2简单逻辑 - 难 - 习题

简单逻辑习题一、选择题（共16小题；共80分）1. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A. a>b+1B. a>b−1C. a2>b2D. a3>b32. 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则∣z1∣=∣z2∣”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A. 真，假，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假3. 对于非零向量a⃗，b⃗⃗，“a⃗+b⃗⃗=0⃗⃗”是“a⃗∥b⃗⃗”的( )．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知命题p：“m=−1”，命题q：“直线x−y=0与直线x+m2y=0互相垂直”．则命题p是命题q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要5. “x≥1”是“lgx≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列说法正确的是( )A. 存在x0∈R，使得1−cos3x0=log2110B. 函数y=sin2xcos2x的最小正周期为πC. 函数y=cos2(x+π3)的一个对称中心为(−π3,0)D. 角α的终边经过点(cos(−3),sin(−3))，则角α是第三象限角8. “sinα=cosα”是“cos2α=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 下面四个命题中的真命题是( )A. 命题“∀x≥2，均有x2−3x+2≥0”的否定是：“∃x<2，使得x2−3x+2<0”B. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班人数可能为60D. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.3，则X在(0,2)内取值的概率为0.610. 设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 命题p:∀x<0，x2≥2x，则命题¬p为( )A. ∃x0<0，x02≥2x0B. ∃x0≥0，x02≥2x0C. ∃x0<0，x02<2x0D. ∃x0≥0，x02>2x012. 命题p：若1<y<x，0<a<1，则a 1x<a1y，命题q：若1<y<x，a<0，则x a<y a．在命题①p且q；②p或q；③非p；④非q中，真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④13. 直线x−y+m=0与圆x2+y2−2x−1=0有两个不同交点的一个必要不充分条件是( )A. 0<m<1B. −4<m<0C. m<1D. −3<m<114. 设向量a⃗=(x−1,x)，b⃗⃗=(x+2,x−4)，则“a⃗⊥b⃗⃗”是“x=2”的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 设a,b∈R，则“(a−b)a2<0”是“a<b”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件16. 以下有关命题的说法错误的是( )A. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”B. x=1是x2−3x+2=0的充分不必要条件C. 若“p或q”为假命题，则非p为真命题D. 对于命题p:存在x>0，使得x2−3x+2<0，则非p:任意x≤0，使得x2−3x+2≥0二、填空题（共7小题；共35分）17. 设n∈N+，一元二次方程x2−4x+n=0有整数根的充要条件是n=．18. 设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2+2x−8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．19. 若函数f(x)对其定义域内的任意x1，x2，当f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为紧密函数，例如函数f(x)=lnx(x>0)是紧密函数．下列命题：①紧密函数必是单调函数；②函数f(x)=x2+2x+ax(x>0)在a<0时是紧密函数；③函数 f (x )={log 3x,x ≥2,2−x,x <2是紧密函数；④若函数 f (x ) 为定义域内的紧密函数，x 1≠x 2，则 f (x 1)≠f (x 2)；⑤若函数 f (x ) 是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数 fʹ(x ) 在定义域内的值一定不为零．其中的真命题是 ．20. 关于平面向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗．有下列三个命题： ① 若 a ⃗⋅b ⃗⃗=a ⃗⋅c ⃗，则 b ⃗⃗=c ⃗；②若 a ⃗=(1,k )，b ⃗⃗=(−2,6)，a ⃗∥b⃗⃗，则 k =−3； ③非零向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 a ⃗ 与 a ⃗+b ⃗⃗ 的夹角为 60∘．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）21. 将标号为 1，2，⋯，20 的 20 张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为 a ；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为 b ．甲同学认为 a 有可能比 b 大，乙同学认为 a 和 b 有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确的同学是 ．22. 有 4 个不同国籍的人，他们的名字分别是A ，B ，C ，D ，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）．现已知每人只从事一个职业，且： （1）A 和来自美国的人他们俩是医生； （2）B 和来自德国的人他们俩是教师； （3）C 会游泳而来自德国的人不会游泳； （4）A 和来自法国的人他们俩一起去打球．根据以上条件可推测出A 是来自 国的人，D 是来自 国的人． 23. 已知集合 {a,b,c }={0,1,2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b =2；③ c ≠0 有且只有一个正确，则 100a +10b +c = ．三、解答题（共5小题；共65分）24. 已知 a >0，设命题 p ：函数 y =a x 在 R 上单调递增；q ：不等式 ax 2−ax +1>0 对任意 x ∈R 恒成立，若“p 或 q 为真，p 且 q 为假”，求 a 的取值范围．25. （1）如图，证明命题" a 是平面 π 内的一条直线，b 是 π 外的一条直线（b 不垂直于 π），c 是直线 b 在 π 上的投影，若 a ⊥b ，则 a ⊥c "为真；（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）．26. 设：P:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根，Q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0无实根，求使P或Q为真，P且Q为假的实数m的取值范围．27. 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q:方程4x2+4(m−2)x+1=0无实根．若“ p或q”为真，“ p且q”为假．求实数m的取值范围．28. 已知函数f(x)=(x2+ax−a)⋅e1−x，其中a∈R．（1）求函数fʹ(x)的零点个数；（2）证明：a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．答案第一部分1. A2. B 【解析】先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1=a+bi(a,b∈R)，则z2=a−bi，则∣z1∣=∣z2∣=√a2+b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1=1，z2=i，满足∣z1∣=∣z2∣，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．3. A 【解析】若a⃗+b⃗⃗=0⃗⃗，则a⃗=−b⃗⃗．所以a⃗∥b⃗⃗；若a⃗∥b⃗⃗，则a⃗=λb⃗⃗,a⃗+b⃗⃗=0⃗⃗不一定成立．4. A5. C6. D 【解析】对于等比数列{a n}，若q>1，则当a1<0时数列{a n}是递减数列；若数列{a n}是递增数列，则满足a1<0且0<q<1，或a1>0且q>1．故“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．7. D8. A 【解析】因为cos2α=cos2α−sin2α，所以当sinα=cosα时，cos2α=0，充分性成立；当cos2α=0时，因为cos2α−sin2α=0，所以cosα=sinα或cosα=−sinα，必要性不成立．9. D10. D【解析】a，b是实数，如果a=−1，b=2则“a+b>0”，则“ab>0”不成立．如果a=−1，b=−2，ab>0，但是a+b>0不成立，所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．11. C12. C13. C 【解析】圆的标准方程为(x−1)2+y2=2，圆心为(1,0)，半径r=√2，若直线与圆有两个不同的交点，<√2，则圆心到直线的距离d=√2即∣1+m∣<2，得−2<1+m<2，得−3<m<1，则−3<m<1的一个必要不充分条件是m<1．14. B 【解析】若 a ⃗⊥b ⃗⃗，则 a ⃗⋅b⃗⃗=(x −1)(x +2)+x (x −4)=0，即 2x 2−3x −2=0，解得 x =−12或 x =2，则“a ⃗⊥b ⃗⃗”是“x =2”的必要不充分条件． 15. A【解析】由 (a −b )a 2<0 可知 a 2≠0，则一定有 a −b <0，即 a <b ； 但是 a <b 即 a −b <0 时，有可能 a =0， 所以 (a −b )a 2<0 不一定成立，故“(a −b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件． 16. D 第二部分 17. 3 或 4 【解析】x =4±√16−4n 2=2±√4−n ，因为 x 是整数，即 2±√4−n 为整数，所以 √4−n 为整数，且 1≤n ≤4． 取 n =1,2,3,4 验证，可知 n =3,4 符合题意；反之，n =3,4 时，可推出一元二次方程 x 2−4x +n =0 有整数根． 18. (−∞,−4]【解析】不等式 x 2−4ax +3a 2<0 的解集为 A =(3a,a )(a <0)，不等式 x 2+2x −8>0 的解集为 B ={x ∣x <−4或x >2}，因为 q 是 p 的必要不充分条件，则 A ⫋B ，故实数 a 的取值范围是 (−∞,−4]． 19. ②④【解析】因为函数 f (x ) 对其定义域内的任意 x 1，x 2，当 f (x 1)=f (x 2) 时总有 x 1=x 2，则称 f (x ) 为紧密函数，所以紧密函数 f (x ) 的自变量与函数值是一一映射． 单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，故①错误． f (x )=x 2+2x+ax(x >0) 在 a <0 时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确．函数 f (x )={log 3x,x ≥2,2−x,x <2不是一一映射，不是紧密函数，故③错误．若函数 f (x ) 为定义域内的紧密函数，x 1≠x 2，则 f (x 1)≠f (x 2)，故④正确．函数 f (x )=x 3 是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数 fʹ(x )=3x 2 在定义域内的值可以为零，故⑤错误． 20. ②【解析】由 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩，知命题 ① 明显错误；由两向量平行的充要条件得 1×6+2k =0，得 k =−3，故命题②正确；由 ∣a ⃗∣=∣∣b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，结合平行四边形法则如图：可得 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 60∘，且此平行四边形是菱形，所以 a ⃗ 与 a ⃗+b ⃗⃗ 的夹角为 30∘，命题③错误． 21. 乙22. 英，德 23. 201 第三部分24. 若函数 y =a x 在 R 上单调递增，则 a >1，故命题 p 等价于 a >1；若不等式 ax 2−ax +1>0 对任意 x ∈R 恒成立，则 {a >0,Δ=(−a )2−4a <0⇒0<a <4，故命题 q 等价于 0<a <4，根据题意 p 且 q 为假，p 或 q 为真，可知 p ，q 中一真一假，因此（1）当 p 假 q 真时：0<a ≤1， （2）当 p 真 q 假时：a ≥4，所以 a 的取值范围：0<a ≤1 或 a ≥4． 25. （1） 证法一：如图，过直线 b 上任一点作平面 π 的垂线 n ，设直线 a ，b ，c ，n 的方向向量分别是 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，n ⃗⃗，则 b ⃗⃗，c ⃗，n ⃗⃗ 共面． 根据平面向量基本定理，存在实数 λ，μ 使得 c ⃗=λb ⃗⃗+μn ⃗⃗，则a ⃗⋅c ⃗=a ⃗⋅(λb ⃗⃗+μn ⃗⃗)=λ(a ⃗⋅b ⃗⃗)+μ(a ⃗⋅n ⃗⃗),因为 a ⊥b ，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，又因为 a ⊂π，n ⊥π， 所以 a ⃗⋅n ⃗⃗=0，故 a ⃗⋅c ⃗=0，从而 a ⊥c ． 证法二：如图，记 c ∩b =A ，P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点， 过 P 作 PO ⊥π，垂足为 O ，则 O ∈c ． ∵PO ⊥π，a ⊂π，∴ 直线 PO ⊥a ， 又 a ⊥b ，b ⊂ 平面 PAO ，PO ∩b =P ， ∴a ⊥ 平面 PAO ，又 c ⊂ 平面 PAO ，∴a ⊥c ．（2） 逆命题：" a 是平面 π 内的一条直线，b 是 π 外的一条直线（b 不垂直于 π），c 是直线 b 在 π 上的投影，若 a ⊥c ，则 a ⊥b "．此命题为真命题．26. 若命题 P: 方程 x 2+2mx +1=0 有两个不相等的正根为真， 则 {Δ=4m 2−4>0,x 1+x 2=−2m >0,解得 m <−1．若命题 Q: 方程 x 2+2(m −2)x −3m +10=0 无实根为真， 则 Δ=4(m −2)2+12m −40=4(m 2−m −6)<0， 解得 −2<m <3．因为 P 或 Q 为真，P 且 Q 为假， 所以命题 P 与命题 Q 必一真一假． 若 P 真 Q 假，则 m ≤−2， 若 P 假 Q 真，则 −1≤m <3．综上，实数 m 的取值范围为 m ≤−2，或 −1≤m <3．27. 若方程 x 2+mx +1=0 有两个不等的负实根，则 {m 2−4>0−m <0，解得 m >2；若方程 4x 2+4(m −2)x +1=0 无实根，则 16(m −2)2−16<0，解得 1<m <3； 由题意得 p ，q 一个为真，一个为假， 即 {p:真q:假 或 {p:假q:真； 故 {p:m >2q:m ≤1或m ≥3或 {p:m ≤2q:1<m <3，解得 m ≥3或1<m ≤2． 所以 m ∈(1,2]∪[3,+∞)．28. （1） 由 f (x )=(x 2+ax −a )⋅e 1−x ， 得fʹ(x )=(2x +a )⋅e 1−x −(x 2+ax −a )⋅e 1−x=−[x 2+(a −2)x −2a ]⋅e 1−x=−(x +a )(x −2)⋅e 1−x .令 fʹ(x )=0，得 x =2，或 x =−a ．所以当 a =−2 时，函数 fʹ(x ) 有且只有一个零点：x =2； 当 a ≠−2 时，函数 fʹ(x ) 有两个相异的零点：x =2，x =−a ．（2） ①当 a =−2 时，fʹ(x )≤0 恒成立，此时函数 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上单调递减， 所以，函数 f (x ) 无极值．②当 a >−2 时，fʹ(x )，f (x ) 的变化情况如下表：x(−∞,−a )−a(−a,2)2(2,+∞)fʹ(x )−0+0−f (x )↘极小值↗极大值↘所以，a ≥0 时，f (x ) 的极小值为 f (−a )=−a ⋅e 1+a ≤0． 又 x >2 时，x 2+ax −a >22+2a −a =a +4>0， 所以，当 x >2 时，f (x )=(x 2+ax −a )⋅e 1−x >0 恒成立．所以，f(−a)=−a⋅e1+a为f(x)的最小值．故a≥0是函数f(x)存在最小值的充分条件．③当a=−5时，fʹ(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,2)2(2,5)5(5,+∞)fʹ(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘因为当x>5时，f(x)=(x2−5x+5)⋅e1−x>0，又f(2)=−e−1<0，所以，当a=−5时，函数f(x)也存在最小值．所以，a≥0不是函数f(x)存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．。