新北师大版八年级下数学1.1等腰三角形(1)
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第一节 等腰三角形1
回顾复习
公理:
同位角 相等,那么这两条直线平行; 1.两直线被第三条直线所截,如果________ 同位角 相等; 2.两条平行线被第三条直线所截,________ 两边及其夹角 对应相等的两个三角形全等; （SAS） 3. ____________ 两角及其夹边 对应相等的两个三角形全等; （ASA） 4. ____________ 三边 对应相等的两个三角形全等; （SSS） 5. _____ 对应边 相等, ________ 对应角 相等. 6.全等三角形的________ 你能由公理3、4、 5、 6证明下面的推论吗？ 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C.
A
证法一: 证明：取BC的中点D, 连接AD.
在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
用心想一想，马到功成
推论 两角及其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等.（AAS） A D
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
C E
F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°） ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E) ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∴∠C=∠F（等量代换）
B C
想一想
在上面的图形中,线段AD还具有怎样 的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
A
推论: 等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的高互 相重合. (三线合一)
B
D
C
ຫໍສະໝຸດ Baidu
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、 底边上高三条线重合；
3.等边三角形三个内角都相等并且每个内 角都等于60°.
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证法二:
B
D
C
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
议一议, 做一做
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽 可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的 性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
A A
A
→
B
D C B
→
C D
B(C) D
再见 Class Over
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD， AC=BC=CD， （1）求证： △ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数.
A
B
C
D
课堂小结, 畅谈收获：
1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的 证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富 的理论依据。 2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证 明的必要性。
练一练
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角).
B C
A
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C＝60°.
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证法三: 证明：在△ABC和△ACB中 ∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB, ∴ △ABC≌△ACB (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等 的基本性质。
回顾复习
公理:
同位角 相等,那么这两条直线平行; 1.两直线被第三条直线所截,如果________ 同位角 相等; 2.两条平行线被第三条直线所截,________ 两边及其夹角 对应相等的两个三角形全等; （SAS） 3. ____________ 两角及其夹边 对应相等的两个三角形全等; （ASA） 4. ____________ 三边 对应相等的两个三角形全等; （SSS） 5. _____ 对应边 相等, ________ 对应角 相等. 6.全等三角形的________ 你能由公理3、4、 5、 6证明下面的推论吗？ 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C.
A
证法一: 证明：取BC的中点D, 连接AD.
在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
用心想一想，马到功成
推论 两角及其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等.（AAS） A D
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
C E
F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°） ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E) ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∴∠C=∠F（等量代换）
B C
想一想
在上面的图形中,线段AD还具有怎样 的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
A
推论: 等腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、底边上的高互 相重合. (三线合一)
B
D
C
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等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、 底边上高三条线重合；
3.等边三角形三个内角都相等并且每个内 角都等于60°.
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证法二:
B
D
C
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
议一议, 做一做
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽 可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的 性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
A A
A
→
B
D C B
→
C D
B(C) D
再见 Class Over
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD， AC=BC=CD， （1）求证： △ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数.
A
B
C
D
课堂小结, 畅谈收获：
1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的 证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富 的理论依据。 2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证 明的必要性。
练一练
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角).
B C
A
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）. 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C＝60°.
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证法三: 证明：在△ABC和△ACB中 ∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB, ∴ △ABC≌△ACB (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等 的基本性质。