实验二：窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生

一、实验目的

熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。

二、实验原理

（一）窄带随机过程的产生原理

窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式：

cos X t A t ωτϕτ0()=()[+()]

或者表示为同相分量与正交分量的合成：

00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-()

其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。 （二）用频域法模拟任意随机过程

模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS

()0201()j k k f k

d

X e f T X t π∞

∞

=-=

=

∑

若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值的高斯随机过程。若

{}k X 是两两正交的序列

()2

220()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞

∞

=

-=∑

即可以控制k g 得到期望的功率谱。 假定()(0

)X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS

系数{}k X 也为21M +项0()B M f ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦，因此只需产生21M +个相互正交的零均值

高斯随机变量{}101,,

,,

,,M M M M X X X X X --+-，其方差为2

2

()k k

E X g =。2k g 应与()0X G kf 成比例，即()2

0X k G g kf β=，则有

()()2

20

()M

M

M

B

X X

B

M

k k

k k M

M

k G f G kf df E X g β

=-=-=--=

=

=∑

∑

⎰

∑

即

()()

B

X B M

X

M

k G f G df kf β=--=⎰∑ 产生步骤： i. 根据要求的时长d T 确定01d f T = ，根据功率谱的带宽确定0

B M f = ii. 计算系数β

iii.

产生21M +个独立的高斯随机变量，

()0(0,)(,1,,0,,1~,)k X N k M X M G M M kf β=--+-

iv.

构建时域样本函数[]()02()M

f k M

j i t k k X X i i t X e π∆=-=∆=

∑

（三）用时域滤波法模拟任意随机过程

功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为()()2

X G f H f =，因此要产生功率谱为()X G f 的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足()()X H f G f =

三、实验内容

模拟产生一段时长5ms 的窄带高斯随机过程()X t 的样本函数。假定c A t ()与

s A t ()的功率谱密度均为4

1

()()1(/)c s G f G f f f ==

+∆，其中f ∆为功率谱密度的

3dB 带宽。按照频域法或时域滤波器法分别产生时长为5ms 的低通过程c A t ()和

s A t ()，然后按图示合成()X t ，其中01000/()f Hz π=。分别画出模拟产生的c A t ()、

s A t ()和()X t 的波形。

1. 零均值高斯随机序列的产生

产生一段5ms 的零均值高斯随机过程的两个样本()(),c s A t A t ，其功率谱密度要求为()4

1

1(/)

X f G f f =

+∆ （1）利用频域法产生()c A t 根据时长5d T ms =，可确定01

200d

f Hz T '=

= 1f kHz ∆=是功率谱密度的3dB 带宽，取6B f =∆，则030B

M f =

='

计算系数()()6000

604304

300001

1(/1000)199.981

1(/1000)

6200B

X

B M

M k X k G f df df f G kf k β=-=---+===+∑∑⎰⎰ 产

生21M +个

独立的高斯随机变量，

4

(0,

)

(30,29,

,29,30)1(200/1~000)k X N k k β

=--+

构建时域样本函数[](30

22003)0

j t k k i k X i X e π∆=-=

∑

（2）利用时域滤波法产生()s A t