动4s 则BE ＝4×4＝16（cm ）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论②点E 在射线CB 上移动时若E 移动15s 则BE′＝15×4＝6（cm ）根据全等三角解析：4或1.5【分析】①点E 在射线BC 上移动时，若E 移动4s ，则BE ＝4×4＝16（cm ），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．②点E 在射线CB 上移动时，若E 移动1.5s ，则BE′＝1.5×4＝6（cm ），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：①如图，当点E 在射线BC 上移动时，若E 移动4s ，则BE ＝4×4＝16（cm ）， ∴CE ＝BE−BC ＝16−5＝11cm ．∴CE ＝AC ，∵∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠A ，∴∠BCD=∠A ，∵∠ECF=∠BCD ，∴∠ECF=∠A ，在△CFE 与△ABC 中，=90ECF A CE ACCEF ACB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝， ∴△CEF ≌△ABC （ASA ），∴CF ＝AB ，②当点E 在射线CB 上移动时，若E 移动1.5s ，则BE′＝1.5×4＝6（cm ），∴CE′＝BE′＋BC ＝6＋5＝11（cm ），∴CE′＝AC ，在△CF′E′与△ABC 中，90E CF A CE ACCE F ACB ∠''∠⎧⎪'⎨⎪∠''∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△CF′E′≌△ABC （ASA ），∴CF′＝AB ，综上所述，当点E 在直线CB 上移动8s 或3s 时，CF′＝AB ；故答案为：1.5或4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．110°【分析】连接AD 并延长根据三角殂的外角性质分别表示出∠3和∠4因为∠BDC 是∠3和∠4的和从而不难求得∠BDC 的度数【详解】解：连接AD 并延长∵∠3=∠1+∠B ∠4=∠2+∠C ∴∠BDC=∠解析：110°【分析】连接AD ，并延长，根据三角殂的外角性质分别表示出∠3和∠4，因为∠BDC 是∠3和∠4的和，从而不难求得∠BDC 的度数．【详解】解：连接AD ，并延长．∵∠3=∠1+∠B ，∠4=∠2+∠C ．∴∠BDC=∠3+∠4=（∠1+∠B ）+（∠2+∠C ）=∠B+∠BAC+∠C ．∵∠A ＝47°，∠B ＝38°，∠C ＝25°．∴∠BDC=47°+38°+25°=110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 16．8【分析】先根据三角形中线的性质可得的面积为12再根据线段的和差可得然后根据三角形的面积公式即可得【详解】点D 是BC 的中点是的中线又的AC 边上的高等于的CE 边上的高即的面积是8故答案为：8【点睛】本解析：8【分析】先根据三角形中线的性质可得ACD △的面积为12，再根据线段的和差可得23CE AC =，然后根据三角形的面积公式即可得．【详解】点D 是BC 的中点，AD ∴是ABC 的中线， 11241222ACD ABC S S ∴==⨯=， 3AC AE =，23CE AC ∴=，又ACD 的AC 边上的高等于CDE △的CE 边上的高，2212833A CDE CD S S ∴==⨯=，即CDE △的面积是8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中线、线段的和差等知识点，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键． 17．8【分析】在BC 上取CD′=BD 连接AD′证明△ACD′≌△ABD 得到AD′=AD ∠CAD′=∠BAD 从而证明△AED′≌△AED 得到D′E=DE ∠AED′=∠AED 过A 作AF ⊥BCAF 与BC 交于点解析：8【分析】在BC 上取CD′=BD ，连接AD′，证明△ACD′≌△ABD ，得到AD′=AD ，∠CAD′=∠BAD ，从而证明△AED′≌△AED ，得到D′E=DE ，∠AED′=∠AED ，过A 作AF ⊥BC ，AF 与BC 交于点F ，从而推断出BP+DP=BP+D′P 最小值为P 点与E 点重合时，BP 与D′P 共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC 上取CD′=BD ，连接AD′，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABC ，∵∠ABC=∠ABD ，∴∠C=∠ABD ，又CD′=BD ，AC=AB ，∴△ACD′≌△ABD （SAS ），∴AD′=AD ，∠CAD′=∠BAD ，∴∠DAD′=∠BAC ，∵2∠EAD=∠BAC=∠DAD′，∴∠D′AE=∠DAE ，又AD′=AD ，AE=AE ，∴△AED′≌△AED （SAS ），∴D′E=DE ，∠AED′=∠AED ，∴D′在直线BD 上，过A作AF⊥BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∴CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵△ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF⊥BC，AD′=AD=2.6，∴F为BC中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8，∴22223 1.8 2.4AC CF--=，∴22222.6 2.41AD AF'--=，∴BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∴BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．18．180°【详解】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°故答案为：180°解析：180°【详解】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°故答案为：180°19．全等三角形判定（斜边和直角边对应相等）【分析】利用判定方法HL证明Rt△OMP和Rt△ONP全等进而得出答案【详解】解：在Rt△OMP和Rt△ONP 中∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）∴∠MOP＝解析：全等三角形判定（斜边和直角边对应相等HL）【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故答案为HL【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定20．3【分析】利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题【详解】∵AE ⊥BCAE ＝4△ABC 的面积为12∴×BC×AE ＝12∴×BC×4＝12∴BC ＝6∵AD 是△ABC 的中线∴CD ＝BC ＝3故答案为3【点解析：3【分析】利用三角形的面积公式求出BC 即可解决问题．【详解】∵AE ⊥BC ，AE ＝4，△ABC 的面积为12， ∴12×BC×AE ＝12， ∴12×BC×4＝12， ∴BC ＝6，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．三、解答题21．见解析【分析】直接利用SAS 证明ADC AEB △≌△，再根据全等三角形的性质即可求解；【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠∴BAD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠即CAD BAE ∠=∠∴在ADC 与AEB △中AD AE CAD BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADC AEB SAS ≌△△∴D E ∠=∠【点睛】本题考查了全等三角形的证明以及全等三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键； 22．（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △≌DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，∴7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，∴16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，∴90DEF DEC ==︒∠∠，∴在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，∴Rt DEF △≌DEC Rt △，FD CD ∴=，∵FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．23．证明见详解．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．【详解】证明：∵BF ＝CE ，∴BF+CF=CE+CF ，∴BC ＝EF ，∴在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．24．（1）60MEN ∠=︒，证明见解析；（2）80MEN ∠=︒，证明过程见解析；【分析】（1）根据等边三角形的性质证明()△△ABN CBM SAS ≅，设EAC x ∠=，ACE y ∠=，则MEN x y ∠=+，18060120NAB x x ∠=︒-︒-=︒-，60+y MCB ∠=︒，列式计算即可；（2）根据已知条件证明()△△ABN CBMSAS ≅，得到NAB MCB ∠=∠，即可得到结果；【详解】（1）∵ABC 是等边三角形，∴AB CB =，60ABC ABM MBC ∠=︒=∠+∠，又∵60NBM NBA ABM ∠=︒=∠+∠，∴NBA MBC ∠=∠，在△ABN 和△CBM 中，BN BM NBA MBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ABN CBM SAS ≅，∴NAB MCB ∠=∠，设EAC x ∠=，ACE y ∠=，则MEN x y ∠=+，18060120NAB x x ∠=︒-︒-=︒-，60+y MCB ∠=︒，∴12060x y ︒-=︒+，∴1206060x y +=︒-︒=︒，即60MEN ∠=︒；（2）∵50BAC BCA ∠=∠=︒，∴BA BC =，180505080ABC ABM MBC ∠=︒-︒-︒=︒=∠+∠，又∵80NBM NBA ABM ∠=︒=∠+∠，∴NBA MBC ∠=∠，在△ABN 和△CBM 中，BN BM NBA MBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ABN CBM SAS ≅，∴NAB MCB ∠=∠，设EN 与BC 相较于点F ，∴180MEN CFE FCE ∠=︒-∠-∠，()180NFB MBC BNA =︒-∠-∠+∠，()180NFB NBA BNA =︒-∠-∠+∠，ABC =∠，80=︒，即80MEN ∠=︒；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质，旋转的性质求解是解题的关键．25． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ⊥,BE CE ⊥90ADC CEB ∴∠=∠=︒90BCE CBE ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒90BCE ACD ∴∠+∠=︒CBE ACD ∴=∠在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ∴△≌△CD BE ∴=,AD CE =又 2.5cm AD =,1cm BE =2.5cm CE ∴=,1cm =CD2.51 1.5cm DE CE CD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE ∴≌的三个条件．26．周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．。

(必考题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试(包含答案解析)

一、选择题1．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 2．已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（） A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm 3．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A ．2cm ，3cm ，4cmB ．1cm ，4cm ，2cmC ．1cm ，2cm ，3cmD ．6cm ，2cm ，3cm 4．如图，已知AB =AD ，AC =AE ，若要判定△ABC ≌△ADE ，则下列添加的条件中正确的是（）A ．∠1=∠DACB ．∠B =∠DC ．∠1=∠2D ．∠C =∠E 5．已知如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=70°，∠C=25°，则∠OAD=（）A ．95°B ．85°C ．75°D ．65°6．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A．2B．5C．3D．77．如图，△ACB≌△A′C B′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（）A．40°B．35 C．30°D．45°≌，则点Q可能是图中的（）8．图中的小正方形边长都相等，若MNP MFQA．点D B．点C C．点B D．点A9．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④10．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去11．已知三角形的三边长分别是3，8，x，则x的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．312．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④二、填空题13．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为_____．14．如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．15．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．16．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．17．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．18．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是．19．在平面直角坐标系中，点A （2，0）B （0，4）,作△BOC ，使△BOC 和△ABO 全等，则点C 坐标为________20．已知：AD 、AE 分别是ABC 的高，中线，6BE =，4CD =，则DE 的长为_________．三、解答题21．已知ABC 的周长为37cm ，AD 是BC 边上的中线，23AC BC =．（1）如图，当15AB cm =时，求BD 的长．（2）若14AC cm =，能否求出DC 的长？为什么？22．如图：已知AD CB =，CE BD ⊥，AF BD ⊥，垂足分别为点E 、F ，若DE BF =，求证：//AD BC ．23．如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．24．如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC ∠=∠=∠．若BE 的长为5，求AD 的长．25．如图，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线上，∠A =∠D ，AB //DE ，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC ≌△DEF ．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB =DE ；乙说：添加AC //DF ；丙说：添加BE =CF ．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．26．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.2．B解析：B【分析】利用三角形的三边关系即可求解．【详解】解：第三边长x 的范围是：8383x -<<+，即5cm 11cm x <<，故选：B ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可．【详解】A 、2+3＞4，能围成三角形；B 、1+2＜4，所以不能围成三角形；C 、1+2=3，不能围成三角形；D 、2+3＜6，所以不能围成三角形；故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．4．C解析：C【分析】根据题目中给出的条件AB AD =，AC AE =，根据全等三角形的判定定理判定即可．【详解】解：AB AD =，AC AE =，则可通过12∠=∠，得到BAC DAE ∠=∠，利用SAS 证明△ABC ≌△ADE ，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．5．B解析：B【分析】根据△OAD ≌△OBC 得∠OAD=∠OBC ，再根据三角形内角和定理求出∠OBC 的度数即可．【详解】∵△OAD ≌△OBC ，∴∠OAD=∠OBC ，∵∠O=70°，∠C=25°，∴∠OBC=180°-70°-25°=85°，∴∠OAD=85°故选B ．考点: 1.全等三角形的性质；2.三角形内角和定理．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明6．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．7．A解析：A【分析】根据已知ACB ≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．【详解】解：∵ACB ≌A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，∵∠ACB′=100︒，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8．A解析：A【分析】根据全等三角形的判定即可解决问题．【详解】解：观察图象可知△MNP ≌△MFD ．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．C解析：C【分析】三角形有三条中线对①进行判断；钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断．【详解】①三角形有三条中线，故①错误；②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确；综上，选项①②③错误，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．10．C解析：C【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．11．A解析：A【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，8，x，∴8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．12．B解析：B【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．二、填空题13．40或75【分析】设BE=2t则BF=3t使△AEG与△BEF全等由∠A＝∠B＝90°可知分两种情况：情况一：当BE=AGBF=AE时列方程解得t可得AG；情况二：当BE=AEBF=AG时列方程解得解析：40或75．【分析】设BE=2t,则BF=3t,，使△AEG 与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当 BE = AG ，BF = AE 时，列方程解得t ，可得 AG；情况二：当 BE = AE ，BF = AG时，列方程解得 t ，可得AG．【详解】设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝100，∴3t＝100﹣2t，解得：t＝20，∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝100，∴2t＝100﹣2t，解得：t＝25，∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，综上所述，AG＝40或AG＝75．故答案为：40或75．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．14．或2【分析】分两种情况：（1）当点D位于CB延长线上时如图：过点E作AP延长线的垂线于点M可证可得由等腰三角形的性质可得AC=BC根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D位于CB之间时如图过点E作解析：25或2【分析】分两种情况：（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，可证ADC△AEM≌△，EMP△BCP≌△，可得,AM CD PC PM==，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D位于CB之间时，如图过点E作AP的垂线于点N，可证ADC△AEN≌△，ENP△BCP ≌△，可得,AN CD PC PN==，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线段的和差关系可证的结论；【详解】（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，ABC为等腰直角三角形AC BC∴=90BCP ACD AME∴∠=∠=∠=︒90ADC DAC∴∠+∠=︒AE AD⊥90DAE∴∠=︒90DAC EAM∴∠+∠=︒ADC EAM∴∠=∠AD AE=∴在ADC和AEM△中ADC EAMACD AMEAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EAM∴CD MA=，AC EM=EM BC∴=BPC EPM∠=∠∴在BCP 和EMP 中BCP EMP BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EMP △BCP ≌△PC PM ∴=CD AM =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PM x ==3AC BC x ∴==5CD AM x ∴==CD BD BC =+2BD x ∴= 2255BD x CD x ∴== （2）当点D 位于CB 之间时，如图：过点E 作AP 的垂线于点N ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90ACD ANE ∴∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAN ∴∠+∠=︒ADC EAN ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEN △中ADC EAN ACD ANE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAN∴CD NA =，AC EN =EN BC ∴=BPC EPN ∠=∠∴在BCP 和ENP 中BCP ENP BPC EPN BC EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ENP △BCP ≌△PC PN ∴=CD AN =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PN x ==3AC BC x ∴==CD AN x ∴==CD BC BD =-2BD x ∴=22BD x CD x∴== 故答案为：25或2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．15．50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 先证明∠CBE=∠ACD 从而证明∆ACD ≅∆CBE 进而即可求解【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ∵BE ⊥CE ∴∠BEC=∠CDA=90°解析：50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，先证明∠CBE=∠ACD ，从而证明∆ ACD ≅∆ CBE ，进而即可求解．【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD ，在∆ ACD 与∆ CBE 中，∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ ACD ≅∆ CBE （AAS ），∴BE=CD=10，∴BCD ∆的面积=12CD∙BE=12×10×10=50，故答案是50．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键． 16．【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC ∠A1CD=∠ACD 整理得到∠A1=∠A 同理可得∠A2=∠A1从而判断解析：4θ 2nθ 【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12，然后表示出∠A n 即可得答案．【详解】∵ACD ∠是ABC 的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∵ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∴∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1=14∠A ， ∵∠A=θ，∴∠A 2=4θ，同理：∠A 3=12∠A 2=382θθ=， ∠A 4=12∠A 3=4162θθ= ……∴∠A n =2n θ．故答案为：4θ，2nθ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 17．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE解析：4cm ．【分析】由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=12BC=12BD=4．【详解】解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB ，在△ABC 和△EDB 中，ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ，AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，∴BE=12BC=12BD=4cm ， ∴AC=4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．18．1＜x ＜6【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边解：由题意有8﹣5＜1+2x ＜8+5解得：1＜x ＜6考点：三角形三边关系解析：1＜x ＜6【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解：由题意，有8﹣5＜1+2x ＜8+5，解得：1＜x ＜6．考点：三角形三边关系．19．(-20)或(24)或(-24)【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形即可得出答案【详解】如图所示：有三个点符合∵点A （20）B （04）∴OB=4OA=2∵△BOC 与△AOB 全等∴OB=解析：(-2,0)或(2,4)或(-2,4)【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．【详解】如图所示：有三个点符合，∵点A （2，0），B （0，4），∴OB=4，OA=2，∵△BOC 与△AOB 全等，∴OB=OB=4，OA=OC=2，∴C 1（-2，0），C 2（-2，4），C 3（2，4）．故答案为（2，4）或（-2，0）或（-2，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C 的位置分情况讨论．20．2或10【分析】由已知条件可推导出；再假设D 点所在的不同位置分别计算即可得到答案【详解】∵是的中线且∴假设点D 在CB 的延长线上如下图∵是的中线且∴∵∴和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点B 之解析：2或10【分析】由已知条件，可推导出6EC BE ==；再假设D 点所在的不同位置，分别计算DE ，即可得到答案．【详解】∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴6EC BE ==假设点D 在CB 的延长线上，如下图∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴212BC BE ==∵4CD =∴CD BC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点B 之间，如下图∵4CD =，6EC =∴CD EC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点C 之间，如下图∴642DE EC CD =-=-=；假设点D 在点BC 延长线上，如下图∴6410DE EC CD =+=+=；故答案为：2或10．【点睛】本题考察了三角形中线和三角形高的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线和三角形高的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）6cm ；（2）不能求出DC 的长，理由见解析【分析】（1）根据23AC AB =，15AB cm =及ABC 的周长为37cm ，可求得BC ，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC 的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC 的长．【详解】解：（1）∵23AC AB =，15AB cm =， ∴215103AC cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=， ∴()3737151012BC AB AC cm =--=--=，又∵AD 是BC 边上的中线， ∴()1112622BD BC cm ==⨯=；（2）不能，理由如下： ∵23AC AB =，14AC cm =， ∴()314212AB cm =⨯=，又∵ABC 的周长为37cm ，∴37AB AC BC ++=， ∴()373721142BC AB AC cm =--=--=，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC 的长．【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．22．见解析【分析】利用已知条件证明△ADF ≌△CBE ，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D ，进而得出结论．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；在Rt △ADF 和Rt △BCE 中DF BE AD CB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADF ≌Rt △CBE （HL ），∴∠B=∠D ，∴//AD BC ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等量加等量和相等得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．23．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE ∠=∠，BAE CED ∠=∠，∴2CDE CED ∠=∠，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键． 24．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC ∠=∠=∠，且1BAE ABE ∠=∠+∠，2CAF ACF ∠=∠+∠， ∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF 中，BAE ACF AB CA ABE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAF ASA ≌△△.∴AF BE =∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． 25．（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，再加上条件∠A =∠D ，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC //DF 不能证明△ABC ≌△DEF ；（2）添加AB =DE ，再由条件AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】（1）解：∵AB //DE ，∴∠B ＝∠DEC ，又∵∠A =∠D ，∴添加AB =DE ，可得△ABC ≌△DEF （ASA ）；添加BE =CF ，可得BC=EF ，可得△ABC ≌△DEF （AAS ）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．26．（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试(包含答案解析)(5)

一、选择题1．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．72．下列说法正确的（）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm4．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6．下列命题中，假命题是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等7．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 8．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 9．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 10．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．411．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若BE=，则四边形ABCD的面积是________．AE=，4cm3cm14．已知在△ABC中，AB＝9，中线AD＝4，那么AC的取值范围是____15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D＝20°，则∠A＝_____．17．如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）18．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是__________．19．如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动，同时，点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，x的值为_____________20．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．三、解答题21．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．求证：（1）CBA FED ∠=∠；（2）AM DM =．22．在ABC 中，AD 是ABC 的高，30B，52C ︒∠=（1）尺规作图：作ABC 的角平分线AE（2）求DAE ∠的大小．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．24．直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．25．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．26．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ．（1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．2．B解析：B【分析】根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．【详解】解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.110＜3.2，因此③正确；④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；所以正确的只有③，故选：B．【点睛】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．3．B解析：B【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，∴OM＝OE＝3cm，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON＝OE＝3cm，∴MN＝OM＋ON＝6cm，即AB与CD之间的距离是6cm，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．4．B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．5．C解析：C【分析】先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．6．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D 、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；8．C解析：C【分析】由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△，故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．10．B解析：B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1 2×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．11．C解析：C【分析】根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；【详解】∵ AD是△ABC的中线，∴ CD=BD，∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，∴ △CDE ≌△BDF(SAS)，所以④正确；∴ CE=BF ，所以①正确；∵ AE 与DE 不能确定相等，∴ △ACE 和△CDE 面积不一定相等，所以②错误；∵ △CDE ≌△BDF ，∴∠ECD=∠FBD ，∴BF ∥CE ，所以③正确；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【详解】解：∵∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；在Rt △POD 和Rt △POE 中，OD DE OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴在△POD 和△POE 中，DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△POD ≌△POE （AAS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；二、填空题13．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形，故答案为：212cm ．【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．14．1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．15．2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE ⊥AB ∴△AED 和△ACD 都是直角三角形在Rt △AED 和Rt △ACD 中DE=DCAD=AD解析：2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴△AED和△ACD都是直角三角形，在Rt△AED和Rt△ACD中，DE=DC,AD=AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．16．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A ＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．【详解】∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），∴∠A＝2∠D＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．17．OA=OB（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB理由是：在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）故答案为：O解析：OA=OB．（答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．【详解】解：OA=OB ，理由是：在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．18．10【分析】作DH ⊥OB 于点H 根据角平分线的性质得到DH=DP=5根据三角形的面积公式计算得到答案【详解】解：作DH ⊥OB 于点H ∵OC 是∠AOB 的角平分线DP ⊥OADH ⊥OB ∴DH=DP=5∴△OD解析：10【分析】作DH ⊥OB 于点H ，根据角平分线的性质得到DH=DP=5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：作DH ⊥OB 于点H ，∵OC 是∠AOB 的角平分线，DP ⊥OA ，DH ⊥OB ，∴DH=DP=5，∴△ODQ 的面积=12×OQ×DH=12×4×5=10；故答案为：10．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 19．2或【分析】由∠A ＝∠B 可知△ACP 与△BPQ 全等时CP 和PQ 是对应边则分AP ＝BQ 和AP ＝PB 两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t 秒则AP ＝2tBP ＝AB －AP ＝8－2tBQ ＝xt ∵∠解析：2或5 2【分析】由∠A＝∠B，可知△ACP与△BPQ全等时，CP和PQ是对应边，则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可．【详解】设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝ xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝5 2故填：2或52．【点睛】本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．20．22【分析】由三角形全等性质可得mn中有一边为5pq中有一边为3mn与pq中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE解析：22【分析】由三角形全等性质可得m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m、n与p、q中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q的最大值．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，∵3+5=8，∴两三角形剩余两边最大为7，∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7=22．【点睛】本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．【详解】证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴CBA FED ∠=∠．（2）∵CBA FED ∠=∠∴ME MB =，且AEMDBM ∠=∠ 又∵AB DE =∴AB EB DE EB -=-即AE DB =在AEM △和DBM △中AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEM DBM SAS △≌△∴AM DM =．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．22．（1）作图见解析；（2）11【分析】（1）以任意长度为半径，点A 为圆心画圆弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于2MN 的长度为半径画圆弧并相交于点K ，连接AK ，AK 交BC 于点E ，即可得到答案；（2）结合题意，根据三角形内角和定理，得BAC ∠；再根据角平分线性质得EAC ∠；结合AD 是ABC 的高，根据直角三角形两锐角互余的性质计算得DAC ∠；最后通过DAE EAC DAC ∠=∠-∠的关系计算完成求解．【详解】（1）作图如下：AE 即为ABC 的角平分线；（2）∵30B ，52C ︒∠=∴180180305298BAC B C ∠=-∠-∠=--=∵AE 为BAC ∠的角平分线 ∴492BAC EAC ∠∠== ∵AD 是ABC 的高 ∴90ADC ∠=∴90905238DAC C ∠=-∠=-=∴493811DAE EAC DAC ∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考查了角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余、三角形高的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．23．见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．【详解】证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）180ACB α∠+∠=︒，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-；②当180ACB α∠+∠=︒时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a ∠=∠=∠，180ACB α∠+∠=︒，BCE ACF EBC BCE ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-．故答案为180ACB α∠+∠=︒；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a ∠=∠=∠，a BCA ∠=∠，又180EBC BCE BEC +∠+∠=︒，180BCE ACF ACB ∠+∠+∠=︒，EBC BCE BCE ACF ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC CFA AAS ∴≅，AF CE ∴=，BE CF =，EF CE CF =+，EF BE AF ∴=+．【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．25．（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．【分析】（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠．（2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．【详解】（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． ∴12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，∴90AOC ∠=︒， ∴1452DOE AOC ∠=∠=︒．（2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为12AOC ∠．【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．。

初中数学三角形专题训练50题含参考答案

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图,已知△ABC的六个元素,则图中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是A．1B．2C．3D．02．如图，以点P为圆心，以x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为()A．B．（4，2）C．（4，4）D．（2，3．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．1个B．2个C ．3个D ．4个4．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：下列选项正确的是（）A ．①处填ECD ∠B ．①处填ECD ∠C ．①处填A ∠D ．①处填B ∠ 5．如图，在一块长方形草地上修速两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中60KHB ∠=︒，已知20AB =米，30BC =米，四块草地总图积为2503m ，设GH 为x 米，则可列方程为（）A ．2030503⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．(20)(30)503x x --=C ．2203097x x x +-=D ．232030974x x x +-= 6．下列四个命题中，是假命题的是（）A ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =7．如图，BD 是①O 的直径，点A 、C 在圆上，且CD ＝OB ，则①BAC ＝（）A．120°B．90°C．60°D．30°8．已知：在平行四边形ABCD中，点M是BC的中点，MAD MDA∠=∠，则B∠=（）A．60°B．90°C．100°D．120°9．两个直角三角形中：①有两条边相等；①一锐角和斜边对应相等；①斜边和一直角边对应相等；①两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（）A．①①①B．①①C．①①D．①①①①10．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（）A．6B．C．D．1211．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，BC=1，CE=2，连接BD，则BD的长为（）A．3B．C．D12．如图，在△ABC中，①ACB＝90°，①B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，则①CDE 等于（）A ．8°B ．10°C ．15°D ．20° 13．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为5，BE AF =，120BAD ∠=︒，则下列命题中正确的是（）①BEC AFC ≌；①ECF △为等边三角形；①ECF △的边长最小值为①若2AF =，则23FGC EGC S S =△△．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 14．如图，在直角①O 的内部有一滑动杆AB ，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A ′B ′处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是（）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分15．如图，平面内三点A 、B 、C ，AB ＝，AC ＝BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A．5B．C．7D．16．在ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若AOB的面积是8，则ABCD□的面积是（）A．16B．24C．32D．4017．如图，已知半圆O的直径8AB=，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是（）A．7B．6C．5D．418．梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为（）A．5B．10C．503D．25319．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A（x1，0）和B（x2，0），与y轴负半轴交点为C，点D为线段OC上一点．且满足c=x1+b，①ACO=①DBO，则下列说法：①b-c=1；①①AOC①①DOB；①若①DBC=30°，则抛物线的对称轴为直线x①当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上，则抛物线的解析式为y=x2-2x-3．正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①二、填空题20．如图，P 是MON ∠的平分线上一点，PA ON ⊥于点A ，Q 是射线OM 上一个动点，若8PA =，则PQ 的最小值为______．21．△ABC 中，①A=40o ，①B=60o ，则与①C 相邻外角的度数是______．22．在ABC 中，15,13AB AC ==，高12AD =，则ABC 的周长是 _____． 23．如图，已知ABC BAD ≌，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，且60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，则BAD ∠ 的度数是_______24．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是________．25．等腰三角形的周长18cm ，其中一边长为8cm ，则底边长为 ___________cm ． 26．如图，在①ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．27．如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的________.28．如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，①B =90°，AC =BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D ，E ，F 在三角形的边上），则此正方形的面积是_______．29．如图，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O EF ⊙，与BC CD ，分别相交于点G ， H . 若6AE =，则EG 的长为________.30．如图，在等边①ABC 中，BC =9，点O 是AC 上的一点，点D 是BC 上的一点，若①APO ①①COD ，AO =2.7，则BP =__________．31．平行四边形ABCD 中，E 为BA 延长线上的一点，CE 交AD 于F 点，若:1:3AE AB =，则:CDF ABCF S S =四边形________．32．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将①BCD 沿直线CD 翻折得到①ECD ，连接AE ．若AC ＝6，BC ＝8，则①ADE 的面积为____．33．已知：如图，以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为__．34．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 上的点，AE ①BC ，若sin B ＝35，EC ＝3，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 最小时，BP 长为_____．35．如图，AB 为①O 的直径，弦CD①AB 于E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则①O 半径为________．36．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将①BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么①CAE 的度数是_____度．37．如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，E 在CD 上，将ADE ∆沿AE 翻折至AD E '∆，且AD '刚好过BC 的中点P ，则D EC '∠=_________．38．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题39．如图，在ABC 中，44ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，60C ∠=︒，22BDE ∠=︒．(1)求证：DE//AB；∠的度数．(2)求ADB40．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，过点A作对角线AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．(1)求证：四边形AODF是矩形；(2)若AD＝10，①ABC＝60°，求OF和OA的长．=，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分①ABC交41．如图，在①ABC中，AB ACAC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．(1)若36∠=︒，求①BAD的度数；C(2)求证：点F在BE的垂直平分线上．42．如图，已知EF①BC，AD①BC，①1=①2，①判断DM与AB的位置关系，并说明理由；①若①BAC=70°，DM平分①ADC，求①ACB的度数．43．如图1，线段AD，BC相交于点O，32B︒∠=，38∠=．D︒（1）若60A ︒∠=，求AOB ∠和C ∠的度数；（2）在（1）的条件下，如图2，若BAO ∠、DCO ∠的平分线AM ，CM 相交于点M ，求M ∠度数；（3）若改变条件，设B α∠=，D β∠=，试用含αβ，的代数式表示M ∠的大小． 44．已知抛物线y ＝x 2+(12m ﹣2)x ﹣3，抛物线与坐标轴交于点A (3，0)、B 两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P (2，a )在抛物线上时．①如图1，过点P 不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点，求直线l 1的方程；①如图2，若直线l 2：y ＝2x +b 交抛物线于M ，点M 在点P 的右侧，过点P (2，a )作PQ ①y 轴交直线l 2于点Q ，延长MQ 到点N 使得MQ ＝NQ ，试判断点N 是否在抛物线上？请说明理由．45．已知：如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一直线上，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，CE =BF ，求证：AB //CD ．46．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD⊥，垂足为点E，BF AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.47．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．(1)根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．=，______;已知：在锐角ABC中，AB AC求证：______．(2)证明：48．如图，已知①ABC中，AB=AC，①A=108°，BD平分①ABC．求证：BC=AB+CD．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可【详解】解：由已知，甲全等条件不具备，乙和△ABC满足两角夹边，故全等，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，故全等，因此，有两个三角形可以判定三角形全等. 2．C【分析】作PC①AB于C，如图，由点A和点B坐标得到AB=4，再根据垂径定理得到AC=BC=2，然后根据勾股定理计算出PC=4，于是可确定P点坐标．【详解】解：作PC①AB于C，如图，①点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），①OA=2，OB=6，①AB=OB-OA=4，①PC①AB，①AC=BC=2，在Rt△P AC中，①P A AC=2，①PC，①OC=OA+AC=4，①P点坐标为（4，4）．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、坐标与图形性质．3．C【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与①A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．【详解】解：①BA=BC，①①A=①C，①作PE①BC，可得①APE①①ABC．①作PF①AC，可得①BPF①①BAC．①作①APG=①A，可得①AGP①①ABC，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．B【分析】延长BC到点D，过点C作CE①AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到①A＋①B＋①ACB＝180°．【详解】延长BC到点D，过点C作CE①AB，①CE①AB．①①A＝①ACE（两直线平行，内错角相等）．①B＝①ECD（两直线平行，同位角相等）．①①ACB＋①ACE＋①ECD＝180°（平角定义）．①①A＋①B＋①ACB＝180°（等量代换）．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．5．D【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：过H 作HM ①LG 于M ，①①KHB =60°，//LG KH ，①①HGM =①KHB =60°，①①HMG =90°，①HM ， ①长方形的面积=20×30=600（cm ）2，①四块草地总面积为503m 2，①通道的面积为：20x +30x -34x 2=97，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【分析】根据平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等逐项判断．【详解】A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故A 不符合题意；B.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B 符合题意；C.三角形任意两边之和大于第三边，故C 不符合题意；D.如果a ＝b ，a ＝c ，那么b ＝c ，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行公理，平行线的性质及三角形三边关系等教材上的相关结论．7．C【分析】根据题意得OCD ∆为等边三角形，则60COD ∠=︒，根据圆周角定理得出BAC ∠的度数．【详解】解：连接OC ，CD OB =，OCD ∴∆为等边三角形，60COD ∴∠=︒，180120BOC COD ∴∠=︒-∠=︒，111206022BAC BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理的内容．8．B【分析】由MAD MDA ∠=∠，得AM =DM ，再由平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，则①B +①C =180°，然后证△ABM ①△DCM (SSS )，得①B =①C ，即可求得①B 度数．【详解】解：如图，过点M 作MN ①AD 于N ，①MAD MDA ∠=∠，①AM =DM ，①平行四边形ABCD ，①AB =CD ，AB ∥CD ，①①B +①C =180°，①点M 是BC 的中点，在△ABM 与△DCM 中，AB DC BM CM AM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，①△ABM ①△DCM (SSS )，①①B =①C ，①2①B =180°，①①B =90°，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一分析即可得到答案．【详解】解：①两个直角三角形中有两条边相等，不能证明两个直角三角形全等，如一条直角边相等，另一个直角边与斜边相等；①两个直角三角形中一锐角和斜边对应相等，可用AAS 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中斜边和一直角边对应相等，可用HL 证明两个直角三角形全等； ①两个直角三角形中两个锐角对应相等，不能证明两个直角三角形全等；故选B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理，熟知直角三角形的判定定理有AAS SAS ASA SSS HL ，，，，是解题的关键．10．A【分析】先求出中心角120AOE ∠︒＝，证得OAF △是等边三角形，得到AF R =，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．【详解】解：连接OF ，设①O 的半径为R ，①O 是正六边形ABCDEF 的中心， ①360606AOF EOF ︒∠=∠==︒， ①120AOE ∠︒＝，①OAF △是等边三角形，①AF OA R ==，①扇形AOE 的面积是12π， ①212012360R ππ=， ①236R ＝，①6AF R ==，①正六边形的边长是6，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径．11．D【分析】作DF①CE 于F ，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．【详解】过D 作DF①CE 于F ，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1，在直角三角形CDF 中，根据勾股定理，得：DF 2=CD 2-CF 2=22-12=3，在直角三角形BDF 中，BF=BC+CF=1+1=2，根据勾股定理得：故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.12．B【分析】由题意得MN 垂直平分AB ，得到AD =BD ，①ADE =90°，证得CD =AD =BD ，求出①ADC =2①B ＝80°，即可得到①CDE 的度数．【详解】解：由题意得MN 垂直平分AB ，①AD =BD ，①ADE =90°，①①ACB ＝90°，①CD =AD =BD ，①①BCD =①B ＝40°，①①ADC =2①B ＝80°，①①CDE =①ADE -①ADC =10°，故选：B ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．13．C【分析】根据菱形的性质可得AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，从而可得①B ＝60°，进而证明△ABC 是等边三角形，然后得出BC ＝AC ，即可判断①；利用①的结论可得CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，从而可得①BCA ＝①ECF ＝60°，即可判断①；当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值，根据含30度角的直角三角形的性质求出BE ，再利用勾股定理求出CE 即可判断①；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，求出EM ＝3，然后利用平行线分线段成比例求出23FG AF EG EM ==即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，①AB ＝BC ，AD ①BC ，①BAC ＝①DAC ＝12①BAD ＝60°，①①B ＝180°−①BAD ＝60°，①①ABC 是等边三角形，①BC ＝AC ，①ACB ＝60°，在△BEC 和△AFC 中，BE AF B FAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEC ①①AFC （SAS ），①正确； ①CE ＝CF ，①BCE ＝①ACF ，①①BCE ＋①ACE ＝①ACF ＋①ACE ， ①①BCA ＝①ECF ＝60°，①①ECF 是等边三角形，①正确； ①△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ＝5， ①当CE ①AB 时，ECF △的边长取最小值， ①①B ＝60°，①此时①BCE ＝30°，①BE ＝1522BC =， ①CE①ECF △，①错误；过点E 作EM ①BC ，交AC 于点M ，①①BEC ①①AFC ，①AF ＝BE ＝2，①AB ＝5，①AE ＝AB −BE ＝5−2＝3，①EM ①BC ，①①AEM ＝①B ＝60°，①AME ＝①ACB ＝60°， ①①AEM 是等边三角形，①AE ＝EM ＝3，①AD①BC，①AF①EM①23 FG AFEG EM==，①23FGC EGCS S=△△，①正确；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线分线段成比例，灵活运用各性质进行推理是解题的关键．14．B【详解】连接OC、OC′，如图，①①AOB=90°，C为AB中点，①OC=12AB=12A′B′=OC′，①当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，①滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．【点睛】考点：①圆的定义与性质；①直角三角形的性质．15．C【分析】如图，将①BDA绕点D顺时针旋转90°得到①CDM，由旋转的性质可得①ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理推出AD，可知当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值，即可解决问题．【详解】解：如图，将BDA△绕点D顺时针旋转90°得到CDM由旋转的性质可知：4AB CM ==，DA DM =，90ADM ∠=︒①ADM △是等腰直角三角形，①根据勾股定理222AD MD AM +=，①AD AM =， ①当AM 的值最大时，AD 的值最大，①AM AC CM ≤+，AC CM AB ===①AM ≤①AM 的最大值为①AD 的最大值为7，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及两点之间线段最短．解题的关键在于根据旋转的性质构造等腰直角三角形． 16．C【分析】根据平行四边形的性质可得BO =DO ，AO =CO ，由此可得8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，从而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，①BO =DO ，AO =CO ，①8AOB AOD BOC COD S S S S ∆∆∆∆====，①平行四边形ABCD 的面积=4×8=32，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分．17．A【分析】分如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，两种情况求出AC 的长，从而确定AC 的取值范围即可得到答案．【详解】如解图①，当点D 在圆心O 的左侧且2AD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①3DE BE ==，①2DO =，①1OE =，①5AE =，22215CE CO OE =-=，①AC =如解图①，当点D 在圆心O 的右侧且2BD =时，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，连接CD 、CO 、CB ，①AC ADC =，①CDB CBD ∠=∠，①CD CB =，①1DE BE ==，①3OE =，①7AE =，2227CE CO OE =-=，①AC =①若DA 、DB 的长均不小于2AC ≤①AC 的长可能是7，故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．18．C【分析】过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示，根据题意，分两种情况讨论：①当5BD =时；①当5AC =时，根据双垂直模型得到BDF EBF ∽△△，利用相似比得到未知线段，然后根据BDE ABCD S S =△梯形代值求解即可得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ∥交DC 延长线于E ，过B 作BF DC ⊥于F ，如图所示：4BF ∴=，①当5BD =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BDF △中，90,5,4DFB BD BF ∠=︒==，则3DF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD DF BE BF ∴=，即534BE =，203BE ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；①当5AC =时，对角线相互垂直，即AC BD ⊥，BE BD ∴⊥，90DBF EBF ∴∠+∠=︒，BF DC ⊥，在Rt BEF △中，90,5,4EFB BE BF ∠=︒==，则3EF =， 90DBF BDF ∴∠+∠=︒，BDF EBF ∴∠=∠，90BFD BFE ∠=∠=︒，∴BDF EBF ∽△△，BD BF BE EF∴=，即453BD =， 203BD ∴=， ,AB CE AC BE ∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB CE ∴=， ∴()()11111205052222233BDE ABCD S AB DC BF CE DC BF DE BF S BD BE =+⋅=+⋅=⋅==⋅=⨯⨯=△梯形；综上所述，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高为4，则梯形的面积为503，【点睛】本题属于几何综合问题，考查梯形性质、梯形面积公式、勾股定理、两个三角形相似的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积及双垂直模型等知识，熟练掌握相关几何图形的性质是解决问题的关键．19．B【分析】利用已知条件分别求得点A，B，C的坐标，表示出线段OA，OB，OC的长度，利用二次函数的性质，待定系数法与全等三角形的判定定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：将A（x1，0）代入物线y=x2+bx+c得：x12+bx1+c=0．①c=x1+b，①x12+bx1+x1+b=0，①x1（x1+1）+b（x1+1）=0，①（x1+b）（x1+1）=0，①c=x1+b≠0，①x1+1=0，①x1=-1，①A（-1，0），①OA=1，①c=-1+b，①b-c=1．①①的结论正确；①c=-1+b，①y=x2+bx+b-1，令y=0，则x2+bx+b-1=0，解得：x=-1或x=1-b，①B（1-b，0），①抛物线的对称轴在y轴的右侧，①b＜0，①OB=1-b，①C（0，b-1），①OB =OC ，在△AOC 和△DOB 中，90ACO DBO OC OB AOC DOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AOC ①①DOB （ASA ）．①①的结论正确；若①DBC =30°，过点D 作DH ①BC 于点H ，如图，①①AOC ①①DOB ，①OA =OD =1，AC =BD ，①CD =OC -OD =-b ，①OB =OC ，①①OCB =①OBC =45°，①DH ①BC ，①DH， ①DH ①BC ，①DBC =30°，①BD =2DH，①ACb ，①OA 2+OC 2=AC 2，①12+(1−b ) 2＝b ) 2．解得：b①b①抛物线的对称轴为直线x== ①①的结论不正确；当点B 绕点D 顺时针旋转90°后得到的点B '也在抛物线上时，过点B ′作B ′M ①y 轴于点M ，如图，由题意：DB =DB ′，①BDB ′=90°，①①MDB ′+①ODB =90°，①①ODB +①OBD =90°，①①MDB ′=①OBD ，在△MDB ′和△OBD 中，90DMB BOD MDB OBD DB BD ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩'，①①MDB ′①①OBD （AAS ），①MD =OB =1-b ，MB ′=OD =1，①OM =OD +DM =2-b ，①B ′（1，b -2），①1+b +b -1=b -2，解得：b =-2，①c =b -1=-3，①此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，①①的结论正确；综上，正确的结论是：①①①．故选：B．【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．8【分析】根据角平分线的性质定理解答．【详解】解：当PQ①OM时，PQ最小，①P是①MON角平分线上的一点，PA①ON，PQ①OM，①PQ=PA=8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．21．100°##100度【分析】先根据三角形的内角和求出①C的度数，即可求出与①C相邻外角的度数【详解】①C=180°-①A-①B=80°，①①C相邻外角的度数为180°-80°=100°.故答案为：100°【点睛】此题主要考查邻补角的求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 22．42或32##32或42【分析】分两种情况讨论：当高AD在ABC的内部时，当高AD在ABC的外部时，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：当高AD在ABC的内部时，如图，在Rt ABD中，9BD，在Rt ACD中，5CD==，①14BC BD CD =+=，此时ABC 的周长是15141342AB BC AC ++=++=；当高AD 在ABC 的外部时，如图，在Rt ABD中，9BD ，在Rt ACD中，5CD ==，①4BC BD CD =-=，此时ABC 的周长是1541332AB BC AC ++=++=；综上所述，ABC 的周长是42或32．故答案为：42或32【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．23．85︒【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；【详解】①ABC BAD ≌，60C ∠=︒，35ABD ∠=︒，①60C D ∠=∠=︒，35DBA CAB ∠=∠=︒，①180180603585DAB D DBA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：85︒．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．24．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS 推出①COM ①①DOM ，根据全等三角形的性质得出①COM =①DOM ，根据角平分线的定义得出答案即可．【详解】解：在①COM 和①DOM 中，,OC OD OM OM MC MD =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ①①COM ①①DOM （SSS ），①①COM=①DOM，即OM是①AOB的平分线，故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．25．2或8．【详解】试题分析：由题意知，应分两种情况：当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm，底边为18-2×8=2cm，①0＜2＜8+8，①边长分别为8cm，8cm，2cm，能构成三角形；当底边长为8cm时，腰的长=（18-8）÷2=5cm，①0＜8＜5+5=13，①边长为5cm，5cm，8cm，能构成三角形．故答案为2或8．考点：等腰三角形的性质．26．5【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．【详解】解：①S△ABD=15，AE是BC边上的高，BD•AE=15，①12×6BD=15，则12解得：BD=5，①AD是BC边上的中线，①CD=BD=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．27．稳定性【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形．故答案为：三角形具有稳定性.【点睛】本题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．28．36【分析】由△ABC 是等腰直角三角形，可得①A =①C =45°，从而证明△AEF 也是等腰直角三角形，设AF =x ，则BF =12﹣x ，列出方程并求出x 的值，再根据正方形的面积公式即可求得．【详解】解：①①ABC 是等腰直角三角形，①①A =①C =45°，①四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形，①EF ①BC ，①①AEF =①C =45°，①①AEF 也是等腰直角三角形，①AF =EF ，设AF =x ，则BF =12﹣x ，①12﹣x =x ，①x =6，①此正方形的面积为6×6=36．故答案为：36．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及判定．解题的关键是熟练掌握正方形的性质．29．3【分析】连接AC ，CE ，CF ，正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，得证AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，从而得证90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，得到CE CF =，直线AC 是线段EF 的垂直平分线，从而得到90GMC ∠=，45CGM ∠=，得证CM GM =，30EAM ∠=，从而得证132EM AE ==，AM =2AC EC =，结合222AC EC AE =+，确定AC =CM GM AC AM ==-==，根据EG EM GM =-计算即可．【详解】如图，连接AC ，CE ，CF ，因为正方形ABCD 和等边AEF △都内接于O ，所以AC 是O 的直径，45ACG ∠=，60AEF AFE ∠=∠=，AE AF =，所以90AEC AFC ∠=∠=，30CEF CFE ∠=∠=，所以CE CF =，所以直线AC 是线段EF 的垂直平分线，所以90GMC ∠=，45CGM ∠=，所以CM GM =，30EAM ∠=，所以132EM AE ==，AM ==2AC EC =，因为222AC EC AE =+，所以2221()62AC AC =+，解得AC =所以CM GM AC AM ==-=所以EG EM GM =-=3故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．30．2.7【分析】根据全等可得OC =AP ，再根据等边三角形的性质可得AC =AB ，从而可得AO =BP ，即可得出结论【详解】解：①①ABC 为等边三角形，①AC =AB =BC =9，①①APO ①①COD ，AO =2.7，①AP =OC ，①BP =AO =2.7．故答案为：2.7．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的性质．正确理解性质得出线段之间的关系是解题关键．31．5:3．【分析】过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，利用平行线性质可得①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，可证△DCF ①①AEF ，根据相似三角形性质可得31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD = 4m ，求三角形与四边形面积S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=，S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=，再求两面积比即可．【详解】解：过C 做CG ①AD 交AD 延长线于G ，①四边形ABCD 为平行四边形，①CD∥AB 且CD =AB ，AD =BC ，①①CDF =①EAF ，①DCF =①E ，①△DCF ①①AEF ， ①31DF DC AF AE ==，设AF =m ，DF =3m ，则BC =AD =AF +DF =4m ，①S △CDF =1322DF CG mCG ⋅=， S 四边形ABCF =()()1154222AF BC CG m m CG mCG +⋅=+⋅=， ①53::5:322CDF ABCF S S mCG mCG ==四边形．故答案为5:3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握平行四边形的性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．32．6.72【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF①AB，垂足为F．①①ACB=90°，AC=6，BC=8．①AB，①D是AB的中点，①AD=BD=CD=5，①S△ABC=12AC•BC=12AB•CF，①12×6×8=12×10×CF，解得CF=4.8．①将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，①BC=CE，BD=DE，①CH①BE，BH=HE．①AD=DB=DE，①①ABE为直角三角形，①AEB=90°，①S△ECD=S△ACD，①12DC•HE=12AD•CF，①DC=AD，①HE=CF=4.8．①BE=2EH=9.6．①①AEB=90°，①AE．①S△ADE=12EH•AE=12×2.8×4.8=6.72．故答案为：6.72．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．33．【详解】试题分析：根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．解：在Rt①ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．点评：本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．34．48 5【分析】根据垂线段最短可知当EP①AB时，线段EP最短．根据12•AB•PE=12×BE×AE，只要求出AB、AE、BE、PE，即可解决问题．【详解】解：根据垂线段最短可知当PE①AB时，线段PE最短．①AE①BC于E，sinB＝35＝AEAB，设AE＝3k，AB＝BC＝5k，则BE＝4k，EC＝k，①EC＝3，①k＝3，①BE＝12，AB＝15，AE＝9，当PE①AB时，12•AB•PE＝12×BE×AE，①PE＝AE BEAB⨯＝365，①线段PE的最小值为365，①BP 485．故答案为：485．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．35．10．【分析】连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=1 2CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可．【详解】解：连结OC，设①O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2，①CD①AB，CD＝12①CE=DE=12CD=6，。

初中数学等腰直角三角形添加辅助线三垂直构建K字型全等专项练习题1(附答案详解)

5．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（m，0），以AB为边在右侧作正方形ABCD．
（1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C点的坐标．（用m表示）
（2）当m=0时，如图2，P为OA上一点，过点P作PM⊥PC，PM=PC，连MC交OD于点N，求AM+2DN的值；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，E、F分别为CD、CO上的点，作EG∥x轴交AO于G，作FH∥y轴交AD于H，K是EG与FH的交点．若S四边形KFCE=2S四边形AGKH，试确定∠EAF的大小，并证明你的结论．
3．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若．
①求直线的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
(2)如图②，以为底边在左侧作等腰，连接，求的度数．
(3)如图③，中， ,垂足为点，以为边在左侧作等边 ,连接交于， , ,求的长．
13．直角三角形中，，直线过点．
（1）当时，如图①，分别过点、作于点，于点．求证：．
（2）当，时，如图②，点与点关于直线对称，连接、，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点、到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

相似三角形的垂线定理与三角形垂足

相似三角形的垂线定理与三角形垂足相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它与三角形的垂线定理及垂足有着密切的关系。

本文将从相似三角形的定义开始，逐步探索相似三角形的垂线定理以及垂足的性质。

一、相似三角形的定义及性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

相似三角形的定义要素包括角度相等和对应边长成比例。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下重要结论：1. 相似三角形的对应角度相等，即对应角相等。

2. 相似三角形的对应边长成比例，即对应边长之比相等。

3. 相似三角形的三个内角之和相等于180度。

二、相似三角形的垂线定理在相似三角形中，如果有一个顶点的垂线分别落在另外两个三角形的边上，那么这两条垂线的长度之比等于相应的边长之比。

证明思路，不妨设AD与BE是两条垂线，且AD/BE=a/b，那么我们可以通过以下推导来证明垂线长度之比等于边长之比：1. 因为AD是垂线，所以∠CAD=90度，同理∠CBE=90度。

2. 由相似三角形的性质得知∠CAE=∠CBA，所以三角形CAE与三角形CBA为相似三角形。

3. 根据相似三角形的性质，我们可以得到AE/CB=CA/BA=a/b，即AE=a/b*CB。

4. 同理，由三角形CAE与三角形CDB为相似三角形可得AD=a/b*BE。

5. 所以AD/BE=a/b。

三、三角形垂足的性质垂足是指从三角形的一个顶点向对边作垂线所得到的交点。

在一个直角三角形中，垂足是指从直角顶点向斜边作垂线所得到的交点。

垂足具有以下重要性质：1. 在直角三角形中，垂足是斜边上离直角顶点最近的点。

2. 垂足到直角顶点的距离最短。

3. 垂足到直角边的距离最长。

四、垂线定理与垂足的应用1. 利用垂足的性质可以求解各种与垂直有关的问题，比如求垂线的长度、垂足到直角边的距离等。

2. 垂线定理与垂足还可以应用于解决直角三角形的证明问题，例如证明一个三角形是直角三角形，可以通过证明垂线相等或者垂足相等来得出结论。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）
三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。

首先我们证明这个问题。

已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。

求证：PD、NE、MF交于一点O。

思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC 于D，其反向延长线与AB交于P。

然后再证明D是BC的中点。

证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。

∵MF⊥AB于F，AF=FB；
∴OA=OB；
∵NE⊥AC于E，AE=EC；
∴OA=OC；
∴OB=OC；
∵OD⊥BC于D；
∴POD是BC边上的中垂线。

∴NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。

结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。

相关练习题：
一、判断题
1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点
2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点
3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
二、填空题
5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.
6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.
7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.
8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.
9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.
10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.
三、作图题
11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC
（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
四、类比联想
12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上
的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.
答案：
一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×
二、1.= = 2.= = = 50 50 80 100
3.= AC
4.= = 72°
5.BED CED BAD C AD等腰
6.60°
三、1.略（2）内部斜边的中点外部
四、类比联想：略。